29.Лінійні ДР 1-го порядку.метод Бернуллі.Рівняння Бернуллі.
Рівняння
dy
dx
+ P(x)y =Q(x)yn (n ?0,n?1)
Називається рівнянням Бернулі.
Помножимо обидві його частини на (1-n)y- n,матимемо
(1-n)y-n
dy
dx
+ (1-n)y1-nP(x)=(1-n)Q(x)
y1-n=z,
(1-n)y- n
dy
dx
=
dz
dx
Одержємо лінійне рівняння
Вибрати рівняння бернулі
y’+
y
x
+xy2=0

30.означення числового ряду,частинних сум,збіжності і суми ряду. Геометричний ряд.
Вираз а1+а2+…ап.=
??=1
~
аn
називається числовим рядом,а число а1,а2,ап –числами ряду.
Сума скінченної кількості членів ряду
S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an називається частковою сумою.
Якщо існує границя S=
lim
??>?
????
, то ряд називається збіжним,а число S- сумою цього ряду.
Якщо
lim
??>?
????
не існує, або вона необмежена,то ряд називається розбіжним.
Геометричний ряд – ряд складений з членів геометричної прогресії 1,q,q2,……..
1+q+q2+q3+…+qn-1=
??=1
~
q^(n?1)
При |q|<1 –збіжний
При q=-1,q=1,q>1 –розбіжний
Знайти частинні суми S2 I S3 для ряду
??=1
~
??+1
??2
S1=2
S2=
3
4
+2=
11
4
S3=
4
9
+
11
4
=
16+99
36
=
115
36

31.властивості рядів. Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд і його збіжність.
Властивості:
Члени ряду,що збігається,можна групувати в довільному порядку,зберігаючи послідовність членів,в результаті новий ряд збігається і має таку свму суму.
Якщо ряди
??=1
~
аn
і
??=1
~
??n
збігаються, то збігається і ряд

??=1
~
(Ааn±??????)
=??
??=1
~
аn
± ??
??=1
~
bn
.
Якщо ряд
??=1
~
аn
збіжний,то
lim
??>?
????
=0.
Гармонічний ряд : 1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…=
??=1
~
1
n

Розглянемо послідовність часткових сум
Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
, нехай n>2m; m>2a, тоді
Sn=(1+
1
2
)+(
1
3
+
1
4
)+(
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
)+…+
1
2
+2*
1
4
+4*
1
8
+…+2m-1
1
2^??
=
??
2
Оскільки m>2a, то Sn>a де а –будь-яке число. Отже гармонічний ряд збіжний.
а) чи працює необхідна ознака?
??=1
~
??+1
n^2
;
lim
??>?
??+1
??
2
=
lim
??>?
1
2??
=?--ознака не працює.
б) чи збігається ряд
??=10
~
5
n
lim
??>?
5
??
=0
Отже,за необхідних умов ряд збіжний

32.ряди з додатніми членами. Ознаки порівняння.
Ряд
??=1
~
аn
де an>0, називається рядом з додатніми членами.
Ознаки збіжності рядів з додатніми членами:
Порівняльна ознака
Якщо 0?an?bn? Для всіх n>n, то із збіжності ряду
??=1
~
??n
випливає збіжність ряду
??=1
~
аn
, а із розбіжності ряду
??=1
~
аn
, розбіжність ряду
??=1
~
bn
.
2)гранична порівняльна ознака
Якщо
lim
??>?
????
????
=A, де A?0 – число, то із збіжності(розбіжності) ряду
??=1
~
аn
випливає збіжність(розбіжність) ряду
??=1
~
??n
3)ознака Д’аламбера
Якщо
lim
??>?
а??+1
????
=A, де А –число, то
Для А<1,
??=1
~
аn
-збіжний
для A>1- розбіжний
для A=1- ознака відповіді не дає
4)інтегральна ознака Коші-Макнорена
Якщо функція f(x), для x?1 неперервна,додатна,монотонно спадна, то ряд
??=1
~
аn
,де аn=f(n) збігається або розбігається залежно від того, залежно від того, збігається чи розбігається невласний інтеграл
1
?
??
??
????
Порівняти ряд
??=1
~
??+1

n
2
з гармонічним
??=1
~
1
n
Гранична ознака порівняння
lim
??>?
1
??

??+1
??
2
=
lim
??>?
??
2
??
2
+??
=1?0
Отже,оскільки гармонічний ряд розбіжний,то й ряд
??=1
~
??+1

n
2
тоеж розбіжний