ЗАВДАННЯ 4 Певний споживач купує два товари А та В. Ціна товару А становить 2N грн., ціна товару В – 3N грн. На купівлю цих товарів він витрачає 100N²+100 грн. Функція загальної корисності споживача задана таким чином: . На основі цих даних: визначити, яку кількість товару А та товару В купить раціональний споживач; яку величину задоволення отримає споживач; записати рівняння бюджетної лінії та побудувати цю лінію; показати на графіку стан рівноваги споживача. Нехай ціна на товар А зростає на 10 грн. Визначити: як зміниться структура оптимального споживчого кошика і величина задоволення споживача; записати рівняння нової бюджетної лінії та побудувати її; показати на графіку новий стан рівноваги споживача. Визначити структуру оптимального споживчого кошика та величину витрат споживача, якщо споживач бажає отримувати той самий рівень задоволення, що він отримував до зростання ціни на товар А. На основі нових даних: записати рівняння бюджетної лінії та побудувати її; зобразити новий стан споживчої рівноваги. В результаті проведених обрахунків у п. 1–3 встановити, коли діяли ефекти доходу та заміщення, і визначити їхні величини. Приклад розв’язування Покажемо розв’язок цього завдання на прикладі варіанта № 36. Отже, споживач купує два товари А та В. Ціна товару А становить 72 грн., ціна товару В – 108 грн. На купівлю цих товарів він витрачає 129700 грн. Функція загальної корисності споживача задана таким чином: . Для обчислення оптимального споживчого кошика, потрібно скористатись правилом максимізації корисності: . Функції граничних корисностей кожного із товарів, MU, записують таким чином: . Використовуючи також бюджетне обмеження: , – потрібно записати систему цих двох рівнянь і обчислити оптимальні значеннятоварів. В нашому випадку: Аопт1=900,694; Вопт1=600,462. Величина задоволення обчислюється з функції загальної корисності: Рівняння бюджетної лінії має такий вигляд: . Нижче зображена ця бюджетна лінія. Рис. 4.1. Бюджетна лінія Виходячи із функції загальної корисності: , – беремо декілька значень кількостей товарів А та В для побудови кривої байдужості, враховуючи і оптимальні кількості товарів, та будуємо модель споживчої рівноваги (крива байдужості власне дотикатиметься до бюджетної лінії в точці оптимуму, який обчислений вище).
Рис.4.2.Початковий стан рівноваги Нехай ціна на товар А зростає на 10 грн, тобто буде становити 82 грн. Зрозуміло, що зростання ціни на товар за незмінного рівня бюджету призведе до зміни до структури оптимального споживчого кошика. Для обчислення оптимального споживчого кошику за нової ціни треба здійснити всі аналогічні обчислення, що і в попередньому пункті. Отже, оптимальний кошик споживача складатиметься з 790,854 од. товару А, і 600,462 од. товару В, тобто зростання ціни товару А призвело до зниження споживання цього товару і до відповідної зміни структури споживчого кошика. Зрозуміло, що за меншої кількості товару А величина задоволення споживача зменшиться і буде становити: . Нове рівняння бюджетної лінії матиме такий вигляд: . Нижче зображена ця нова бюджетна лінія.
Рис. 4.3. Бюджетна лінія після зростання ціни товару А
Рис. 4.3. Бюджетна лінія після зростання ціни товару А За аналогією із попереднім пунктом будуємо модель рівноваги споживача після зростання ціни товару А.
Рис. 4.4. Новий стан рівноваги після зміни ціни товару А Якщо споживач не бажає зменшувати величину свого задоволення, то абсолютно зрозуміло, що після зростання ціни товару А він повинен витрачати більше грошей. Для того, щоб визначити структуру оптимального споживчого кошика, треба записати систему з таких трьох рівнянь:
Розв’язками цієї системи є нова структура споживчого кошика: Аопт3=843,989; Вопт3=640,8, та величина витрат, потрібна для купівлі такої кількості товарів: Рівняння цієї бюджетної лінії матиме такий вигляд: . Нижче зображені нова бюджетна лінія та новий стан споживчої рівноваги.
Рис. 4.5. Бюджетна лінія після зростання ціни товару А і при більшому бюджеті споживача
Рис. 4.6. Новий стан рівноваги після зміни ціни товару А за незмінного рівня корисності В результаті проведених обрахунків у п. 1–3 можна встановити, що діяли два ефекти: доходу і заміщення. Для обчислення кількісних величин цих ефектів треба пам’ятати, в чому їхня суть. Отже: ефект доходу показує, як впливає зміна ціни товару на реальний дохід споживача, і, отже, на кількість придбаного товару; при цьому номінальний дохід залишається незмінним, а кількість задоволення змінюється; ефект заміщення ілюструє вплив зміни ціни товару на його відносну ціну стосовно іншого товару, і відповідно на обсяг споживання; при цьому номінальний дохід змінюється, а рівень задоволення залишається незмінним. В початковій ситуації оптимальний кошик мав таку структуру: Аопт1=900,694; Вопт1=600,462. Згодом, після зростання ціни товару А, кількість обох товарів становила: Аопт2=790,854; Вопт2=600,462. Як видно, змінилась кількість товару А, тому в даному випадку спостерігається ефект доходу, який становитиме: 790,854–900,694=–199,84. Якщо ж споживач бажає отримувати початковий рівень задоволення, його кошик повинен виглядати таким чином: Аопт3=843,989; Вопт3=640,8. Порівняно з початковим кошиком змінились кількості обох товарів внаслідок зміни відносних цін, що свідчить про дію ефекту заміщення. Тому ефект заміщення, який спостерігається в даній ситуації, становитиме: для товару А: 843,989–900,694=–56,705 для товару В: 640,8–600,462=40,338. ЗАВДАННЯ 5 Виробничий процес фірми характеризують такі дані: ? = 0,55 – N²/10000 (варіанти 1-14) або ? = 0,7 – N²/10000 (варіанти 15-35); ? = 0,99 – ? + N²/10000; A = N +10. Використовуючи ці та інші дані виконати такі завдання: На основі даних таблиці довести, що існує спадна віддача від праці, припускаючи, що приріст кількості праці становить початкове її значення. Проілюструвати спадну віддачу від праці на графіку. K L Q
N²
100N
N²
N²
На основі даних таблиці довести, що існує спадна віддача від капіталу, припускаючи, що приріст кількості капіталу становить початкове його значення. Проілюструвати спадну віддачу від капіталу на графіку. K L Q
0,9N² 150N
0,9N²
0,9N²
На основі даних таблиці довести, що існує певний тип віддачі (залежно від того, якою є сума ? + ? стосовно 1). K L Q
N²
100N
2N²
4N²
Заповнити таблицю при умові, що кожне наступне значення L менше від попереднього на 10 (варіанти 1-5), на 8 (варіанти 6-14), на 6 (варіанти 15-35) та виконати такі завдання: Варіанти 1-5 Варіанти 6-14 Варіанти 15-35
K L Q K L Q K L Q
90–N 100N
120–N 100N
130–N 100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
100N
Записати рівняння виробничої функції та алгебраїчний вираз ізокванти. Побудувати ізокванту, обчислити граничну норму технічної заміни для кожної точки ізокванти; При цінах на ресурси: , – визначити витрати виробництва для кожної величини праці і капіталу. Встановити серед усіх визначених значень витрат мінімальне та вказати комбінацію праці і капіталу, при якій досягається такий рівень витрат. Для визначеного рівня витрат записати рівняння ізокости та зобразити її графічно. Примітка: значення Z3 можна отримати у викладача тільки після повного виконання завдань 3 та 4, а також завдання 5 включно із попереднім пунктом. З’ясувати, чи є визначений в попередньому пункті рівень витрат найменшим, який потрібний для виробництва заданого обсягу при заданих комбінаціях праці і капіталу. Якщо так – побудувати відповідну модель виробництва певного обсягу продукції за найменших витрат. Якщо ні – визначити, якими повинні бути величини праці і капіталу, аби витрати були найменші, і відповідно побудувати модель виробництва за найменших витрат. Приклад розв’язування Покажемо розв’язок цього завдання на прикладі варіанта № 36. Для нашого варіанту початкові дані мають вигляд: ? = 0,5704; ? = 0,5492; A = 46. K L Q
1296 2,1026 3600
1296 4,2052 5345,767
1296 6,3078 6736,782
Як видно, кількість праці зростає на однакову величину, а саме: ?L=2,1026. В результаті збільшення кількості праці обсяг виробництва також зріс, проте темп приросту сповільнюється: ?Q1=1745,767; ?Q2=1371,015. За таких умов, коли збільшення кількості праці на певну фіксовану величину при незмінній кількості капіталу призводить до сповільнення зростання обсягу виробництва, існує спадна віддача від праці. Рис. 5.1. Спадна віддача від праці K L Q
3,83 1166,4 5400
7,66 1166,4 7901,679
11,49 1166,4 9872,536
Отже, з таблиці видно, що кількість капіталу зростає на однакову величину, а саме: ?К=3,83. Кількість праці при цьому залишається незмінною. В результаті нарощування кількості капіталу обсяг виробництва зростає, однак темп приросту сповільнюється: ?Q1=2501,679; ?Q2=1970,857. За таких умов говорять про спадну віддачу від капіталу. Рис. 5.2. Спадна віддача від капіталу K L Q
1296 2,1026 3600
2592 4,2052 7822,322
5184 8,4104 16966,87
В даному випадку ? + ? = 1,1196 > 1, отже, повинна існувати віддача від масштабів, що зростає. Це доводиться таким чином. Як видно з таблиці, кількість вхідних ресурсів: праці і капіталу, – зростає вдвічі. Обсяг виробництва, проте, зростає більше, як вдвічі, а саме: Q2/Q1=2,172867>2 Q3/Q2=2,172867>2 Отже, існує зростаюча віддача від масштабів. K L Q
25,0339716 94 3600
26,8090044 88 3600
28,8491732 82 3600
31,2181738 76 3600
34,0017856 70 3600
37,3183205 64 3600
41,3356114 58 3600
46,2998605 52 3600
52,5872617 46 3600
1) Щоб записати рівняння виробничої функції потрібно початкові дані підставити у виробничу функцію Кобба-Дугласа, зокрема: Для запису алгебраїчного виразу ізокванти, потрібно у виробничу функцію підставити значення Q з таблиці та виразити L через K чи навпаки. 2) Будуємо ізокванту:
Рис. 5.3. Ізокванта Обчислюємо граничну норму технічної заміни для кожної точки ізокванти, використовуючи таку формулу: . 3) При PL = 12960; PK = 35795,52 визначаємо витрати виробництва для кожної з комбінацій праці і капіталу. Витрати виробництва визначаються за такою формулою: Отже, TC1=2114344,03; TC2=2100122,254; TC3=2095391,158; TC4=2102430,766; TC5=2124311,596; TC6=2165268,688; TC7=2231309,704; TC8=2331247,584; TC9=2478548,378. Серед усіх визначених значень витрат мінімальним є значення TC3. Таке значення досягається при такій комбінації праці і капіталу: L=82; К=28,8491732. Рівняння ізокости матиме такий вигляд: . Будуємо цю ізокосту:
Рис.5.4.Ізокоста 4) Щоб з’ясувати, чи є обчислений в попередньому пункті рівень витрат найменшим, потрібно скористатись правилом найменших витрат: . Для спрощення дане правило записують в такому форматі: . Отже, в нашому випадку виявлено, що для виробництва заданого обсягу продукції при виявленій комбінації праці і капіталу: L=82; К=28,8491732, – дана рівність не досягається, тобто: Примітка. Зверніть увагу на важливість правильного обчислення показників у контексті необхідної мінімальної кількості десяткових знаків після коми. У випадку недотримання цієї поради у Ви можете отримати неправдиві результати та зробити неправдиві висновки. Тому, виходячи з рівності , обчислюємо оптимальні значення праці і капіталу. Порада: записуючи MRTS, потрібно використати раніше записаний алгебраїчний вираз ізокванти. В результаті обчислень ми отримаємо такі оптимальні значення праці та капіталу: Lопт=82,3706; Копт=28,7144. Оптимальне, тобто міняльна значення витрат, становитиме: . Рівняння ізокости матиме такий вигляд: . Будуємо модель виробництва за найменших витрат.
