29.Лінійні ДР 1-го порядку.метод Бернуллі.Рівняння Бернуллі. Рівняння dy dx + P(x)y =Q(x)yn (n ?0,n?1) Називається рівнянням Бернулі. Помножимо обидві його частини на (1-n)y- n,матимемо (1-n)y-n dy dx + (1-n)y1-nP(x)=(1-n)Q(x) y1-n=z, (1-n)y- n dy dx = dz dx Одержємо лінійне рівняння Вибрати рівняння бернулі y’+ y x +xy2=0
30.означення числового ряду,частинних сум,збіжності і суми ряду. Геометричний ряд. Вираз а1+а2+…ап.= ??=1 ~ аn називається числовим рядом,а число а1,а2,ап –числами ряду. Сума скінченної кількості членів ряду S1=a1, S2=a1+a2,…, Sn=a1+a2+…+an називається частковою сумою. Якщо існує границя S= lim ??>? ???? , то ряд називається збіжним,а число S- сумою цього ряду. Якщо lim ??>? ???? не існує, або вона необмежена,то ряд називається розбіжним. Геометричний ряд – ряд складений з членів геометричної прогресії 1,q,q2,…….. 1+q+q2+q3+…+qn-1= ??=1 ~ q^(n?1) При |q|<1 –збіжний При q=-1,q=1,q>1 –розбіжний Знайти частинні суми S2 I S3 для ряду ??=1 ~ ??+1 ??2 S1=2 S2= 3 4 +2= 11 4 S3= 4 9 + 11 4 = 16+99 36 = 115 36
31.властивості рядів. Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд і його збіжність. Властивості: Члени ряду,що збігається,можна групувати в довільному порядку,зберігаючи послідовність членів,в результаті новий ряд збігається і має таку свму суму. Якщо ряди ??=1 ~ аn і ??=1 ~ ??n збігаються, то збігається і ряд
??=1 ~ (Ааn±??????) =?? ??=1 ~ аn ± ?? ??=1 ~ bn . Якщо ряд ??=1 ~ аn збіжний,то lim ??>? ???? =0. Гармонічний ряд : 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 +…= ??=1 ~ 1 n
Розглянемо послідовність часткових сум Sn=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n , нехай n>2m; m>2a, тоді Sn=(1+ 1 2 )+( 1 3 + 1 4 )+( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 )+…+ 1 2 +2* 1 4 +4* 1 8 +…+2m-1 1 2^?? = ?? 2 Оскільки m>2a, то Sn>a де а –будь-яке число. Отже гармонічний ряд збіжний. а) чи працює необхідна ознака? ??=1 ~ ??+1 n^2 ; lim ??>? ??+1 ?? 2 = lim ??>? 1 2?? =?--ознака не працює. б) чи збігається ряд ??=10 ~ 5 n lim ??>? 5 ?? =0 Отже,за необхідних умов ряд збіжний
32.ряди з додатніми членами. Ознаки порівняння. Ряд ??=1 ~ аn де an>0, називається рядом з додатніми членами. Ознаки збіжності рядів з додатніми членами: Порівняльна ознака Якщо 0?an?bn? Для всіх n>n, то із збіжності ряду ??=1 ~ ??n випливає збіжність ряду ??=1 ~ аn , а із розбіжності ряду ??=1 ~ аn , розбіжність ряду ??=1 ~ bn . 2)гранична порівняльна ознака Якщо lim ??>? ???? ???? =A, де A?0 – число, то із збіжності(розбіжності) ряду ??=1 ~ аn випливає збіжність(розбіжність) ряду ??=1 ~ ??n 3)ознака Д’аламбера Якщо lim ??>? а??+1 ???? =A, де А –число, то Для А<1, ??=1 ~ аn -збіжний для A>1- розбіжний для A=1- ознака відповіді не дає 4)інтегральна ознака Коші-Макнорена Якщо функція f(x), для x?1 неперервна,додатна,монотонно спадна, то ряд ??=1 ~ аn ,де аn=f(n) збігається або розбігається залежно від того, залежно від того, збігається чи розбігається невласний інтеграл 1 ? ?? ?? ???? Порівняти ряд ??=1 ~ ??+1
n 2 з гармонічним ??=1 ~ 1 n Гранична ознака порівняння lim ??>? 1 ??
??+1 ?? 2 = lim ??>? ?? 2 ?? 2 +?? =1?0 Отже,оскільки гармонічний ряд розбіжний,то й ряд ??=1 ~ ??+1