Хвильовий опір хвильовода.
Для Т – хвилі: EMBED Equation.3 (для вакууму). Для ТЕ, ТМ хвиль введення хвильового опору не є однозначною задачею, бо існує кілька компонент. Домовились відносити опір до поперечної компоненти: EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
Електродинамічні потенціали
Векторний і скалярний потенціали вводяться наступним чином: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . У першому рівнянні, очевидно, EMBED Equation.3 можна задавати з точністю до EMBED Equation.3 . При цьому рівняння Максвела:
EMBED Equation.3
Тоді отримаємо рівняння для ЕД потенціалів:
EMBED Equation.3
Рівняння для Т, ТЕ, ТМ хвиль різні. Щоб звести їх до одного виду, використовуючи потенціали EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - електрична скалярна функція, EMBED Equation.3 - магнітна скалярна функція. Якщо для Т – хвилі EMBED Equation.3 завжди, то EMBED Equation.3 , а EMBED Equation.3 перетворюється в нуль завдяки EMBED Equation.3 . Рівняння для EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
При цьому компоненти EMBED Equation.3 .
Інші компоненти можна отримати методом, який розглядався раніше. Для циліндричної СК: EMBED Equation.3 .
Круглий хвильовід.
Очевидно, будемо користуватися циліндричною СК EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3



Шукатимемо хвилю EMBED Equation.3 . Можна розв’язати EMBED Equation.3 , однак ми розв’яжемо рівняння для скалярних потенціалів: EMBED Equation.3 . З урахуванням вигляду оператора Лапласа у циліндричній системі координат одержимо: EMBED Equation.3 .
Використаємо метод відокремлення змінних:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Звідки очевидно, що:
а) EMBED Equation.3 , тут EMBED Equation.3 - будь-який кут повороту, залежить лише від вибору координат (з’явився через симетрію задачі). Оберемо EMBED Equation.3 .
б) EMBED Equation.3 - ЛДР зі змінними коефіцієнтами, тому звичайним шляхом його розв’язувати неможливо; потрібно застосувати спеціальні функції. Приведемо рівняння до стандартного вигляду: заміною EMBED Equation.3 воно зводиться до рівняння Бесселя:
EMBED Equation.3 .
Його розв’язками є циліндричні функції (функції Бесселя):
EMBED Equation.3 (*)
Функції Неймана EMBED Equation.3 , а тому очевидно, що EMBED Equation.3 , тому що поле при EMBED Equation.3 повинно бути скінченим. Таким чином, якщо в задачі існує точка EMBED Equation.3 , то розв’язок завжди береться у вигляді (*), де EMBED Equation.3 , тобто у вигляді функції Бесселя: EMBED Equation.3 .
Таким чином, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Скористаємося граничними умовами. Оскільки EMBED Equation.3 ; а EMBED Equation.3 ; то можна записати: EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 - це є умова для визначення EMBED Equation.3 . Корені цього рівняння аналітично не отримуються, але їх можна знайти чисельно:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3




EMBED Equation.3 , де EMBED Equation.3 - номер хвилі, EMBED Equation.3 - номер рядку.
Отже, EMBED Equation.3 . Таким чином, для хвилі EMBED Equation.3 . Критична довжина хвилі у хвилеводі визначається з умови EMBED Equation.3 . Аналогічно EMBED Equation.3 .
Тепер знайдемо картину хвиль. Для цього скористаємося топологічними перетвореннями:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3


Перетворюючи EMBED Equation.3 в декартову СК, одержали EMBED Equation.3 в циліндричній СК.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3




Перший індекс – змінна по EMBED Equation.3 , другий – змінна по EMBED Equation.3 . Таким чином у круглому хвильоводі “головною”, “найкращою” є хвиля EMBED Equation.3 (в той час як у квадратному - EMBED Equation.3 .