7. Частинні похідні вищих порядків. Повна похідна 2-го порядку. Теорема про рівність змішаних похідних Частинні похідні називаються частинними похідними 1го порядку функції ??. Якщо вони самі мають частинні похідні то останні називають частинними похідними 2го порядку ф-ції і позначають ??" ?? 2 =( ?? ? ?? )? ?? = ?? 2 ?? ?? ?? 2 ??" ???? =( ?? ? ?? )? ?? = ?? 2 ?? ???????? ??" ?? ?? =( ?? ? ?? )? ?? = ?? 2 ?? ???? ?? При цьому ??" ?? 2 , ??" ?? ?? - називають чистими частинними похідними. Так само визначаються частинні похідні вищих порядків. ????? ?? 3 =( ???? ?? 2 )? ?? або ????? ?? 2 ?? =( ???? ?? 2 )? ?? Теорема: якщо мішані частинні похідні ??" ???? та ??" ???? неперервні в т.М0 , то вони рівні в цій точці Перекрнатись у правильності теореми про рівність змішаних похідних для ф-ції:
??? ?? =3 cos 3???2?? ,
??? ?? =?2cos?(3???2??),
???? ???? = ?3 sin 3???2?? ?(?2) =6sin?(3???2??)
???? ???? =2 sin 3???2?? ? 3 =6sin?(3???2??) Для ф-ції ??=sin?(3???2??) теорему перевірено 9. Первісна ф-ції на інтервалі та неозначений інтеграл, їх властивості. Ф-ція F назив. первісною для ф-ції ??(??),на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку справедлива рівність: F?(x)= ??(??), У загальному випадку, якщо F(x) є первісною для ф-ції ??(??), то для будь-якої сталої є функція F(x) + С також є первісною для функції ??(??) Множина всіх первісних функ-й ?(х), Х Є (а, b) називають невизначеним інтегралом і записується так:
??(??)???? Отже, якщо ??(??) є первісною для ??(??), ?? ?? ????=?? ?? +??, ??=?????????? Ф-ція ??(??) - інтегральна ф-ція Вираз ??(??)dx – інтегральний вираз Властивості Похідна від невизначеного Інтеграла дорівнює підінтегральній функції :( ?? ????)?=??(??)
Диференціал від невизн. інтеграла дорівнює виразу ??( ?? ?? ????)=?? ?? ???? Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, а при цьому вводиться довільний сталий додаток: ?? ?? ?? =?? ?? +??
Сталий множник можна винести за знак інтеграла: ???? ?? ????=?? ?? ?? ????
Інтеграл від алгебраїчній сумі інтегралів від даних ф-цій: ?? ?? +?? ?? ????= ?? ?? ????+ ?? ?? ???? Чи є функція 3+х2 первісною для ф-ції х2 на проміжку х є R ?? ?? =x2+3 ?? ? ?? =2??? x2 функція х2+3 не є первісною для функції х Знайти за властивостями первісну для ф-ції ???????(????+??) ?? ?? = sin 2??+5 ????= 1 2 ( sin 2??+5 ?? 2?? = 1 2 sin 2??+5 ?? 2??+5 =? 1 2 cos 2??+5 +?? Відповідь: С - 1 2 cos?(2??+5) 10. таблиця інтегралів. Приклади з неелементарними первісними. Умови існування первісної 1) ?? n????= ?? ??+1 ??+1 ; 2) ???? ?? =?? ?? ?? +?? ; 3) ?? ?? ????= ?? ?? +??; 4) ?? ?? ????= ?? ?? ?????? +?? 5) ??????????=?????????+?? 6) ????????????=????????+?? 7) ??????????=?? ?? ?????? ?? +?? 8) ????????????=?? ?? ?????? ?? +?? 9) ???? ?????? 2 ?? =?????????+?? 10) ???? ?????? 2 ?? =??????+?? 11) ???? 1? ?? 2 =??????????????+?? ; 12) ???? 1+ ?? 2 =????????????+?? 13) ???? ?? 2 ? ?? 2 = 1 2?? ?? ?? ????? ??+?? ?+?? 14) ???? ?? 2 ? ?? 2 = 1 2?? ln ???? ?? 2 ± ?? 2 = ?? ?? ??+? ?? 2 ± ?? 2 ?+C Прикладами є №7 та №8 Знайти табличний інтеграл
