Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Петро Кособуцький професор, доктор фізико-математичних наук ФІЗИКА Електронний курс лекцій. Скорочений варіант І-й семестр Львів 2007 Розповсюдження та тиражування без дозволу автора заборонено П.Кособуцький, Національний університет «Львівска політехніка», вул. С.Бандери 12, 79646 , м. Львів-13, Україна E-mail: petkosob@yahoo.com. Учений-фізик, д.ф.-м.н.(1996), професор(2001), чл.НТШ Українського, Американського (APS) та SPIE товарист. Н.5.07.1951 у с.Пеньків Костопільського р-ну Рівенської обл. Закінчив Львів.ун-т (1973), аспірантуру при Ін-ті фізики АН УРСР (1976). !980 – к.ф.-м.н, зав.сектору Ін-ту фізики, 1981-1988 – науковий працівник Ін-ту матеріалів (Львів), 1988-ассистент, 1991-доцент. Напрям наук. досліджень – фізика твердого тіла та напівпровідників, оптична інтерферометрія, коливні процеси. Започаткував видавничу серію навчальник посібників та монографій “Прикладна і комп’ютерна фізика”. Співавтор 3 навч.посібники та 2 монографій: Кособуцький П.С, Сегеда М.С. Комплексні змінні в задачах фізики. Львів: ДУЛП. – 2000. – 192 с.; Кособуцький П.С. та інш. Фізичні основи напівпровідників та електронних структур. Навчальний посібник. Львів: ДУ"ЛП",2001.-345 с.; Кособуцький П.C. та інш. Моделювання фізичних процесів у кристалах. Навчальний посібник. Львів: ДУ"ЛП",2002.- 345 с. Кособуцький П.С., Каркульовська М.С., Сегеда М.С. Фізичні основи моделювання хвильових електромагнітних процесів в оптиці. – Львів: НУ”ЛП”. - 2003. – 207с.; Кособуцький П.С., Лобур М.В. Моделювання коливань простих систем.. Серія Прикладна, компютерна фізика. – Львів: НУ”ЛП”. - 2003. – 221с.; Розділ І. Основні математичні методи в курсі загальної фізики § 1.1. Cистеми координат і відліку У фізиці поняття руху відносне за своєю суттю, тому для його дослідження необхідно задати положення допоміжного тіла - так званого тіла відліку, яке вважають нерухомим, і відносно якого розглядають рух інших тіл. Необхідною умовою математичного опису руху є використання певної системи координат*), яка разом із тілом --------- *)За еталон одиниц довжини – метра, ХІ Генеральною конференцією з мір та ваги прийнятий відрізок такої довжини, в якій вкладається довжин хвиль випромінювання, які відповідають переходу між рівнями та атома у вакуумі. Державний стандарт «ДЕСТ»8.417-81 дає означення метра як довжину шляху, що його проходить світло у вакуумі за інтервал часу . Один метр – це одиниця вимірювання довжини в Міжнародній системі одиниць СІ. відліку та годинником для вимірювання часу, утворює систему відліку. Наприклад, для вивчення законів руху планет сонячної системи відносно системи Сонце-зорі можна протягом досить довгого проміжку часу систему Сонце-зорі вважати тілом відліку. Тоді, якщо розташувати початок відліку в центрі Сонця і сумістивши напрями декартових осей із напрямами до конкретних зірок, одержимо відому геліоцентричну систему відліку Коперніка. У фізиці під годинником розуміють систему тіл, в якій протікає певний періодичний процес, період якого використовують для визначення та відтворення одиниці часу.*) Годинники повинні бути синхронізовані між собою, щоб у довільній точці простору вони в один і той же момент показували один і той же час, тобто величина визначеного часового інтервалу відносно різних рухомих тіл однакова. До появи теорії відносності час сприймався як абсолютне поняття. Ньютон так писав про час: “Абсолютний, дійсний і математичний час пливе сам собою і завдяки своїй природі рівномірно і незалежно від будь-яких зовнішніх предметів. Він зіставляється також з терміном тривалість.” В класичній механіці обмежуються рівномірним плином часу та тривимірним евклідовим**) простором для дослідження фізичних процесів. Однак геодезичні та астрономічні спостереження свідчать, що евклідовість простору справджується до певних його розмірів і порушується на значних відстанях . На таких великих відстанях з’являється його кривина, яку можна унаочнити як перехід від плоскої до сферичної поверхонь. --------- *) В 1967 р. Генеральна конференція з мір та ваги дала таке означення секунди: Cекунда – це проміжок часу, протягом якого відбувається 9192 631 770 коливань електромагнітного випромінювання, яке виникає під час переходу атома цезію-133 між двома енергетичними станами. **)Евклідовим вважається простір, в якому визначений скалярний добуток векторів. В ньому задовольняється аксіома Евкліда про те, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 1800. Згідно із Ньютоном: “Абсолютний простір залишається внаслідок своєї природи і безвідносно до будь-яких зовнішніх предметів завжди тим самим і нерухомим. Відносний простір є мірою або рухомою частиною абсолютного; він визначається за допомогою наших органів чуття положеннями відносно інших тіл і приймається звичайно за нерухомий простір.” Так Ньютоном через рух встановлює з’вязок між часом і простором: “Абсолютний рух – це переміщення тіл з одного абсолютного місця до іншого абсолютного місця, відносний рух – це переміщення з одноно відносного місця до іншого відносного місця.” Одновимірний рух. Якщо тіло рухається прямолінійно то досить задати одну вісь координат, наприклад,. Така система координат називається одновимірною і складається із: осі*) – прямої, на якій визначений додатний напрям; початку відліку у вигляді довільної або фіксованої точки О; масштабу – як відрізку одиничної довжини. Інші дві просторові координати при такому русі залишаються незмінними. В цій системі координат положення тіла під час прямолінійного руху в довільний момент описується функцією . (1.1.1) Двовимірний плоский рух. Якщо тіло рухається у площині, то для опису його руху необхідно задати два координатні виміри, наприклад, осі і , тобто двовимірну систему координат. У ній положення тіла в довільний момент задається системою рівнянь (1.1.2) Рух тіла в площині можна також описати за допомогою полярних координат , (1.1.3) причому між декартовими і полярними координатами має місце такий зв’язок (рис.1.1.1,а): . (1.1.4) ______ *) В аналітичній геометрії віссю називають пряму із вибраним додатним напрямом і визначеними початком і кінцем. Відрізок із визначеним напрямком у просторі називається вектором. Тривимірний рух. У тривимірному просторі рух тіла описується системою із трьох рівнянь: . (1.1.5) За напрямком найкоротшого повороту додатної частини осі до додатної частини осі , коли дивитися з боку додатної частини осі , системи координат поділяють на праву та ліву. У правій системі координат цей поворот відбувається проти напряму руху годинникової стрілки (рис.1.1.1,б). Відзначимо, що вибір початку координат і орієнтація осей у просторі для кінематики не істотні, бо простір однорідний і ізотропний. Неістотний і вибір початку відліку часу, бо протікання часу монотонне і однакове завжди. а б Рис.1.1.1 На завершення цього параграфу відзначимо, що рівняння (1.1.1) - (1.1.3), (1.1.5) – це так звана координатна форма рівнянь руху тіла вздовж прямої (1.1.1), в площині (1.1.2) і (1.1.3), та в просторі (1.1.5), причому вони є неперервними функціями часу, оскільки рух – це безперервний процес від його початку до завершення.
§ 1.2. Вектори і операції над ними. Теорема косинусів Відомо, що в прикладних науках доводиться мати справу скалярними і векторними величинами. До скалярних належать зокрема: площа, маса, енергія, робота, температура, а до векторних - сила, швидкість, прискорення. Скалярною називається величина, якій можна приписати лише конкретне числове значення. Векторною називається величина, яка характеризується числовим значенням і напрямом у просторі, та додається до подібної собі за правилом паралелограма. Числове значення вектора називається його модулем і позначається . Вектор, модуль якого називається одиничним вектором або ортом. Вектор, початок якого співпадає з його кінцем називається нульовим вектором . Вектори, спрямовані вздовж паралельних прямих ( в один бік або у протилежні боки), називаються колінеарними. Символьно ця їх ознака позначається як . Вектори, що лежать в одній або паралельних одна одній площинах, називаються компланарними. В одну площину вектори можна звести за допомогою паралельного перенесення. Вектори ще поділяють на вільні та зв’язані. Вільний вектор має не зафіксовану точку прикладання, а зв’язаний - зафіксовану. Прикладом зв’язаного вектора є радіус-вектор довільної точки (рис.1.1.1,б). Його початок зафіксований в точці , а кінець впирається в точку . Вектори і рівні між собою, якщо вони паралельні і рівні між собою їх модулі . Геометрична сума векторів і утворює векторний ланцюг (1.2.1) і додаються ці вектори за таким правилом паралелограма (рис.1.2.1): Початок вектора шляхом паралельного перенесення суміщається з кінцем вектора , а результуючий вектор проводиться із початку вектора в кінець вектора . Модуль результуючого вектора визначається за теоремою косинусів: (1.2.2) де - кут між векторами і . Знаючи правило додавання векторів, можна записати правило їх віднімання як . (1.2.3) Для цього досить побудувати вектор (), обернений вектор до і до нього додати вектор . Символ (дельта) використаний як символ приросту певної ( у цьому випадку - векторної) величини. Модуль приросту вектора може бути як меншим, так і більшим від модуля початкового значення вектора. Рис.1.2.1 Розглянемо множення вектора на скаляр. В результаті множення вектора на скаляр маємо вектор , модуль якого дорівнює . Напрям вектора збігається із напрямком вектора , якщо , або протилежний вектору , якщо . Довільний вектор можна подати як добуток його модуля на одиничний вектор або орт. Якщо вздовж напрямів осей орти позначити як , то довільний вектор (рис.1.1.1,б), який визначає положення точки в просторі, можна виразити через його проекції на координатні осі , та орти цих осей =. Цей розклад завжди єдиний. Векторну функцію часу (1.2.4) називають векторним рівнянням руху. §1.3. Cкалярний і векторний добутки векторів Cкалярний добуток. Скалярним добутком двох векторів і називається число (скаляр) , яке дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між цими векторами , (1.3.1) де - кут між напрямками векторів і (рис.1.2.1). Скалярний добуток комутативний (1.3.2) і дистрибутивний . (1.3.3) Через скалярні добутки у фізиці визначають роботу, яка виконується під дією прикладеної до тіла сили, потік вектора напруженості силового поля через елемент поверхні або довільну поверхню, визначену у просторі. Векторний добуток. Векторним добутком векторів і називається вектор , (1.3.4) модуль якого дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і (рис.1.3.1). Вектор , перпендикулярний до цієї
Рис.1.3.1 площини і спрямований в такий бік, щоб найкоротший поворот від вектора до вектора навколо вектора здійснювався в напрямку проти ходу годинникової стрілки, якщо дивитися з його кінця. За означенням векторного добутку, модуль вектора дорівнює: . (1.3.5) У фізиці через векторний добуток визначають, зокрема, момент сили , яка прикладена до точки із радіус-вектором як , момент імпульсу та інші. § 1.4. Похідна від функції, її фізичне і геометричне тлумачення Під функцією розуміють певну залежність між двома змінними величинами, наприклад і . Таку функцію позначають як . Якщо ними є числа, то мова йтиме про числову функцію. Числова функція – це такий математичний аппарат, який будучи застосованим до числа дає число. Щоб задати числову функцію, необхідно встановити закон числової відповідності та область визначення функції. Згідно із ними, кожному числу із області визначення функції ставиться у відповідність деяке число, яке називається значенням функції. Похідною від функції за аргументом називається границя відношення приросту функції до приросту аргумента , якщо приріст аргумента довільним чином спрямувати до нуля: (1.4.1) Процедура знаходження її називається диференціюванням функції і позначається як , або , чи . В математиці поняття про похідну виникло із аналізу границі “вигляду ”. З геометричної точки зору похідна від функції в точці із координатою виражає кутовий коефіцієнт нахилу дотичної до кривої у цій точці: . (1.4.2) Відома теорема про те, що коли функція має похідну в деякій точці, то вона неперервна в цій точці. Однак неперервність функції ще не є достатною умовою існування похідної в точці, яка розглядається: функція може бути неперервною у цій точці, але не мати в ній похідної. Крім похідної від функції числової змінної, існує ще похідна від скалярної функції за напрямком у просторі: . (1.4.3) Тут одиничний вектор вектор спрямований у напрямку між довільними точками та і похідна за напрямком виражає швидкість зміни величини у цьому напрямку. В тривимірній системі координат векторна сума похідних за напрямками вздовж прямокутної декартової системи координат із одиничними векторами називається градієнтом функції в точці з координатами ,і позначається як або . За означенням, градієнт від скалярної функції дорівнює . (1.4.4) У фізиці похідна від скалярної функції за напрямком використовується для математичного опису процесів дифузії, теплопровідності, електропровідності, тощо. Завершуючи короткий розгляд фізичного змісту похідної зазначимо, що величини і – це різні величини. Перша – це швидкість зміни модуля вектора і дорівнює нулеві, якщо тіло рухається, наприклад, по колу, коли , хоч при цьому й напрям руху змінюється. Друга величина – це модуль вектора швидкості. Вона дорівнює нулеві лише тоді, коли тіло не рухається § 1.5. Екстремуми функцій. Метод обвідних Поняття про похідну зручно також використовувати для знаходження максимумів і мінімумів функції, які ще називають точками її екстремумів . Необхідна умова існування екстремума диференційованої функції формулюється так: Якщо диференційована функція має у деякій точці екстремум, то в цій точці її перша похідна дорівнює нулю . (1.5.1) Достатня умова існування екстремума диференційованої функції першого порядку звучить так: Якщо диференційована функція має в деякій точці екстремум, то при переході через цю точку змінюється знак її похідної. Під час знаходження екстремумів функцій користуються такими правилами. 1.Визначають точки із області визначення функції, в яких похідна від функції дорівнює нулеві, або не існує, тобто так звані критичні точки відносно першої похідної. 2.Досліджують знак першої похідної. Якщо він змінюється під час переходу через деяку точку, то в цій точці функція має екстремум. Якщо знак першої похідної під час переходу через неї не змінюється, то функція екстремуму в розглядуваній точці не має. Щоб одержати чіткішу відповідь про вигляд екстремума, необхідно застосувати частковий випадок теореми про достатню умову екстремума функції, виражену через похідну другого порядку: Якщо функція двічі неперервно диференційована в деякому околі розглядуваної точки, і якщо перша її похідна в цій точці дорівнює нулеві , а друга похідна відмінна від нуля, то ця точка є точкою максимуму, якщо і мінімуму, якщо. § 1.6. Інтегрування – як пошук первісної Якщо диференціювання – це операція пошуку функції , то оберненою до неї є встановлення первісної від диференційованої функції. Ця математична процедура називається інтегруванням. Типовою фізичною задачею, в якій необхідно по заданій функції відновити первісну є визначення швидкості руху тіла,якщо відомий закон цього руху. Первісною називають таку функцію , по відношенню до якої первісна є похідною: . (1.6.1) До основних правил інтегрування належать. Якщо функція є первісною функції, а функція є первісною функції, то первісною функцією їх суми є функція . Якщо є первісною функції, то первісною для функції є функція . 3. Якщо функція -є первісною функції , а і - дві сталі, то первісною функції є функція . Інтеграли поділяються на неозначені, якщо не задані межі інтегрування, і означені, якщо такі межі задані. Простою механічною інтерпретацією означеного інтегралу є задача про те, що маса тіла дорівнює означеному інтегралу від густини. Геометричним змістом означеного інтегрлу є площа криволінійної трапеції. Взагалі, якщо фукнція, що інтегрується, додатна, то її завжди можна інтерпретувати як густину розподілу. Для неозначеного інтеграла сформульовані такі правила. 1.Похідна від неозначеного інтеграла функції дорівнює підінтегральній функції 2.Диференціал від неозначеного інтеграла функції дорівнює підінтегральному виразу: 3.Неозначений інтеграл від похідної функції дорівнює самій функції плюс довільна стала :. 4.Неозначений інтеграл від диференціала функції дорівнює диференційованій функції плюс довільна стала: . Якщо первісна функціївизначена в деякому інтервалі значень змінної , то неозначений інтеграл перетворюється в означений: . (1.6.2) Ця рівність називається формулою Ньютона – Лейбніца. Вона визначає площу криволінійної трапеції в координатах , що обмежується функцією на відрізку . Отже, із геометричної точки зору первісна функції виражає площу, що обмежується графіком на деякому відрізку осі значень змінної. § 1.7. Поняття про функцію від комплексної змінної
У фізиці математична трактовка коливного характеру процесів, у тому числі змінного електричного струму, значно спрощується, якщо використовувати комплексні числа. Чітке тлумачення йому дав ірландський математик Гамільтон, запропонувавши його записувати як . (1.7.1) Вираз називається уявною одиницею, а сама позначка "" використовується лище для того, щоб якимось чином відрізнити одне від одного два дійсні числа і , які належать до однієї пари. Уявна одиниця задовольняє умову = –1. Числа і називаються дійсною та уявною частинами комплексного числа і позначаються ще як Re та Im. Довільне комплексне число можна зобразити як комплексний вектор на площині, яка утворена декартовими осями Re та Im. Із цим геометричним змістом комплексного числа =, як комплексної координати довільного вектора , пов’язані поняття модуля комплексного числа і його аргумента (фази) , які задовольняють такі співвідношення: . (1.7.2) Зручною є тригонометрична форма запису комплексного числа , (1.7.3) де = - дійсне число. Тут - головний аргумент. Тангенс – функція періоду (=1,2,3,…). Тому кожному відмінному від нуля відповідає безмежно багато аргументів. Ті аргумети, шо лежать в проміжку ( ( ( , називаються головними. Цю форму запису комплексного числа ще називають полярною. Ейлер запропонував тригонометричну форму запису комплексного числа позначати через експоненційну як , (1.7.4) де вираз називається уявною експонентою. Із (1.7.3) випливає формула Муавра . Розглянемо годограф комплексного числа. Це геометричне місце точок, утворенних положеннями кінців вектора з комплексним координатами відносно спільного початку координат, які утворені осями та . Встановити аналітичний вигляд рівняння, що описує криву годографа означає із параметричних рівнянь виключити змінну часу . Згідно з формулою Ейлера за допомогою техніки годографів зручно визначати фазу комплексного числа . Алгоритм для обчислення фази подається нижче. 1. If (0 and = 0 then = 0. 2. If (0 and ( 0 then = . 3. If =0 and ( 0 then =. 4. If (0 and ( 0 then = +. 5. If (0 and = 0 then = . (1.7.5) 6. If (0 and ( 0 then = +. 7. If =0 and ( 0 then = 3. 8. If (0 and ( 0 then = 2 +. Геометрична суть цього алгоритму ілюстрована на рис.1.7.1. За додатний напрямок відліку приймається напрямок, протилежний напряму обертання годинникової стрілки. Значення =0 рівнозначне значенню фази . Тому аргумент комплексного числа є багатозначною функцією. Рис.1.7.1 Для виконання арифметичних операцій над комплексними числами часто використовують алгебраїчну форму запису. Вона забезпечує одночасно найменші обчислювальні затрати і найбільшу точність. Однак в цьому підході процедура визначення є складною, оскільки внаслідок періодичності функцій і отримують безмежну кількість значень аргументу: . Тому за домовились приймати головне значення аргументу , яке задовольняє умову якщо . (1.7.6) Встановлення меж для за цією умовою має дві переваги: аргументи комплексно _ спряжених чисел відрізняються тільки знаком; фізичний зміст _ експериментально знайдена різниця фаз двох коливань однієї частоти теж знаходиться в межах .
§ 1.8. Диференціальні рівняння Для розв’язання багатьох задач науки і техніки потрібні вміння знаходити невідомі функції, що їх описують , якщо задані співвідношення, які встановлюють зв’язок між цими функціями, їхніми похідними та незалежними змінними. Такими співвідношеннями є диференціальні рівняння – як рівності, які пов’язують між собою змінну, шукану функцію, та її похідні першого і вищих порядків . Тут змінні, за якими провадять диференціювання, називаються незалежними змінними, а змінні, від яких узято похідні – їхніми функціями, або залежними змінними. Тому суть розв’язання диференціального рівняння – це його інтегрування, в результаті чого необхідно встановити вигляд функції , а не визначити число. Графік розв’язку визначає інтегральну лінію диференціального рівняння, порядком якого є порядок найстаршої похідної (диференціал), що зустрічається в рівнянні. У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку записується як , (1.8.1) де - деяка задана функція. В залежності від вигляду правої частини, розв’язок рівняння (1.8.1) може мати принципово різний характер. Наприклад, якщо , де - деяка стала, то проінтегрувавши (1.8.1) одержуємо розв’язок у вигляді експоненціальної функції . Якщо підінтегральна фунція функція має вигляд , (1.8.2) то розв’язками диференціального рівняння (1.8.3) є набір функцій (1.8.4) із довільним одним множником (сталою інтегрування). Диференціальне рівняння другого порядку записується так: . (1.8.5) Розділ ІІ. Кінематика поступального та обертального рухів точки і абсолютно твердого тіла § 2.1. Основні означення і моделі кінематики Кінематика – це розділ фізики, в якому вивчаються закономірності механічного руху не вникаючи в причини, які його викликають. Для неї важливим є поняття про проміжок часу, його початок та довільний момент , безвідносно до сил, які його зумовлюють. Кінематика вивчає просторові, часові та просторово–часові кінематичні характеристики руху. Тому кінематика – це розділ фізики, в якому досліджуються геометричні властивості руху. Для дослідження використовують різні фізичні моделі, що є спрощеними копіями досліджуваних систем. Такими є, наприклад, в механіці матеріальна точка (м.т.), система матеріальних точок, абсолютно тверде тіло, тощо . Матеріальною точкою називається геометрична точка, якій приписана певна маса. Це поняття використовують для позначення тіла, розмірами якого за визначених обставин руху можна знехтувати. Системою матеріальних точок називається така сукупність м.т., положення і рухи яких взаємопов’язані між собою. Окремим їх випадком є абсолютно тверде тіло. Абсолютно твердим називається тіло, яке складається з системи м.т., що жорстко зв’язані між собою і неперервно заповнюють певну частину простору так, що відстань між будь-якими двома його точками залишається незмінною. При поступальному русі абсолютно твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії, а вектори їх швидкостей і прискорень рівні між собою в кожний момент чи в певному проміжку часу. Під проміжком часу розуміють перебіг часу між двома фізичними подіями. Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу. Його початок – це момент, з якого починається відлік часу В класичній механіці постулюється наявність системи відліку , відносно якої простір однорідний і ізотропний. Однорідним є також і час, що плине рівномірно і не залежать від фізичних процесів, які протікають у розглядуваній ділянці простору. Згідно із Ньютоном, під простором розуміють такий геометричний простір, властивості якого не змінюються за наявності в ньому мас, електричних зарядів та інших фізичних агентів. Цей простір задовольняє геометрії Евкліда, тому називається евклідовим. Еквлідів простір векторний або лінійний, тобто в ньому означено дві операції: додавання і множення, найкоротшою відстанню є пряма, а квадрат відстані між двома безмежно близькими точками дорівнює (2.1.1) У класичній механіці абсолютизується маса, яка вважається незмінною під час руху тіла. В класичній фізиці для опису руху широко використують поняття про траєкторію. В системі координат час – координата рухомої точки під нею розуміють геометричне місце послідовних її положень, тобто лінія, яку описує кінець радіус – вектора точки (рис.2.1.1). В системі просторових координат чи їх похідних відповідна траєкторія називається годографом вектора . Траєкторія не залежить від вибору початку відліку системи відліку. В квантовій фізиці поняття про траєкторію руху частинки фізичного змісту не має. Довжина траєкторії, яку описує м.т. під час свого руху, називається шляхом. Шлях - це величина скалярна. Вектор , що сполучає початкове і кінцеве положення точки, називається вектором переміщення. Він з'єднує попереднє і наступне положення точки на траєкторії. Його легко зв'язати із зміною координат точки з час переміщення, як : . Описати рух тіла означає, що кожному моменту необхідно співставити значення координат усіх її частин відносно вибраної системи відліку. Найменша кількість параметрів, які повністю визначають положення тіла в просторі, називають кількістю ступенів вільності. Наприклад, положення м.т. в певний момент визначають значення трьох координат , тому вона має три ступені вільності. Як переконаємось у подальшому, саме від цих координат залежить потенціальна енергія одного тіла в полі гравітаційних сил інших. Якщо Рис.2.1.1 фізичне тіло має вигляд жорсткої гантелі, то ступенів вільності є п’ять: із них 3 – поступального і 2 – обертового рухів, оскільки обертання навколо власної осі симетрії положення у просторі не змінює. § 2.2. Рівняння руху матеріальної точки Основним завданням кінематики є встановити закон руху. У заданій системи відліку він вважається відомим, якщо встановлено, за допомогою якого способу можна визначити положення, швидкість та прискорення м.т. чи тіла в довільний момент. В кінематиці положення м.т. може визначатися: радіус-вектором (векторний спосіб); шляховою координатою (природний спосіб); координатами (координатний спосіб). Тому, математичний опис руху точки задається координатним (1.1.5), векторним (1.2.4) чи натуральним рівняннями (2.2.1) Всі ці рівняння ще називаються параметричними, так як у них параметром є час . Якщо з рівнянь (1.1.5) та (1.2.4) виключити параметр , то одержимо рівняння траєкторії руху, яку описує кінець радіус-вектора. Матеріальна точка чи тіло в визначений момент може знаходитись лише в одному місці простору, тому функції координат , і пройденого шляху вважають однозначними і , крім цього, двічі диференційованими за часом. § 2.3. Швидкість руху точки та годограф її вектора Швидкість - це просторово–часова міра руху, яка характеризує зміну положення точки в цю мить у цій системі відліку. При рівномірному та прямолінійному переміщенні точки відношення пройденого шляху до відповідного проміжку часу (2.3.1) відображає середню шляхову швидкість. Вважаємо, що часовий інтервал завжди додатний, тому має той самий знак, що й . Дійсно, точка може рухатись у бік як зростання, так і зменшення координати. У першому видаку , тоді як у другому . При рівномірному русі швидкість визначається як векторним , так і природним способами, – одиничний вектор дотичної до траєкторії руху в заданій точці, за допомогою якого задається напрям вектора швидкості*). Під час криволінійного руху модуль вектора переміщення = , але якщо значення цих величин малі, то різниця між ними незначн. Тому, для нерівномірного руху вектор відношення = (2.3.2) можна розглядати як такий, величина і напрям якого характеризують швидкість руху уявлювальної точки, що рухається рівномірно по хорді (рис.2.3.1). Тому вектор (2.3.2) розглядають як вектор середньої швидкості нерівномірного криволінійного руху. За вектор середньої швидкість нерівномірного криволінійного руху можна прийняти вектор швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, в якому точка пройшла б це переміщення за такий самий проміжок часу, що і під час нерівномірного криволінійного руху. Рис.2.3.1 ------------------- *) Одиничний вектор вздовж дотичної співпадає з напрямом дотичної в точці дотику і вказує додатний напрям кривої Середня швидкість є функцією інтервалу часу і для кожного його значення вона взагалі різна. Тому, щоб детальніше визначити характер руху, доцільно перейти у формулі (2.3.2) до границі при : . (2.3.3) Швидкість, визначена як (2.3.3), називається миттєвою і виражає характер руху в конкретний момент. Миттєва швидкість – це межа, до якої прямує середня швидкість при нерівномірному русі , коли проміжок часу . Вона характеризує не лише швидкість руху вздовж траєкторії, але і її напрям у вибраній системі координат. Формула ()2.3.3) – це векторний спосіб задання швидкості. В математиці доводиться, що коли кут між векторами зменшувати до нуля, то довжина дуги . Тому для нерівномірного руху точки вздовж довільної криволінійної траєкторії відстань є дуговою координатою криволінійного руху і в граничному випадку її можна замінити на вектор переміщення : . (2.3.4) Розділивши рівність (2.3.4) на одержимо формулу для швидкості при натуральному способі задання руху: =. (2.3.5) Тут – алгебраїчна швидкість. Отже, вектор швидкості прикладається в кінці радіус-вектора, що відповідає цьому моменту , і розташовується вздовж дотичної до траєкторії. Домножимо скалярно вираз (2.3.5) на вектор як (2.3.6) і приймемо до уваги те, що. Оскільки, то одржимо, що . (2.3.7) Тому, у природному способі миттєва швидкість буде дорівнювати . Знання швидкості (2.3.7) дозволяє вирішити зворотну задачу кінематики, коли треба знайти шлях. Це можна зробити шляхом інтегрування виразу за часом як . У прямокутній декартовій системі координат із ортами вектор виражається через проекції за допомогою диференціювання векторного рівняння руху (1.2.4) за часом як: . (2.3.8) Тоді згідно із теоремою Піфагора . Напрям вектора визначають напрямні косинуси кутів ; ; , (2.3.9) що їх утворює вектор із осями координат. § 2.4. Прискорення як міра зміни руху Просторово-часовою характеристикою зміни швидкості руху є прискорення. В інерційній системі відліку вектором миттєвого прискорення є перша похідна . Обгрунтуємо її суть. Нехай в момент м.т. мала швидкість , а в момент - . Тоді за проміжок часу приріст вектора дорівнюватиме (рис.2.4.1). Векторне відношення (2.4.1) називається вектором середнього прискоренням руху точки за проміжок часу . Вектор прискорення прикладається до кінця радіус-вектора вздовж дотичної до траєкторії, лежить в площині траєкторії, і його напрям збігається з напрямком вектора . Вектор прискорення лежить в площині, що утворена дотичною та головною нормаллю. Отже, переходячі в виразі (2.4.1) до границі одержимо вектор прискорення у довільний момент , (2.4.2) або, прийнявши до уваги вираз , =. (2.4.3) Отже, вектор прискорення точки дорівнює першій похідній від вектора швидкості за часом або другій похідній від радіус-вектора переміщення точки в визначений момент. Якщо рівняння руху задані у координатній формі, то вектор можна виразити через значення декартових координат як , (2.4.4) а його модуль . Однак, якщо ж рівняння руху задати натуральним способом, то повне прискорення точки складатиметься з двох прискорень: тангенційного або дотичного та нормального або доцетрового . Розглянемо це детальніше.
Рис.2.4.1 Рис.2.4.2
Тангенційне і нормальне прискорення . Під час змінного руху точки вздовж криволінійної траєкторії вектор її швидкості змінюється за модулем і за напрямом в просторі. Оскільки вектор паралельний вектору (рис.2.4.1), то . Тому взявши похідну за одержимо, що , або ввівши елемент дуги траєкторії . (2.4.5) В математиці доводиться, що , (2.4.6) де –одиничний вектор головної нормалі*), що спрямований вздовж радіусу кривини до центра кривини траєкторії**). Тому , . (2.4.7) Формула (2.4.7) виражає розклад вектора повного прискорення за складовими , як проекції на дотичну , і , як проекцію на нормаль до неї (рис.2.4.2), де вектори і взаємно перпендикулярні між собою. Тоді згідно із теоремою Піфагора одержуємо, що . (2.4.8) Отже, якщо тангенційне прискорення характеризує зміну за одиницю часу модуля вектора швидкості вздовж траєкторії руху, то нормальне - зміну за одиницю часу вектора швидкості за напрямком у просторі. Наприклад, під час рівномірного обертання точки по колу =0, а , тоді як у випадку прямолінійного змінного руху , а . В кінематиці поняття швидкості та прискорення хоч і зручні, але, в принципі, не обов’язкові. Наприклад, замість швидкості можна користуватись поняттям імпульсу, а замість прискорення - силою. *)Одиничний вектор , співнапрямлений вектору , називається вектором головної нормалі до кривої в точці дотику. ----------- **) Кривина кривої в деякій точці - величина, що обернена радіусу кривини. Вона характеризує ступінь відмінності її від прямої. В загальному, кривина кривої в різних точках різна, лише для кожної точки кола вона однакова. Одиницею вимірювання кривини є метр в мінус першому ступені або обернений метр, як це прийнято за кордоном. § 2.5. Кінематика обертального руху. Формула Ейлера
До простих обертальних ухів належать обертання м.т. в площині на однаковій відстані від нерухомого центра та абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі. Відома теорема Ейлера–Шаля про те, що коли відрізок в двох моментах часу займає непаралельне положення в просторі, то все переміщення цього відрізка можна виконати одним поворотом (рис.2.5.1,а). Рух твердого тіла називається обертовим, якщо довільна площина, що проведена через точку тіла і деяку нерухому пряму, лише обертається навколо цієї прямої. Причому рух тіла буде обов’язково обертальним, якщо дві його точки залишаються нерухомими відносно прийнятої системи відліку; пряма, що сполучає ці точки і є віссю обертання. При обертовому русі тіла всі його точки описують кола в площині, що перпендикулярна до осі обертання з центром на цій осі. Положення тіла, що обертається наколо нерухомої осі (рис.2.5.1,б), описується кутом повороту . Відповідно до правогвинтової системи декартових осей кут повороту вважається додатним, якщо він відлічений проти ходу стрілки годинника, коли дивитися з боку додатнього напряму осі . Напрям обертання тіла вважається додатним, якщо кут повороту зростає, і від’ємним , коли цей кут зменшується. Кожному моменту відповідає цілком певне значення кута повороту =. (2.5.1) Ця залежність називається рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі. Якщо функція відома, то кажуть, що відомий закон обертання абсолютно твердого тіла. За аналогією з поступальним рухом побудуємо відповідні кінематичні характеристики і кінематичні рівняння обертального руху. Куту повороту умовно приписують вектрний характер , напрям якого спрямований вздовж ос обертання (рис.122.5.1,в). На відміну від вектора швидкості чи прискорення, він не має точки прикладання, тому відноситься цей вектор до так званих псевдовекторів або аксіальних чи осьових. Наголосимо, що для таких векторів напрям у просторі приписується умовно і на їх орієнтацію впливає характер вибору системи координат правогвинтової чи лівогвинтової (рис.1.3.1). Просторово-часовою мірою зміни обертання твердого тіла або м.т. відносно нерухомої осі (точки) є кутова швидкість. Нехай протягом часу точка повернулась на кут . Тоді відношення , (2.5.2) є кінематичною характеристикою обертального руху і називається кутовою швидкістю. Якщо вона стала , то такий обертальний рух рівномірний. У фізиці прийнято кути вимірювати в радіанах, тому одиницею кутової швидкості є радіан за секунду . а б
в Рис.2.5.1 Нерівномірне обертання характеризують середньою кутовою швидкістю , (2.5.3) як відношення приросту кута повороту до відповідного проміжку часу . Границя, до якої наближається середня кутова швидкість за умови , називається кутовою швидкістю в цей момент часу або миттєвою кутовою швидкістю . (2.5.4) Як і в поступальному русі, миттєва кутова швидкість дорівнює першій похідній по часу від кута повороту. Кутовій швидкості також приписують векторний характер і напрям цього вектора також лежить на осі обертання. Під час нерівномірного обертання кутова швидкість за кожний наступний проміжок часу може одержувати додатний або від’ємний приріст. Відношення в кінематиці обертального руху розглядається як середнє значення кутове прискорення рівнозмінного обертання. Тому, середнім кутовим прискоренням нерівномірного обертального руху називається кутове прискорення такого рівнозмінного обертання, в якому кутова швидкість одержує той самий приріст протягом того самого проміжоку часу , що й у нерівномірному обертальному русі: . (2.5.5) Границя відношення (2.5.5) при визначає величину кутового прискорення в визначений момент і називається миттєвим: . (2.5.6) Із тангенційним і нормальним прискоренням поступального руху воно зв'язане за допомогою таких співвідношень . (2.5.7) Кутове прискорення, як і кутова швидкість, також величина векторна. Вектор , як і вектор , спрямований вздовж нерухомої осі обертання, однак на його напрям ще впливає знак приросту кутової швидкості . Якщо , то вектори і орієнтовані у одному напрямку вздовж осі обертання. Якщо , то вектори і орієнтовані у взаємнопротилежних напрямках. Вектор швидкості довільної точки твердого тіла, що не лежить на осі обертання, в обертальному русі дорівнює векторному добутку вектора і її радіуса – вектора : . (2.5.8) Вектор швидкості перпендикулярний до площини, що утворена радіус-вектором і аксіальним , який спрямований вздовж осі обертання так, що трійка векторів утворює правогвинтову систему (рис.1.3.1). Вираз (2.5.8) називається формулою Ейлера. Розділ ІІІ. Динаміка поступального руху твердого тіла та матеріальної точки
§ 3.1. Основні поняття та принципи динаміки Динаміка - це розділ фізики, в якому вивчаються закони руху тіла під дією прикладених до нього сил. Встановлення взаємозв’язку між причиною та характером його руху виражає зміст основного завдання динаміки. Цих причин є дві: одна з них зовнішня – це прикладені до тіла сили; друга внутрішня - як властивість інерції самого тіла. Перед тим, як сформулювати закони, Ньютон мусив означити такі поняття як маса, сила, кількість руху, що дали змогу математично описувати механічні процеси в природі. Поняття сили має центральне значення для Ньютонової механіки іє основою сучасного природознавства. Кількість руху сьогодні називається імпульсом. Поряд з вагою Ньютон ввів поняття про масу тіла і позв’язав з нею інерцію тіла; вибрав імпульс, як добуток маси на швидкість за міру механічного руху і узагальнив поняття сили , як основну причину руху. Під прикладеною силою він розумів будь-яку дію на тіло, що змінює стан його спокою чи рівномірного прямолінійного руху. Тому якщо імпульс є мірою руху тіла, то сила – мірою дії на нього. Пряму, проведену через точку прикладання сили в напрямку її дії, називають лінією дії сили. Сила – величина векторна. Це підтверджується тим, що коли до довільної точки тіла у взаємно протилежних напрямках прикладені дві сили, то за умови рівності їх модулів досягається умова рівноваги. Ньютон вказав на незалежні один від одного способи вимірювання сили, маси і прискорення дослідного тіла. Сили поділяються на центральні та нецентральні. Для центральної сили лінія дії проходить через нерухому точку основної системи відліку і рух м.т. відбувається по плоскій траєкторії, площина якої проходить через центр сили. § 3.2. Перший закон Ньютона. Інертна та гравітаційна маси тіла. Інерціальна система відліку Фундаментом так званої ньютонівської механіки є закони, які Ньютон опублікував наприкінці XVII століття у книзі “Philosophiae naturalis mathematica” (Лондон,1686). Усяке тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дії з боку інших тіл (сили) не виведуть його з цього стану. Так стверджує перший закон Ньютона. Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху за відсутності зовнішніх впливів називається інерцією. Тому перший закон Ньютона ще називають законом інерції. Саме з нього випливає, що тіло змінює стан свого руху лише під дією сили. Перший закон Ньютона стверджує про динамічну рівноправність стану спокою і рівномірного прямолінійного руху. Ці два стани Ньютон розглядає як природні стани будь-якого фізичного об’єкту, що здійснює рух. Здатність дослідного тіла перебувати в них є мірою інертності і виразником цього є маса. Маса тіла визначає як інертні (інертна маса), так і гравітаційні (гравітаційна маса) його властивості. Гравітаційна маса – це фізична величина, що виражає міру здатності тіла
*) Саме Ньютон запропонував найбільш природний та простий шлях вивчення законів механічного руху. Динаміка довільних матеріальних систем (механічних систем) будується на основі динаміки одної матеріальної точки створювати в просторі навколо себе центральне поле*) тяжіння і зазнавати дії цього поля. У полі тяжіння за однакових початкових умов усі вільні тіла, незалежно від їх мас, рухаються однаково. Взагалі, ньютонівська механіка розглядає масу тіла як незмінну величину у довільному її стані, спокою чи руху. Однак це справедливо лише у випадку, коли швидкість руху тіла значно менша швидкості світла у вакуумі . Експериментально з високою точністю встановлено, що інертна і гравітаційна маси однакові. Це дуже важливо, бо твердження про однаковість інертної і гравітаційної мас в однорідному гравітаційному полі становить принцип еквівалентності, який покладений в основу загальної теорії відносності Ейнштейна. Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Ті системи відліку, в яких він виконується, називаються інерціальними або галілеєвими. Із означення інерціальної системи відліку та із закону інерції логічно випливає висновок про те, що існує не одна, а безліч інерціальних систем відліку і жодна з них не має переваги одна перед другою. Ними є ті, що рухаються поступально, прямолінійно і рівномірно відносно тіла відліку. Наприклад, систему координат, що зв’язана з Сонцем можна вважати інерційною, однак зв’язаною із Землею вже ні, оскільки навіть під час рівномірного обертання навколо Сонця Земля рухається із певним доцентровим прискоренням. § 3.3. Другий і третій закони Ньютона. Принцип відносності Галілея. Неінерціальна система відліку
Мірою фізичної дії одного тіла на інше є сила, яка призводить до зміни характеру його руху. Частина простору, в кожній точці якого на м.т. діє певна сила, що є однозначною функцією координат точки, -------------- *)Поле центральних сил – це простір, у кожній точці якого на внесену матеріальну точку діє центральна сила, тобто сила, у якої лінія дії весь час проходить через ту саму нерухому точку. і, можливо, часу, але не залежить від швидкості руху точки, називається силовим полем . Сили, що діють на м.т., яка рухається в просторі, можуть залежати від багатьох причин і, в першу чергу, від її положення в просторі та характеру зміни швидкості. Ньютон вперше встановив, що головний вектор прискорення тіла пропорційний головному вектору прикладених до нього зовнішніх сил (, якщо (3.3.1,а) Результати експериментальних досліджень свідчать, що результуюче прискорення, якого набуває тіло під дією на нього сталої результуючої сили, обернено пропорційне величині його інертності ( його масі ) (, якщо , (3.3.1,б) де – вектор результуючої сили, якщо їх на тіло діє декілька або головний вектор сил. У системі другий закон Ньютона записується в такому вигляді (3.3.2,а) або (3.3.2,б) і звучить він так: В кожний момент добуток інертної маси тіла на його вектор прискорення дорівнює головному вектору рушійної сили, а напрям вектора прискорення збігається із напрямком дії головного вектора сил. Іншими словами другий закон Ньютона твердить про те, що прискорення, якого набуває тіло під дією на нього сили, пропорційне відношенню . Велике значення у механіці має принцип незалежності дії сил, згідно із яким вектор результуючого прискорення дорівнює , де вектор прискорення довільно діючої зокрема на тіло сили дорівнює . Арістотель вважав, що швидкість пропопорційна силі. Тому великим досягненням Ньютона було сформульоване у другому законі твердження, що зміна величини руху, тобто прискорення, пов’язане із силою, і що співвідношення між ними є загальним, спільним для довільних рухів, тому другий закон Ньютона є основою динаміки поступального руху. Однак, треба також зазначити, що добуток ніяким чином не сила. Це результат дії усіх сил на тіло. Адже, досить припинити їх дію, як цей добуток дорівнює нулеві і фізичний об’єкт рухається рівномірно за інерцією*). Тому рух тіла переважно вивчається відносно інерційних систем відліку. Третій закон Ньютона. Суттєвим доповненням до другого ( і першого) закону є третій закон Ньютона, який встановлює закон взаємодії між тілами або складовими їх частин: Сили, з якими два тіла взаємодіють, рівні за модулем, протилежні за напрямками і діють вздовж прямої, яка з’єднує центри їх мас: і . (3.3.3) Ці сили прикладені до різних тіл, тому не зрівноважують одна одну, однак діють в парі і мають однакову природу. Третій закон Ньютона справджується лише в інерційній системі відліку. Наочною ілюстрацією дії і протидії можуть бути сила реакції, рух ракети під час витоку з неї продуктів згоряння палива і тощо. *)Намагання тіла рухатись за інерцією особливо проявляється при криволінійному русі, наприклад, по колу. В кожну мить вектор швидкості спрямований вздовж дотичної і в граничному випадку вектор зміни напрямку вектора спрямований до центру, створюючи ефект дії на тіло так званої відцентрової сили. Ця сила існує лише під час криволінійного руху і на її дії грунтується процес центрифугування (розділення чи сепарація) рідких сумішей з різними за розмірами часток. Три закони Ньютона дозволяють зробити висновок про те, що: Сукупність декількох сил, прикладених до цієї точки, може бути замінена на одну – рівнодійну і , навпаки, силу можна виразити через її компоненти ; Якщо рівнодійна дорівнює нулеві, то такі сили називають зрівноваженими в точці. Сили додаються як вектори, тому вектор рівнодійної визначеється за правилом паралелограма. Принцип відносності Галілея. Рівняння (3.3.2) не змінює своєї форми при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Ще Галілей сформулював відомий механічний принцип відносності: Рівномірний та прямолінійний рух тіла відліку із швидкістю відносно інерційної системи координат не впливає на хід механічних процесів*). З цим принципом пов’язані перетворення Галілея, яке для одновимірного руху, наприклад вздовж осі , можна записати так: (3.3.4) Інші осі рухомої (із штрихами) і нерухомої (без штрихів) систем координат паралельні між собою:і . Фізична суть механічного принципу відносності полягає в тому, що якщо система відліку рухається прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю , то відносно неї прискорення тіла == -------------- *)Принцип відносності Галілея формулюють ще так: Ніякими механічними дослідами, які виконуються всередині інерційної системи відліку, неможливо встановити, чи перебуває у спокої ця система, чи рухається рівномірно і прямолінійно. залишається незмінним. Цеозначає, що закони класичної динаміки інваріантні*) по відношенню до перетворень координат і часу (3.3.4) і ніякими механічними заряд і дослідами, проведеними в інерційній системі відліку, не можна встановити, знаходиться вона в стані спокою чи рухається рівномірно та прямолінійно. Інваріантними можуть бути і величини, наприклад, маса. Положення про інваріантність рівнянь класичної механіки, відносно перетворень Галілея, є узагальненням першого закону механіки і тому його можна розглядати як фундаментальний закон класичної механіки. Саме слово «відносність» підкреслює повну фізичну рівноправність усіх інерційних систем відліку. Взагалі в фізиці величини, що не змінюються під час переходу від однієї системи відліку до іншої, називають інваріантами. Наприклад, інваріантом є швидкість світла у вакуумі . Однак частота коливного процесу вже не є інваріантною величиною. Підтвердженням цьому є ефект Доплера. § 3.4. Гравітаційне поле, його напруженість і потенціал. Закон всесвітнього тяжіння. Маса, як уже зазначалося, є мірою інертності тіла відносно руху і виражає міру його дію на інше тіло. В оточуючому середовищі матеріальні тіла створюють гравітаційне поле, через яке здійснюється їх гравітаційна взаємодія. Це - одна з чотирьох фундаментальних взаємодій у природі, до яких ще належать електромагнітна, ядерна та слабка. Закон всесвітнього тяжіння відкрив Ньютон шляхом узагальнення закономірностей руху планет Сонячної системи, які встановив Кеплер. Кеплер, в свою чергу, також використав результати спостереження Тихо Браге і встановив таке: Кожна планета рухається по еліпсу, в одному із фокусів якого знаходиться Сонце. Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує рівні між собою площі (рис.3.4.1). Відношення квадрату періодів обертання планет навколо Сонця дорівнює відношенню кубів великих півосей їх орбіт . Рис3.4.1 Якщо прийняти, що планети рухаються вздовж колових орбит радіусами , то згідно із третім законом Кеплера . (3.4.1) Це означає, що прискорення руху планети навколо Сонця пропорційне квадрату відстані від неї до Сонця. Оскільки прискорення пропорційне діючій на планету силі притягання, то можна допустити, що вона змінюється від відстані до неї по зокону . Ньютон обгрунтував закон гравітаційної взаємодії , який формулюється так: Тіла масами і притягуються одне до одного силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між їх центрами: , (3.4.2) де - гравітаційна стала, однакова для всіх тіл. Її значення було виміряне Кавендишем. Як випливає із закону (3.4.2), мірою гравітаційної взаємодії є гравітаційна маса*). Під діє сили (3.4.2) тіло вільно падає з прискоренням . В полі земного тяжіння прискорення вільного падіння біля поверхні Землі . (3.4.3) Хоч закон сформульовано для точкових тіл, його можна застосовувати і для протяжних тіл, якщо попередньо уявно розбити їх на матеріальні точки, знайти сили взаємодії між цими точками, а потім всі ці сили додати. У такому вигляді цей закон можна також застосовувати для однорідних куль, тоді – відстань між їхніми центрами мас. Той факт, що сила взамодії пропорційна добутку мас підтверджується дослідними фактами про те, що відношення гравітаційних мас довільних двох тіл не залежить від того, по відношенню до якого третього тіла його вимірюють. Гравітаційна взаємодія є універсальною взаємодією і проявляється між довільними видами матерії. Гравітаційні сили є центральними. Тому, частину простору, в якому діють центральні сили, називають центральним силовим полем. До характерних особливостей гравітаційних сил належать: 1. Мала інтенсивність; 2. Необмежений радіус дії; ------------------ *) Етваш довів, що гравітаційна маса тіла еквівалентна інертній. Сьогодні ця еквівалентність встановлена з точністю , що дало підставу інтертну і гравітаційну маси вимірювати в одних і тих же одиницях. Рівність між інертною і гравітаційною масами тіла є одним із основних законів природи. Цей закон покладений в основу загальної теорії відносності, яку створив Ейнштейн. 3. Притягальний характер; 4. Ненасичуваність. У класичній фізиці сам механізм гравітаційної взаємодії не розглядається, а постулюється його миттєвість*). Земля також створює своє гравітаційне поле. Силу, з якою вона діє на будь-яке тіло біля поверхні Землі, називають силою тяжіння. Сила тяжіння центральна, спрямована вздовж прямої, що сполучає розглядувану точку поля із центром тіла. Мірою здатності тіла створювати поле сил тяжіння і зазнавати його дію є маса тяжіння, тому сила тяжіння дорівнює . Вектор прискорення = за своїм фізичним змістом виражає силову характеристику (напруженість**)) гравітаційного поля в розглядуваній точці простору. Важливою скалярною характеристикою силового поля є потенціал в розглядуваній тоці. На відміну від напруженості, потенціал – скалярна характеристика. Щоб обгрунтувати її, домножимо (3.4.3) скалярно на вектор , в результаті чого одержимо, що . (3.4.4) Від’ємний знак зумовлений тим, що гравітаційні маси лише притягуються між собою, а функція розподілу маси завжди додатна. § 3.5. Похідні сили: сила зв’язку і її реакція. Сили тертя спокою, ковзання та опору. Пружна сила. Внутрішні і зовнішні сили Нагадаємо, що сили гравітаційної взаємодії не локалізовані в тих місцях, де розташована матерія, а розподілені у всьому просторі і утворюють в ньому фізичне силове поле. Такому силовому полю характерні властивості матерії, яка його утворює: просторово-часова протяжність, інертність, рух, енергія і дія. Крім цих сил, відомі ще так звані похідні сили. До них належать реакція зв’язку, сила опору тертя, сила Лоренца, пружна сила, сила внутрішнього тертя, тощо. На відміну від попередніх сил, похідні сили не утворюють силове поле, оскільки існують лише під час фізичної взаємодії, наприклад, між двома тілами, дії зовнішньої сили на тіло, руху тіла в рідині чи зарядженої частинки в магнітному полі. В механіці м.т. поділяють на вільні і невільні, тому на вільні і невільні поділяють тверді тіла. Точку називають вільною, якщо її рух відбувається під дією заданої сили і не обмежений ніякими наперед заданими умовами. Якщо ця умова не виконується, то м.т. є невільною. Тіла, які обмежують вільний рух м.т. або твердого тіла, називаються зв’язками. Тому, якщо система м.т. або тіло невільні, то кажуть, що на них накладені зв’язки. Прикладом вільної точки є рух планети навколо Сонця, а невільної - коливання математичного маятника. Сила реакції зв’язку. Реакцією зв’язку називається сила, з якою зв’язок діє на систему м.т. або тверде тіло. Якщо зв’язком є ідеально гладка поверхня, вздовж якої ковзає точка контакту тіла з поверхнею, то сила реакції ідеальної поверхні спрямована вздовж нормалі до поверхні. Якщо зв’язок здійснюється через нитку підвісу, то сила реакції спрямована вздовж неї і виражається через силу натягу нитки. У випадку шорсткої поверхні вектор сили реакції складається із нормальної і тангенційної складових: . (3.5.1) У цьому випадку дотична складова є силою тертя. В механіці сила , що прикладена до точки або тіла, в цілому, відноситься до активної сили. Вони разом з реакціями зв’язку утворюють паралелограм сил , вектор результуючих яких визначає так званий головний вектор сил. Закон Амонтома – Кулона. Тертя поділяють на тертя спокою, або статичне тертя, і тертя руху. Тертя спокою виникає при відносному спокою поверхонь тіл, що дотикаються між собою, тоді як тертя руху з’являється між дотичними поверхнями під час їх відносного руху. Амонт і Кулон експериментальним шляхом встановили наближений закон тертя ковзання або тертя першого роду у вигляді такої залежності . (3.5.2) Тут - коефіцієнт пропорційності і називається коефіцієнтом тертя ковзання. Закон (3.5.2) називається законом Амонтона – Кулона. Він наближений і може використовуватись за умови поміркованих тисків. Сила тертя ковзання залежить від структури поверхонь, які труться між собою і сили притискання їх одна до одної. Сила притискання визначає відсоткове (процентне) відношення площ поверхонь, що дотикаються між собою, до загальної. Виявляється, що навіть для дуже добре відполірованих поверхонь контакт забезпечується лише для 1% від загальної площі. Тому, якщо паралельна до межі поділу поверхонь складова прикладених до тіла сил недостатня за величиною, щоб зумовити відносне ковзання поверхонь, то вважається, що сила тертя неповна і вона може збільшуватися до певного граничного значення, яке називається силою тертя спокою. Саме під час подальшого збільшення прикладеної до тіла сили виникатиме ковзання. Якщо одне тіло котиться по поверхні іншого, то виникає тертя кочення. Силу тертя кочення визначають за формулою , (3.5.3) де - коефіцієнт тертя кочення, який має розмірність довжини, - радіус поверхні тіла, що котиться, а - сила реакції опори. Сила лобового опору. Під час руху тіла в рідкому чи газоподібному середовищі виникає так званий лобовий опір. Він зумовлений втратою енергії рухомим тілом на виконання роботи під час розсування частинок рідини або газу, в середовищі якого воно рухається, та надання частинкам середовища деякої кінетичної енергії. Ньютон встановив, що для невеликих швидкостей справджується закон , (3.5.4) де - коефіцієнт опору. Вектор сили лобового опору спрямований протилежно до напрямку руху тіла в середовищі. Сила внутрішнього тертя. Сили тертя і опору існують лише під час відносного руху тіл, тому не утворюють силове поле. Однак, під час руху тіла в рідині та газі виникає ще й сила внутрішнього (в’язке) тертя. Вона виникає лише за наявності між шарами рідини та газу градієнта швидкості (див. розділ XI). Загальними властивостями сил внутрішнього тертя є такі: 1. В стані спокою тіла в газі чи рідині вона дорівнює нулеві. 2. За невеликої швидкості руху тіла вона пропорційна його швидкості. До похідних сил належить і пружна сила. Вона виникає під час пружної деформації тіла під дією зовнішньої сили. Пружною називають таку деформацію, коли тіло після припинення дії зовнішньої сили відновлює свої розміри і форму. Тому модель пружного тіла зручна для моделювання механічних властивостей матеріалів. Закон Гука пружної деформації. У теорії пружності доведено, що всі види деформацій (розтяг, стиск, згин, зсув, кручення) можна звести до деформації розтягу і зсуву. Наглядною моделлю пружного тіла є спіралевидна пружина.
Деформації розтягу та стику. Модуль Юнга. У деформації розтягу до пружної сили відносять таку, яка задовольняє закону Гука , (3.5.5) де - вектор деформації, – коефіцієнт жорсткості. Пружна сила спрямована в бік, протилежний до напрямку зміщення частинок тіла в момент деформації. Коефіцієнт жорсткості залежить від розмірів, форми і речовини тіла. Іншою характеристикою деформації розтягу є нормальна механічна напруга . Вона чисельно дорівнює пружній силі , що прикладена до одиниці площі перерізу тіла, нормально до цієї сили: . (3.5.6) Відповідно до закону Гука відносна деформація пружно деформованого тіла , де абсолютна зміна його розмірів, прямо пропорційна напрузі . Обернену коефіцієнту пружності величину називають модулем пружності. Залежно від виду деформації модуль пружності має різні назви та числові значення. При деформації поздовжього розтягу модуль пружності називають модулем Юнга, який дорівнює . (3.5.7) Тоді закон Гука набуває такого вигляду (3.5.8) За змістом модуль Юнга - це фізична величина, яка чисельно дорівнює механічній нормальній напрузі, що виникає в деформованому тілі при відносній деформації . На діаграмі залежність (3.5.8) є рівнянням прямої, тому тангенс кута її нахилу дорівнює модулю пружності , як коефіцієнту пропорційності між нормальною механічною напругою і та відносною деформацією тіла :(рис.3.5.1,а). Для пропорційних деформацій механічна напруга не змінюється з часом (рис.3.5.1,б). а б Рис.3.5.1 Деформація зсуву. Модуль зсуву. Якщо у прямокутному бруску закріпити нижню грань, а до верхньої прикласти дотичну силу (рис.3.5.2,а), то брусок зазнаватиме деформації зсуву. Якщо вони пружні, то закон Гука для них запишеться так: . (3.5.9) Тут – тангенційне механічне напруження або тангенційна механічна напруга, – модуль зсуву. а б Рис.3.5.2 Хоч пружні сили похідні, тобто активні під час дії, однак, як буде показано ничже, вони відносяться до так званих потенціальних сил. Зовнішні і внутрішні сили. Під час дослідження механіки руху тіла сили умовно поділяють ще за такою ознакою як зовнішні і внутрішні. До внутрішніх відносять сили взаємодії між окремими точками системи м.т., а зовнішніх ті, з якими на окремі точки цієї системи діють інші тіла, що не належать до неї. Властивості внутрішніх сил визначаються такими теоремами: § 3.6. Імпульс тіла як міра його руху. Імпульс сили механічної системи. Основне рівняння динаміки поступального руху Із практики відомо, що зупинити в польоті тіло масою не завжди можливо. Легше спіймати руками ту кульку (допускається , що маси куль рівні між собою), яка летить із меншою швидкістю, однак важче це зробити, якщо її швидкість досить значна. Це зумовлено тим, що рухоме тіло має особливі міри механічного руху і їх є дві: імпульс та кінетична енергія. Імпульс - це векторна міра механічного поступального руху тіла, яка визначається як . (3.6.1) *)Вектор моменту сили дорівнює векторному добутку радіус-вектора на вектор сили як Якщо система складається із багатьох м.т., кожна з яких має імпульс і вектор (3.6.2) є повним її імпульсом. Через імпульс другий закон Ньютона можна записати так: . (3.6.3) Це основний закон динаміки або другий закон Ньютона в імпульсній формі. Він свідчить, що імпульс діючої на тіло сили (3.6.4) дорівнює зміні імпульсу тіла. Із нього випливає, що проекція вектора імпульсу тіла на довільний напрям буде змінюватись лише в тому випадку, коли алгебраїчна сума проекцій усіх зовнішніх сил на цей напрям не дорівнює нулеві. Розв’язок рівняння (3.6.3) виражає суть основної задачі динаміки, тому закон (3.6.3) ще називають векторним рівнянням поступального руху м.т. та твердого тіла. Для системи матеріальних точок, між якими діють внутрішні сили, приріст імпульсу можливий лише завдяки дії зовнішніх сил. Внутрішні сили імпульс системи м.т. не змінюють. Тому другий закон Ньютона можна сформулювати в більш загальній формі: Вектор швидкості зміни імпульсу тіла дорівнює діючому на нього вектору сили. Нагадаємо, що поряд із зовнішніми у системі можуть проявлятись і внутрішні сили. Однак, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулеві , (3.6.4) то загальний імпульс системи сталий: . (3.6.5) Незважаючи на важливе значення імпульсу, як міри механічного руху, його одиниці виміру не мають спеціальної назви. Розмірність імпульсу така ж як і добутку маси на швидкість. § 3.7. Центр мас (інерції) тіла та закон його руху В класичній механіці допускається, що маса тіла не залежить від його швидкості, тому його імпульс можна виразити через центр мас. Суть цього підходу полягає в тому, що хід розв’язування багатьох задач вдається спростити, якщо рух тіла під дією системи сил, які прикладені до його різних частин, можна звести до руху деякої умовної точки цього тіла – центра із масою тіла , що має певну координату . В цьому випадку вважається, що всі сили віднесені до цієї точки. Центром мас, або центром інерції системи матеріальних точок називається геометрична точка, радіус-вектор дорівнює , (3.7.1) де - маса системи матеріальних точок , кожна із яких має координату. Центром мас є точка перетину таких прямих, уздовж яких дія сил призводить лише до поступального руху. Насправді потрібно пам’ятати, що, наприклад, якщо силу тяжіння тіла можна віднести до його центра інерції, то сила реакції опори і сила тертя прикладені до різних його частин, а саме до межі поділу поверхонь тіла і опори. У випадку, коли йдеться не про окремі м.т., а про деяку масу, неперервно розподілену по об’єму зі сталою густиною, положення центра мас визначається як . (3.7.2) Взявши першу похідну за часом від координати центра мас (3.7.1), одержимо швидкість його руху (3.7.3) та імпульс . (3.7.4) Переконуємось, що імпульс механічної системи тіл дорівнює добутку її маси на швидкість руху її центра інерції. Згідно із другим законом Ньютона, векторне рівняння руху центра мас запишеться так . (3.7.5) Вираз (3.7.5) називається законом руху центра мас або законом руху центра інерції. На підставі цього закону можна зробити висновок про рух тіла, як ізольованої від впливу зовнішніх тіл м.т. ,як центра його інерції. Воно рухається так, як рухалась би м.т. з масою, що дорівнює масі тіла чи системи тіл під дією сили, яка дорівнює головному вектору зовнішніх сил, прикладених до неї. При виконанні умови (3.7.6) центр інерції механічної системи рухається рівномірно і прямолінійно або зберігає стан спокою. § 3.8. Механічна енергія, робота, потужність Енергія - скалярна міра різних форм руху і взаємодій. Основними її видами є механічна, внутрішня, електрична і ядерна. Зміна механічної енергії проявлється в механічній роботі. Саме робота є мірою зміни механічної енергії під дією сили. Вона залежить від її величини, напрямку та часу дії на відрізку шляху переміщення тіла. Робота - це скалярна фізична величина, яка описує зміну механічної енергії системи. Її елементарна величина визначається як скалярний добуток вектора сили i спричиненого нею вектора елементарного переміщення , на якому ця сила незмінна: , (3.8.1) де - кут між напрямками векторами і , - проекція вектора сили на напрям вектора переміщення. Ця робота є додатною, якщо і від’ємною, коли чи дорівнює нулеві. Геометрична інтерпретація роботи. Вона зображена на рис.3.8.1. Тут сила на проміжку переміщення не залишається сталою, а змінюється. Тому для обчислення роботи на усьому проміжку переміщення необхідно його розбити на елементарні . Тоді елементарна робота буде дорівнювати площі елементарної криволінійної трапецієї : . (3.8.2) Замінимо криволінійну трапецію на прямокутник, сторони якого дорівнюють . Тоді його площа буде дорівнювати . Рис.3.8.1 Вся робота, виконана змінною силою під час переміщення тіла на всьому шляху, дорівнює криволінійному інтегралу . (3.8.3) Механічна потужність. Для характеристики механічної дії різних механізмів важливим параметром є не лише кількість виконуваної ними роботи, але й час, протягом якого ця робота ними виконується. В кінцевому підсумку цим визначається продуктивність усякого механізму. Величина механічної роботи, яка виконується тілом над зовнішніми силами чи навпаки протягом одиниці часу, називається потужністю : . (3.8.4) В СІ потужність вимірюється в ватах ()*): . Механічна енергія поділяється на потенціальну і кінетичну . Потенціальною енергією тіло володіє, якщо воно знаходиться в силовому полі. До потенціальної енергії належить також енергія тіла в деформованому стані. Енергія руху тіла відноситься до кінетичної. § 3.9. Потенціальна енергія тіла в стаціонарному полі. Консервативне і неконсервативне поле Обчислимо роботу, яку необхідно виконати, щоб в гравітаційному полі перемістити тіло на малу відстань вздовж силової лінії (рис.3.9.1). Гравітаційна сила залежить від відстані від дослуджуваного тала масою до центра іншого масою , що створює це поле. Нехай воно має кулясту форму радіусом . На елементарному проміжку переміщення гравітаційна сила виконає елементарну роботу , (3.9.2) в результаті якої зміниться положення дослідного тіла. Гравітаційна сила має притягальний характер, тому під її дією дослідне тіло наближатиметься до тіла масою і кінцева координата буде --------------------------- *) В літературі зустрічається старовинна одиницю вимірювання потужності – “кінська сила” (к.с.): 1к.с.=. Середня потужність коня – близько 0.5 к.с. Середня потужність людини під час тривалої фізичної роботи становить близько 0.05 – 0.1 к.с. меншою від початкової. Тому при переміщенні між двома точками простору з координатами та виконана робота буде дорівнювати . (3.9.3) Одержаний вираз для роботи є функцією виду .. (3.9.4) Отже, робота, що виконується стаціонарним силовим гравітаційним полем під час переміщення тіла в ньому, виражає принципово нову фізичну якість – зміну енергії тіла чи окремих його частин. Вона характеризує ступінь взаємодії між ними і залежить від взаємного їх розташування, тому називається потенціальною енергією. Рис.3.9.1 Потенціальна енергія тіла в силовому полі. Нехай під дією гравітаційної сили дослідне тіло Порівняємо формули (3.9.4) і (3.4.4). Бачимо, що доцільно положення дослідного тіла характеризувати потенціальною функцією відстані як . (3.9.5) Бачимо, що потенціальна енергія, яку тіло одиничної маси має в розглядуваній точці простору гравітаційних сил – це потенціал гравітаційного поля. § 3.10. Кінетична енергія - як міра поступального руху Вираз =- половину добутку маси тіла на квадрат його швидкості – називають кінетичною енергією руху цього тіла. Як і потенціальна, кінетична енергія також є скалярна величина, тому завдяки їй рухоме тіло здатне виконати роботу. Наприклад, відома у будівництві баба копра, піднята на висоту під час вільного падіння набуває кінетичної енергії, внаслідок чого здатна виконати роботу, наприклад, забити в грунт палю. Оскільки кінетична енергія прямо пов’язана із рухом тіла, то їй характерна відносність. Суть цього полягає в тому, що величина кінетичної енергіії залежить від швидкості руху самого тіла, а швидкість тіл, в свою чергу, може змінюватись при переході від однієї системи відліку до іншої. Тому може змінюватись при переході від одної системи відліку до іншої і кінетична енергія тіла. Обчислимо кінетичну енергію поступального руху тіла. Для цього необхідно скористатись теоремою про кінетичну енергію, яка формулюється так: Приріст кінетичної енергії матеріальної системи на скінченій ділянці шляху дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до точок системи, на цій ділянці шляху. Згідно із цією теоремою (3.10.1) і вона справедлива для обчислення роботи як зовнішніми, так і внутрішніми силами. Тому під дією прикладеного до тіла сили виконується робота , що призводить до зміни його кінетичної енергії на величину , звідки після інтегрування одержуємо, що . (3.10.2) Прийнявши до уваги, що , тоді можна виразити кінетичну енергію тіла через його імпульс . (3.10.3) Кінетична енергія є функцією стану, оскільки неістотно, як тіло набуло швидкості. Розділ IV. Динаміка обертального руху точки та твердого тіла навколо нерухомої осі § 4.1. Момент інерції і його роль в обертальному русі До цього часу прості задачі динаміки поступального руху твердого тіла в силовому потенціальному полі моделювались за умови, що вектори всіх зовнішніх сил прикладені до одної його точки – центра інерції. У цьому розділі розглядатимемо динаміку плоского обертального руху абсолютно твердого тіла навколо довільної нерухомої осі*). При цьому тіло може додатково обертатись навколо власної осі інерції , якщо напрям дії головного вектора зовнішніх сил, прикладених до нього, не проходить через центр інерції тіла. Характер довільного обертального руху тіла визначається геометрією маси в ньому, а мірою обертового руху є момент інерції *) Осі обертання, які без спеціального закріплення зберігають свій напрям в просторі, називаються вільними.Ними є осі обертання Землі, дзиги, довільного тіла, що вільно рухається і обертається. відносно осі обертання. Момент інерції – це скалярна фізична величина, що характеризує розподіл мас в тілі і є мірою його інертності під час обертання. Під час вивчення обертального руху момент інерції тіла вважається відомим аналогічно тому, як відомою вважають масу тіла при вивченні його поступального руху. Розрізняють осьові і відцентрові моменти інерцій. Осьовим моментом інерції тіла відносно довільної нерухомої осі називається величина , (4.1.1) де -маса -ї точки тіла, що відділена від осі обертання на відстань . Отже, момент інерції тіла відносно осі обертання дорівнює сумі добутків мас точок тіла на квадрати їх віддстаней від неї. Якщо маса в тілі розподілена неперервно, то його момент інерції обчислюється через інтеграл , (4.1.2) де інтегрування проводиться за усією масою тіла. Одиницею вимірювання моменту інерції є . § 4.2. Теорема Гюйгенса - Штейнера Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі , яка проходить через його центр маси, то момент інерції відносно довільної іншої осі, паралельної цій осі, визначається за теоремою Гюйгенса - Штейнера. Без доведення сформулюємо її: Моменти інерцій тіла відносно паралельних осей і пов’язані між собою таким співвідношенням: , (4.2.1) де - відстань між осями. Рівність (4.2.1) називають формулою Штейнера. Як приклад застосування (4.2.1), визначимо момент інерції однорідного циліндра масою і радіусом відносно його твірної (рис.4.2.1)-. Відомо, що момент інерції циліндра відносно осі інерції дорівнює . Отже, за теоремою Штейнера маємо, що відносно твірної момент його інерції буде дорівнювати . Рис.4.2.1
§ 4.3. Момент сили відносно нерухомої точки і нерухомої осі Розглянемо обертання м.т. масою під дією прикладеної до неї сили в площині, що містить в собі деяку точку обертання на відстані (рис.4.3.1,а). Згідно з другим законом Ньютона, рух її а б Рис.4.3.1 під дією тангенційної складової зовнішньої сили описується диференціальнним рівнянням . (4.3.1) Приймаючи до уваги, що , та домноживши скалярно рівність (4.3.1) з обох сторін на одержимо рівняння . (4.3.2) Ліва частина рівності (4.3.2) – це модуль вектора момента сили . У правий частині – це момент інерції м.т. відносно . Отже, ми одержали рівняння, що описує обертовий рух м.т. в площині, однак вже в інших фізичних параметрах , (4.3.3) де – кутове прискорення. Переконуємось, що момент сили в обертальному русі відіграє таку ж роль, що сила в поступальному. Величина називається моментом сили відносно нерухомої точки обертання , а відрізок - плечем сили відносно точки обертання. Одиницею вимірювання моменту сили є ньютон, домножений на метр . Момент сили – це міра механічної дії зовнішньої сили на тіло відносно точки прикладання цієї сили. Як і сила, момент сили – величина теж векторна. Тому другий закон Ньютона для плоского обертального руху м.т., жорстко закріпленої відносно точки обертання , можна записати так: . (4.3.4) Вектор моменту сили – це псевдовектор. Спрямований він, як і вектор кутового прискорення , вздовж осі, що перпендикулярна до площини обертання. Напрям цих векторів визначається за правилом правого гвинта і знаком приросту кутової швидкості . Необхідно відзрізняти момент сили відносно нерухомої точки від моменту сили відносно нерухомої осі. Моментом сили відносно довільної осі обертання (рис.4.3.1,б) є проекція на неї вектора моменту сили відносно точки , яка лежить цій же осі. Момент сили дорівнює . (4.3.5) Мемент сили – ще називають обертальним моментом, або моментом сили відносно осі обертання. Моменти сили відносно точки і відносно осі є динамічними характеристиками обертального руху тіла.
§ 4.4. Момент імпульсу відносно нерухомої точки та нерухомої осі Іншою важливою динамічною характеристикою обертального руху є вектор моменту імпульсу. Відносно нерухомої точки обертання моментом імпульсу м.т. називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки обертання, на вектор імпульсу матеріальної точки (рис.4.4.1): , (4.4.1) Момент імпульсу системи м.т. відносно точки обертання дорівнює: . (4.4.2) Модуль вектора моменту імпульсу , (4.4.3) де кут між вектороами і . Момент імпульсу м.т. відносно нерухомої осі обертаннядорівнює проекції на неї вектора : . (4.4.4) Рис.4.4.1 Отже, момент імпульсу точки відносно осі обертання дорівнює добутку кутової швидкості на момент інерції точки відносно неї. Розглянемо похідну за часом від виразу (4.4.1):
Вектори спрямовані в один напрям, тому їх векторний добуток дорівнює нулеві. Отже, момент імпульсу є мірою обертального руху, а рівність: або (4.4.5) називається законом обертального руху і формулюється він так: Швидкість зміни моменту імпульсу матеріальної точки дорівнює обертальному моменту рівнодійної сили, що діють на неї. Добуток називається імпульсом моменту сил. Тому, зміна моменту кількості руху чисельно дорівнює імпульсу прикладеного моменту сил. Спроектувавши векторне рівняння (4.4.5) на виділену вісь обертання одержимо відоме рівняння моментів: =, (4.4.6) тобто похідна по часу від моменту імпульсу відносно осі дорівнює моменту сил, що діють на систему відносно цієї осі. Отже, якщо змінюється геометричний розподіл мас в тілі відносно осі обертання, то змінюється момент інерції, а, отже, кутова швидкість.Треба відзначити, що рівняння (4.4.6) справедливе у класичній і релятивіській динаміці. Інтегруючи рівняння (4.4.5) одержимо, що приріст моменту імпульсу дорівнює інтегралу за часом від моменту діючої сили: , (4.4.7) Відзначимо деякі особливості динаміки обертального руху тіла, що пов’язані з моментом імпульсу. Момент імпульсу тіла, який зумовлений його обертанням навколо власної осі, що проходить через центр інерції називається власним моментом імпульсу*). Момент *) У квантовій механіці він називається спіном Спін квантується, тобто приймає дискретні значення.. імпульсу частинки, що рухається вздовж замкнутої орбіті називається обертальним моментом імпульсу . Зазначимо, що сталість моменту імпульсу не означає сталість кутової швидкості. § 4.5. Закон динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі Рівняння динаміки обертального руху. Для твердого тіла вектор кутової швидкості спрямований уздовж осі обертання, тому якщо воно обертається навколо осі, то вектор моменту імпульсу буде дорівнювати . (4.5.1) Взявши в цьому рівнянні похідну за часом ,одержимо векторне рівняння динаміки обертання тіла навколо нерухомої осі . (4.5.2) В динаміці поступального руху аналогічне рівняння мало вигляд . Робота механічного моменту та кінетична енергія обертального руху. Обчислимо кінетичну енергію тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Для цього розглянемо обертання тіла під ідєю зовнішньої сили на такий малий кут (рис.4.5.1), щоб залишалась сталою її проекція на вектор елементарного переміщення . За цих умов на проміжку переміщення виконується елементарна робота = =, (4.5.3) де - довжина дуги обертання, а - момент сили відносно осі. Потужність моменту діючої сили дорівнює . (4.5.4) Згідно із теоремою про зміну кінетичної енергії, елементарна робота дорівнює зміні його кінетичної енергії на величину . (4.5.5) Тоді після інтегрування (4.5.3) в межах від 0 до == одержимо, кінетична енергія обертання тіла дорівнює . (4.5.6) Порівнюючи цю формулу з відповідною для кінетичної енергії поступального руху приходимо до висновку, що момент інерції відіграє в обертальному русі ту ж роль, що маса в поступальному. Тому, можна зробити висновок про те, що момент інерції дійсно є мірою інерції твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
Рис.4.5.1 Отже, якщо вільне тіло здійснює поступально-обертальний рух, то кінетична енергія цього руху буде дорівнювати . (4.5.7) Вираз (4.5.7) відомий як формула Кьоніга. Тут перший доданок – це кінетична енергія руху центра мас. Розділ V. Закони збереження в механіці §.5.1 Загальна характеристика Класична механіка користується евклідовим простором і рівномірним перебігом часу. Важливими властивостями простору і часу є їх однорідність і ізотропність. З властивістю однорідності простору внутрішньо пов’язаний закон збереження імпульсу, а з властивістю його ізотропності - закон збереження момента імпульсу. Закон збереження енергії невіддільно зв’язаний з властивістю однорідності часу. Закони збереження – це фундаментальні закони природи, згідно з якими певна фізична величина ізольованої системи залишається сталою, незважаючі на різноманітні зміни в ній. До цих законів належать: 1.Закон збереження імпульсу. Він відображає еквівалентність усіх точок простору внаслідок його однорідності. Це означає , що оператор Гамільтона не змінюється під час паралельного переносу на деякий вектор у просторі. 2. Закон збереження моменту імпульсу. Він відображає ізотропність простору і свідчить про те, що завдяки однорідності простору всі напрямки в ньому еквівалентні, тобто оператор Гамільтона не змінюється під час повороту системи відліку на деякий кут відносно довільної осі. 3. Закон збереження енергії. Він виражає однорідність часу, тобто рівнозначність усіх його моментів. Сутність цього полягає в тому, що заміна без зміни значень координат і швидкостей тіл не змінює механічних властивостей системи. Всі ці закони збереження виконуються для ізольованої системи, що є наслідком принципу відносності. Своїм походженням фундаментальні закони збереження зумовлені властивостями симетрії природи. Суть цього полягає в тому, що фізичні закони не змінюються, тобто є інваріантними відносно таких перетворень симетрії: Зсуву початку координат (однорідність простору), оскільки всі точки фізичного простору еквівалентні; Встановлення початку відліку часу (однорідність часу) і повороту координатних осей (ізотропність простору). § 5.1. Закон збереження імпульсу
Як уже відомо, м.т. чи тілу, що мають масу та рухаються із швидкістю , властивий імпульс . Під час взаємодії з іншими матеріальними тілами цей фізичний стан тіла зазнає зміни, що описується такою теоремою: Теорема. Під час руху механічної системи під дією яких завгодно зовнішніх та внутрішніх сил похідна по часу від імпульсу системи матеріальних точок дорівнює головному вектору зовнішніх сил, прикладених до точок системи. Дійсно, згідно з ІІ -гим законом Ньютона, якщо система складається з м.т., то , (5.1.1) де - зовнішні сили, - внутрішні сили. Вираз (5.1.1) у загальному вигляді або =.(5.1.2) ще називають теоремою про зміну імпульсу точки. Ліва його частина – це геометрична зміна імпульсу рухомої м.т. або системи точок за безмежно малий проміжок часу , а праву частину у механіці ще називають елементарним імпульсом прикладеної з зовні сили. Із (5.1.2) випливає, що елементарний імпульс головного вектора зовнішніх сил характеризує ту кількість руху, яка надходить (від навколишніх тіл) до цієї точки або їх системи за безмежно малий проміжок часу. Рівність (5.1.2) узагальнює другий закон Ньютона на випадок системи м.т. Цю теорему можна сформулювати аналогічно тому, як Ньютон сформулював свій другий закон: Зміна кількості руху системи м.т. пропорційна головному вектору зовнішніх сил і відбувається в напрямку, паралельному цьому вектору. Після інтегрування (5.1.2) одержуємо, що , (5.1.3) тобто: Зміна імпульсу системи м.т. за деякий проміжок часу дорівнює повному імпульсу головного вектора зовнішніх сил, які діють на точки системи протягом того ж проміжку часу. Для замкнутої системи*) м.т. чи тіл головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулеві , (5.1.4) тому згідно з основним рівнянням динаміки , для неї і сумарний імпульс з часом залишається сталим . (5.1.5) Отже, в ізольваній системі проявляються лише взаємодії між окремими її складовими частинками через внутрішні сили та сили ------------ *) Якщо зміна імпульсу тіла визначається тільки зовнішніми силами, то система незамкнута.. ТОму, до неї відносять групу тіл, взаємодіючих не тільки між собою, але і з тими, що не входять до цієї групи тіл. реакцій внутрішніх в’язей, якщо вони ідеальні. Тому, якщо геометрична сума зовнішніх сил, прикладених до системи матеріальних точок дорівнює нулеві, то її імпульс з часом зберігається незмінним за величиною і напрямком. Це відомий закон збереження імпульсу для замкнутої системи. Він покладений в основу реактивного руху ракет і космічних апаратів (рівняння Мещерського (3.11.1)). Щоб передсвідчитись в прояві цього закону, досить пригадати ефект віддачі або відкату, що виникає під час пострілу з гвинтівки чи з гармати. Сформулюємо закон збереження імпульсу для ізольованої системи із двох твердих тіл масами і , що довільним чином рухаються із швидкостями і , мають точку дотику і зазнають удару. Зазначимо, що удар – це короткочасна взаємодія тіл при безпосередньому зіткненні їх. При цьому виникають пружні сили, які ведуть до змін швидкостей тіл, до перерозподілу імпульсу та енергії, до деформацій, коливань, нагрівань, руйнувань тощо. Якщо центри мас тіл лежать на лінії удару, то такий удар зветься центральним , а якщо вектори швидкостей спрямовані по паралельних прямих, то ще й прямим. Характер взаємодії між тілами принципової ролі не відіграє, а важливо щоб виконувався ІІІ-ій закон Ньютона, тобто щоб мала місце одночасна рівність дій і протидій. Тому якщо допустити, що за час дії сили залишаються незмінними, то за ІІ-им законом Ньютона , , за третім законом Ньютона і справджується рівність . (5.1.6) Тут величини без штрихів описують фізичний стан тіл до взаємодії, а зі штрихами – після акту взаємодії. Вираз (5.1.6) називається законом збереження імпульсу. У записаній формі справджується він для абсолютно пружного удару. Для абсолютно непружного удару він запишеться так: . (5.1.7) Отже, після абсолютно непружного удару тіла рухаються в одному напрямку із однаковою швидкістю. § 5.2. Закон збереження моменту імпульсу Закон збереження моменту імпульсу - ще один фундаментальний закон природи. Він стверджує, що коли повний момент зовнішніх сил дорівнює нулеві або всі моменти зовнішніх сил зрівноважені, або плечі моментів сил дорівнюють нулеві, то момент імпульсу замкненої системи з часом не змінюється: . (5.2.1) Дійсно, оскільки для системи м.т. головний вектор моменту імпульсу , то продиференціювавши цю рівність із врахуванням моментів зовнішніх і внутрішніх сил, одержуємо, що . (5.2.2) Тут перший доданок виражає головний вектор моменту зовнішніх, а другий – моменту внутрішніх сил, який дорівнює нулеві . Тому, якщо на систему матеріальних точок не діють ніякі зовнішні сили, тобто вона ізольована, то , (5.2.3) звідки . (5.2.4) Отже, момент імпульсу замкнутої системи не змінюється з часом або при відсутності моменту імпульсу момент кількості руху залишається незмінним. Для системи тіл, він формулюється так: При відсутності моментів зовнішніх сил, сума векторів моментів імпульсів системи тіл (вектор повного моменту імпульсу), не змінюється з часом. Це фундаментальний закон природи. Відзначимо такі важливі висновки з цього закону: 1. У замкнутій системі можна змінювати швидкість обертання тіла, змінюючи його момент інерції. 2. Закон (5.2.3) справджується і в незамкненій системі, коли проекція моменту сили на деякий напрям дорівнює нулю; тоді момент імпульсу системи для цього напрямку сталий. Оскільки закон збереження (5.2.3) відображає ізотропність простору , то обертання замкнутої системи тіл без зміни їх конфігурації і відносних швидкостей не змінює їхніх механічних властивостей; 3. Закон збереження моменту імпульсу пов’язаний із інваріантністю фізичних законів відносно операції повороту замкнутої системи в просторі на довільний кут. Тому при русі тіла в полі центральної сили її момент дорівнює нулеві, оскільки ця сила діє вздовж прямої, що сполучає тіло з центром її дії. Прикладом такого руху є обертання супутника вздовж еліптичної орбіті. Земля не передає моменту сили притягання на супутник, тому його момент імпульсу під час руху залишається незмінний і там, де радіус орбіти більший, швидкість супутника менша і навпаки. Це один із відомих законів Кеплера.. Однак, той факт, що у замкнутій системі зміна моменту імпульсу дорівнює нулеві, ще не означає, що ізольоване тіло, яке обертається, завжди повинно мати одну і ту ж кутову швидкість. Якщо геометричний розподіл маси системи матеріальних точок по відношенню до осі обертання змінюється, то змінюється і момент інерції системи відносно цієї осі, а отже, змінюється і кутова швидкість. Наприклад, планети поблизу Сонця обертаються швидше, ніж ті, що далі від нього. Закон збереження моменту імпульсу досить наглядно можна продемонструвати на прикладі ковзаняра, що обертається навколо вертикальної осі. Якщо тертям знехтувати, то можна прийняти, що момент зовнішніх сил дорівнює нулеві. Оскільки момент імпульсу системи зберігається, то притискаючи руки до себе ковзаняр зменшує момент інерції і при цьому збільшується кутова швидкість обертання. Іншим прикладом є гімнаст, що виконує сальто. У початковий момент обертання він згинає коліна до грудей, зменшуючи при цьому свій момент інерції, в результаті чого досягається збільшення кутової швидкості. Завдяки закону збереження імпульсу людині вдається, стоячи на лаві Жуковського, самій її розкрутити, якщо в руках вона тримає обертаюче колесо і переводить вісь обертання із горизнтального положення у вертикальне. § 5.3. Закон збереження та перетворення механічної енергії Нагадаємо, що до механічної енергії відносять потенціальну і кінетичну. Разом вони складають повну механічну енергію фізичного тіла чи системи. В природі виконується закон збереження енергії взагалі, а за певних умов закон збереження механічної енергії. Розкриємо суть цього твердження. Для повної механічної енергії закон її збереження формулюється так: В довільний момент повна механічна енергія ізольованої системи м.т., на які діють лише консервативні сили, не змінюється з часом . (5.3.1) Це означає, що її зміна виражатиметься через повний диференціал і розкриває фізичний зміст поняття роботи: Pобота консервативних сил дорівнює тій механічній енергії, яка перетворюється із одного виду в інший. Якщо система не замкнута, то робота неконсервативних сил дорівнює (5.3.2) і повна механічна енергія системи не зберігається з часом. Нагадаємо, що закон збереження механічної енергії є прямим наслідком одної із основних теорем динаміки системи матеріальних точок: Під час руху механічної системи під впливом яких завгодно зовнішніх і внутрішніх сил зміна кінетичної енергії системи на елементарному переміщенні дорівнює роботі, виконуваній на тому самому переміщенні всіма зовнішніми і внутрішніми силами системи. Оскільки кінетична енергія – величина адитивна, то її приріст для системи м.т. складатиметься із суми приростів для окремих точок . (5.3.3) Тут у правій частині обчислена робота зовнішніх і внутрішніх сил на елементарному проміжку переміщенння . Той факт, що і внутрішні сили можуть виконувати роботу, можна підтвердити на прикладі взаємодії двох електричних зарядів, що притягуються. Завдяки кулонівський силі притягання вони рухаються назутріч один одному і тому кожна з двох прикладених до зарядів внутрішніх сил виконує додатну роботу. Отже, приріст кінетичної енергії системи м.т. на певному проміжку переміщення дорівнює роботі всіх прикладених до точок системи сил на цьому самому проміжку переміщення. Закон збереження енергії - це третій фундаментальний закон природи. Він справджується на теренах макро- і мікросвіту. На його основі узагальнюються такі основні висновки: 1.В системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається. 2.В системі тіл, між якими діють дисипативні сили, повна механічна енергія не зберігається. Частина її переходить в іншу форму енергії. Наприклад, в процесі тертя між рухомими тілами частина енергії їх кінетичного руху переходить у внутрішню енергію тіл. Однак сумарна механічна і внутрішня енергія замкнутої системи не змінюється. 3.Енергія не зникає нікуди і ні з чого не виникає. Вона лише з однієї форми преретворюється в іншу в еквівалентних кількостях. Цей закон якраз і виражає суть незнищуваності матерії та її руху, як форми її існування. Наведемо приклад застосування закону збереження та перетворення енергії для випадку взаємодії двох тіл. Якщо під час їх удару відбувається лише перерозподіл імпульсів між тілами, то закон збереження кінетичної енергії у цьому випадку запишеться так . (5.3.4) Параметри без штрихів описують стан системи до удару, а з штрихами – після удару. Якщо ж під час удару частина механічної енергії переходить у інші види енергії, такі як в енергію їх деформації або у теплову, то закон (5.3.3) у випадку двох тіл запишенться так: . (5.3.5) Це закон збереження для абсолютно непружного удару. Він є прикладом того, як відбувається незворотна втрата механічної енергії системи під час взаємодії тіл. Треба зазначити, що теорію абсолютно пружного удару розробив Гюйгенс. Зокрема він встановив, що при пружному ударі сума добутків мас на квадрати швидкостей співударних тіл зберігається. Пізніше Ньютон пов’язав питання про сталість суми з третім законом динаміки. Розділ VI. Гармонічні одновимірні механічні коливання і механічні хвилі
§ 6. 1. Загальні положення Відомо, що добре коливаються пружні тіла: струни, мембрани, підвішені на нитці або пружині вантажі, і тощо. Коливання (осциляції) - це процеси, які відбуваються з точним або наближеним повторенням у часі відносно положення рівноваги фізичних станів системи. Фізичну систему, яка здійснює такі коливання, називатимемо осцилятором. В цьому розділі мова йтиме про механічний осцилятор, а в розділі XVIII – електромагнітний. Коливання осцилятора поділяють на вільні і вимушені, власні і затухаючi та автоколивання. Важливою характеристикою коливань є їх гармонічність. Коливання характеризують амплітудою, періодом, частотою і фазою. Важливим серед них є так звані динамічні параметри, такі як амплітуда відхилення механічного осцилятора від положення рівноваги. Простим є коливання синусоїдного (косинусоїдного) характеру, яке називається гармонічним, тому вживаним є термін "гармонічний осцилятор". Він означає пропорційний характер зв’язку відновлюючої сили , що діє на осцилятор, із його положенням відносно стійкої рівноваги. До простих осциляторних моделей належать: 1.Математичний маятник за умови, коли його коливання здійснюються у межах малого кута відхилення від рівновисного положення, та пружинний маятник, у вигляді металевої кульки, підвішеної до пружини за умови, що амплітуда деформації пружини незначна. В обох випадках обмежуються дослідженням коливань осциляторів у одному вимірі. Тому їх ще називають одновимірними. 3.Електромагнітний -контур за умови, що сила струму та напруга в ньому такі малі, що електричні і магнітні властивості реактивних елементів кола мають лінійні вольт - амперні характеристики. До найбільш характерних ознак гармонічних коливань відносять: 1.Частота (період) коливання не залежить від амплітуди, тобто запасу енергії у коливній системі. 2. Виконується принцип суперпозиції сил у випадку механічного осцилятора, або напруг для електричного коливного контура. § 6.2. Вільні коливання в однорідному полі пружних сил Розглянемо коливання пружного осцилятора у вигляді матеріальної точки масою , що закріплена до пружини з лінійною жорсткістю . Це так званий пружинний маятник і належить він до систем із зосередженими параметрами. Суть останнього полягає в тому, що інерційні властивості осцилятора зосереджені у інертній масі осцилятора, а пружні – в силі зв’язку з положенням рівноваги. Лише в цьому випадку під час коливань забезпечується періодичне взаємо перетворення потенціальної енергії пружного звязку в кінетичну інертності руху осцилятора і навпаки. Розглянемо коливання пружинного маятника вздовж вертикальної осі . На нього, крім пружної сили, ще діє сила тяжіння. Обидві сили позиційні, тобто визначаються положенням кульки в силовому полі. Хоч ці сили непотенціальні і нестаціонарні, оскільки залежать від часу та зміщення, однак для незначних амплітуд, силу тяжіння можна вважати сталою. Це дозволяє початок системи відліку змістити у положення стійкої рівноваги і , згідно із другим законом Ньютона, закон руху сформулювати у такому вигляді , (6.2.1) звідки диференціальне рівняння руху запишеться так: або , (6.2.2) де - циклічна частота вільних коливань. Важливо, що вона, а, отже і період коливань , не залежить від амплітуди, а лише від інертної маси і пружності зв’язку . Частота має одне значення, тобто вільне коливання характеризується одною власною частотою (модою), тому кажуть, що такий осцилятор має одну ступінь вільності і його ще називають одномодовим. Загальний розв’язок рівняння (6.2.2) задовольняє принципу суперпозиції і має вигляд , (6.2.3) в якому сталі інтегрування та визначаються за початковими умовами. Бачимо, що при довільних початкових умовах закон зміни амплітуди завжди залишається гармонічним, тобто коливання осцилятора відбуватимуться з однією і тією ж частотою, хоча із різними амплітудами та із різними фазами. Дійсно, наприклад, якщо в початковий момент осцилятор був виведений із положення стійкої рівноваги і перебував там у спокої, тобто , (6.2.4) то і в подальшому осцилятор буде коливатись гармонічно за косинусоїдним законом (рис.6.2.1,а) . (6.2.5) В кожну мить амплітуда осцилятора відстає за фазою на від швидкості , та на від прискорення =. а б Рис.6.2.1 Функції з часом змінюються так, що різниця фаз між ними залишається сталою. Тому незмінним залишається зсув фаз між мірою руху осцилятора , мірою дії на нього сили , та наслідком – координати зміщення . Саме цим забезпечується періодичний процес перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки, про що пересвідчимось в подальшому. § 6.3. Затухаючі вільні коливання
На практиці важливе значення мають затухаючі коливання, оскільки опір коливному рухові осцилятора у більшості випадків присутній завжди. Вплив дисипативних процесів на характер коливання найпростіше дослідити, коли допустити, що осцилятор рухається в рідині або в газі з не досить великою швидкістю. В цьому разі дисипативна сила, якою є сила опору, пропорційна швидкості руху осцилятора , (6.3.1) де , - коефіцієнт пропорційності, а - коефіцієнт затухання. Сила опору спрямована завжди проти напряму руху, що відображено знаком мінус у формулі (6.3.1), тому . Сила опору призводть до зменшення повної механічної енергії осцилятора, тому вона неконсервативна. За наявності опору рухові диференціальне рівняння коливань затухаючого осцилятора запишеться так: . (6.3.2) Якщо і незначне, то коливання й надалі залищаються гармонічними, однак із зміненою циклічною частотою . (6.3.3) Це зумовлено тим, що опір (6.3.1) не змінює лінійності рівняння (6.3.2) і його розв’язок можна виразити через добуток експоненти та гармонічної функції: (6.3.4) Тут сталі інтегрування визначаються так само, як і для незаючого осцилятора. Наприклад, якщо в початковий момент , (6.3.5) то підставивши їх в (6.3.4) і визначивши першу похідну (6.3.6)
одержимо сталі інтегрування . (6.3.7) Тому загальний розв’язок рівняння (6.3.2) за умов (6.3.5) матиме вигляд . (6.3.8) Розв’язок (6.3.8) має осциляторний характер за умови , (рис.6.3.1), хоч, насправді, відома умова періодичності для консервативного осцилятора і не виконується, але задовольняється періодичність повторення нулів функції . Тому для затухаючого осцилятора із законом опору (6.3.1) всеодно можна ввести так званий умовний період, як (. (6.3.9) Визначений такимч ином період насправді не дорівнює тому періоду, який визначений як час, через який осцилятор періодично перебуватиме у положенні із тим же значенням амплітуди відхилення, та в одному і тому ж напрямку від положення рівноваги. Як бачимо із рис.6.3.1, для лінійного осцилятора обвідною діаграми коливань амплітуди є експоненційна функція . Тому фазовий портрет їх матиме вигляд спіралі. Такі коливання зручно характеризувати відношенням двох послідовних амплітуд відхилення осцилятора від рівновисного положення в одну і ту ж сторону: , (6.3.10) де . Величина називається декрементом загасання коливань. Взявши від нього натуральний логарифм, одержимо так званий логарифмічний декремент затухання. Інформативним для характеристики загасних коливань є час , протягом якого амплітуда коливань зменшується в (основа натурального логарифму) разів. Цей час називається часом релаксації. Рис.6.3.1 Кількість коливань за час дорівнює відношенню до періоду затухаючих коливань . Оскільки, то .
а б Рис.6.3.2 Якщо , то коливання аперіодичні*) і їх напрямок ------------------------- *)Аперіодичні системи – це такі системи, в яких через великі втрати енергії не можуть виникати власні коливання. Період аперіодичного коливання набуває нескінченного значення. змінюється лише один раз. "Критичний” випадок має важливе практичне застосування в електровимірювальних приладах, наприклад, у балістичних гальванометрах для повернення стрілки у стан рівноваги після акту вимірювання та швидкого встановлення стрілки на належну поділку шкали при вимірюваннях.
§ 6.4. Енергетичні закономірності затухаючих коливань Введемо функцію , що описує зменшення повної механічної енергії осцилятором в процесі затухаючих коливань. Якщо в початковий момент він мав енергію , то в довільний момент вона дорівнює = . (6.4.1) Обчислимо роботу, яку виконують дисипативні сили. Для цього рівняння (6.3.16) домножимо з обох сторін на елементарне зміщення осцилятора за час :, після чого його перепишемо як . (6.4.2) Після інтегрування (6.4.2) одержимо рівняння балансу енергій (перший інтеграл) загасаючого одновимірного осцилятора: . (6.4.3) Тут - це так звана пасивна функція Релея. Наприклад, якщо в початковий момент осцилятор був відхилений з положення рівноваги і не мав швидкості , то втрата енергії осцилятором в процесі коливань описуватиметься функцією , (6.4.4) графік якої приведений на рис.6.4.1. Бачимо, що функція Релея є обвідною зміни в часі кінетичної і потенціальної енергій. Причому дисипативні втрати корелюють із тією ділянкою коливного процесу, для якої енергія осцилятора запасена у Рис.6.4.1
вигляді кінетичної. Тому обвідна не плавна, а має ступінчатий характер. Її зміна найбільша в околі, коли осцилятор проходить через стан рівноваги з найбільшою швидкістю. § 6.5. Вимушені коливання осцилятора із зосередженими параметрами Спершу розглянемо вимушені одновимірні коливання осцилятора під дією зовнішньої гармонічної сили з циклічною частотою та амплітудою у середовищі без опору. За умови, що й надалі справджується принцип суперпозиції вважатимемо, що коливання, викликані різними силами, незалежні і загальна сила “пружності плюс зовнішня” збудить коливання з амплітудою . (6.5.1) Тут перший доданок описує вільні коливання, тому функція (6.5.2) є розв’язком однорідного рівняння . (6.5.3) Другий доданок в (6.5.1) описує вимушені коливання осцилятора. Тому функція є частковим розв’язком неоднорідного рівняння . (6.5.4) Праву частину цього рівняння записано у комплексному вигляді. Це спрощує процедуру його аналізу, оскільки розв’язок зручно шукати у комплексній формі . (6.5.5)
Рис.6.5.1 Дійсно, підставивши його в (6.5.4) одержимо, що залежність амплітуди вимушеного зміщення осцилятора від частоти має резонансний характер: . (6.5.6) Дисипативні втрати енергії відсутні, тому уявна частина , а дійсна змінюватиме свій знак. Приймаючи до уваги властивості тангенса фази (1.7.6) приходимо до висновку, що коли частота , то і вимушені коливання відбуваються у фазі із дією зовнішньої сили. В ділянці частот , дійсна частина і вимушені коливання відстають за фазою на від дії зовнішньої сили, як це зображено на рис.6.5.1. Стрибкоподібна зміна фази при переході через резонансну частоту зумовлена лише обмеженістю розглядуваної моделі, як консервативної. Провести аналіз загального розв’язку рівняння (6.5.1) доцільно для конкретних початкових умов. Нехай такими є: , , . Тоді для косинусоїдної сили вимушені коливання описуватимуться таким рівнянням:
(6.5.7) Тут перші два доданки визначають вільні коливання осцилятора без врахування дії зовнішнього джерела, третій і четвертий – вимушені. Причому третій доданок описує відоме у фізиці явище інтерференції вільних і вимушених коливань, а четвертий – ті, які встановлюються в усталеному режимі. Графіки функції (6.5.7) подані на рис.6.5.2. Бачимо, що при низькочастотній дії осцилятор коливається із власною частотою , тобто переважаючим є перший доданок. За цих умов дія джерела проявляється в тому, що синусоїда амплітуди вільних коливань осцилятора зазнає додаткової модуляції з періодом дії джерела . Під час зростання частоти посилюється прояв ефекту інтерференції вільних і вимушених коливань і за певних умов виникає відоме явище биття амплітуди . Якщо , то період биття зростає і необмежене збільшення амплітуди коливань осцилятора відбувається за законом . В тому, що при безмежно зростає амплітуда ніякого протиріччя не має, оскільки сам підхід до аналізу коливань обмежений і справедливий лише для малих амплітуд. . Резонанс – явище зростання амплітуди вимушених коливань системи, коли частота дії зовнішньої сили наближається до частоти власниїх коливань.
Рис.6.5.3
До основних закономірностей вимушених коливань належать: Якщо дія від зовнішнього джерела має статичний характер , то величина зміщення осцилятора із положення рівноваги визначає так звану статичну амплітуду: . (6.5.9) При статичній дії зовнішнього джерела, фаза вимушених коливань збігається з фазою змушуючої сили. При дуже великій частоті дії змушуючої сили коливальна система внаслідок інерції не може зміщуватись із положення рівноваги, тому якщо загасання відсутнє, то амплітуда зміщення прямує до безмежного значення , а фаза коливання протилежна до фази зовнішньої сили. Однак, амплітуда резонансних коливань стає скінченною, якщо присутнє загасання коливань. При резонансі змушуюча сила випереджає за фазою коливання на , якщо присутнє затухання. Сила додатня під час руху осцилятора від максимального від'ємного зміщення до максимального додатного зміщення і відємна при зворотному русі. Тому, зовнішня дія весь час збільшує розмах коливання. Це відбувається до тих пір, доки вся робота зовнішньої сили не буде витрачена на переборення тертя. Таким чином, встановлюється амплітудо вимушених коливань. Відношення амплітуди коливань при резонансній частоті до величини статичного зміщення також визначає добротність коливальної системи: . (6.5.10) Перконуємось, що чим більша добротність, тим вужчими і вищими за амплітудою є резонансні криви.
§6.6. Складання когерентних плоских коливань. Годограф – як стан поляризації коливання . Розклад Фур'є В цьому параграфі ми розглянемо додавання гармонічних коливань, які відбуваються у одній площині (плоскі коливання), але їх площини нахилені одна відносно одної і між коливаннями встановлюється стала різниця фаз. Амплітуду результуючого коливання визначатимемо методом Френеля, стан поляризації методом годографів. Складання плоских коливань одного напрямку. Коливання чи хвилі, між якими різниця фаз зберігається сталою , (6.6.1) належать до когерентннх або самоузгоджених. Розглянемо додавання двох плоских когерентних коливань, що відбуваються в одній площині і описуються рівняннями . (6.6.1) Суть методу Френеля полягає в тому, що додати між собою коливання (6.6.1) означає додати між собою дві векторні величини . (6.6.2) В цій моделі модуль вектора відповідає амплітуді коливання , а нахил вектора до горизонтальної осі – його фазі (рис.6.6.1,а). Оскільки гармонічні коливання (6.6.1) відбуваються із сталою частотою, то за умови сталості різниці фаз між ними взаємна орієнтація векторів (6.6.2) така, як це зображено на рис.6.6.1,а.
а б Рис.6.6.1 Тоді за теоремою косинусів, квадрат амплітуди результуючої хвилі , (6.6.3) де . Тому, якщо що різниця фаз , (6.6.4) то амплітуда результуючого коливання (6.6.5) зростає до максимуму і подвоюється, коли . Якщо ж , (6.6.6) то амплітуда зменшується до мінімуму (6.6.7) і дорівнює нулеві, коли . Фаза результуючого коливання, згідно рис.6.6.1,а, дорівнює . (6.6.8) Процес додавання когерентних гармонічних коливань чи хвиль, який супроводжується стійким в часі підсиленням чи послабленням амплітуди результуючого коливання чи хвилі, в залежності від різниці фази між ними, називається інтерференцією. Додавання плоских коливань, що не лежать в одній площині. Нехай плоске коливання відбувається в напрямку осі , про що свідчитиме відповідний індекс, а інше нахилене до нех під кутом (рис.6.6.2,а). Спроектуємо нахилене коливання на площину коливання (поляризації*)) першого (рис.6.6.2,а): . (6.6.10) Ми розглядаємо плоскі коливання, тому проектування їх на площину не деформує поверхні сталої фази. Тому, застосовуючи метод Френеля, одержимо, що амплітуда результуючого коливання вздовж напрямку осі буде дорівнювати . (6.6.11) Отже, в цьому випадку вона є функцією двох параметрів – кута нахилу та зсуву фаз між коливаннями . Для різних значень кута між площинами коливань залежності її від зсуву фази між коливаннями, що складаються, зображені на рис.6.6.2,б. Переконуємось, що амплітуда результуючого коливання зменшується із збільшенням кута між площинами коливань, що додаються і коли він дорівнює (коливання взаємно перпендикулярні), то їх інтерференція відсутня. -------------- *) За площину поляризації коливання приймемо площину коливання вектора амплітуди. Годограф**) результуючого коливання – як стан її поляризації. Нехай кут між площинами коливань, що складаються, не дорівнює нулеві і вони поширюються вздовж осі . Якщо перше коливання поляризоване вздовж осі , а друге нахилена нахилена до площини коливань першого під кутом , як це зображено на рис.6.6.2,а, то додаються їх взаємно перпндикулярні декартові складові (6.6.12) а б Рис.6.6.2 Щоб одержати рівняння годографа в площині , виключимо із рівнянь (6.6.12) параметр . Для цього їх перепишемо так:Підставивши в друге рівняння замість його значення із ------------ **) Годограф - це крива, яку описує кінець радіус - вектора в площині за період коливання. Якщо коливання плоске, то нею є пряма. Для неплоских коливань годограф має вигляд замкнутої кривої. рівняння(6.6.12), одержимо таку рівність: . Піднісши перше рівняння в (6.6.12) до квадрату та додавши їх, одержимо (6.6.13) Цей вираз в загальному випадку є рівнянням еліпса, параметри якого визначаються зсувом фази між коливаннями та їх амплітудами і . Головний висновок, який випливає із (6.6.13) це тe, що значення кута між площинами коливань не впливає на характер годографа, тобто стан поляризації результуючого коливання, а змінюється лише в залежності від значення .
а б Рис.6.6.3, Якщо зсув фаз між ними дорівнює чи , (6.6.14) то результуюче коливання є лінійно поляризованим (рис.6.6.3,а) і описується рівнянням (6.6.15) Якщо , (6.6.16) рівняння годографа має вигляд , (6.6.17) тобто годографом є еліпс, осі якого збігаються з осями координат (рис.6.6.3,б). Таке коливання називається еліптично поляризованим. Еліпс перетворюватиметься в коло, якщо . Таке коливання називається циркулярно поляризованим або поляризованим за колом. §6.7. Плоскі звукові хвилі та їх рівняння
Якщо коливання здійснює не одна матеріальна точка, а система їх взаємозв’язаних між собою пружними силами, то коливний процес передаватиметься від однієї до іншої, оскільки пружні зв’язки, як такі, енергії не поглинають. У цьому випадку кажуть, що збуджується хвиля, швидкість якої залежить від його пружних та інерційних властивостей, причому сам процес перенесення енергії хвилею не супроводжується перенесенням маси. Незважаючи на те, що пружна хвиля - явище механічне, її поведінка цілком інша, ніж рух самих матеріальних часток. Дійсно, такі звичні для них у механіці поняття як траєкторія, координата, прискорення для опису хвиль застосувати не можна, а якщо й можна, то неповністю, хоч і поширюється вона завдяки передачі імпульсу одна одній. В середовищі з закріпленими атомами чи молекулами така взаємодія між ними через через обмін імпульсами призводить до виникнення в ньому хвильового процесу. Якщо для рухомої частинки швидкість дорівнює шляху, яку вона пройшла за одиницю часу, то у хвильовому процесі це поняття можна віднести лише до форми хвилі. Якщо вона зберігається, то поняття швидкості має простий фізичний зміст і її можна виміряти. В пружних середовищах збуджуються поздовжні і поперечні хвилі. В поздовжний хвилі напрям коливань атомів чи молекул збігається з напрямом її поширення (напрямком хвильового*) вектора , а в поперечній – вони коливаються перпендикулярно до напрямку вектора ). У першому наближенні можна вважати, що повертаюча до положення рівноваги коливної частинки сила пружна і задовольняє лінійний закон Гука. Тому, якщо гармонічна поперечна чи поздовжна хвиля розповсюджується із швидкістю вздовж осі , то вона описується рівнянням -------------- *) Хвильовий вектор – це вектор, який за числовим значенням дорівнює хвильовому числу, а за напрямком збігається з напрямком фазової швидкості біжучої хввилі , (6.7.1) де - амплітуда коливань матеріальних частинок середовища навколо їх рівноважних положень. Знак мінус взятий з тих міркувань, що в кужну подальшу точку простору хвиля доходить пізніше, ніж в попередню. Рівняння (6.7.1) визначає залежність від координати та часу скалярних або векторних величин, які характеризують коливання атомів чи молекул середовища при поширенні в ній хвилі. Якщо така хвиля переносить енергію, то вона називається біжучою. Напрям, тобто лінія переносу хвилею енергії називається променем. В подальшому, розглядатимуться лише плоскі хвилі, тобто такі, в яких хвильові поверхні є сукупністю площин, паралельних одна одній. Тому, рівняння (6.7.1) є рівнянням плоскої біжучої синусоїдальної хвилі, що поширюється уздовж додатного напряму осі . Хвильове рівняння. Якщо хвиля поширюється без зміни форми, то часова та просторова похідні від функції (6.7.1) взаємо виражаються між собою як , а другі похідні - рівнянням: . (6.7.2) Це хвильове рівняння для плоскої хвилі. Його вигляд (6.7.2) описує поширення хвилі лише в напрямку осі . Розв’язок рівняння (6.7.2) вперше обгрунтував Ж.Д’Аламбер ще в 1748 році у такому вигляді: , (6.7.3) де – цілком довільні функції від аргументу заданого вигляду. Отже, загальний розв’язок хвильового рівняння визначається не виглядом функції, а виглядом аргумента , складеного із змінних і . Якщо вздовж осі поширюється гармонічний хвильовий процес, то прийнявши до уваги, що під синусом та косинусом повинна бути безвимірна величина і хвильове число, то біжуча в середовищі хвиля описуватиметься рівнянням , (6.7.4) де – її амплітуда. Інколи рівняння (6.7.4) зручно подавати у комплексному вигляді . (6.7.5) Рівняння (6.7.4) чи (6.7.5) описує як поперечні, так і поздовжні монохроматичні хвилі,. Для поперечної хвилі необхідно розрізняти три швидкості. Перша – це поперечна швидкість, з якою частинка коливається навколо положення рівноваги. Друга – це хвильова або фазова швидкість, яка характеризує бистроту переміщення у просторі горбів і западин, тобто хвильової поверхні, як геометричного місця точок у просторі, в яких коливання відбуваються з однаковою фазою. Фаза хвилі дорівнює , тому її плоский фронт описується рівнянням площини . (6.7.6) Продиференціювавши (6.7.6) одержуємо, що плоска хвиля поширюється від джерела з фазовою швидкістю , однаковою в усіх напрямках однорідного простору. Отже, фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від частоти. Це явище називається дисперсією хвиль.
§6.9. Інтерференція хвиль. Стояча хвиля Нагадаємо, що інтерферувати можуть хвилі чи коливання, які когерентні. Для встановлення характеру розподілу інтенсивності інтерференційної картини на плоскому екрані використаємо модель Юнга (рис.6.9.1,а). Суть її полягає в тому, що хвилі, які інтерферують між собою, випромінюються двома близько рзташованими джерелами і . Відлік інтерференційних смуг проводиться від точки, доя кої хвилі доходять без відносного зсуву фази . Екстремуму, якій формується в цій точці приписується порядок , який зміщений відносно осі симетрії між джерелами на пвідстань . Тоді, як випливає із рис.6.6.2,б, мають місце а
б в Рис.6.9.1 співвідношення і ., звідки різниця ходу між хвилями дорівнює = .(6.9.1) Отриманий вираз точний. Однак, на практиці його можна замінити наближеним . (6.9.2) На рис.6.9.1,в, зображені залежності різниць ходу між променями , обчислене за формулою (6.9.1) і (6.9.2) - , в залежності від координати складання хвиль на екрані. Бачимо, що для практичних досліджень можна використовувати формулу (6.9.2). Як бачимо із рис.6.9.1,в, в максимумі інтерференції хвилі коливаються у фазі, тоді як у мінімумі – у протифазі. Оскільки обидві хвилі коливаються в одній площині, то результуючу інтенсивнсть можна обчислити за формулою (6.6.3). Характеристикою інтерференційних смуг є їх видність . За Майкельсоном вона визначається як: , (6.9.3) де - інтенсивності смуг в їх екстремумах. Геометричне місце точок , інтенсивність інтерференційних смуг максимальн та , де вона мінімальна свідчить про те, що в екстремумах інтерференції має місце рівняння , (6.9.4) яке описує сукупність гіпербол з фокусами в і . Кожному значенню інтенсивності відповідає певна поверхня гіперболоїда обертання, перетини яких зображені на рис.6.9.2. Інтерференція зустрічних хвиль. Стояча хвиля виникає внаслідок інтерференції плоских в одному напрямку поляризованих плоских хвиль, що поширюються у зустрічних напрямах. Розглянемо це на прикладі коливання закріпленої струни. Якщо рівняння падаючої хвилі записати як , то відповідне для відбитої матиме вигляд . Додавши ці рівняння одержимо рівняння стоячої хвилі: , (6.9.4) де – довжина струни. В тих точках струни, для яких задовольняється умова , (6.9.5) виникають вузли. В тих точках, де амплітуда стоячої хвилі дорівнює, формуються пучності. Тому відстань між двома пучностями або двома вузлами визначає довжину стоячої хвилі. Рис.6.9.2 Схематично стояча хвиля зображена на рис.6.9.3. На правій чйого частині частинка коливається перпендикулярно, а хвильовий процес поширюється з часом вправо, відбивається від межі і рухається у зворотному напрямку. Так, що стоячу хвилю відображає обвідна. Стояча хвиля не переносить енергію, оскільки в однаковій кількості вона переноситься у взаємно зустрічних напрямах. В межах довжини стоячої хвилі відбувається лише взаємне перетворення кінетичної енергії коливань часток в потенціальну пружної деформації і навпаки. На завершення відзначимо наступне. ПРодемонструвати на практиці стоячу хвилю, як інтерференцію подаючої і відбитої, можна, якщо один кінець мотузки закріпити, а інший сполучити із коливною системою. В точці кріплення мотузки виникає вузол і подальші зміщені від нього на довжину стоячої хвилі. Взагалі, в точці кріплення може утворюватись або вузол, або пучність, в залежності від співвідношення густин контактуючих середовищ. Наприклад, якщо звукова хвиля відбивається від поверхні металевого поршня, то на границі поділу виникає вузол. В цьому
Рис.6.9.3 випадку відбита хвиля змінює свою фазу на протилежну і на межі додаються когерентні хвилі, різниця фаз між якими дорівнює . Вони гасять одна одну і виникає вузол, як мінімум інтерференції. В цьому випадку кажуть, що відбита хвиля втрачає "півхвил". Якщо хвиля відбивається від менш густого середовища, то фаза не змінюється або змінюється на чи кратній цій величині. Отже, падаюча і відбита хвилі коливаються у фазі і на межі вони підсилюють одна одну, що призводить до виникнення пучності. В цьому випадку втрата "півхвилі" відсутня.
§ 6.10. Енергія пружної хвилі Незважаючи на те, що під час поширення звукової хвилі в середовищі відсутній перенос її маси, коливний рух частинок супроводжується обміном між ними енергії. Тому коливна частинка завдяки наявності енергії, здатна виконувати певну роботу проти пружних сил, зміщуючись при цьому з положення рівноваги. Розглядатимемо коливання елементарної маси речовини , (6.10.1) яка скріплена з іншими елементарними масами пружними зв’язками із жорстикостю . Тоді кінетична енергія елементарного об’єму масою буде дорівнювати (6.10.2) яка , згідно із законом збереження , періодично перетворюється в потенціальну (6.10.3) Повна енергія , зосереджена в елементарному об’ємі , дорівнює сумі . Тому доцільно ввести об’ємну густину . (6.10.4) Для характеристики процесу переносу енергії зручно також ввести так званий енергетичний потік (6.10.5) крізь довільну елементарну поверхню площею протягом проміжку часу . Для хвильового збудження із плоским фронтом, що поширюється в деякому напрямку із швидкістю , добуток дорівнює елементарному об’єму . Тому зробивши такі перетворення (6.10.6) приходимо до висновку, що векторна величина має певний фізичний зміст - дорівнює він добутку об’ємної густини енергії на вектор швидкості поширення звукової хвилі. Вектор називається вектором Умова-Пойтінга . Розділ VII. Елементи механіки рідин і газів Гідроаеродинаміка – розділ гідроаеромеханіки, який вивчає закони руху рідин та газів, а також взаємодії рідин та газів із твердими тілами при їх відносному русі. Гідроаеростатика – розділ гідроаеродинаміки, у якому досліджуються умови та закономірності рівноваги рідини та газів під впливом прикладених до них сил, а також умови рівноваги твердих тіл, які знаходяться в рідинах та газах. § 7.1. Рідкий і газоподібний стани речовини. Загальні відомості Рідина в механіці – це довільне тіло, яке здатне безперервно текти під дією сталої сили зсуву вздовж дотичної до поверхні. Ця сила спрамована вздовж поверхні, спричиняє появу зсувної механічної напруги, внаслідок чого рідина весь час змінює свій об’єм і тече. На відміну від пружних тіл, в рідинах довільне дотичне зусилля може спричинити безмежно велику зсувну напругу. Поводити себе так можуть лише рідини і гази, але при дуже високих температурах ще й тверді тіла. Саме завдяки значній рухливості молекул та атомів рідини і гази мають суттєву текучість і не втримують самостійно своєї форми, а приймають форму посудини. В рідинах молекули щільно прилягають одна до одної і молекулярні сили притягання переважають над силами відштовхування. Тому, на відміну від газів, рідини майже не піддаються стисненню і спричиняють великий опір під час зміни їх об’єму. Для рідин об’єм досить незначно змінюється з підвищенням температури. В газах середні відстані між молекулами такі, що під час їх руху більшу частину свого шляху вони перебувають поза полем помітної дії молекулярних сил, і рух молекул від удару до удару відбувається майже прямолінійно. В основі сучасних теорій про рідину лежить положення про те, що її будова більше нагадує будову твердих тіл, ніж газів. Але, якщо в твердих тілах випадкові удари сусідніх атомів практично не змінюють центр коливань атома навколо положення рівноваги, то в рідинах внаслідок ударів, молекули частіше перескакують з одного стану рівноваги в інший. Тому молекула рідини веде так зване “осідло – кочове” існування. До того ж коливання молекул рідини мають не лише поступальний, але й обертовий характер, внаслідок чого її рух значно ускладнюється. Сили, що діють на обмежений об’єм рідини, поділяють на внутрішні і зовнішні. До внутрішніх належать сили взаємодії між атомами і молекулами, а до зовнішніх - сили поверхневого натягу, що обмежують об’єм рідини; сили реакції стінок посудини, в якій знаходиться рідина, та об’ємні сили, наприклад, тяжіння, які розподілені по всьому об’єму. Об’ємні сили діють на рідину стискувано, тому завжди спрямовані вздовж напряму внутрішньої нормалі до цієї точки поверхні. Довільні сили, що діють на рідину або газ, спричиняють в них тиск. За означенням середнє значення тиску дорівнює результуючій об’ємній силі , що діє на одиницю площі в напрямку її вектора нормалі : . (7.1.1) Одиниця тиску – паскаль . Позасистемними є технічна і фізична атмосфери ( і ) та міліметр ртутного стовпа (): . З метою встановлення загальних закономірностей, в подальшому розглядатимемо ідеальну рідину. Ідеальною вважається така рідина, яка абсолютно нестискувана і не чинить опору силам розтягу і зсуву, тобто є нев’язкою. Реальна ж рідина хоч і може мати досить малу стискуваність, однак проявляє певний опір зсувним механічним напругам, що призводять до її в’язкості. Стисливість – це здатність рідини змінювати свій об’єм під час зміни тиску. Мірою стисливості рідин служить коефіцієнт об’ємного стиску . Він визначається як відношення зміни її об’єму при зміні тиску на величину до початкового об’єму : . (7.1.2) Знак мінус відображає той факт, що під час збільшення тиску об’єм рідини зменшується. Для гіпотетично нестискуваної рідини . Таке припущення значно спрощує аналітичні розв’язки багатьох практичних задач. Оскільки швидкість звуку в рідкому середовищі , то коефіцієнт об’ємного стиску . (7.1.3) Відомо, що після припинення зовнішньої дії на середовище, останнє намагається у тій чи іншій мірі відновити свій об’єм. Ця властивість виражає його пружність. Для якісної характеристики пружності використовується поняття модуля об’ємної пружності , (7.1.4) який обернений до коефіцієнту стисливості . Модулі пружності і стискуваності не є сталими величинами, а змінюються під час зміни тиску і температури. Температурне розширення. Зміна об’єму рідини від температури описується співвідношенням , (7.1.5) де - коефіцієнт температурного розширення. Виштовхування рідиною занурених у неї тіл. Закон Архімеда. Відомо, що на тіло, занурене в рідину, діє крім сили земного тяжіння ще й інша – виштовхувальна сила. Вона спрямована у протилежному напрямі до дії сили тяжіння і називається силою Архімеда. Архімед встановив такий закон: На тіло занурене в рідину, діє спрямована вгору виштовхувальна сила, яка за своєю величиною дорівнює вазі рідини, витісненої зануреної в рідину частиною цього тіла.. Ця сила діє на всі тіла, в тому числі й на ті, які тонуть.Згідно із законом Архімеда занурене в рідину тіло зменшує свою вагу настільки, що вага витісненої ним рідини дорівнює вазі самого тіла. На практиці закон Архімеда має широке застосування для вимірювання густини електроліту в акумуляторі або густини антифризу в охолоджуваних батереях. Такий прилад називається ареометром. Принцип його дії побудований на тому, що вага рідини (електроліту або антифризу) змінюється із зміною її густини. Тому змінюватиметься і глибина занурення в неї тіла (поплавка), за чим і визначають густину. Виштовхувальна сила в газах використовується для польотів дирижаблів або повітряних куль – зондів для проведення досліджень процесів в атмосфері. Умова плавання тіл: Тіло плаватиме в рідині, якщо сила тяжіння дорівнює архімедової, спливає, якщо менша і тоне, коли більша. § 7.2. Гідростатичний тиск рідини. Закон Паскаля Гідростатикою називається розділ фізики, який досліджує закони рівноваги рідин. Важливим параметром, що описує рівновагу рідин є гідростатичний тиск. Він зумовлений проявом дії сил земного тяжіння на нерухомий стан рідини. Суть його полягає в тому, що зі сторони дна посудини площею на рідину масою діє сила реакції , тому величина гідростатичного тиску дорівнює , (7.2.1) де -висота рідини в посудині. Це середнє значення тиску. Його сила спрямована вздовж внутрішньої нормалі до площі. Величина цього тиску в довільній точці не залежить від орієнтації площі . Тому, якщо в певній точці тиск зміниться на деяку величину , то на таку ж саму величину зміниться тиск і в іншій її точці. Ця закономірність виражає відомий закон Паскаля. В рідинах і газах тиск спричинюється різними фізичними факторами. Якщо в газах він зумовлений передачею стінці рухомими молекулами в процесі пружного удару деякого імпульсу, то в рідинах тиск зумовлений проявом коливних рухів молекул в потенціальних ямах, спричинених силами взаємодій між ними. Ці сили можна собі уявляти як пружbнки, за допомогою яких між собою сполучені кульки, що зображають молекули. Але між молекулами на певних відстанях виникають ще й сили відштовхування. Тому завдяки останнім стінки посудини зазнають додаткового тиску, особливо в умовах, коли молекули змушені витримувати на собі вагу молекул, що розташовані вище над ними. У відкритій нерухомій посудині повна різниця сил тиску, яка діє зверху вниз, як це зображено на рис.7.2.1 і рис.7.2.2, дорівнює . (7.2.2) Обчислений за цією формулою тиск нерухомої рідини у відкритій посудині ще називають абсолютним. Перевищення абсолютного тиску над атмосферним називають надлишковим або манометричним тиском. На поверхні Землі атмосферний тиск
Рис.7.2.1 Рис.7.2.2 спричиняє дію на поверхню одиничної площі із силою Па, що еквівалентно тискові ртутного стовпа висотою в 0.76 м, або водяного, висотою в 13.6 м. Рівняння (7.2.3) покладено в основу роботи гідравлічних пресів і сифонів. Незалежність тиску від площі поверхні дна відображає суть відомого гідростатичного парадоксу Паскаля. Суть його полягає в тому, що рідини в різних за формою посудинах є зрівноважені між собою, оскільки тиск рідини на глибині дорівнює тискові на її поверхню оточуючої атмосфери , плюс величина, що пропорційна глибині занурення тіла . (7.2.3) У випадку неоднорідної рідини для кожного шару з однаковою густиною рівняння (7.2.2) буде справедливим у диференційній формі , яке, для відомого закону зміни густини від вертикальної координати , набуде такого вигляду , де відповідає тискові на поверхні рідини. Закон сполучених посудин. У сполучених посудинах висоти стовпів різнорідних рідин над рівнем поділу, обернено пропорційні густинам рідин: або . (7.24) Якщо , то рівні стовпів однорідної рідини у сполучених посудинах встановлюються на одній і тій самій висоті. § 7.4. Кінематика руху рідини. Лінії та трубки течії. Рівняння нерозривності. Гідродинамічний та балістичний опір У кінематиці рідини вивчають геометричні і кінематичні властивості її руху. Рух рідини вважають геометрично визначеним, якщо положення кожної матеріальної частинки рідини відоме в кожну задану мить часу. Незважаючи на всю складність і різноманітність руху рідини, його можна класифікувати на підставі певних загальних ознак. Перш за все рух рідини поділяють на стаціонарний і нестаціонарний. Нестаціонарним називається такий потік, під час якого змінюються його швидкість, тиск і глибина. Якщо ці параметри не змінюються з часом, то потік рідини відноситься до стаціонарного. Стаціонарний потік в свою чергу поділяють на рівномірний і нерівномірний. У рівномірному потоці швидкість,тиск і розподіл густини маси рідини по перерізу при сталій його формі не змінюються з часом, інакше потік нерівномірний. Існує два методи вивчення руху рідини: метод Лагранжа і метод Ейлера. В методі Лагранжа досліджується траєкторії руху окремих зафіксованих частинок рідини, тоді як у методі Ейлера стежать на за частинкою, а за окремими точками простору і визначають швидкості і прискорення частинок, що проходять через ці точки простору. Тому потік рідини описують так званим полем швидкостей і полем прискорень. Взагалі вважається, що розділ гідродинаміки, який вивчає рух рідини, є одним з найскладніших. Тому, щоб спростити подальший розгляд кінематики руху рідини допустимо, що вона ідеальна і вважатимемо, що її рух повільний настільки, що завихрення незначні і ними можна знехтувати. Також будемо вважати, що відсутнє тертя між рідиною і стінками посудини. В тривимірній системі координат складові проекції швидкості на осі дорівнюють , (7.4.1) звідки одержуємо, що . (7.4.2) Рівняння (7.4.2) описують ліній течії. Це лінії, дотична до яких у кожній точці збігається з напрямом швидкості течії. Сукупність ліній течії утворює трубку течії, що дає змогу уявити про їх густоту. Рідину, що тече всередині трубки течії, називають елементарною струминкою або струменем. Елементарна струминка має такі основні властивості: При усталеному русі форма елементарної струминки з часом не змінюється, а при неусталеному – змінюється; Площі нормальних перерізів струминки нескінченно малі, але разом з тим неоднакові в різних місцях, тобто густота ліній течії всередині цієї трубки може збільшуватись і зменшуватись; 3) В усіх точках певного нормального перерізу струминки швидкості однакові, що випливає із умови нескінченно малої величини самих перерізів, але при переході від одного перерізу до іншого швидкості змінюються. Рис.7.4.1 Струмені чи лінії течії у вигляді графічних ліній зображені на рис.7.4.1. Бачимо, що дотичні до них співпадають з напрямами векторів швидкостей частинок рідини в цих точках. Лінії течій проводяться так, щоб їх густота (відношення кількості ліній до площі поперечного перерізу, через яку вони проходять) відображала величину швидкості потоку. Сукупність цих ліній і складає течію рідини в цілому. Потік рідини поділяється на стаціонарний, ламінарний та турбулентний. В стаціонарному потоці в кожній його точці форма і розташування ліній течії, а також швидкість потоку не змінюються з часом. В ламінарному потоці шари рідни ковзають один відносно одного, не перемішуючись, в чому легко переконатись, спостерігаючи за рухом підфарбованої рідини. Стаціонарна течія може бути лише ламінарною. В цьому випадку форма траєкторій частинок не змінюється з часом і збігається з лініями течії. В турбулентному потоці відбувається перемішування рідини. Якщо рідина абсолютно нестискувана , то в трубці течії (рис.7.4.1) згідно із законом збереження маси, кількість перенесеної протягом одиниці часу маси рідини через довільний переріз залишається незмінним, тобто (7.4.3) і задовольняється рівність . (7.4.4) Одержананий вираз називається рівнянням нерозривності потоку нестискуваної рідини. Він свідчить воно про те, що під час стаціонарної течії, швидкості руху рідини через два довільних перерізи трубки обернено пропорційні площам цих перерізів. Таким чином, чим вужча трубка, тим більша швидкість руху рідини через відповідний переріз. До важливих характеристик потоку рідини відносять: елементарну масу потоку через елементарний переріз , (7.4.5) його елементарного об’єму , (7.4.6) середня швидкість потоку (7.4.7) і середня масова швидкість . (7.4.8)
а б Рис.7.4.2 Виявляється, що безмежно мала кількість рідини під час свого руху змінює не лише положення в просторі, але й форму. Зміна форми пов’язана з тим, що швидкості її частинок можуть мати не лише різні значення і різні напрямки. Такий рух рідини належить до турбулентного. В цьому випадку функціями координат є також і складові швидкостей і, із-за в’язкості рідини, утворюються вихори. У турбулентній течії на утворення вихорів затрачається додаткова енергія. Отже, рух нескінченно малої частинки рідини складається з лінійного переміщення, лінійної (стиск і розтяг) і кутової (кручення) деформації та обертального руху навколо миттєвих осей. Якщо обертання рідини відсутнє, то такий рух називають безвихровим або потенціальним. Рух наближається до безвихрового при русі великих мас рідини на значній відстані від стінок і дна русла. Поблизу поверхонь він має вихровий характер. У цьому випадку рідина зазнає ще й обертального руху із певною кутовою швидкістю . Подвійне значення вектора кутової швидкості називається вихором. Лінія, дотична до якої у кожній її точці збігається з напрямом вихора, називається вихровою лінією. Частинки рідини, що розташовані на вихровій лінії, обертаються навколо неї. Сукупність вихрових ліній, проведених через малий замкнений контур, називають вихровою трубкою, а сукупність частинок усередині її – вихровим шнуром, який має кінці на границях рідини або може бути замкненим. Вихрові шнури зображені на рис.7.4.2. Шнур , що зображений на рис.7.4.2,а, можна спостерігати під час витікання рідини через отвір в дні посудини. На своєму шляху рідина може мати джерела, звідки вона витікає, та стоки – куди рідина збігається. На практиці стоком є отвір обмежених розмірів. Гідродинамічний опір. Під час руху тіла в рідині чи руху рідини відносно нього, тіло діє діє на рідину, розсуваючи на своєму шляху її молекули. За третім законом Ньютона, рідина штовхає тіло назад з однаковою, але протилежною за напрямком силою. Отже, під час руху тіла в рідині чи газі воно зазнає гідродинамічного опору. Напрям сили гідродинамічного опору завжди протилежний до швидкості тіла відносно рідини. Її величина зазвичай залежить від швидкості руху. За невеликих швидкостей величина сили опору пропорційна до швидкості , (7.4.9) де – коефіцієнт пропорційності, який залежить від форми і розмірів тіла та властивостей рідини. За значних швидкостей сила опору пропорційна квадрату швидкості . (7.4.10) Інколи силу (7.4.10) називають лобовим опором.
§ 7.5. Гідродинамічний тиск рухомої рідини. Рівняння Бернуллі і Пуазейля
Закон Бернуллі. Розглянемо поступальний рух ідеальної рідини такий, що в ньому відсутні утворення вихорів у вигляді закручувань її потоків. Виділимо в потоці два перерізи рідини у трубці течії із об’ємами і , центри мас яких відносного нульового рівня знаходяться на висотах і (рис.7.4.1). Якщо в цих станах розглядувані об’ємі мають різні швидкості, то під час переходу рідини із одного стану в інший її повна механічна енергія зміниться на величину -.(7.5.1) Цей приріст енергії в ідеальній нестискуваній рідині можливий лише завдяки виконанню роботи над нею зовнішніми силами, а саме силами тиску ззовні . (7.5.2) Прирівнюючи (7.5.1) і (7.5.2) одержуємо, що за розглядуваних умов сума доданків, які мають розмірності тисків, залишається сталою . (7.5.3) Тут доданок має розмірність тиску, тому називається динамічним тиском. Одержане рівняння називається рівнянням Бернуллі. Воно формулюється так: В стаціонарному потоці ідеальної нестискуваної рідини сума статичного (тиск рідини на поверхню тіла, яке її обтікає), динамічного (сладова тиску, зумовлена рухом рідини) і гідростатичного тисків є сталою на довільному поперечному перерізі потоку. Із закону (7.5.3) випливають такі висновки: 1.Якщо рідина нерухома, то одержуємо рівняння =, (7.5.4) яке відображає зміну гідростатичного тиску в залежності від глибини занурення тіла в рідину. 2.Якщо рідина рухається в горизонтальному напрямі, то . (7.5.5) Приходимо також до висновку, що із збільшенням швидкості потоку рідини її тиск зменшується, тобто чим вужчий переріз горизонтально розташованої трубки, тим швидший потік рідини і тим менший її тиск. На цьому принципі працює водоструминний насос та трубка Прандтля або Піто (рис.7.5.1), які використовуються для вимірювання швидкості потоку рідини. Рис.7.5.1 3. Під час витоку рідини із швидкістю із отвору площею поперечного перерізу посудина одержує імпульс . (7.5.6) Це означає, що під час витоку рідини із отвору посудини, у протилежному напрямі до напряму витоку, на посудину діятиме сила , (7.5.7) яка називається реакцією витікаючого потоку рідини. Тому, коли посудину із витікаючою рідинию поставити на рухому підставку на коліщатах, то завдяки силі реакції вона почне рухатись у зворотному до потоку рідини напрямку.
Формула Пуазейля. В ідеальній (нев’язкій) рідині в’язкість відсутня або нею можна знехтувати. Ламінарний потік нестискуваної рідини підлягає рівнянню Пуазейля. Обгрунтуємо його.Нехай рідина тече в трубці радіусом . Якщо в трубці довжиною рух рідини спричинений різницею тисків , то із умови рівномірного потоку (7.5.9) одержуємо, що . (7.5.10) Після інтегрування (7.5.10) в межах від , коли , до , коли , маємо . (7.5.11) Елементарний циліндричний об’єм рідини, що витікає за крізь кільцевий переріз, обмежений радіусами і (7.5.12) або . (7.5.13) Проінтегрувавши цей вираз одержимо, що або для стаціонарного потоку . (7.5.14) Вираз (7.5.14) відомий як формула Пуазейля. Він покладений в основу експериментального методу визначення динамічної в’язкості шляхом порівняння часів витоку еталонної і досліджуваної рідин однакових об’ємів. Розділ IX. Фізичні властивості ідеального газу в стані теплової рівноваги § 9.1. Основні положення молекулярно—кінетичної теорії Для дослідження руху молекул і атомів використовують молекулярно-кінетичний (статистичний) та термодинамічний методи. Теорія цих процесів називається молекулярно-кінетичною теорією (МКТ). Вона побудована для ідеального газу і в її основу покладені деякі загальні уявленнях про характер руху молекул та на ряді дослідних фактів і базується на таких положеннях. Перше положення МКТ: молекули газу рухаються хаотично. Це означає, що в газі кожний напрям для руху молекул є рівноймовірним, тобто в кожному із них в середньому рухається однакова кількість молекул. Друге положення МКТ: середня квадратична швидкість молекул пропорційна квадратному кореню із абсолютної температури . Це дослідна основа МКТ. Третє положення МКТ: середні значення кінетичних енергій теплового руху молекул різних газів, що мають однакову температуру, рівні між собою. Це положення випливає із експериментальних досліджень. В основу МКТ покладено так звану модель ідеального газу. Її ознаками є: Власний об’єм молекул газу набагато менший об’єму посудини і ним нехтують. 2) Між молекулами ідеального газу відсутні сили міжмолекулярної взаємодії на відстані. Зіткнення молекул ідеального газу між собою та із стінками посудини абсолютно пружні. Отже, ідеальний газ – це найпростіша модель системи із багатьох частинок, молекули якого ототожнюються з точковими матеріальними частками певної маси, що рухаються хаотично та безперервно, і рівномірно розподілені по всьому об’єму посудини, в якій він міститься . Наближенням до ідеального газу є розріджений реальний газ. Такий газ ще називають газом Кнудсена. Його одержують в малих об’ємах, наприклад, у капілярних трубках, або в посудинах із таким низьким тиском, що переважаючими є лише зіткнення молекул із стінками. § 9.2. Стан теплової рівноваги. Мікро- і макропараметри
Незважаючи на те, що модель ідеального газу широко застосовується для моделювання явищ молекулярної фізики , однак до неї необхідно відноситись з певною засторогою. Дійсно, з однієї сторони твердження про те, що частинки не мають розмірів ставить під сумнів інше твердження про те, що вони співударяються між собою як пружні кульки, оскільки матеріальні точки між собою співударятись не можуть. А коли молекули не співударяються між собою, то їх швидкість може з часом змінюватись лише завдяки зіткненням із стінками посудини. З іншої сторони, саме завдяки хаотичному*) тепловому рухові, безперервно відбувається обмін імпульсами між молекулами, завдяки чому їх швидкість безперервно змінюється. Тому в ідеальному газі, як в системі із багатьма частинками, суттєвими стають закономірності руху не окремих молекул, а ймовірність тієї чи іншої поведінки колективу в цілому. Завдяки зіткненням молекули, так би мовити, “забувають” про свій попередній стан і з часом ( і чим більше частинок, тим швидше) їх швидкості будуть найрізноманітніші і в посудині встановиться принципово новий стан, який у фізиці називається термодинамічною (тепловою) рівновагою. В ньому дійсні значення фізичних величин, що описують ансамбль частинок, досить близькі до своїх середніх і для них передбачення статистичної фізики такі ж точні, як і передбачення механіки для систем небагатьох тіл. Газ, як багаточастинкову систему, описують за допомогою таких макроскопічних параметрів, як: тиск газу , його об’єм та термодинамічна температура . В стані термодинамічної рівноваги середні значення цих параметрів однакові у всіх ділянках об’єму, який займає газ. З іншої сторони, з позицій рівноваги для опису стану газу долучають середні значення мікроскопічних параметрів, таких як кінетична енергія частинок, їх імпульс, швидкість, тощо. Стан теплової рівноваги не змінюється з часом, якщо зовнішні умови незмінні. Такий незмінний термодинамічний стан системи називається стаціонарним. Якщо термодинамічна система ще й не обмінюється із зовнішніми тілами (так званим термостатом) ні енергією, ні частинками, ні випромінюванням, то вона є ізольована. Саме ізольована система з часом набуває стану термодинамічної рівноваги і самовільно з нього вийти не може . Це відомий перший або основний --------------------------- *) Хаотичний рух частинок, з яких складається макроскопічна система, називається тепловим. Саме тепловий рух визначає внутрішній стан кожного макроскопічного тіла. постулат термодинаміки. Тому станом теплової рівноваги є стаціонарний стан термодинамічно ізольованої системи. Постулат про самовільний перехід ізольованої системи в рівноважний стан і необмежений час її перебування в ньому не є абсолютним законом природи, а відображає лише найбільш ймовірну поведінку системи із багатьма частинками. В цьому стані значнення макроскопічних параметрів з часом не змінюються і характеризують загальну тенденцію поведінки колективу, а спектр їх кількісних значень виражає усереднену картину руху молекул чи атомів зокрема. Для молекулярно-кінетичної теорії принциповим є таке твердження: Існує зв’язок між значеннями макроскопічних параметрів, що стосуються газу як системи в цілому, та середніми значеннями мікроскопічних параметрів його частинок. Формули, що його встановлюють, названо основними рівняннями молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу. Термодинаміку, як науку, не цікавить конкретна будова атомів чи молекул, механізм тих чи інших мікроскопічних явищ. Її основним завданням є встановлення взаємозв’язоку між макроскопічними властивостями системи в рівноважному стані, який описується узагальненим рівнянням . (9.2.1) § 9.4. Основне рівняння МКТ Основним рівнянням МКТ ідеального газу називається рівняння, яке встановлює взаємозв’язок між тиском газу , його об’ємом і енергією теплового руху . Розглянемо фізичний принцип обгрунтування цього рівняння. Перш за все зауважимо, що тиск газу на стінки посудини зумовлений тим, що його молекули або атоми рухаються і під час ударів передають стінці деякий імпульс. Розглянемо рух однієї молекули у напрямку, перпендикулярному до поверні стінки посудини. Якщо її маса , швидкість і удар в стінку абсолютно пружний, то з позицій класичної фізики тиск , який створять на стінку молекул – це відношення імпульсу, переданого поверхні одиничної площі за певний проміжок часу, до величини цього проміжку . (9.4.1) Однак при цьому необхідно прийняти до уваги таке: 1) За умови, що в газі існує стан теплової рівноваги, усі напрями в тривимірному просторі декартових координат є рівноймовірні. Для поступального руху їх шість - по два вздовж кожної із осей: . Тому результат (9.4.1) насправді необхідно зменшити в шість разів. 2) Обчислений у такий спосіб тиск був би швидкозмінною функцією часу (в різні моменти до стінки підлітає різна кількість частинок з різними швидкостями), тоді як при незмінних об’ємі і мірі нагрітості газу манометр фіксуватиме сталий тиск. Давач тиску не реагує на швидкі зміни миттєвого значення тиску, оскільки він вимірює його середнє значення за час, який значно більший від часу флуктуації тиску. У стані теплової рівноваги, якщо вважати, що такий встановився, колективною мірою теплового руху ансамблю частинок в цілому є середнє арифметичне значення кінетичної енергії =, (9.4.2) оскільки воно практично не відчуває особливості руху кожної частинки зокрема. Усереднене за ансамблем значення швидкості , (9.4.3) називається її середнім квадратичнм значенням, хоч й надалі залишається мікроскопічним параметром системи, де макроскопічний об’єм визначений як . (9.4.4) Отже, за розглядуваних умов газ із концентрацією у стані теплової рівноваги на стінки посудини створюватиме тиск, середнє значення якого дорівнює (9.4.5) Одержане рівняння є одним із основних рівнянь МКТ для ідеального газу. Його ще називають основним рівнянням кінетичної теорії газів. Воно не лише пов’язує між собою макро- і мікропараметри ідеального газу, але й стверджує про те, що тиск газу, що зумовлений ударами молекул об стінку в їхньому хаотичному русі, чисельно дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії.Як випливає із (9.4.5), тиск – це статистична величина, усереднене значення якої виражає прояв дії великої кількості молекул. § 9.5. Поняття про абсолютну термодинамічну температуру ідеального газу. Принципи побудови інших шкал температур Основне рівняння МКТ ідеального газу встановлює зв’язок макроскопічних параметрівіз його мікроскопічною характеристикою , оскільки саме мікроскопічні рухи молекул всередині газу зумовлюють його тиск в об’ємі. Експериментально було встановлено, що чим більш нагрітий газ, тим інтенсивніше рухаються його молекули. Тому мірою нагрітості газу могла б бути середня кінетична енергія теплового руху . Однак маса молекули досить мала величина, наприклад, . Це означає, що в практиці користуватись величиною , як одиницею міри нагрітості фізичної системи, незручно, та й безпосередньо її вимірювати важко. Міру нагрітості ансаблю частинок у стані теплової рівноваги зручніше характеризувати макроскопічним параметром. Больцман запропонував ввести так звану термодинамічну температуру , як величину, яка пропорційна середньому значенню енергії теплового руху молекул (. (9.5.1) Ввівши коефіцієнт пропорційності , який вбирає в себе вище зазначену малість маси молекули*), як (9.5.2) переконуємось, що на новій шкалі температур за умови всі молекули припиняють свій тепловий рух. Отже, нова шкала міри нагрітості газу відлічується від нуля, тому відповідна міра називається абсолютною температурою або температурою за Кельвіном (). Коефіцієнт пропорційності називається сталою Больцмана. Приймаючи до уваги той факт, що одноатомна молекула має три ступені вільності, приходимо до висновку, що основне рівняння МКТ можна записати у такому вигляді: . (9.5.3) -------------- *) Згідно з теоремою про розподіл енергії (див.§ 9.11) на одну ступінь вільності припадає теплова енергія . Тому для одноатомної молекули з трьома ступенями вільності Незважаючі на те, що у фізиці для характеристики міри § 9.6. Рівняння Клапейрона-Менделеєва та застосування його до ізопроцесів В молекулярній фізиці зручною величиною є молярна маса, де – атомна маса. Відношення називається кількістю молей**). Авогадро встановив, що: Oдин моль будь-якого газу при однакових температурах і тисках займають однакові об’єми. Це означає, що в одному молі довільного газу є однакова кількість молекул . (9.6.1) Ця кількість називається числом Авогадро. Тоді масу окремого атома можна визначити, поділивши його молярну масу на число *) Температура потрійної точки дорівнює Авогадро. *) Моль – це кількість однорідної речовини, яка містить стільки молекул, скільки міститься атомів у вуглецю Рівняння Менделеєва-Клапейрона. Ізопроцеси. Перетворивши рівняння (9.5.4) як: одержимо рівняння іншого виду , (9.6.2) яке називається рівнянням Менделеєва-Клапейрона. Тут коефіцієнт пропорційності (9.6.3) називається універсальною газовою сталою. Формула (9.6.3) справедлива для розрідженого газу, коли він найбільш подібний до ідеального: у порівнянні із об’ємом посудини, самі молекули займають малий об'єм. Зіткнення між молекулами відіграватимуть роль лише тоді, коли газ виведений із стану рівноваги. Застосуємо рівняння Менделеєва-Клапейрона для опису ізопроцесів. Ізопроцесами називаються такі , які відбуваються при сталих : 1) тиску, - ізобарний; 2) об’ємі, - ізохорний; (9.6.4) 3) температурі, - ізотермічний. Якщо в процесі переходу газу із одного стану в інший підтримується сталим тиск газу , то в його початковому і кінцевому станах він описується рівняннями , звідки рівняння ізобарного процесу запишеться так або . (9.6.5) Це рівняння виражає закон Гей-Люссака. На підставі рівняння ізобари одержують закон зміни об’єму газу від температури , (9.6.6) де –коефіцієнт об’ємного розширення, який дорівнює . Якщо , то аналогічним чином одержуємо рівняння ізохорного процесу: або . (9.6.7) Це рівняння виражає закон Шарля, який описує залежність тиску газу від температури , де –коефіцієнт зміни тиску, який дорівнює , як і коефіцієнт об’ємного розширення. Рівняння ізотермічного процесу записується так: або . (9.6.8) Закон (9.6.8) відомий як закон Бойля-Маріотта. Він стверджує, що при сталій температурі під час розширення тиск газу зменшується.
§9.8. Макроскопічні параметри стану суміші газів. Закон Дальтона
До цього часу ми розглядали тиск, що створювався газом одного виду. Дальтон встановив, що тиск суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків його складових , (9.8.1) де -парціальні тиски складових суміші кожної із -ої компоненти в цьому об’ємі. Парціальним називається тиск, який створює кожний із газів зокрема, якби він займав цей об’єм сам по собі, без інших газів суміші. Оскільки у стані теплової рівноваги температури різних газів однакові, то згідно із основним рівнянням МКТ (9.8.2) одержуємо, що відношення значень середніх квадратичних швидкостей теплового руху молекул його складових поропорційне відношенню обернених величин їх мас. Розглянемо алгоритм розрахунку тиску суміші газів . Нехай дві посудини і заповнені газами із молярними масамиі , в яких є кількість молів і під парціальними тисками і . Якщо їх сполучити трубкою, то гази змішаються і створять тиск . §9.9. Поняття про термодинамічну ймовірність мікростану З точки зору механіки відомим вважається стан системи, якщо в цей момент визначені координата і швидкість її складових. Тому, здавалося б, простежити за характером зміни станів системи із багатьма частинками найприродніше було б за допомогою опису її на основі законів Ньютона. Проте це не так і ось чому. Для опису системи із частинок необхідно розв’язувати систему із рівняь (одна частинка має три ступені вільності). Для цього потрібно сформулювати початкових умов, із них три для координат і три для складових швидкостей вздовж цих координат. Зрозуміло, що розв’язати цю кількість рівнянь не можливо. Цього робити й нема потреби, оскільки виявляється, що макроскопічні властивості системи із багатьма частинками просто не залежать від початкових умов. Та нема необхідності спостерігати за рухом кожної молекули зокрема. Цей деталізований підхід відомий як мікроскопічний. Що стосується системи із багатьма частинками, то, як вже встановлено нами у попередніх параграфах, опис її зручніше проводити за допомогою макроскопічних параметрів, адже в стані рівноваги поводження системи найпростіше і її макроскопічні параметри не залежать від часу і виражають суть усереднених мікроскопічних закономірностей системи. В цьому й полягає перевага статистичного підходу до опису фізичних властивостей ансамблю з величезною кількістю частинок. З точки зору статистичного підходу, поведінку систем із багатьма частинками зручно моделювати з точки зору такого фізичного поняття як ймовірність перебування системи в певному мікростані. Поняття ймовірності є первинним. Вона не встановлюється, а постулююється і виражає найбільш правдоподібну фізичну картину багаторазових повторень одного і того ж випадкового мікростану стану системи і є безвимірною величиною. Визначаючи ймовірність мікростану, необхідно розрізняти як середнє за часом, так середнє за ансамблем. Якщо у стані система має значення внутрішнього параметра і перебуває в ньому протягом часу з достатньо великого інтервалу , то відношення (9.9.1) визначає ймовірність перебування системи у - стані. Тоді середнє значення величини буде дорівнювати . (9.9.2) Однак усереднення за часом вимагає проведення довготривалих спостережень за системою і не дозволяє будувати ефективний аппарат статистичної фізики. Подолати ці труднощі вдається шляхом введення в розгляд усереднених фізичних параметрів системи за кількістю частинок (ансамблем) як . (9.9.3) Суть рівності (9.9.3) означає, що визначаємо ймовірність великої кількості допустимих мікростанів станів ансамблю, замість того, щоб знаходити ймовірність певного із них шляхом тривалого спостереженням за одним. Тоді середнє значення фізичної величини визначатиметься як її середнє за ансамблем . (9.9.4) Як доводиться в теорії ймовірності, чим більша кількість мікростанів, тим менша амплітуда флуктуацій стану системи від найбільш ймовірного. При ймовірність флуктуацій прямує до нуля. Тому макроскопічні закони, які одержуються на основі статистичних уявлень про рух частинок, є точними. §9.10. Функція розподілу та її фізичний зміст. Розподіл Максвелла та його експериментальне підтвердження Молекулярний рух та співудари між частинками газу має хаотичний характер, завдяки якому встановлюється рівноважний стан. Як бачимо із (9.8.2), в рівняння для усередненого тиску газу входить середня квадратична швидкість молекул. Нагадаємо, що вона характеризує швидкість руху молекул газу в цілому і виражає макростан системи у стані термодинамічної рівноваги, хоч насправді є її мікропараметром. Однак, безперервний хаотичний рух ніяким чином не відображає «безладдя» ансамблю частинок. Внаслідок співударів змінюються як швидкості молекул, так і напрямки їх рухів. Виявляється, що при цьому встановлюється стійкий розподіл молекул за швидкостями та їх напрямом. Це рівноважний стан і вньому характер зміни швидкостей встановлюється не довільний, а цілком природний і описується так званим розподілом молекул за швидкостями. Основною його закономірністю є те, що всі напрямки швидкостей молекул газу зустрічаються однаково часто. Обгрунтуємо функцію цього розподілу. Відразу зазначимо, що нас цікавитиме, не відносна кількість молекул в газі із заданими швидкостями, а та відносна їх кількість, швидкості яких знаходяться в певному проміжку. Спочатку розглянемо розподіл молекул за складовими швидкостей в одному із інтервалів (9.10.1) шириною , де . Можна допустити, що ширина цього інтервалу пропорційна відносній кількості частинок в ньому . (9.10.2) Тоді логічно ввести коефіцієнт пропорційності , який в загальному виражатиме функцію розподілу молекул за проекціями швидкостей . (9.10.3) Функція розподілу повинна бути симетричною відносно заміни , не залежити від напрямку, оскіль всі вони одинаково дозволені, якщо задовольняється умова про ізотропність газу в стані рівноваги. Якби ця умова порушилась, то в певний момент в якомусь напрямку простору почала б рухатись більша кількість молекул і без зовнішніх впливів газ в цьому напрямку почав би рухатись. Обгрунтуємо загальний вигляд функції . Для цього розглянемо добуток , (9.10.4) який також є мірою ймовірності. Оскільки кожна із цих функцій виражає незалежну подію, то при незмінності параметрів системи добуток (9.10.4) сталий, тому, тричі його продифереціювавши по , і і поділивши одержаний результат на сталу отримаємо рівність . (9.10.5) Швидкості в різних напрямках є однаково ймовірними. Тому зі зміною складових загальна швидкість не змінюватиметься: =. (9.10.6)Продиференціювавши цей вираз по незалежних змінних і домноживши результат диференціювання на довільну сталу та додавши до нього (9.10.5), дістанемо таке диференціальне рівняння: (9.10.7) Ця рівність виконується лише в тому випадку, коли кожний вираз у квадратних дужках буде дорівнювати нулеві: Тому якщо їх проінтегрувати, то одержимо, що і функція розподілу матиме експоненційний вигляд . (9.10.8) Функція (9.10.8) називається функцією Максвелла. Для двох значень температур (суцільний контур) і (пуктирна крива) графіки функції (9.10.8) зображені на рис.9.10.1. Отже, з ростом температури зменшується амплітуда максимума і контур розширюється. Це означає, що чим вища температура, тим більша ймовірність знайти в газі молекулу із більшим значенням складової швидкості. При нижчих температурах навпаки, більш ймовірні менші значення складових швидкостей молекул. Функція розподілу (9.10.8) повинна бути парною відносно заміни , тобто і симетричною відосно значення . Щоб при безмежно великих значеннях функція розподілу прямувала до нуля, в показнику (9.10.8) записаний знак мінус. Це означає, що безмежно велике значення повинно бути безмежно мало ймовірним, оскільки одна молекула не може відібрати енергію в усього газу. Максимум функції локалізований в точці з координатами . Рис.9.10.1
В формулі (9.10.8) стала визначається із так званої умови нормування (9.10.9) звідки , . Тут прийнято до уваги, що інтеграл . Він відомий як інтеграл Пуассона. Обгрунтуємо функцію Максвелла розподілу молекул за абсолютними швидкостями. Вона відображає відносну кількість молекул, швидкості яких лежить в межах інтервалу . На основі теореми (9.10.3) та (9.10.8) в елементарному об’ємі простору швидкостей шукана функція розподілу . (9.10.10) Для неї також задовольняється умова нормування (9.10.11) яка означає, що сумарна ймовірність дорівнює одиниці того, що молекула повинна мати деяку швидкість, також і . Визначивши сталу інтегрування одержимо, що . (9.10.12) Ця функція називається розподілом Максвелла для модуля швидкості або закон Максвелла. Її графік приведений на рис.9.10.2. Одержаний закон розподілу молекул за швидкостями або енергіями в стані термодинамічної рівноваги – це один з основних законів класичної фізики, аналогічно як закон всесвітнього тяжіння та інші закони. Всякий інший розподіл, не експоненційного характеру, не сумісний із законом збереження енергії. Головні закономірності функції розподілу Максвелла. Функція розподілу розпочинається з нульового значення при і прямує до нього при . Це означає, що при відмінній від нуля температуріі в газі немає нерухомих молекул і не існує молекул із безмежно великими швидкостями. Функція розподілу є добутком експоненти і . Оскільки із зростанням швидкості молекули експонційний множник зменшується швидше, ніж зростає множник , то функція досягає максимуму, коли швидкість молекули приймає найбільш йомовірне значення (рис.9.10.2). Несиметричність розподілу відносно максимуму функції. Це свідчить про те, що за цих умов в об’ємі газу швидших молекул більше, ніж повільних. Найбільш ймовірне значення абсолютної швидкості і визначається як розв’язок рівняння , який дорівнює . (9.10.13) Ця швидкість є найбільш імовірною. Із (9.10.13) випливає, що із зростанням температури найбільш ймовірної швидкості збільшується і в цьому напрямку зсувається максимум функції розподілу. Розподіл Максвелла не залежить від структури молекул, ні від того, як вони взаємодіють. Рух молекул задовольняє закони статистичної фізики. Причому в середньому енергії і швидкості молекул при заданій температурі однакові, однак в кожний момент енергії і швидкості окремих молекул можуть суттєво відрізнятись від середнього значення. Із збільшенням температури збільшується відносна кількість молекул із більшими швидкостями. Підставивши (9.10.13) в (9.10.12) одержуємо, що . Бачимо, що зі збільшенням температури максимум функціх розподілу зменшується. Рис.9.10.2 6. Якщо ввевсти в розгляд відносну швидкість молекули , то кількість молекул , відносні швидкості яких лежать в інтервалі від до , дорівнюватиме . (9.10.14) За своїм характером він не відрізняється від (9.8.4). 7. Згідно із розподілом (9.10.9), середня швидкість молекули дорівнює . (9.10.15) Порівнявши це значення із середньою квадратичною швидкістю (9.10.1) переконуємось, що середня швидкість на 7% більша, ніж середньо квадратична, однак середня квадратична швидкість дещо більша від найбільш ймовірної. Величина (9.10.16) називається дисперсією (розкидом).Отже, перконуємось, що величина визначає ту природну невизначеність в швидкостях молекул, яка зумовлена їх тепловим рухом. 8.Площа під кожною кривою розподілу дорівнює повному числу молекул в системі. Тому при зміні температури площа під кривою розподілу залишається сталою, оскільки загальна кількість молекул газу при цьому не змінюється. Від розподілу молекул за абсолютними швидкостями можна перейти до розподілу молекул за енергіями, врахувавши, що . Тоді кількість молекул , енергія яких знаходиться в межах () дорівнює (9.10.17) Це відомий розподіл Максвелла молекул за енергією теплового руху.
§9.11. Ступені вільності атомів i молекул. Закон рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності В класичній фізиці доводиться теорема про рівномірний розподіл енергії за ступенями вільності молекули. Вона стверджує, що на один ступінь вільності в середньому припадає енергія (9.11.1) Узагальнив і теоретично довів цей висновок для всіх ступеней вільностей Больцман. Справджується сформульована теорема у випадку, коли система перебуває у стані теплової рівноваги. Обгрунтуємо цю формулу для одноатомного газу. Як бачимо із рис.9.11.1,а, положення в тривимірному просторі одноатомної молекули або самих атома визначається значенням трьох координат. Це означає, що енергія їх поступального руху також є функцією трьох координат, тому кажуть, що одинарні частинки мають три ступені вільності. Нагадаємо, що кількість ступенів вільності – це найменша кількість координат, які необхідно задати для того, щоб повністю визначити положення молекули в просторі. Згідно із формулою (9.9.4), середня енергія . (9.11.2) Для одноатомної молекули , тому врахувавши функцію розподілу (9.10.16) одержимо, що . (9.11.3) Отже, оскільки одноатомна молекула має три ступені вільності, то переконуємось, що на її один ступінь вільності припадає середня енергія (9.11.1).
§ 9.12. Розподіл Больцмана частинок в полі сил тяжіння. Барометрична формула
Розглянемо розподіл частинок в полі сил тяжіння із висотою. Для простоти допустимо, що температура атмосферного стовпа висотою однакова в усіх його точках. Для того, щоб одержати закон зміни тиску від висоти, розглянемо його розподіл, як це зображено на рис. 9.12.1,а. З нього випливає, що , (9.12.1) звідки одержуємо, що . (9.12.2) Знак мінус означає, що, зі зростанням висоти тиск зменшується. За умови (ізотермічна атмосфера) інтегрування (9.12.2) дає результат , де прийнята до уваги формула . Стала інтегрування визначається за початковими умовами. Якщо при (рівень моря чи океану) тиск атмосфери позначити , то одержимо, що із висотою тиск атмосфери зменшуєтьсяз висотою за експоненційним законом (рис.9.12.1,б) (9.12.3) і тим швидше, чим нижча температура. Формула (9.12.3) має практичне застосування. Перш за все вона дозволяє вимірювати висоту над рівнем моря, де тиск вважається нормальним . Тому інколи формулу (9.12.3) називають барометричною. Прилади для визначення висоти над земною поверхнею називаються альтиметрами. В них шкала градуюється в метрах, а за свєю суттю – ці прилади є барометрами. а б Рис.9.12.1 Оскільки, то одержуємо розподіл концентрації частинок газу в потенціальному полі сил тяжіння , (9.12.4) де -концентрація частинок на нульовій висоті . Залежність (9.12.4) відображає больцманівський (експоненційний) характер розподілу концентрації частинок в полі сил тяжіння. Якби не було сил тяжіння Землі, то повітря розсіялося б по всьому Всесвіту. Однак якби не було хаотичного теплового руху, то всі молекули впали б на поверхню Землі. Саме земне тяжіння і тепловий рух частинок зумовлюють больцманівський характер розподілу з висотою їх концентрації частинок і зумовленого ними тиску. Отже, якщо розподіл Максвелла виражає експоненційний розподіл частинок за кінетичною енергію, то розподіл Больцмана – експоненційну залежність частинок за потенціальноою енергією. Ця загальна спільна ознака обох розподілів не є випадковою, а виражає фундаментальний закон статистичної фізики. Статистику Максвелла-Больцмана ще називають класичною статистикою. Її можна застосовувати до атомів, іонів, молекул, але їй не підлягають електрони в металах та нуклони в ядрі. Останні описуються так званою квантовою статистикою. Розділ X. Термодинаміка рівноважних теплових процесів § 10.1. Основне завдання та загальні положення термодинаміки Ряд властивостей системи із багатьма частинками можна вивчити і без детального знання механізму молекулярних рухів, якщо користуватися тільки мaкроскопічними величинами, тобто величинами, які характеризують систему в цілому, але не мають змісту в застосуванні до окремих її складових. Як вже відомо із попереднього розділу, до цих величин перш за все належать тиск і температура. Не можна говорити про тиск і температуру однієї молекули. Основним завданням термодинаміки є дослідження термодинамічних процесів з точки зору перетворення енергії, теплоти і роботи, а загальним законом термодинаміки є закон збереження і пертворення енергії. Отже, для термодинаміки великий інтерес становить проблема як виглядає закон збереження енергії за участю теплових процесів. Для вивчення цього існує термодинамічний метод. Він не враховує внутрішню будову речовини, що вивчається, і характер руху її складових частинок, а базується тільки на виченні різних перетворень енергії, що відбуваються в системі. Сукупність макроскопічних тіл, які взаємодіють і обмінюються енергією як між собою, так і з іншими тілами та зовнішнім середовищем (термостатом), складає термодинамічну систему. Термодинаміка вивчає макроскопічні процеси в термодинамічній системі і в її основу покладені три закони, що є результатом узагальнення набутого досвіду. Перший закон термодинаміки – це закон збереження і перетворення енергії стосовно процесів, у яких бере участь теплота. Цей принцип не може дати відповідь на питання, при яких умовах повинна працювати теплова машина, щоб її к.к.д. був найбільшим. Другий закон термодинаміки вказує напрям спонтанного протікання термодинамічного процессу. Третій закон термодинаміки стверджує неможливість досягнення абсолютного нуля температури. Термодинаміка досліджує теплові властивості макроскопічних тіл, що складаються з дуже великої кількості частинок. Під час хаотичного теплового руху їх у макроскопічних тілах з’являються нові закономірності, такі як рівновага, коли незмінними і рівними своїм середнім значенням при сталих зовнішніх умовах залишаються макроскопічні величини (термодинамічні параметри), що визначають її стан. В механіці суцільних середовищ умовою механічної рівноваги є рівність тисків у кожній частині системи. Ця умова є також однією з основних умов термодинамічної рівноваги Однак, коли система не перебуває у рівновазі, то вона описується кінетичною теорією або так званою нерівноважною термодинамікою. До термодинамічних параметрів належить сукупність фізичних величин, що характеризують властивості термодинамічної системи. Основними із них є: обєм , тиск і температура . Завдяки теплообміну встановлення теплової рівноваги супроводжується процесом вирівнювання температур у різних частинах макросистеми. Тому температура в термодинаміці є фундаментальним поняттям. Введення його спричинене самим дослідом, дало можливість охарактеризувати різну ступінь нагрітості тіла, оскільки без нього неможливо констатувати сам факт встановлення теплової рівноваги. Причому це поняття не існувало ні в механіці, ні в електродинаміці. Температура – це виразник внутрішнього стану тіла і є термодинамічним параметром, або параметром стану системи. У стані термодинамічної рівноваги параметри стану системи не є незалежними, а об’єднані в певну функціональну залежність , (10.1.1) яке виражає рівняння стану системи і характеризує властивості системи у різних агрегатних станах. Як випливає із рівняння стану, температура, як є функцією стану і залежить від термодинамічних параметрів, таких як тиск і густина. Однак, температура, як і тиск та густина, не залежать від розмірів самої системи. Тоту, такі величини в термодинаміці ще називають інтенсивними, на відміну від екстенсивних – таких як об’єм, внутрішня енергія, які пропорційні розмірам самої системи. В стані рівноваги відсутні такі явища, як дифузія і теплопровідність, оскільки за своєю суттю вони належать до нерівноважних процесів, зумовлених явищами переносу. § 10.2. Оборотні і необоротні термодинамічні процеси Важливими для термодинаміки є поняття про оборотні і необоротні процеси. Поняття оборотного процесу виступає лише як ідеалізація, оскільки переважно всі природні процеси є необоротними. Причиною цього є те, що хоча б один із термодинамічних параметрів є нерівноважним, тобто його значення в різних частинах системи різне. Розглянемо газ під невагомим поршнем, який знаходиться у тепловій рівновазі із оточуючим середовищем (рис.10.2.1,а). Ізотермічно переведемо його в інший стан. Якщо поршень рухати дуже повільно, то температура газу дорівнюватиме температурі навколишнього середовища і залишатиметься весь час сталою. Тому, матимемо ізотермічне розширення газу, бо невелика кількість теплоти для розширення відразу відбиратиметься газом з навколишнього повітря. Оскільки процес відбуватиметься дуже повільно, то газ під поршнем весь час перебуватиме в термодинамічній рівновазі , між його об’ємом і тиском задовльнятиметься рівняння стану (9.6.2). Нехай на діаграмі ізотермічному розширенню газу відповідає ділянка (верхня частина замкнутої траєкторії на рис.10.2.1,б). Тепер ізотермічно стискатимемо газ. Якщо при цьому газ проходить через усі проміжні стани, в яких він перебував під час ізотермічного розширення так, щоб у навколишньому середовищі не залишилось жодних змін, то такий безмежно повільний процес є оборотний. Такими є рівноважний процес, так як довільний проміжний стан також належить до рівноважного чи рухи, які розглядаються в механіці без участі сили тертя. Процеси, що не задовольняють наведену вище умову оборотності, називаються необоротними. Під час необоротних процесів у вихідний стан система повертається іншим шляхом, наприклад, у напрямі (нижня частина замкнутої траєкторії на рис.10.2.1,б). До необоротних прпоцесів відносять деформацію а б Рис.10.2.1
пружини, розширення газу в порожнечу, теплопровідність і дифузію. Зазначимо, що під час ізотермічно повільного процесу змінюється об’єм газу, тоді як його тиск і температура залишаються сталими. Це ще раз підкреслює різну природу макроскопічності таких параметрів, як і . Якщо тиск і температура отримуються завдяки усередненню мікроскопічних величин, то об’ємом володіє і пуста посудина. Тому об’єм є макроскопічним параметром в геометричному розумінні. §10.3. Внутрішня енергія термодинамічної системи
Енергія термодинамічної системи також є функцією стану. Її повне значення у довільному стані термодинамічної системи складаєтьіз кінетичної енергії руху системи в цілому, потенціальної енергії її в полі зовнішньої сили та внутрішньої . Існування енергії обгрунтовується в механіці. Там доводиться, що кожна механічна система має енергію, яка є однозначною функцією стану, тобто залежить від координат і імпульсів та залишається незмінною для ізольованої системи. Відмінність від механіки полягає лише в тому, що термодинамічний стан описується іншими параметрами. Внутрішня енергія системи складається з енергії поступального, обертального і коливного рухів атомів чи молекул, взаємодій між ними, внутрішньої атомної енергії тощо . Однак в неї не входить потенціальна енергія частинок системи у зовнішніх поля, в тому числі таку, яку вони мають в полі земного тяжіння. Потенціальна енергія цього виду не є енергією взаємодії, а лише енергією взаємного розташування. Оскільки молекули ідеального газу не взаємодіють між собою, то до уваги приймається лише кінетична енергія їх теплового руху. Тому внутрішня енергія є функцією інших термодинамічних параметрів . Внутрішня енергія є однозначною функцією стану, тобто кожному стану відповідає тільки одне її значення. Зворотне твердження, взагалі кажучи, не справджується. Одне і те ж значення енергії може відповідати великій кількості мікростанів. Тому про такі стани говорять як про вироджені. Отже, при переході термодинамічної системи із одного стану в інший зміна внутрішньої енергії системи не залежить від форми самого шляху переходу її із стану 1 в стан 2 і дорівнює . (10.3.1) У стані термодинамічної рівноваги, внутріщня енергія є однозначною функцією температури системи, тому її елементарна зміна виражається через повний диференціал (10.3.2) і не зв’язана з макроскопічними переміщеннями частинок. Тут – кількість ступеней вільності. Нагадаємо, що згідно із законом Максвелла-Больцмана про рівномірний розподіл енергії зв ступенями вільності, для статистичної системи, що знаходиться в стані термодинамічної рівноваги при температурі , на кожний ступінь вільності теплового руху припадає в середньому кінетична енергія . Інтеграл по замкнутому контуру через проміжні стани термодинамічної системи дорівнює нулеві: . (10.3.3) Інтеграл (10.3.3) описує так званий коловий процес або цикл, як сукупність термодинамічних процесів, в результаті яких система повертається в початковий стан. Внутрішня енергія – однозначна функція термодинамічного стану системи. Кожному її стану відповідає цілком визначене значення .внутрішньої енергії. Змінити внутрішню енергію системи можна двома шляхами, або шляхом теплобміну через деяку кількість теплоти , або шляхом виконання деякої роботи . § 10.4. Кількість теплоти і її зв’язок із зміною температури системи. Дослід свідчить, що обмін внутрішньою енергією між системами або її частинами відбувається через теплообмін. Причому існують дві якісно різні причини її зміни, як через теплообмін певною кількістю теплоти, так і завдяки виконанню деякої роботи. На це вперше звернув увагу Румфорд в кінці XVIII сторіччя. Він зауважив, що під час сверління каналів в стволах гармат виділяється тепло. Є різні способи теплообміну між тілами. Теплова енергія самочинно переноситься від гарячого тіла до холоднішого шляхом конвекції, випромінювання і теплопровідності. Під час конвекції перенесення теплоти зумовлене шляхом перенесення маси самої речовини. Нагріте тіло випромінює променисту енергію. Під час теплопровідності енергія теплового руху від нагрітої частини тіла до холодної передається завдяки зіткненням з між молекулами під час їх хаотичного руху чи коливань навколо положень рівноваги. Тому елементарну зміну кількості теплоти позначають як , тобто не через повний диференціал. Кількість теплоти - це кількість енергії, що передається від одного тіла до іншого в результаті молекулярного теплообміну або шляхом випромінювання. В процесі теплообміну тіла обмінюються енергіями, завдяки чому між ними з часом встановлюється термодинамічна рівновага. Треба зазначити, що за своєю фізичною суттю під час теплопередачі фактично також виконується робота, однак не макроскопічними тілами, а мікроскопічними частинками, що рухаються. Як свідчать результати багатовікових досліджень між кількістю теплоти, яка передається системі або відбирається від неї та відповідною зміною її температури має місце прямо пропорційна залежність . (10.4.1) Тут - це коефіцієнт пропорційності і називається теплоємністю системи. Кількість теплоти (10.4.1) не залежить від фізичного стану речовини, тому вона характеризує міру нагрітості тіла, так як це властиво для температури. Вона може бути надана тілові чи забрана у нього лише за наявності різниці температур між тілом і джерелом. Тому вона здатна змінити температуру тіла, як це випливає із закону (10.4.1). Функцією агрегатного стану речовини та її складу є коефіцієнт пропорційності . Взагалі теплоємність є функцією температури. Відношення відповідних приростів (19.4.2) визначає її середнє значення, а границя при визначає теплоємність при довільному значенні температури . (10.4.3) Розглядають також питому теплоємність , молярну . Якщо процеси протікають при сталих тиску чи об’ємі, то розглядають відповідні теплоємності і . При теплообміні між тілами із різними температурами під час контакту їх температури вирівнюються. Згідно із законом збереження енергії, кількість теплоти, що віддається більш нагрітим тілом менш нагрітому, задовольняє закон Ньютона-Ріхмана .(10.4.4) Цей закон справджується і у випадку, коли в тепловий контакт приведено багато тіл. Між теплотою і роботою існує певний еквівалент. Механічний еквівалент теплоти був встановлений завдяки працям Майєра , Джоуля і Пулюя. Саме завдяки їм, закон збереження енергії був узагальнений від чисто механічних рухів машин на теплові явища. Одержані ними результати чітко довели, що обмін енергією між матеріальними тілами відбувається як через виконання роботи, так і через нагрівання тіл, тобто у формі роботи і теплоти. § 10.5. Робота під час термодинамічного процесу Поняття про роботу в термодинаміці є важливим. Під час термодинамічного процесу вона виконується або системою над зовнішніми тілами ( термостатом) або навпаки. Завдяки виконаній роботі можна змінити термодинамічний стан системи, а отже, її внутрішню енергію. Суть цього твердження полягає в тому, що кількісно цей процес визначає тиск, а його міру – зміна об’єму. Тому в термодинаміці, на відміну від механіки, робота виконується лише за умови, коли процес супроводжується зміною об’єму системи . З іншої сторони відомо, що об’єм тіл змінюється під час їх нагрівання або охолодження, що теж можна використати для перетворення “теплоти в роботу”. Особливо велике розширення спостерігається у газів, в чому легко можна переконатись, якщо нагрівати їх під вільно рухомим поршнем. Тому обчислимо роботу, яка виконується під час нагрівання газу, що знаходиться під невагомим поршнем (рис.10.2.1,а). Якщо система відкрита і поршень невагомий (рис.10.2.1), то тиск газу під ним весь час залишається сталим і дорівнює атмосферному . Тоді за умови елементарна робота визначається як скалярний добуток , де – вектор переміщення, і . (10.5.1) Знак її визначається знаком зміни елементарного об’єму . Вона додатна, якщо і від’ємна, коли . Якщо прийняти до уваги рівняння Клапейрона – Менделеєва (9.5.3), то одержимо, що елементарна робота термодинамічного процесу дорівнює . (10.5.2) На діграмі тиск–об’єм (рис.10.5.1,а) графічно робота дорівнює площі під кривою, тобто криволінійному інтегралу . (10.5.3) Найбільш цікавим в одержаному результаті є те, що система може виконувати додатну, а отже, корисну роботу під час циклічного процесу. Це означає, що газ під час розширення виконує більшу роботу, ніж затрачається на його стискання. Тому робота і теплота – це не форми енергії, а методи її передачі від одної системи до іншої.
а б Рис.10.5.1 Розглянемо роботу під час протікання ізопроцесів. Під час ізобарного процесу, тому =. (10.5.6) У випадку одного моля газу моль робота під час ізобарного процесу дорівннює і визначає фізичний зміст універсальної газової сталої як роботу, виконану під час ізобарного розширення одного моля ідеального газу при нагріванні його на один градус кельвіна . Ізохорний процес не супроводжується зміною об’єму системи, тому . Під час ізотермічного процесу зміна температури при передачі системи кількості теплоти , тому її ізотермічна теплоємність і , тобто тиск є функцією об’єму. Щоб застосувати підхід (3.10.1) до ізотермічного процесу, необхідно ізотерму на рис.10.5.1,а, розбити на елементарні процеси так, щоб в кожному із них тиск залишався сталим . Тоді на кожному із них виконується елементарна робота , а сумарна на всьому проміжку зміни стану від до буде дорівнювати . (10.5.7) Щоб обчислити (10.5.7), підставимо вираз для тиску . Тоді , звідки . (10.5.8) Незважаючи на те, що під час ізотермічного процесу вся кількість підведеної до тіла теплоти перетворюється в роботу, на практиці цей процес реалізувати не можливо. Щоб під час його протікання температура газу або робочого тіла не зменшувалась, необхідно до нього весь час підводити певну кількість теплоти, еквівалентну зовнішній роботі для його розширення. §10.6. Нульовий та перший закони термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів Вище було встановлено, що умовою термодинамічної рівноваги є рівність температур між будь-якими частинами системи. Інколи цей експериментальний факт в літературі називають нульовим законом термодинаміки. Він також належить до фундаментальних законів термодинаміки. Експериментально також було встановлено, що коли система пройшла певний термодинамічний цикл, то відношення виконаної при цьому роботи до одержаної кількості теплоти не залежить ні від циклу, ні від речовини, а залежить лише від вибору одиниці теплоти (або температури) і дорівнює . Цей механічний еквівалент теплоти дещо аналогічний принципу еквівалентності інертної і гравітаційної мас. Із принципу еквівалентності теплоти і роботи випливає, що внутрішня ененергія системи може змінюватись як за рахунок виконання роботи , так і за рахунок теплообміну деякою кількістю теплоти. Однак , оскільки кількість теплоти витрачається як для виконання деякої роботи, так і на нагрівання самої системи шляхом збільшення її внутрішньої енергії. Тому, спираючись на закон збереження енергії, можна зробити висновок , що одержана системою теплова енергія витрачається на збільшення її внутрішньої енергії і на виконання роботи системою над зовнішніми тілами . (10.6.1) Ця формула обгрунтована для ідеального газу. Однак оскільки мова йде про закон збереження енергії, то вона виконується також для теплових процесів із участю речовин будь-якого іншого агрегатного стану і має назву першого закону термодинаміки. На відміну від закону збереження механічної енергії, який виводиться із законів руху Ньютона тіла в полі консервативних сил, закон збереження енергії в термодинаміці не виводиться, а постулюється, тому й є первинним постулатом. Із (10.6.1) випливає закон еволюції системи з часом . (10.6.2) Праворуч у цій формулі відображена сумарна потужність зовнішніх сил та джерел теплоти. Закон (10.6.1) відповідає твердженню про те, що внутрішня енергія є однозначною функцією стану. Якби це було не так, то можна було б віднайти спосіб зміни енергії системи у тому ж самому стані і одержати від неї деяку кількість роботи чи теплоти без зміни стану самої системи. Тому перший закон термодинаміки формулюють ще так: Неможливо створити такий періодично діючий пристрій, який здійснював би роботу тільки за рахунок власної енергії, тобто без запозичення енергії ззовні або іншими словами, вічний двигун першого роду неможливий. Застосуємо перший закон термодинаміки до ізопроцесів. Під час ізохорного процесу зміна об’єму , тому і для нього перший закон термодинаміки запишеться так (10.6.3) Це означає, що за умови сталого об’єму системи підвід до неї теплоти зумовлює лише підвищення її внутрішньої енергії. Згідно із (10.6.1) , звідки випливає фізичний зміст молярної теплоємності під час ізохорного процесу , (10.6.4) тобто дорівнює зміні внутрішньої енергії моля газу при зміні його температури на . Під час ізобарного процесу кількість теплоти визначається як . (10.6.5) За її рахунок внутрішня енергія газу змінюється на величину , (10.6.6) де прийнято до уваги, що. Як експериментально встановив Джоуль, молярна теплоємність дуже слабо залежить від температури, нею можна знехтувати і вважати, що. Ізотермічний процес не супроводжується зміною температури газу , тому згідно із першим законом термодинаміки . (10.6.7) Температура газу за цих умов не змінюється, якщо його стискання або розширення відбувається нескінченно повільно і газ весь час підтримує температуру оточуючого середовища. § 10.7. Класична теорія теплоємності ідеального газу та її обмеженість. Рівняння Майєра для молярних теплоємностей Класична теорія теплоємності Больцмана – Максвелла виходить з того, що енергія за ступенями вільності розподіляється рівномірно. Крім того не враховується, який це ступінь вільності поступального, обертового чи коливного рухів. З точки зору першого закону термодинаміки, для довільного процесу . (10.7.1) Тому якщо , то і прийнявши до уваги і одержимо, що . (10.7.2) Це відоме рівнянням Майєра. Воно вказує на те, що завжди на величину універсальної газової сталої і пояснюється це тим, що під час ізобарного нагрівання газу потрібна додаткова кількість енергії для його розширення. Оскільки , то для одного моля ізохорна та ізобарна теплоємності дорівнюють і , (10.7.3) а їх відношення. (10.7.4)
Рис.10.7.1 Із одержаних формул випливає, що молярні теплоємності визначаються лише кількістю ступеней вільності і не залежить від температури. Це твердження молекулярно-кінетичної теорії справджується в широкомі інтервалі температур лише для одноатомних газів. Уже в двохатомних газах кількість ступеней вільності, що проявляється в теплоємності, залежить від температури, про що свідчить рис.10.7.1. При високих температурах витрачається енергія для збудження трьох ступеней вільності поступального руху, двох обертального і двох коливного. З пониженням температури ступені вільності виморожуються, тобто збуджуються лише обертові і коливні ступені вільності, а при подальшому зменшенні температури – лише коливні.
§ 10.8. Адіабатний процес. Рівняння Пуассона Згідно із першим законом термодинаміки, якщо термодинамічний процес протікає за умови повної теплоізоляції, тобто при відсутності теплообміну між системою і термостатом , (10.8.1) то він називається адіабатним. Оскільки під час адіабатного процесу змінюється внутрішня енергія системи, тобто , то її адіабатна теплоємність . Робота зовнішніх тіл над системою, або її над зовнішніми тілами, виконується за рахунок зміни її внутрішньої енергії . (10.8.2) Адіабатний процес можна здійснити в таких випадках:. Якщо є адіабатна оболонка, теплопровідність якої дорівнює нулеві. Якщо процес протікає дуже швидко і в дуже великому об’ємі, наприклад, під час розширення у простір відкритої атмосфери. Для адіабатного процесу перший закон термодинаміки записується так: , (10.8.3) звідки або . (10.8.4) Продиференціювавши рівняння одержимо, що при елементарному процесі температура газу зміниться на величину . З рівняння Майєра маємо , тому для одного моля , або після елементарних перетворень , де . (10.8.5) Після інтегрування (10.8.5) одержуємо рівняння адіабатного процесу – рівняння Пуассона , (10.8.6) або чи , (10.8.7) звідки одержуємо ще іншу форму запису рівняння Пуассона . (10.8.8) Тут завжди більша за одиницю і відома, як стала Пуассона. З цих рівнянь випливає, що на відміну від ізотермічного процесу, під час адіабатної зміни об’єму газу, його тиск змінюється пропорційно не першому ступеню від об’єму, а як , причому показник адіабати більший за одиницю . Тому графік залежності тиску від об’єму (10.8.6) тепер уже не буде гіперболою (для неї ). Порівняння графіків адіабатичного процесу з ізотермічним подано на рис.10.8.1. Адіабата має більш крутіший нахил, ніж ізотерма, тобто відношення . Це зумовлено тим, що кількість теплоти, яка виникає під час адіабатичного стискування газу призводить до додаткового зростання тиску. Для порівняння на цьому ж рисунку графічно зображені інші ізопроцеси.
Рис.10.8.1 Обчислимо роботу під час адіабатного розширення газу. Оскільки виконується закон (10.8.2), то врахувавши (10.6.5) одержимо, що елементарна робота . Тут прийнята до уваги рівність. Після інтегрування одержуємо, що робота адіабатичного процесу дорівнює = (10.8.7) і задовольняється нерівність . (10.8.9) Робота під час адіабатичного процесу істотно залежить від величини показника адіабати. Лише коли , то . Це може мати місце в багатоатомних газах, для яких стала адіабати незначно відрізняється від одиниці. На завершення відзначимо, що само по собі розширення газу не може призвести до його охолодження, якщо під час цього розширення не виконується робота. Газ не виконує роботи при розширенні в пустоту. Температура його при цьому не змінюється, оскільки внутрішня енергія не залежить від об’єму, який він займає. Це ще експериментально встановив Джоуль . Він сполучив між собою два балони, один з газом, а інший пустий. Обидва балони були старанно теплоізольовані від навколишнього середовища і вставлені у водяний калориметр. Цей дослід довів, що після відкривання сполучного крана температура калориметра не змінюється. Це доводить, що газ зберіг свою початкову температуру. Разом з тим, дослід Джоуля експериментально довів, що внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму.
§ 10.9. Принцип дії теплової машини. Ідеальний цикл Карно. Коефіцієнт корисної дії теплової машини Під ідеальною тепловою машиною розумітимемо таку, в якої робочим тілом є ідеальний газ. Оскільки головною метою теплової машини є перетворення теплоти в роботу, то згідно із першим принципом термодинаміки для цього необхідно мати нагрівник при температурі , від якого робоче тіло могло б черпати певну кількість теплоти і перетворювати її в роботу. Як переконаємось в подальшому, уявлення про верхню межу кількості використаної теплоти робочим тілом дає другий закон термодинаміки. Блок-схема теплової машини зображена на рис.10.9.1. За зворотним циклом будується теплова машина зворотної дії - холодильник. Розглянемо загальний принцип дії теплової машини. Для цього робоче тіло підводиться у тепловий контакт із нагрівником (тепловим резервуаром), під час якого від нього відбирається деяка кількість теплоти . На цій ділянці температура робочого тіла повинна бути максимально наближена до температури нагрівника . Якщо теплоємність джерела тепла значно більша, ніж робочого тіла, то під час тепловідбору температура нагрівника практично не змінюється. Ідеальним джерелам приписують безмежно велику теплоємність. Після виконання корисної роботи , робоче тіло необхідно повернути у вихідний стан, щоб знову повторити процес. Однак другий закон термодинаміки забороняє провести цей процес у зворотному напрямку. Тому необхідно задіяти третє тіло – холодильник, як другий нагрівач із меншою температурою.
Рис.10.9.1 Це другий важливий крок, який зробив Карно. Лише за наявності холодильника повертаючись у вихідний стан можна задовольнити умову . Для цього температуру робочого тіла необхідно знизити до температури холодильника . Тоді холодильник ефективно відбере від робочого тіла рештки невикористаної теплоти . (10.9.1) Виникає питання, яким чином найкраще змінювати температуру робочого тіла і наближувати її до і до. Відповідь на це питання дав Карно*), запропонувавши для цього цикл, який зображений на рис.10.9.2. Суть його полягає ось в чому. Після того, як температуру робочого тіла підвищили до , за наявності теплового контакту із нагрівником робоче тіло ефективно відбирає кількість теплоти і під час ізотермічного розширення () виконує роботу . Після цього необхідно знизити температуру робочого тіла до і віддати рештки невикористаної кількості теплоти третьому тілу – холодильнику. Процес зниження температури робочого тіла від температури і до Карно запропонував здійснювати, як адіабатне розширення газу. Тоді за умови ним все одно виконується додатня робота. Однак, оскільки робоче тіло теплоізольоване, то під час адіабатного розширення робота виконується за рахунок власної внутрішньої енергії доти, доки його температура не зрівняється з температурою холодильника. Щоб повернутись у вихідний стан, досить змусити газ здійснити ізотермічне стискання. Під час нього холодильник відбирає рештки невикористаної кількості теплоти . Подальше адіабатичне стискання під час якого виконується від’ємна робота , призводить до зростання температури газу до . Для характеристики теплової машини Карно вводить поняття про коефіцієнт корисної дії (к.к.д.). Повна робота протягом циклу дорівнює площі заштрихованого на рис.10.9.2 циклу 1234. Тому коефіцієнт корисної дії (к.к.д) замкнутого циклу дорівнює . (10.9.2) Обчислений к.к.д. називається термодинамічним і визначений як відношення кількості теплоти, перетвореної у роботу за один цикл, до загальної кількості теплоти, взятої від нагрівника також протягом одного циклу. Треба зазначити, що сам Карно не визначив к.к.д. запропонованого ним циклу. Формулу (10.9.2), уже після смерті Карно обгрунтував Клаузіус з позиції закону збереження енергії. Однак,. *) Карно спостерігав дію парової машини і зауважив, що використовувана для переміщення циліндра пара потім випускається в повітря з меншою температурою і більше не використовується. Він міркував яким чином можна використати відпрацьовану паруповторно і ввів в розгляд круговий (циклічний ) процес Карно першим звернув увагу на те, що лише під час переходу теплоти від тіла більш нагрітого, до тіла менш нагрітого, можна одержати корисну роботу, і , навпаки, щоб перевести теплоту від менш нагрітого тіла до більш нагрітого, треба затратити стороннім тілом деяку роботу Рис.10.9.2 Карно довів також дві важливі для термодинаміки теореми. 1. К.к.д. оборотного циклу не залежить від властивостей робочого тіла. 2. Для заданих температур нагрівника і холодильника к.к.д. будь-якої іншої теплової машини не може перевищувати к.к.д. машини, в який робочим тілом є ідеальний газ. Для ідеальної теплової машини він дорівнює , (10.9.3) а в практиці для інших теплових машин завжди , (10.9.4) де знак рівності відповідає оборотному процесу, а нерівності – необоротному. Важливий висновок випливає із формули (10.9.3): К.к.д. циклу Карно не залежить від природи робочого тіла і граничних адіабат, а визначається тільки температурами нагрівника і холодильника. Цікаво також зазначити, що зміна температури нагрівника і холодильника по різному впливає на - значення останнього більш чутливе до зміни . Значення можна збільшити шляхом підвищення температури нагрівника і зменшення температури холодильника. Однак температуру нагрівника не можна зробити більшою, ніж температура плавлення речовини, із якої він виготовлений. Зменшувати температуру нижче кімнатної також нема змісту, оскільки для цього необхідні спеціальні пристрої. Для сучасних конструкційних матеріалов вдається досягнути к.к.д не більшим, ніж (. §10.10. Другий закон термодинаміки та його основні формулювання Отже, перший закон термодинаміки не відображає напрямку протікання термодинамічного процесу під час переходу системи із одного стану в інший. Він заперечує існування вічного двигуна першого роду, який зміг би виконувати роботу з нічого. Перший закон термодинаміки лише вимагає, щоб в розглядуваних процесах виконувався закон збереження енергії, тому не міг дати відповіді на питання про найбільш раціональну шкалу температур. Другий закон термодинаміки дозволяє вказати не лише напрям протікання термодинамічного процесу, але й побудувати раціональну шкалу температур, яка б не залежала від термодинмічних властивостей самого тіла і конструкції термометра. Основоположником другого закону термодинаміки також був Карно. Однак, позиції, на яких він стояв, були хибними, що не дозволило Карно чітко сформулювати другий закон термодинміки. Другий закон стверджує, що неможливо періодично повторювати процес, єдиним результатом якого було б перетворення внутрішньої енергії деякого джерела в корисну роботу. Згідно із цим принципом вічний двигун другого роду, який здатен працювати за наявності лише нагрівника і робочого тіла, коли вся кількість теплоти може бути перетворена в роботу, не можливий. Для цього необхідно мати ще й холодильник. Зазначимо також, що хоч другий закон термодинаміки не заперечує можливість досягнення абсолютного нуля температури, однак при цикл Карно неможливий. При цій температурі цикл Карно вироджується в дві, співпадаючі між собою, ізотерми та адіабати. З точки зору другого закону стан термодинамічної рівноваги системи - це особливий вид теплового руху. Коли дві рівноважні системи привести в тепловий контакт, то внаслідок теплообміну (обміну енергією) вони також набувають рівноважного стану. Цей стан визначається як значеннями їх зовнішніх параметрамів, так і тих, які характеризують її внутрішній стан як, наприклад, температура. Клаузіус дав таке формулювання другому закону термодинаміки: Неможливо побудувати такий двигун, коефіцієнт корисної дії якого дорівнював би одиниці. Фізичний зміст другого закону термодинаміки найбільш чітко відображається у формулюванні Планка: Такий періодичний процес, єдиним результатом якого було б перетворення теплоти в роботу, неможливий. Щоб записати другий принцип термодинаміки в сучасній математичній формі, необхідно ввести поняття зведеної теплоти, як відношення . §10.11. Ентропія як міра безладдя в термодинамічній системі. Третій закон термодинаміки Аналізуючи круговий процес Карно звернув увагу на ті зміни стану, яких зазнає робоче тіло. Перш за все одержавши від нагрівника певну кількість теплоти воно здійснює ізотермічне і адіабатичне розширення, а потім віддавши холодильнику невикористану кількість теплоти повертається у вихідний стан. Отже, виходить, що здійсюваний коловий процес несиметричний, оскільки . Це означає, що кількість теплоти, яку треба надати робочому тілу або відібрати від нього , щоб здійснити термодинамічний процес не визначається однозначно початковим і кінцевим станами, а істотно залежить від способу здійснення цього переходу. Насправді процес перетворення теплоти в роботу відрізняється від зворотного процесу - перетворення роботи в теплоту. Механічна робота за певних умов може бути цілком перетворена в теплоту, тоді як теплота тільки частково перетворюється в роботу. Однак відношення цих теплот до відповідних температур процесу залишається величиною сталою . (10.11.1) За Лоренцом це відношення називають зведеною теплотою. Рівняння (10.11.1) свідчить про рівність зведених теплот, що їх одержало і віддало робоче тіло під час колового процесу. Під час оборотного процесу Карно сума зведених теплот дорівнює нулеві. Це один із найважливіших висновків теореми Карно. Ця особливість зведеної теплоти дає можливість ввести новий термодинамічний параметр системи (за Клаузіусом) – ентропію, як фукнцію стану і виразити його зміну через повний диференціал , як відношення зведеної кількість теплоти до температури на безмежно малій ділянці ізотермічного процесу: . (10.11.2) Ентропія – функція аддитивна і дорівнює сумі ентропій всіх тіл, які входять в систему . (10.11.3) Як функція стану, ентропія визначається з точністю до довільної сталої, тому її зміна дорівнюватиме .(10.11.4) Це відомий інтеграл Клаузіуса, в якому підінтегральну функцію записують ще у вигляді відомого рівняння Гіббса . (10.11.5) Рівняння (10.11.5) втілює в собі наслідки першого і другого начал термодинаміки. Схожість із першим законом термодинаміки, якщо зробити заміну , цілком формальна, оскільки, на відміну від кількості теплоти, немає процедури експериментального вимірювання ентропії. Прийнявши до уваги співвідношення (9.5.3) і (10.6.5) для ідеального газу та відповідне для елементарної роботи одержуємо, що або після інтегрування . (10.11.6) Із цієї формули випливає, що під час ізотермічного процесу ентропія змінюється на величину. Отже, під час розширення ідеального газу в пустоту його ентропія зростає. Якщо термодинамічна система із одного стану в іншій переходить в результаті оборотного процесу, то зміна ентропї , (10.11.7) тоді як під час необоротного процесу . (10.11.8) Ці вирази об’єднуються у відому нерівність Клаузіуса , (10.11.9) яку ще також називають одним із формулювань другого закону термодинаміки – ентропія замкнутої системи зменшуватись не може. Тут зміна ентропії виступає як міра необоротності процесів. Якщо ж , (10.11.10) то процес самодовільно відбуватися не може. Необхідно, щоб під час його протікання із зовні до системи підводилась енергія. Отже, ентропія ізольованої системи або зростає, якщо процес необоротний, або залишається незмінною, якщо процес оборотний. Тому необоротні процеси протікають у тому напрямку, в якому збільшується міра її хаосу. З цих позицій другий закон термодинаміки формулюють ще так: У всіх процесах, що протікають в макроскопічних системах, система не може самодовільно преходити із більш ймовірного стану в менш ймовірний стан. Кінцевий стан завжди буде або більш ймовірним ніж початковий, або матиме таку ж саму ймовірність. Дуже важливою властивістю ентропії є її поведінка при низьких температурах. Нернст довів теорему, яку ще називають третім законом термодинаміки, про те, що коли абсолютна температура термодинамічної системи прямує до нуля, то ентропія цієї системи також прямує до нуля . (10.11.11) Іншими словами, при абсолютному нулеві температури будь-які зміни стану термодинамічної системи відбуваються без зміни ентропії. Із формули (10.11.11) випливає дуже важливий практичний висновок про те, що ніякими термодинамічними методами не можна досягти абсолютного нуля температури, хоча наближатись до нього можна як завгодно близько. Тому третє начало термодинаміки ще називають принципом недосяжності абсолютного нуля температури. Оскільки згідно із третім законом термодинаміки абсолютний нуль недосяжний, то неможливо реалізувати цикл Карно з температурою холодильника . Планк розширив цю теорему і сформулював її так: У точці абсолютного нуля не тільки зникає різниця ентропій, але і сама ентропія дорівнює нулеві. Ймовірність знаходження системи з багатьма частинками в певному стані величина статистична і визначається кількістю розташувань частинок у певних положеннях. У стані термодинамічної рівноваги ця кількість розташувань є найбільшою. Цей стан і є рівноважним і якщо газ чомусь не перебуває в стані рівноваги, то , залишений сам з собою, він обов’язково перейде в нього. Ентропія та термодинамічна ймовірність. Ці термодинамічні величини Больцман так пов’язав між собою : (10.11.12) Больцман лише пов’язав поняття ентропії з у вигляді формули (10.11.12)*). Планк виконав обчислення коефіцієнта пропорційності і він збігся із сталою Больцмана. Більш глибокий зміст розкривається методами статистичної фізики. Ще раз наголосимо на тому, що поняття про ймовірність вперше ввів Максвелл, тоді як Больцман пов’язав його з ентропією і довів, що другий закон термодинаміки також є наслідком статистичної поведінки системи з багатьох частинок. Зупинимось на спрощеному тлумаченні суті термодинамічної ймовірності. Допустимо, що в деякому елементарному об’ємі перебуває молекула. Це означає, що ймовірність її знаходження там дорівнює одиниці. Якщо елементарний об’єм від цілогоскладає частку , де , то математична ймовірність перебування молекули в цілому об’ємі дорівнюваттиме . Термодинамічна ймовірність того, що молекула перебуває в об’ємі вводиться як . Тоді згідно із теоремою множення ймовірностей, для системи із молекул. Якщо цю рівність прологарифмувати , або записати для одного моля , то одержимо відому формулу Больцмана . (10.11.13) Наведемо деякі формули для обчислення зміни ентропії під час нагрівання або охолодження твердих тіл чи рідин. Якщо тіло має ----------------- *) Формула “” вигравірувана на пам’ятнику Больцмана на цвинтарі у Відні. питому теплоємність, то для нагрівання до різниці температур необхідно підвести до неї кількість теплоти . Тоді ентропія зміниться на величину . Під час плавлення та кипіння відповідні кількості теплот дорівнюють та , де - питома теплота плавлення, - питома теплота кипіння. Тому під час цих процесів ентропія зміниться на величину
Розділ XI. Фізичні властивості реальних середовищ та їх зв’язок із атомарно-молекулярною будовою § 11.1. Загальні відомості про моделі міжмолекулярних взаємодій в реальних середовищах Модель ідеального газу, яка використовується в молекулярно-кінетичній теорії, дозволяє описати властивості і поведінку розріджених газів, в яких взаємодією між молекулами можна наближено розглядати як удари пружних кульок. В реальних середовищах діють сили міжмолекулярних взаємодій. Наприклад, яскравим прикладом прояву сил притягання є здатність твердих тіл зберігти свій об’єм, а їх нестисливість (крім газів) вказує на прояв сил відштовхування. Ці сили мають електростатичну природу і зумовлені вони поляризованістю молекул та наявністю в них електричних дипольних моментів. Сили притягання проявляються переважно на під час взаємного віддалення молекул одної від одної, а відштовхування – їх відповідного зближення. Зауважимо, що коли б не було сил притягання, то газ не зміг би конденсуватись ні за яких умов. В молекулярній фізиці поширеними є такі моделі реальних газів.
§ 11.2. Зв’язок властивостей речовини з її атомарно-молекулярною структурою В твердих, рідких і газоподібних станах можуть бути одні і ті ж речовини. Тому між цими агрегатними станами принципової різниці немає, але вони суттєво впливають на характер атомарно-молекулярної структури й, відповідно, на властивості речовин. Так, наприклад, в газах середня відстань між молекулами є досить великою, тому вони свого об’єму не зберігають. Це зумовлено тим, що середня потенціальна енергія міжмолекулярних взаємодій значно менша за середню кінетичну енергію їх теплового руху. Тому молекули розлітаються так далеко одна від одної, як це дозволяє об’єм посудини. Завдяки слабості міжмолекулярних сил газам властива значна дифузія і найбільша стисливість. Для рідин характерне явище їх текучості, як прояв “перестрибування” молекул із одного положення в інше у напрямку дії сил, що спричинають цю текучість. Частота “перестрибувань” визначається інтенсивністю теплового руху молекул і майже не залежить від дії зовнішньої сили. Для прояву течії рідини досить, щоб час дії зовнішньої сили був у багато разів більший за період коливань молекул навколо положень рівноваги. На відміну від газів рідини мають досить малу стисливість. Це зумовлено тим, що досить малою є відстань між молекулами і зовнішня дія призводить не до зближення молекул, а до їх деформації. Для твердих тіл перш за все характерно взаємне, тобто упорядковане певним чином, розташування атомів і молекул. Це зумовлює появу в них принципово нових фізичних властивостей. У твердих тілах положення рівноваги, біля яких атоми і молекули коливаються, утворюють просторово впорядковану структуру, яка називається кристалічною граткою. Точки, відносно яких атоми чи молекули здійснюють теплові коливання, називаються вузлами кристалічної решітки чи гратки. Єдиною кристалічною решіткою є монокристал. Кристалічними є , в основному, тверді тіла. За рахунок досить значних сил міжмолекулярної чи міжатомної взаємодій вони зберігають сталий об'єм і геометричну форму. Зазначимо, що й в твердих тілах можуть мати місце перескоки атомів чи моолекул із одного вузла гратки в інше, але частота цих перескоків значно менша, ніж в рідинах. В подальшому з позицій атомарно-молекулярної структури аналізуватимуться такі явища як: перенос кількості речовини, теплоти і імпульсу, поверхневий натяг, молекулярний тиск і тощо. Ці та інші процеси, перш за все визначаються інтенсивністю зіткнень молекул чи атомів самих з собою та з іншими частинками, для характеристики яких розглядають середню кількість зіткнень та середню довжину вільного пробігу. § 11.3. Середня кількість зіткнень і середня довжина вільного пробігу молекул Розглядаючи основні положення МКТ ідеального газу, ми не враховували жодної взаємодії між молекулами. Однак вони, як і складові ідеального газу, все одно співударяються між собою і найпростішими взаємодіями між молекулами є їх зіткнення, оскільки перебувають в безперервному хаотичному русі. Нагадаємо, що саме завдяки їм з часом в системі встановлюється рівновага і максвелівський розподіл молекул за швидкостями. Процес зіткнення будемо аналізувати з позиції, що молекула має реальний розмір. Наприклад, приймемо її у вигляді кулі діаметром . Для спрощення міркувань припустимо, що одна молекула рухається із середньою швидкістю , а решта нерухомі. Оскільки під час їх зіткнень відстань між центрами молекул-кульок порядку , то це означає, що з рухомою молекулою будуть взаємодіяти всі інші, які є в цилінтричній трубці довжиною і діаметром . Об’єм цієї трубки . Тому якщо концентрація молекул , то протягом одиниці часу рухома молекула зіткнеться з іншими молекулами в трубці (11.3.1) разів. Оскільки молекули рухаються одна відносно іншої, то в формулі (11.3.1) середню швидкість необхідно замінити на середню відносну швидкість як середнє значення модуля вектора швидкості однієї молекули відносно іншої. Згідно із максвелівським розподілом вона дорівнює . (11.3.2) Її можна обгрунтувати ще так. Згідно із теоремою косинусів середнє значення відносної швидкості однієї молекули до іншої . Після усереднення від =0, тому .Отже, середнє число зіткнень молекул у вигляді газу кульок під час їх теплового руху у стані теплової рівноваги дорівнює . (11.3.3) Розглянемо середню довжину вільного пробігу молекули як відстань, яку проходять молекули між двома зіткненнями. Її обчислюють так: =. (11.3.4) Отже, за одну секунду, маючи середню швидкість , частинка проходить середню відстань, яка також дорівнює . Cередня довжина вільного пробігу обернено пропорційна концентрації молекул і температурі. Оскільки концентрація частинок пропорційна тиску, тому довжина вільного пробігу обернено пропорційна тиску газу . § 11.4. Явища перенесення в нерівноважних системах Явища перенесення – це особливі необоротні процеси, які виникають в термодинамічно нерівноважних системах і пов’язані з градієнтами певних параметрів стану. До них належать такі фізичні явища, як: теплопровідність, яка зумовлена перенесенням енергії; дифузія, яка зумовлена переносом маси частинок; внутрішнє тертя, яке зумовлене перенесенням імпульсу. Існують інші явища перенесення – електричний струм, фільтраційні потоки і тощо. Якщо умови, за яких відбуваються процеси перенесення, такі, що ведуть до зменшення й врешті до зникнення відповідних градієнтів, то в результаті перенесення система релаксує до стану рівноваги. Ми зупинимость на трьох досить простих, але важливих явищах перенесення – дифузії, теплопровідності і в’язкості. Загальним для них є те, що формально ці процеси описуються законами, які мають одаковий математичний запис . (11.4.1) Рівняння виду (11.4.1) називаються законом Фур’є. Тут -коефіцієнт пропорційності між векторною характеристикою (права частина рівності (11.4.1) та градієнтом, який за своє природою величина векторна (ліва частина цієї рівності). Теплопровідність газів. У цьому випадку перенесення теплоти зумовлено наявністю перепаду (градієнту) температури між розглядуваними ділянками системи. Дослідним шляхом встановлено, що цей процес описується диференціальним рівнянням , (11.4.2) де - вектор густини теплового потоку, - коефіцієнт теплопровідності. Знак мінус вказує на те, енергія переноситься від більш нагрітої частини тіла до менш нагрітої його частини, тобто у напрямку зменшення температури. Із рівняння (11.4.2) випливає такий фізичний зміст коефіцієнта теплопровідності: – це фізична величина, яка чисельно дорівнює кількості теплоти, що переноситься через поверхню площею за одиницю часу при одиничному градієнтові температур між точками переносу. В процесі теплопровідності відбувається вирівнювання середніх кінетичних енергій частинок, тобто вирівнювання температури. В МКТ ідеальних газів обгрунтовується, що коефіцієнт теплопровідності . (11.4.3) Оскільки , а густина газу пропорційна тиску, то коефіцієнт теплопровідності майже не залежить від тиску, що підтверджується дослідом, а від температури залежить, як . Теплопровідність твердих тіл. Якщо в твердому тілі є області із різними температурами, то для нього, як і для довільного середовища, характерний процес теплоперенесення, кінцевим результатом якого є вирівнювання температури між цими його ділянками. На відміну від рідин та газів, в твердому тілі теплопередача не супроводжується перенесенням маси речовини, а лише процесом теплопровідності. Теплопровідність кристалів також описується рівнянням (11.4.2 і ) в значній мірі пов’язана з ангармонізмом коливань атомів. Коливання передаються від одного атома до іншого, внаслідок в кристалі виникає теплова хвиля, яка поширюється із швидкістю звуку. З точки зору моделювання теплопровідності в твердих тілах необхідно враховувати процеси взаємодії коливних хвиль кристалічної гратки , оскільки в гармонічному наближенні тепловий опір тіла дорівнює нулеві. В цьому випадку в ньому поширюватиметься гармонічна хвиля. В середовищах з вільними електронами необхідно враховувати ще й електронну складову теплопровідності. Вона визначається в основному теплоємністю та довжиною вільного пробігу, оскільки вони слабо залежать від температури. При високих температурах справджується закон Дюлонга-Пті, тому граткова складова теплопровідності пропорційна (закон Ейкена), а електронна , а , тому . Дифузія. Дифузією називається явище взаємного проникнення речовин одна в одну, за рахунок чого відбувається вирівнювання густини або складу речовини в об’ємі. Явище дифузії зумовлене тепловим рухом молекул. Якщо під час дифузії вирівнюється лише густина речовини, то в цьому процесі беруть участь молекули одного й того самого сорту. Таку дифузію називають самодифузією. Якщо в процесі дифузії вирівнюється ще й склад речовини по всьому об’єму, то таке явище називають просто дифузією. Експериментально встановлено, що в суміші потоки мас у бік вирівнювання густин (концентрацій) описуються аналогічним (11.4.1) за своїм зовнішнім виглядом рівнянням , (11.4.3) де – вектор густини потоку маси речовини, її густина, коефіцієнт самодифузії, який чисельно дорівнює масі газу, що переноситься через поверхню площею за одиницю часу при одиничному градієнті густини маси речовини між точками переносу. Рівняння (11.4.3) називається ще законом Фіка. Коефцієнт самодифузії , тобто приймаючи до уваги основне рівняння МКТ і формулу (11.3.4) переконуємось, що його значення обернено пропорційне до тиску газу і прямо пропорційне до квадрату кореня з температури. Внутрішнє тертя між шарами рухомої рідини та газу. Аналогічним за своїм зовнішнім виглядом рівнянням описується явище внутрішнього тертя . У цьому процесі під час руху шари рідини або газу обмінюються між собою імпульсами. Тому, щоб воно виникало необхідно, щоб у напрямку, перпендикулярному до напряму потоку, мала місце зміна швидкості від шару до шару , тобто відмінним від нуля був градієнт швидкості . Тоді вектор густини потоку імпульсу . (11.4.4) Тут - коефіцієнт внутрішнього тертя або динамічна в’язкість, оскільки вона зумовлена тим, що шари рідини або газу рухаються один відносно одного з різними швидкостями. Знак мінус в рівнянні (11.4.4) свідчить, що імпульс від шару до шару передається в напрямі, протилежному щодо напряму градієнта швидкості. Одиницею динамічної в’язкості є паскаль-секунда . Обмін імпульсом між шарами рухомої рідини зумовлює їх в’язкість, як властивість реальних рідин протидіяти переміщенню одних шарів відносно інших. Цю фізичну дію описує сила в’язкого тертя, модуль якої дорівнює . (11.4.5) Тут має міісце градієнт швидкості у напрямку осі і він взятий по модулю, оскільки його знак залежить від вибору напрямку самої осі. Сила в’язкості дотична до площини дотикання шарів. Із боку шару, швидкість якого менша за швидкість шару, що рухається з більшою швидкістю, діє сила, яка напрямлена у протилежний бік від руху рідини, тому її гальмує. Найбільшу швидкість має шар рідини, що рухається вздовж осі труби, а найменшу – поблизу її стінок. Цікаво відзначити, що оскільки густина пропорційна тиску , а середня довжина вільно пробігу обернено пропорційна йому , то внутрішнє тертя в газах від тиску не залежить. Цей результат вперше отримав Максвелл і був здивований ним. Однак подальші експериментальні дослідження його висновок підтвердили. Згідно із кінетичною теорією газів, вище згадані коефіцієнти пов’язані з іншими кінетичними параметрами системи такими співвідношеннями: ,(11.4.6) звідки (11.4.7) де -питома теплоємність газу при сталому об’ємі. Рівняння (11.4.6) і (11.4.7) відображають єдиний характер процесів, які протікають в нерівноважних системах за наявності в них відмінних від нуля градієнтів відповідних фізичних величин. Їх напрям спрямований до встановлення рівноваги між нерівноважними ділянками цих систем. §11.5. Реальний газ Рівняння стану для реального газу та ізотерми Ван-дер-Ваальса. Модель ідеального газу, яка застосовується в молекулярно-кінетичній теорії, дозволяє описати властивості і поведінку розріджених газів. В ідеальному газі взаємодія між молекулами розглядається як удари пружних кульок. В реальних газах існують сили міжмолекулярних взаємодій. Це означає, що згідно із другим законом Ньютона, додаткова сила електростатичних взаємодій між молекулами зумовлює появу додаткового , так званого внутрішнього тиску в реальному газі. Тому для реального газу відоме рівняння Клапейрона – Менделеєва необхідно внести поправки. Із розрахунку на один моль вони дорівнюють для тиску і до об’єму. Тоді, із врахуванням цього, рівняння (9.6.3) запишеться так: . (11.5.1) Додаток до тиску , оскільки збільшення густини газу вдвічі повинно викликати збільшення додаткового тиску вчетверо, бо подвоюється концентрація взаємодіючих молекул як в глибині, так і в пограничному шарі. Наведені міркування дуже наближені і грубі. Однак, як переконаємось в подальшому, вони вірно передають основні риси реальних газів. Ізотерми (11.5.1) для декількох температур зображені на рис.11.5.1. Якщо температура (- так звана критична температура), то розрахункова ізотерма реального газу має декілька точок перегину, тоді як при вони, як такі, відсутні і ізотерма практично співпадає із відповідною для ідеального газу. При одержуємо так звану критичну ізотерму, яка має лише одну точку перегину. Розглянемо окремі ланки ізотермічного процесу. На ділянках 123 та 567 , за умови сталої температури, під час зменшення тиску об’єм збільшується. Однак на ділянці процесу 35 тиск і об’єм одночасно збільшуються. Такі стани у природі не існують. Насправді в природі процес ізотермічного розширення в реальних середовищах йде вздовж шляху 12467 . Стан 23 відомий як стан перегрітої рідини, який можна реалізувати експериментально лише за певних обставин. Стан 56 відповідає переохолодженій парі. Отже, ділянка процесу 12 відповідає рідкому стану, а 67 - газоподібному, тоді як 246 – змішаному. На цій стадії пара знаходиться в рівновазі із рідиною. З ростом температури ширина ділянки 26 зменшується і при певній температурі існує лише одна точка перегину ізотерми, яка на рис.11.5.1 позначена буквою. Цій точці відповідає стан із критичними параметрами . Завершуючи короткий розгляд реального газу і його ізотерм, зауважимо, що речовина в газоподібному стані при температурі нижчій, ніж критична, називається парою. На відміну від звичайних газів, пара під час ізотермічного стискання може бути переведена в рідину, тоді як газ при температурі не може бути переведений в рідкий стан ні при яких тисках. Рис.11.5.1 Визначимо критичні парметри . Для цього рівняння Ван-дер-Ваальса (11.5.1) запишемо так: і візьмемо першу та другу похідну від тиску по об`єму, вважаючи температуру сталою: і , звідки і після розв’язку отримаємо, що . Обчислені значення критичних параметрiв добре узгоджуються з експериментально визначеними. Внутрiшня енергiя реального газу. Ефект Джоуля. Якщо в ідеальному газі нутрiшня енергiя складається з сумарної кiнетичної енергiї механiчного руху кожної частинки зокрема, то в реальному необхідно додатково врахувати енергію міжмолекулярних взаємодій. Оскільки завдяки цим взаємодіям в газі з’являється додатковий тиск , то робота проти сил тиску під час iзотермiчного зменшення об'єму одного моля газу вiд безмежно великого до того, який вiн займає, дорівнюватиме додатковій зміні внутрішньої енергії реального газу , (11.5.2) тому для одного моля реального газу його внутрішня енергія дорівнюватиме . (11.5.3) Отже, на відміну від ідеального газу внутрішня енергія реального газу є функцією не лише температури, але й його об’єму. Підтвердженням цьому є відомий ефект змiни температури реального газу під час його адiабатного розширення в пустоту. Нагадаємо, що адiабатне розширення iдеального газу в пустоту проходить без змiни його температури. Адiабатне розширення ідеального газу в пустоту не супроводжується теплообмiном з навколишнiм середовищем i робота над зовнiшнiми силами при цьому не виконується. Тому згідно із першим принципом термодинамiки, змiна внутрiшньої енергiї в цьому процесi повинна дорiвнювати нулевi. Дійсно , оскільки – як умова адіабатного процесу і – як умова розширення в пустоту, то , тому . Вперше на можливiсть змiни температури реального газу під час адіабатного розширення його в пустоту вказав Джоуль. Незважаючи на те, що проведені ним експериментальні спроби виявити цей ефект були невдалими, пізніше він був підтверджений і названий “ефектом Джоуля”. Зміну температури в ефекті Джоуля можна оцінити із рівності (11.5.3) за умови . Якщо записати вираз для внутрiшньої енергiї одного моля реального газу, то легко отримати формулу для розрахунку змiни температури: . (11.5.4) Отже, зміна температури під час адiабатного розширення реального газу в пустоту визначається знаком сталої в рiвняннi Ван-дер-Ваальса. З фiзичної точки зору ефект Джоуля можна пояснити так. Якщо мiж молекулами газу переважають сили притягання, то під час адiабатного розширення виконуватиметься робота проти цих сил. Оскільки реальний газ розширюється адіабатно, то відповідна робота виконується за рахунок зменшення його внутрішньої енергії. Зрозуміло, що коли між молекулами переважають сили відштовхування, то під час розширення в пустоту газ буде нагріватись. Мірою нагріву газу під час прояву ефекту Джоуля є величина . (11.5.5) На закiнчення вiдзначимо, що ефект Джоуля часто використовують в крiогеннiй технiцi на стадiї первинного зниження температури реального газу перед його скрапленням в рідину. § 11.6. Поверхневий натяг в реальній рідині. Капілярні явища Рідина - це сердовище, агрегатний стан якого займає проміжне положення між газами і твердими тілами. Рідина подібно твердому тілу займає конкретний об’єм, форма якої визначається формою об’єму посудини, яку вона заповнює. Наявність певного об’єму у рідинах і твердих тілах зумовлено саме силами міжмолекулярних взаємодій. На відміну від газоподібного середовища, рідини мають значно більшу густину. Тому згідно із Ван-дер-Ваальсом в них досить великий внутрішній тиск . Це означає, що молекули рідини по-різному себе відчувають в об’ємі і на її поверхні. На поверхні рідини сили притягання (зчеплення) діють на молекулу зі сторони інших несиметрично, а в об’ємі навпаки – сили зчеплення діють на молекулу з усіх сторін рівномірно. Ця відмінність зумовлює поверхневий натяг рідини. Щоб молекулу перевести із об’єму на поверхню, проти сил поверхневого натягу необхідно виконати деяку роботу і, цим самим, змінити її потенціальну енергію. Зрозуміло, що її приріст повинен бути пропорційний приросту площі поверхні , (11.6.1) так свідчить досвід. Кількісною мірою поверхневого натягу є коефіцієнт пропорційності , який називається коефіцієнтом поверхневого натягу: . (11.6.2) Величина називається поверхневою енергією і до неї відноситься та її частина, яка вимірюється роботою ізотермічної зміни площі поверхні, - коефіцієнт пропорційності ще називається вільною енергією одиниці площі поверхневого натягу. Отже, якщо площа поверхні зростає у певному напрямі, то в цьому напрямі і виникає сила, яка виконує роботу поти сил міжмолекулярної взаємодії. Це сила поверхневого натягу , яка намагається зменшити розміри поверхні рідини. Така властивість рідини зменшувати розміри своєї поверхні називається поверхневим натягом. Величина сили поверхневого натягу пропорційна довжині контура вільної поверхні , (11.6.3) де вважється, що поверхня зменшується у напрямі осі. Якщо поверхня не плоска, то її кривизна зумовлює появу ще додаткового тиску на рідину, так званого тиску Лапласа. Його знак визначається напрямком викривлення поверхні (рис.11.6.1,а) і обчислюється за формулою , (11.6.4) де -радіус кривизни поверхні. Для сферичної поверхні тиск Лапласа ; для циліндричної поверхні , тому , тоді як для плоскої , тобто. Сили поверхневого натягу особливо проявляються в трубках малого діаметру, які називаються капілярними. Для них , тому капілярна сила в трубці діаметром дорівнює . (11.6.5) Ця сила зумовлює додаткову зміну висоти рівня рідини в трубці в залежності від її змочуваності. Якщо рідина змочувана стінками, то її рівень в капілярній трубці піднімається, якщо ні – то опускається. Наприклад, вода є добре змочуваною, а ртуть – ні. Висота капілярного стовпа рідини визначається із умови рівноваги вертикальної складової сили поверхневого натягу і його сили тяжіння (рис.11.6.1,б): , (11.6.6) звідки випливає, що для даної рідини добуток . (11.6.7) а б Рис.11.6.1 Тут - це так званий кут змочування. Він зумовлений проявом адгезійних сил, що діють на поверхневі молекули рідини на межі розділу рідина-стінки посудини. Тут можливі два випадки. 1.(радіус кривизни додатний ). В цьому випадку внаслідок поганої адгезії стінки посудини рідиною не змочуються і вона намагається “відштовхнутись” від поверхні посудини. Тому якщо в неї вставити трубку, то від загального рівня, рівень капілярного стовпа знизиться на висоту . За цієї умови тиск рідини під поверхнею більший атмосферного. 2. . В цьому випадку радіус кривизни від’ємний і завдяки адгезійним силам рідина добре змочується стінками посудини і рівень в капілярі підвищується на деяку висоту . В цьому випадку тиск рідини під поверхнею менший атмосферного. Прояв поверхневого натягу можна розглядати як дію на вільну поверхню рідини пружної плівки, що натягнута на неї. Однак, між ними є певна відмінність. Так, наприклад, якщо поверхня рідини плоска, то сили поверхневого натягу не залежать від площі її поверхні, тоді як, щоб розтягнути пружну, наприклад гумову плівку, необхідно прикласти силу, яка пропорційна величині її видовження. Сили поверхневого натягу зумовлюють ряд інших цікавих дослідних фактів. Як зауважено вище, завдяки їм будь-який об’єм рідини намагається зменшити площу поверхні, зменшуючи тим самим і потенціальну енергію. Сили поверхневого натягу пружні, тому вільна кррапля рідини має сферичну форму. Тенденцією до зменшення площі поверхні силами поверхневого натягу пояснюється також, чому металева голка вільно плаває на поверхні води. Капілярні явища відіграють значну роль у природі і техніці. Завдяки їм виникає вологообмін в грунті і в рослинах, де водний розчин подається по тонких капілярах. На цьому ж принципі діє і фітіль. § 11.7. Механічні і теплові властивості твердих тіл. Реологічні моделі Для твердих тіл властиві три види деформацій: односторонній стиск або розтяг, які виникають під дією сили, що спрямована перпендикулярно до поперечного перерізу зразка; об’ємне стискування під час всесторонньому тиску на тіло; зсув під дією дотичної сили. Всі інші види деформацій (кручення , згин та поперечне стискування ) є комбінаціями цих трьох. Деформації поділяються на пружні і непружні (пластичні). Якщо розмірі й форма тіла, що деформується, після зняття навантаження відновлюються, деформація називається пружною. Деформації, які після зняття навантаження залишаються, називаються пластичними. Якщо під дією прикладеної сили атоми зміщуються зі своїх рівноважних положень у тілі менше, ніж на відстань між атомами, тоді виникають сили пружності, які повертають атом у положення рівноваги. На рис.11.7.1, схематично зображена залежність механічної напруги від відносної деформації. Найбільша напруга, при якій ще справджується закон Гука, називається границею пропорційності . Найбільша напруга, коли ще не виникають помітні залишкові деформації, називається границею пружності . Від границі пропорційності вона відрізняється на кілька сотих часток процента.При навантаженнях, що відповідають напругам більшим за границю пружності, починається відхилення від закону Гука, і коли навантаження знімаються, розміри тіла не дорівнюють початковим. Починаючи з деякого навантаження тіло продовжує змінювати свої розміри навіть за умови, що навантаження на нього не зростає. Цьому явищу відповідає горизонтальна ділянка на діаграмі розгягу (рис.11.7.1). Якщо напруга досягає вершинного значення тіло Рис.11.7.1 руйнується. Число, яке показує, в скільки разів границя міцності більша за допустиму напругу, називають коефіцієнтом запасу міцності. Для сталі беруть запас міцності 2.5-4, дерева 8-10. Пружні властивості тіла визначають швидкість, з якою локальна деформація поширюється в ньому. Нехай локальна деформація має розмір та припишемо їй масу . Якщо прийняти, що вона поширюється із прискоренням вздовж осі під дією пружної сили , то згідно із другим законом Ньютона = .Зробивши заміну одержимо рівняння , що описує поширення в твердому тілі хвилі деформації із швидкістю. Механічні властивості матеріалів моделюють, використовуючи три фундаментальні властивості: пружність, пластичність і в’язкість. Моделлю пружного тіла, що підлягає закону Гука, є пружина, деформація якої пропорційна напруженню і не залежить від часу . В цьому випадку ступінь деформації тіла під дією зовнішнього зусилля визначається лише одним реологічним параметром – модулем Юнга і зображується на діаграмі тангенсом кута нахилу прямої процесу. Модель пластичного тіла Сен-Венана являє собою тіло, що знаходиться в стані спокою.В цій моделі тіло почне рухатись, коли напруження досягне границі текучості. Модель ідеального (ньютонівського) тіла являє собою рідинний елемент, в якому поршень переміщається під дією прикладеної сили. В цій моделі деформація в’язкої рідини при сталому напруженні зсуву зростає пропорційно часу. Модель ідеального (ньютонівського) тіла являє собою рідинний елемент, в якому поршень переміщається під дією прикладеної сили (рис.11.7.2,а). В цій моделі деформація в’язкої рідини при сталому напруженні зсуву зростає пропорційно часу (рис.11.7.2,б) (11.7.3) Пружні і в’язкі властивості речлвини поєднує в собі модель Фойгта. В ній пружні і в’язкі властивості речовини моделюються паралельним сполученням між собою моделей, що виражають її пружні і в’язкі властивості (рис.11.7.2,в). Якщо ці елементи сполучити між собою послідовно, то вона відображатиме відому модель Максвелла.
а б
в Рис.11.7.2
Теплові властивості твердих тіл. Відомо, що при нагріванні чи охолодженні речовини її лінійні розміри змінюються. Ступінь зміни об’єму характеризують об’ємним коефіцієнтом теплового розширення . Згідно із означенням, коефіцієнтом теплового розширення називається відносна зміна об’єму, якої зазнає об’єм тіла в процесі зміни температури на один градус і записується так . (11.7.4) Отже, коефіцієнт об’ємного розширення чисельно дорівнює відносній зміні об’єму при зміні температури на один градус. Аналогічно вводиться й коефіцієнт лінійного розширення: . (11.7.5) Кількісно теплове розширення тіла описується формулами, які характеризують зміни лінійних та обємних його розмірів: (11.7.6) Вважається, що коефіцієнти та не змінюються із температурою. Насправді це не так. Виявляється, що при вони зменшуються пропорційно до температури в третьму ступені і прямують до нуля. Відомо, що в твердому тілі у нагрітому стані атоми переважно коливаються навколо положень рівноваги. Це означає, що його можна уявити собі як набір осциляторів, енергія яких із підвищенням температури зростатиме. Згідно із законом розподілу, на один ступінь вільності коливного руху припадає енергія . (11.7.7) Тому якщо кристал розглядати як сукупність гармонійних осциляторів, кожний із яких має три ступені вільності, то повна енергія дорівнюватиме , (11.7.8) звідки молярна теплоємність гратки при сталому об’ємі =. (11.7.9) Одержане співвідношення відоме як закон Дюлонга - Пті. Із нього випливає, що теплоємність твердих тіл не залежить від його природи та температури і для всіх тіл є однакова. Класична теорія теплоємності добре узгоджується з результатами експерименту лише при кімнатній і вищій температурах. Для низьких температур виникає розбіжність і зумовлена тим, що для них проявляється квантовий характер коливань елементарної гратки. Теплове розширення. Незаперечним є експериментальний факт, що під час нагрівання тверді тіла розширюються. Це свідчить про те, що відстані між атомами із зростанням температури збільшуються. Розглянемо причини цього. Взаємодія атомів в твердому тілі зумовлена силами електростатичного притягання та відштовхування. Вони мають різний характер залежностей від відстані між частинками, що взаємодіють, тому результуючий потенціал є несиметричний. В симетрічній ямі (рис.11.7.3,а) атом чи молекула коливаються так, що їх амплітуди в обидві сторони відносно положення рівноваги однакова і її середнє значення дорівнює нулю при довільній температурі . Тому гармонічні коливання в симетрічній ямі, які б вони інтенсивні не були, не можуть привести до появи сталого зміщення атома чи молекули відносно положення рівноваги, а отже, до теплового розширення. Коливання повинні бути ангармонічні, наприклад в несиметричній потенціальній ямі (рис.11.7.3,б). В цьому випадку на атом чи молекулу в якомусь напрямку діє переважаюча сила, яка не змінює свого напряму, в залежності від напряму відхилення осцилятора від положення рівноваги.
а б Рис.11.7.3 Пружна сила володіє потенціальною енергією квадратичної форми , яка симетрична відносно рівноваги з координатою . Тому, якщо на осцилятор діє сила , (11.7.10) то її потенціальна енергія описуватиметься виразом . (11.7.11) В точці рівноваги (), звідки шляхом усереднення одержимо, що . (11.7.12) Поклавши отримаємо, що середнє значення амплітуди відхилення (сили) (11.7.13) прямо пропорційно збільшується з температурою. Кількісною характеристикою теплового розширення є температуриний коефіцієнт лінійного розширення . Для прикладу змоделюємо цю функцію для одновимірного тіл з періодом. : . Тоді в межах одної комірки температурний коефіцієнт можна записати як . (11.7.14) Одержаний вираз разом з (11.7.13) свідчить про те, що коливання осцилятора в несиметричній потенціальній ямі такі, що з ростом температури точка рівноваги зміщується в сторону додатних значень, тому середня відстань між атомами зростає, що й зумовлює теплове розширення тіла в напрямку осі . Як свідчить дослід, коли зміна температури не досить велика, то збільшення об’єму внаслідок температурного розширення приблизно пропорційне до зміни температури , (11.7.15) або в диференціййній формі , (11.7.16) де – коефіцієнт об’ємного розширення. Переважно коефіцієнт об’ємного розширення додатний. Але є речовини, для яких у певних інтервалах температур має місце аномальне розширення. Суть цього полягає в тому, що при зростанні темпеатури в цьому інтервалі їх об’єм зменшується. Прикладом цього може бути вода, об’єм якої зменшується в інтервалі температур від до . У цьому проміжку коефіцієнт об’ємного розширення води від’ємний . Треба зазначити, що ця аномальна поведінка суттєво впливає на життя рослин і тварин в озерах. В озері чим глибше, тим холодніша вода. Тому якщо її температура вища, ніж, то холодніша вода з верхніх шарів, як більш густіша, опускається ближче до дна. При температурі води нижчій, ніж , цей обмін припиняється, оскільки густина холоднішої води біля поверхні менша, ніж теплішої біля дна. Розділ XII. Електричне поле у вакуумі § 12.2. Електричне поле нерухомого точкового заряду. Закон збереження електричного заряду. Сила Кулона Ще з давніх часів було відомо, що потерши кусок янтарю, він набуває властивості притягувати до себе дрібні предмети. В кінці XVI сторіччя Гільберт відкрив цю властивість в інших предметах. В середині XVII ст. з’явився термін “електрика”, а в XVIII ст. вже стало відомо про існування в природі двох видів зарядів. Дослідним шляхом було встановлено, що однойменно заряджені тіла відштовхуються, а різнойменно заряджені притягуються. Треба додати, що в природі існують елементарні частки, що не мають заряду. Франклін запропонував прийняти угоду про те, що заряди, які одержуються шляхом електризації cкла шовком, називати додатними, а протилежного знаку, які одержуються шляхом електризації сургучу шерстю - від’ємними. Йому також належить перша праця, в якій намагався теоретично пояснити природу електричних явищ. Тим не менше під час своїх дослідів Франклін встановив, що в процесі електризації відбувається розділення зарядів так, що загальна сума позитивних та негативних залишається сталою і , фактично, першим сформулював закон збереження заряду. Думку Франкліна*) про дискретність електрики науково обгрунтував Гельмгольц. Елементарну порцію електрики порахував Стоней, як відношення числа Фарадея до числа Авогадро і запропронував назвати її електроном (від грецького слова янтар) та позначати літерою . Це елементарна порція заряду. Так електрон має від’ємний заряд, протон – позитивний , а заряд протона дорівнює нулеві. Тому, будь-який макроскопічний заряд є сумою елементарних зарядів і за своїм значенням є квантований, тобто ддорівнює цілочисленій кількості. Найбільш точні експериментальні дослідження, які довели існування електрона, виконав англійський фізик Дж.Томсон. Він визначив питомий заряд електрона, який виявився таким, що дорівнює . Пряме експериментальне вимірювання елементарного заряду виконав пізніше американський фізик Міллікен. Отже, електрон є носієм не лише маси, а й заряду, входить як складова в атом, який в цілому електрично нейтральний. Тому процес електризації являє собою або відокремлення від тіла або перенесення на нього електронів чи іонів**). Абсолютна величина електричного заряду не залежить від інерційної системи, в якій він вимірюється. Тому, вважають, що електричний заряд інваріантний, тобто його абсолютне значення не залежить від того, рухається цей заряд чи перебуває в стані спокою. ---------- *) Свій життєвий шлях Франклін починав бухгалтером, тому відповідну термінологію (дебіт – кредит) він використав для надлишку електронів через позначку “+”, а її недостаток він позначив як “–“. Про електрон в той час ще не було відомо. **) Іон – це атом, в якого забрали, або надали певну кількість електронів В системі СІ одиницею вимірювання заряду є кулон (). Так в ній заряд електрона дорівнює . Поки що не зрозуміло, чому заряд електрона дорівнює саме цьому значенню. Хоч заряд електрона вважається елементарним, насправді за сучасними уявленнями він також має певну будову*) . Заряд характеризує здатність вступати в електромагнітну взаємодію, створювати та відчувати вплив електричного поля інших зарядів і не залежить від швидкості руху самих заряджених тіл. Тому виконується закон його збереження. В ізольованій системі при довільних фізичних процесах, що протікають в ній, алгебраїчна сума електричних зарядів незмінна: . (12.2.1) Це фундаментальний закон і свідчить про те, що заряди можуть лише переноситись від одного тіла до іншого розглядуваної замкнутої системи і жодні взаємодії у ній не можуть змінити заряд цієї системи в цілому. Тому заряд - це одна із фундаментальних властивостей матерії, релятивіські інваріантна і підлягає закону збереження. Для глибшого розуміння суті електричних явищ ознайомимось з кількісним законом взаємодії електричних зарядів. Ця взаємодія виражається особливо просто, якщо розміри заряджених тіл дуже малі порівняно з відстанню між ними, тобто так звані точкові заряджені тіла. У 1875 році Кулон встановив, що два точкові нерухомі заряди і у вакуумі взаємодіють між собою силою, вектор якої дорівнює . (12.2.2) Тут -відстань між центрами точкових зарядів,-коефіцієнт *) Вважається, що електрон складається з двох точкових кварків з зарядом та одного із зарядом ., які перебувають в безперервному русі і у вільному стані їх не виявлено пропорційності, який в системі дорівнює . У порівнянні із вакуумом, в середовищі із діелектричною проникністю сила Кулона зменшується в разів. Формулюється закон Кулона так: Сила взаємодії двох точкових зарядів спрямована вздовж прямої лінії, що їх сполучає. Величина її не залежить від наявності інших зарядів, прямо пропорційна добутку двох взаємодіючих зарядів та обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Цей характер взаємодії справедливий як для негативних, так і позитивних зарядів і зумовлений існуванням навколо нерухомого заряду електричного поля*). § 12.3. Напруженість як векторна характеристика електростатичного поля. Принцип суперпозиції Після праць Ньютона з далекодії гравітаційної взаємодії, з цієї точки зору також намагались пояснити електричну та магнітну взаємодії. Однак Фарадей своїми працями із електромагнетизму ---------- *)Електричним диполем нахзивають систему двох однакових за величиноюі протилежних за знаком електричних зарядів, відстань між яякими мала порівняно з відстанню до точок поля, які розглядаються. відкинув погляди про далекодію електричної взаємодії та ввів поняття про силове поле, яке зумовлює локальну силову дію. Щоб встановити його характер, запишемо закон Кулонав такій формі: =. (12.3.1) Цей запис не лише відображає принципово нове фізичне поняття - електричне поле, яке створюється зарядом в оточуючому його просторі, але й визначає закон його дії на довільний інший заряд, що вноситься в це поле. Це пробний заряд, він додатний і такої малої величини, що внесення його в досліджуване поле не змінює параметри цього поля. Електричне поле - це самостійна фізична реальність, яка не зводиться ні до теплових, ні до механічних явищ і зумовлює новий клас явищ природи. Електричне поле надає локальність силового характеру простору, що оточує заряджене тіло. Такою силовою характеристикою є вектор напруженості . Суть локальності полягає в наступному. Якщо відома напруженість електричного поля в локальній точці простору, то за допомогою закону Кулона можна встановити характер його дії на розташований в цю точку простору інший заряд і для цього не обов’язково знати, як це поле виникло. Теж саме справедливо для довільної точки простору. Експериментально встановлено, що відношення сили Кулона, що діє на внесений в нього пробний заряд до його величини, не залежить від величини пробного заряду і характеризує лише електричне поле в цій точці, в якій він знаходиться. Відносне значення величини , що дорівнює вектору сили, яка діє на одиничний додатний заряд, приймають за кількісну міру, що визначає модуль вектор напруженості електростатичного поля. Згідно із законом (12.3.1) вектор напруженості дорівнює =. (12.3.2) На відміну від (12.3.1), ця формула більш універсальна, ніж закон Кулона, оскільки дозволяє обчислити дію електричного поля на заряджені тіла довільної геометрії. Напрямки векторів і співпадають. Тому, напруженість поля в довільній точці можна зобразити графічно у вигляді прямого відрізка, що виходить із неї, подібно до того, як це робиться при Рис.12.3.1 зображенні сил або інших векторних величин. Саме векторний характер напруженості дозволяє зображати електричне поле за допомогою силових ліній (на рис.12.3.1). У кожній точці її дотику вектор спрямований вздовж дотичної і густота розташування цих ліній буде характеризувати величину.
Рис.12.3.2 Поле, напруженість якого у всіх його точках має одне і теж значення напруженості, а її вектор має один і той самий напрям у просторі, називається однорідним. Таке поле створює безмежна заряджена площина. Однорідним є електричне поле між двома різнойменно зарядженими пластинами з малою відстанню між ними. Але поле точкового заряду неоднорідне, однак воно сферично симетричне. Якщо електростатичне поле створюється декількома зарядами, то згідно із принципом суперпозиції (рис.12.3.2) , вектор результуючої напруженості визначається як . (12.3.3) Це правило аналогічне правилу додавання векторів сил у механіці. Тоді, спроектувавши ліву і праву частини рівності (12.3.3) на декартові осі, одержимо, що за теоремою Піфагора . Іншою характеристикою векторного поля, а саме скалярною (енергетичною) є потенціал. Розкриємо його суть. § 12.4. Робота сил електричного поля з переміщення заряду. Потенціал як енергетична характеристика електростатичного поля. Еквіпотенціальна поверхня. Теорема Ірншоу Обчислимо роботу, яку виконує електричне поле, переміщуючи пробний заряд із точки простору з координатою в іншу з координатою . Сила кулонівської взаємодії є функцією
Рис.12.4.1 відстані між зарядами, тому роботу, як скалярний добуток , можна обчислити лише на елементарному відрізку переміщення (рис.12.4.1), як за умови, що на ньому . Виразивши її як одержимо, що при переміщенні заряду між двома точками поля з координатами та буде виконана робота . (12.4.2) Одержаний вираз свідчить, що робота з переміщення заряду в електростатичному полі не залежить від форми самої траєкторії переміщення, а лише визначається значеннями координат початковго і кінцевого положень заряду відносно початку відліку. Тому, сила Кулона консервативна і виконана при цьому робота виражає зміну потенціальної енергії системи зарядів при зміні геометрії їх розташування. Отже, за довільного вибору початкової і кінцевої координати переміщення заряду викнонувана електричним полем робота вздовж замкненого контура дорівнює нулеві . (12.4.3) Нагадаємо, що таке поле потенціальне. Тому, як і в механіці, потенціальна енергія системи зв’язаних зарядів також визначатиметься з точністю до сталої. Її значення приймають таке, що дорівнює потенціальній енергії системі зарядів, рознесених на безмежну відстань один від одного. Потенціал електростатичного поля точковго заряду. Як випливає із (12.4.2), скалярною характеристикою електростатичного поля в точці є функція положення заряду з координатою в просторі . (12.4.4) За своїм фізичним змістом вона дорівнює потенціальній енергії, яку має додатний одиничний заряд на відстані від заряду , що створює поле. Величина не залежить від величини пробного заряду і називається потенціалом поля в точці з координатою . Отже, електричний потенціал - це скалярна фізична величина, що чисельно дорівнює потенціальній енергії, яку має додатний одиничний заряд в заданій точці електростатичного поля, створене зарядом . Максвелл дотримувався означення потенціалу, яке сформулював Томсон: Потенціал в точці – це робота, яку б виконали електричні сили над одиничним додатним зарядом, що внесений в цю точку поля без зміни характеру розподілу системи зарядів, під час переносу його із цієї точки поля в безмежність. На безмежності , тому згідно із (12.4.4) , потенціал прямує до нуля . В практиці за нульовий електричний потенціал приймають потенціал Землі. Потенціал точок поля позитивного заряду вважають додатним, а негативного – від’ємним. Проте потенціал електричного поля не можна повністю ототожнювати із потенціальною енергією системи зарядів. Потенціальна енергія системи зарядів дорівнює повній роботі, яка витрачається для того, щоб утворити відповідну систему зв’язаних зарядів. Отже, згідно із (12.4.2) та (12.4.4), під час переміщення заряду з точки електричного поля з потенціалом в точку поля з потенціалом , виконана робота дорівнює (12.4.5) і виражає зміну потенціальної енергії заряду в електричному полі. Переміщуючи заряд з точки поля з координатою в безмежність, електричне поле виконує роботу . Тому, потенціал точки електростатичного поля можна означити (12.4.6) як роботу, яку виконують сили електричного поля, переміщуючи одиничний додатний заряд з цієї точки простору в безмежність. Принцип суперпозиції. Якщо електростатичне поле створюється декількома нерухомими зарядами, то результуючий потенціал поля у деякій точці дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів в цій точці від полів, що створені кожним зарядом зокрема: . (12.4.7) Зручно ввести в розгляд зміну потенціальної енергії одиничного додатного заряду, яка називається електричною напругою між двома точками електричного поля і позначається як . Означають її так: Різниця потенціалів, або електрична напруга між двома точками електричного поля дорівнює відношенню роботи, яку виконують електричні сили під час переміщення заряду з однієї її точки в іншу, до величини цього заряду. Із цього означення стає зрозумілим, що фізичний зміст має лише різниця потенціалів, або напруга, між двома довільними точками поля, оскільки робота з переміщення заряду між ними визначена лише тоді, коли задані початок та кінець самого шляху переміщення. Із формули (12.4.5) можна зробити такі висновки: 1.Напруга величиною в дорівнює різниці потенціалів між такими двома точками електричного поля, для яких в процесі переміщення позитивного заряду в електричні сили виконують роботу в. 2.В електростатичному полі робота з переміщення заряду між двома його точками не залежить від форми шляху. Вона визначається тільки значеннями початкової та кінцевої координат точок переміщення. Вздовж замкнутого контура робота завжди дорівнює нулеві. Для потенціального поля поняття про потенціал вперше ввів Лаплас під час розрахунків сили притягання Землею, а Грін застосував функцію для дослідження властивостей електричного поля і назвав її потенціальною функцією. Терміном потенціал також користувався у своїх дослідженнях Гаусс. Еквіпотенціальна поверхня. Енергетичні закономірності потенціального поля зручно характеризувати за допомогою поверхонь сталого потенціалу (еквіпотенціальних поверхонь). Це геометричне місце точок електричного поля з однаковим потенціалом. Еквіпотенціальні поверхні описуються рівнянням (12.4.8) і мають такі властивості: Завжди ортогональні. Робота, що виконується при переміщенні заряду по еквіпотенціальній поверхні, дорівнює нулю. Еквіпотенціальна поверхня поля статичного точкового заряду має вигляд сфери, а в переризі на площину – ними є концентричні кола. За їх густиною можна судити про напруженість електростатичного поля: Чим щільніше еквіпотенціальні лінії розташовані одна до одної, тим більша напруженість у відповідній точці. Теорема Ірншоу. Відомо, що умовою стійкої рівноваги механічної системи матеріальних точок є мінімум її енергії. Теорема Іршноу формулює умову стійкості для системи зарядів: Система точкових зарядів, що перебувають у стані спокою і містяться на визначених відстанях один від одного, не може бути стійкою, якщо немає інших сил, крім сил кулонівської взаємодії. Теорема Ірншоу є наслідком теореми Остроградського-Гаусса. Залишимо її без доведення, але відзначимо, що вона грунтується на законі взаємодії . Тому, теорема Ірншоу справджується і для сил тяжіння, для яких стійкість Сонячної системи забезпечується завдяки руху планет. § 12.5. Напруженість як градієнт потенціалу. Теорема про циркуляцію вектора напруженості
Перш за все нагадаємо, що градієнтом від скалярної функції називається швидкість зміни скалярної функції у напрямку її найшвидшого зростання. При цьому важливими є два положення: Напрям, вздовж якого беруться дві найближче розташовані точки, повинен бути такий, щоб швидкість зміни скалярної функції була найбільша; Вибирається саме той напрям, вздовж якого скалярна функція збільшується ( не зменшується). Графічне тлумачення градієнту подано на рис.12.5.1. Тут взяті дві, досить близько розташовані між собою еквіпотенціальні поверхні із потенціалами та так, що . Тоді градіент від функції зображатиметься як вектор, що перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні або лінії в напрямку від до і спрямований в напрямку збільшення потенціалу.
Рис.12.5.1 Вектор напруженості електричного поля між двома зарядженими пластинами спрямований в напрямку . Він співпадає із напрямком нормалі . Якщо в цьому напрямку поле переміщує одиничний заряд , то на елементарному проміжку виконується робота = . (12.5.1) Оскільки вектори та співпадають за напрямками, то або . (12.5.2) В цьому записі знак мінус виражає суть того, що переміщення заряду під дією поля відбувається в напрямку від точки із більшим потенціалом до точки із меншим потенціалом. За означенням, вираз є градієнтом від деякої скалярної функції , тому . (12.5.3) Отже, напруженість електричного поля не дорівнює нулеві, якщо скалярна функція потенціалу залежить від значень просторових координат . Одержана формула також свідчить про те, що поблизу розглядуваної точки електростатичного поля, потенціал змінюється найшвидше в напрямку силової лінії, тому вектор дотичний до неї. У напрямку, що перпендикулярний до вектора , тобто до силової лінії, робота з переміщення заряду дорівнює нулеві.При цьому не змінюється його потенціальна енергія, а, отже, або – геометричне місце точок з однаковим потенціалом є еквіпотенціальним і завжди перпендикулярне до силових ліній. Якщо в тривимірній декартовій системі координат відмінними від нуля є складові поля , то вираз є повний диференціал. Але із математики відомо, що коли деякий вираз є повний диференціал, то для довільних шляхів інтегрування, але між одними і тими ж сами точками із координатами і , інтеграл від нього дорівнює одному і тому ж значенню. Тому . (12.5.4) Якщо напрям нормалі не співпадає із будь - якою із декартових осей, то градієнт від скалярної функції виражається через одиничні вектори вздовж декартових осей (векторний базис чи орти ) як: . (12.5.5) Прийнявши до уваги, що одержуємо, що складові напруженості електростатичного через часткові похідні від функції можна виразити як: . (12.5.6) § 12.6. Потік вектора напруженості . Теорема Остроградського-Гаусса для електростатичного поля у вакуумі. Розрахунок параметрів електричних полів навколо деяких заряджених тіл правильної геометричної форми Незважаючи на те, що за допомогою закону Кулона та принципу суперпозиції можна визначити напруженість поля, однак цей спосіб розв’язування задач електростатики часто призводить до досить громіздких обчислень. Алгоритм розрахунку істотно спрощується, якщо застосувати теореми про властивості векторних полів. Однією із них є відома теорема Остроградського-Гаусса про потік вектора через елемент поверхні. Потоком вектора напруженості через вектор - елементу площі (рис.12.6.1.) називається величина, що дорівнює скалярному добутку . (12.6.1) Тут вектор площі визначається як .
Рис.12.6.1 Рис.12.6.2
Потік - це алгебраїчна величина і залежить не лише від конфігурації поля , але й від напрямку нормалі . Тому, потік може бути додатною чи від’ємною величиною, залежно від знаку проекції вектора на напрям в точці поверхні , яку пронизує вектор . Однак, потік вектора дорівнює нулеві, якщо . Через інтегральну поверхню потік дорівнює . (12.6.2) Інтеграл (12.6.2) – це так званий поверхневий інтеграл і розглянемо застосування його для конкретних обчислень. Для цього обчислимо потік вектора через замкнуту поверхню сферичної форми. За додатний напрям нормалі приймемо зовнішню нормаль, тобто перпендикуляр, що спрямований в простір назовні від замкнутої поверхні. Площа поверхні сфери радіусом дорівнює . Тому, якщо її центр сумістити із положенням заряду , то згідно із (12.6.1), повний потік вектора буде дорівнювати , (12.6.3) тобто сумарному заряду, що охоплений поверхнею інтегрування, поділеному на діелектричну сталу вакууму. Це відома теорема Остроградського-Гаусса і важливою її закономірністю є те, що потік силового вектора не залежить від розмірів поверхні інтегрування та її форми. Оскільки потік – величина алгебраїчна, то якщо поверхня не охоплює заряд, як це зображено на рис.12.6.2, то повний через неї дорівнює нулеві. Тому, має місце таке твердження: Kількість векторів , що входять в сферу інтегрування дорівнює відповідній кількості, яка виходить із неї. Теорема Остроградського-Гаусса, як і закон Кулона, також є законом. Із фізичної точки зору рівність (12.6.3) можна розглядати як деякий закон збереження в тому розумінні, що потік не залежить від величини поверхні, а також і від плину часу за умови, що заряди не перетинають її межу. Закон збереження потоку дозволяє обчислити не лише усереднене значення, але й величину поля в цілому. Дійсно, оскільки теорема Остроградського-Гаусса справедлива для сфери, то деформація її, окрім розривів, утворює лише довільні її форми і не змінює загальної кількості силових ліній, що виходять з її поверхні назовні. Ця теорема має принципове значення і дозволяє основні рівняння електростатики звести до диференціальної форми та узгодити їх з теорією близькодії. Математичний запис закону Кулона у формі (12.6.2) відповідає теорії далекодії. Наголосимо також, що якщо формула Кулона дозволяє визначити електричне поле, знаючи величину заряду, то теорема Остроградського - Гаусса – навпаки, знаючи параметри електричного поля, дозволяє визначити величину заряду. Еквівалентність між законом Кулона та теоремою Остроградського - Гаусса зумовлена саме законом взаємодії та принципом суперпозиції. Дійсно, якби поле описувалось ще іншим типом взаємодієї, наприклад,, то теорема Остроградського - Гаусса для нього вже не справджується. В цьому випадкуполі оточивши заряд сферою радіусом одержимо, що потік через неї вектора (12.6.4) вже залежитиме від розмірів поверхні інтегрування і в розглядуваному випадку на безмежно далеко відстані він зникає, тоді як сумарний заряд всередині її залишається й надалі незмінним. Розглянемо приклади застосування теореми Остроградського-Гаусса. Рівномірно заряджена безмежна площина (рис.12.6.3). Виділимо на ній елементарну поверхню площею з поверхневою густиною заряду , (12.6.5) яка охоплює елементарний заряд . Щоб обчислити потік вектора напруженості через заряджену площину безмежних розмірів, досить порахувати кількість силових ліній, що пронизують поверхню замкнутої форми. Тому, в впидку площини поверхню інтегрування зручно вибрати у вигляді циліндра з основою , як показано на рис.12.6.3. Потік вектора через бічну поверхню дорівнює нулеві, оскільки лінії паралельні твірній циліндра, а через його основи – , звідки одержуємо, що напруженість електричного поля
Рис.12.6.3 Рис.12.6.4 рівномірно зарядженої безмежної площини буде дорівнювати . (12.6.6) На перший погляд, складається враження, що вона не залежить від відстані до площини. Однак одержаний результат зумовлений допущенням про безмежні розміри зарядженої площини. Аналогічним чином обчислюється напруженість електричного поля, що створюється двома рівномірно зарядженими безмежними площинами . В цьому випадку при однаковому знаку заряду на них в просторі між площинами вектори мають взаємопротилежні напрямки і однакові з інших сторін поверхонь. В конкретному випадку, коли , то напруженість поля між пластинами дорівнює нулеві. Для різнойменно заряджених пластин при електричне поле існує лише в просторі між ними. Поле зарядженої пустотілої сфери (рис.12.6.4). Як і поле точкового заряду, поле зарядженої сфери володіє центральною симетрією, тобто напрям вектора співпадає із напрямом радіус-вектора . Відповідно до теореми про потік, всередині сфери поле відсутнє, тому заряди зосереджені на її поверхні (сфера пустотіла), а поза нею напруженість поля дорівнює . (12.6.7) і співпадає із полем точкового заряду, що розташований в її центрі. Поле зарядженої осі. Під зарядженою віссю розуміють тонкий безмежно довгий провідний стрижень з лінійною густиною заряду . В цьому випадку, замкнуту поверхню зручно вибрати у вигляді циліндра, що її оточує . Оскільки поле навколо зарядженої осі плоске, то силові лінії пронизують лише бокову поверхню циліндра, а через бічні - потік дорівнює нулеві. Тому, згідно із теоремою Остроградського – Гаусса маємо, що . (12.6.8) Отже, напруженість електричного поля навколо зарядженої осі зменшується при віддаленні від неї за законом . Потенціал електричного поля буде дорівнювати , (12.6.9) де - потенціал на поверхні провідника циліндричної форми радіусом . Різниця потенціалів між двома точками такого поля дорівнює . (12.6.10) Якщо заряджена вісь має скінчену товщину радіусом , то всередині її об’єму потенціал сталий, а за межами дорівнює (12.6.9). Для зарядженого прямовидного провідника циліндричної форми силові лінії є радіальними прямими, що перпендикулярні до поверхні циліндра. Тому, напруженість в усіх точках, рівновіддалених від осі провідника, є однакові. Всередині провідника поле відсутнє і його об'єм еквіпотенціальний, а за межами зменшується (рис.12.6.5).
Рис.12.6.5 Розділ XIII. Електричне поле в середовищі § 13.1. Провідники в електричному полі. Електростатична індукція. Метод дзеркальних зображень. Електричний диполь Матеріальні середовища складаються з додатних та від’ємних зарядів, тому у зовнішньому електричному полі виникає їх перерозподіл і необхідно ввести поняття про середнью їх густину. Поля, які утворюються сукупністю зарядів у макроскопічних тілах, називаються макроскопічними. З точки зору поведінки макроскопічних тіл у електричному полі, їх можна умовно поділити на два види: провідники та діелектрики. Проміжний клас макроскопічних тіл утворюють напівпровідники. До них належать ще й ті речовини, в яких кількість вільних електронів незначна, але вони є все-таки. Ті речовини, в яких за звичних умов досить багато вільних електронів, називаються провідниками електрики. В них під дією електричного поля заряд переноситься з одної точки їх об’єму в іншу. Якщо за звичних умов вільні заряди відсутні, то такі середовища відносять до діелектриків або ізоляторів. Проведений поділ речовин на провідники, напівпровідники та діелектрики є умовний. В сильних електричних полях навіть ізолятори можуть стати провідниками електричного струму. Розглянемо електричне поле відокремленого незарядженого провідника. В умовах електростатики має місце рівновага зарядів. Це означає, що заряд, який переноситься вільними електронами всередині об’єму провідника, в середньому дорівнює нулеві. Таке внутрішнє поле в умовах рівноваги не викликає спрямованого дрейфу ( переміщення) вільних носіїв. Тому незаряджений провідник можна розглядати як неперервний континуум, в якому перенос заряду виникає лише під дією зовнішнього електричного поля. Якщо провіднику надати певний заряд, то він швидко розподілиться по його об’єму і наступить рівноважний стан, так що всередині провідника напруженість електростатичного поля дорівнює нулеві . (13.1.1) Якби ця умова не виконувалась, то заряди почали б рухатись і порушився б стан їх рівноваги. Тому відповідно до формули маємо, що потенціал всередині провідника сталий, а, отже, об’єм провідника завжди еквіпотенціальний. Електричні заряди на поверхні провідника із густиною створюють електростатичне поле поза його межами. Однак дотична складова вектора напруженості (- одиничний вектор вздовж дотичної до еквіпотенціальної поверхні в розглядуваній точці поля) дорівнює нулеві. У противному разі мало б місце додаткове переміщення заряду вздовж поверхні, що протирічить початковий умові статичної рівноваги зарядів у провіднику. Тому, на поверхні провідника вектор напруженості електричного поля має лише нормальну складову . (13.1.2) Вирази (13.1.1) і (13.1.2) виражають умову рівноваги зарядів у провіднику. Рівність нулеві тангенційної складової біля поверхні провідника є наслідком потенціальності електростатичного поля і відсутності його всередині об’єму провідника. За теоремою Остроградського-Гаусса нормальна складова дорівнює . (13.1.3) Тому поблизу поверхні провідника напруженість поля пропорційна густині поверхневих зарядів і чим менша площа поверхні, тим більша поверхнева густина. Якщо провідник оточений ізотропним діелектриком з відносною діелектричною проникністю , то напруженість поля дорівнює , то . Напруженість електричного поля поверхневих зарядів змінюється обернено пропорційно до величини радіуса–кривини цієї поверхні як (. Це означає, що поблизу вістря чи виступу на поверхні провідника еквіпотенціальні поверхні найбільше викривлені і наближені одна до одної. Поверхнева густина електричних зарядів на вістрях і виступах більша, ніж на інших частинах тіла, і навпаки, в області конічної западини напруженість поля і густина зарядів мінімальні. У зовнішньому електричному полі виникає додатковий перерозподіл зарядів всередині об’єму провідника. Це явище називається електростатичною індукцією. Із закону збереження заряду випливає, що під час електростатичної індукції виникають заряди обох знаків так, що їх загальна кількість залишається незмінною. Тому поле індукованих зарядів повністю компенсує всередині провідника зовнішнє електричне поле і, як таке, воно в середині його об’єму відсутнє навіть у присутності зовнішнього електричного поля. Отже, провідники мають здатність екранувати дію зовнішнього електричного поля. Для моделювання електричного поля біля провідної поверхні широко застосовують відомий метод дзеркальних зображень. Суть його полягає в тому, що крім існуючих зарядів вводять додатковий індукований, величину та місце розташування якого узгоджують із граничними умовами. Теоретично його розташовують так, щоб задовольнити умову дзеркальної симетрії для існуючого. Продемонструємо суть цього підходу на конкретному прикладі. Нехай біля провідної поверхні (рис.13.1.1) на відстані вздовж напрямку нормалі знаходиться заряд . Розташуємо в об’ємі провідника дзеркально симетрично індукований протилежного знаку заряд . Вектор результуючого поля, створюваного цими зарядами , завжди перпендикулярний до межі розділу. Тому тангеційна складова поля від цих двох зарядів дорівнює нулеві і для розрахунку напруженості та потенціалу можна застосовувати відповідні формули, одержані у попередньому розділі. В стані рівноваги в рівномірно зарядженому провіднику наданий йому надлишковий заряд розташовується лише на його поверхні. Про це можна судити із дослідів, суть яких полягає у вимірюванні характеристик поля всередині провідної порожнини. Такі досліди вперше виконав Фарадей. Він також встановив факт передачі зарядів від одного провідника іншому. Для цього виготовив тонкостінну провідну кулю із порожниною всередині і туди вставив заряджене тіло. Під час контакту заряд від зарядженого тіла повністю переходив до кулі і розподілявся на її зовнішній поверхні, оскільки на внутрішній її поверхні . Цей процес можна повторювати
Рис.13.1.1 безліч разів, що дозволяє надавати порожнинному провідному тілу теоретично як завгодно великий заряд. Практично його величина обмежується лише процесом стікання у навколишній простір завдяки іонізації повітря. Такий спосіб накопичення зарядів одного знаку покладений в основу дії електростатичного генератора - приладу, який призначений для одержання високої сталої напруги за рахунок механічного переносу електричних зарядів. Метод дзеркальних зображень наводить на думку про те, що для дослідження електростатичних взаємодій зручним є поняття про електричний диполь. В ньому заряди жорстко закріплені на певній відстані один від одного. Тому, дипольний момент дорівнює . (13.1.4) Електричний момент диполя є полярним вектором і спрямований від від’ємного заряду до додатного. Розглянемо поведінку диполя у зовнішньому електричному полі напруженістю . Як видно із рис.13.1.2, під дією обертових моментів сил Кулона диполь обертатиметься у напрямку поля. За означенням момент сили, тому момент сили, що діє на диполь, дорівнює . Можна визначити й енергію, яку матиме електричний диполь у зовнішньому полі. За означенням вона дорівнює і, прийнявши до уваги, що одержимо, що в однорідному полі енергія електричного диполя дорівнюватиме . (13.1.5)
Рис.13.1.2 При одержанні формули (13.1.5) не враховувалась енергія взаємодії зарядів, що утворюють диполь, між собою. Якщо ж електричне поле неоднорідне, то в напрямку цієї неоднорідності на диполь діятиме ще додаткова сила, яка зміщуватиме електричний заряд у напрямку цієї неоднорідності. Наприклад, якщо неоднорідність електричного поля має місце в напрямку осі, то ця сила виражатиметься як, оскільки за загальним означенням . Тут вважається, що під час переміщення кут між напрямками та залишається незмінним. Аналогічно поступають, якщо поле має відмінний від нуля градієнти в інших напрямках простору. На завершення відзначимо цікаву закономірність електричного поля диполя. Напруженість створюваного ним електричного поля, як системи із двох точкових зарядів, зменшується швидше, ніж поле самого точкового заряду. Характерно, що ще швидше спадає поле системи із двох однакових антипаралельних диполів (квадруполів). Чим більша кількість пар різнойменних зарядів і чим симетричніше вони розташовані в тілі, тим швидше зменшуватиметься з відстанню напруженість поля.
§ 13.2. Діелектрики в електричному полі. Явище поляризації діелектриків. Спонтанна поляризація. Піроелектрики та сегнетоелектрики
Традиційно до діелектриків відносять ті матеріальні тіла, які мають малу електропровідність. Це електроізоляційні матеріали, питомий опір яких перевищує Ом(см. Але поняття про діелектрики ширше, бо діелектричні властивості можуть мати напівпровідники, що залежить від температури і величини прикладеної до них електричної напруги. Найважливишим явищем, що спостерігається в діелектриках під дією зовнішнього електричного поля є їх поляризація. З макроскопічної точки зору вона полягає у виникненні електричного дипольного моменту (13.1.2). Ці наведені дипольні моменти створюють додаткове поле, що послаблює (але не компенсує) зовнішнє. Поява наведених електричних дипольних моментів і називається поляризацією середовища. На підставі мікроскопічних уявлень, явище поляризації якісно пояснюється так. Під дією електричного поля, негативно і позитивно заряджені частини молекул зміщуються в протилежні сторони відповідно до їх знаків, але цілком не відокремлюються одні від одних. В результаті цього молекули набувають дипольних властивостей, загальна орієнтація яких під дією зовнішнього поля визначає поляризацію діелектрика в цілому. Якщо зовнішнє електричне поле орієнтує електричні диполі, то їх тепловий рух навпаки – дезорієнтує в просторі. Такий процес називається деполяризацією.
а б Рис.13.2.1 На рис.13.2.1, схематично зображено виникнення електронного типу поляризації. У відсутності електричного поля (рис.13.2.1,а) центри від’ємних і додатних зарядів співпадають. Якщо під дією зовнішнього електричного поля змінюється лише рух електронів в атомах або молекулах, але так що зміщується їх середнє положення відносно середнього положення ядра (рис.13.2.1,б), то такого виду поляризація називається електронною або деформаційною, оскільки вона виникає внаслідок деформації молекули в цілому. Інший вид поляризації називається орієнтаційною. Суть її полягає в тому, що під дією електричного поля дипольні молекули орієнтуються у напрямку цього поля. В іонних кристаллах, наприклад, кухонної солі , до електронної поляризації додається ще й зміщення додатних та від’ємних іонів один відносно одного. Ця поляризація називається іонною. Якщо діелектрик поляризований, то це ще не означає, що він заряджений. В процесі поляризації загальний заряд замкнутої системи не змінюється. Однак діелектрику можна надавати, або забрати в нього деякий заряд, змінюючи при цьому кількість електронів. Тому необхідно розрізняти вільні і зв’язані (поляризаційні) заряди. Поляризаційні заряди, на відміну від вільних, локалізовані на поверхні діелектрика з певною поверхневою густиною . Всередині діелектрика електричні заряди не можуть вільно переміщатись, а можуть лише зміщуватись в межах своєї молекули. Тому, якщо поділити поляризований діелектрик в електричному полі на дві частини, то кожна із них складатиметься, як і раніше, з незаряджених у цілому молекул, а повний її заряд так само дорівнюватиме нулеві. . Отже, поляризаційні заряди, на відміну від індукційних, не можуть бути відокремлені один від одного. Заряди, що входять до складу молекул діелектрика, є зв’язаними і залишити їх не можуть. Кількісно поляризація діелектрика характеризується дипольним моментом одиниці об’єму , який ще називають вектором поляризації. Для незначних полів його величина пропорційна напруженості електричного поля , (13.2.1) де -деякий безмежно малий елемент об’єму діелектрика, -сума дипольних моментів молекул, які розташовані в цьому об’ємі ,– кількість елементарних диполів в одиниці об’єму, а коефіцієнт пропорційності називається діелектричною сприйнятливістю речовини або поляризованістю одиниці об’єму. Отже, вектор поляризації – це усереднена характеристика поляризаційного поля середовища в зовнішньому електростатичному полі. Створюване поляризацією електричне (поляризаційне) поле - це результуюче макроскопічне поле, створюване багатьма електричними диполями. Сам же вектор , визначений як електричний дипольний момент одиниці об’єму, має розмірність напруженості електричного поля і відповідає середньому значенню напруженості результуючого поля, яке діє в діелектрику. Зауважимо, що це середнє значення має локальний характер, хоч і обчислюється в об’ємі, що містить в собі відносно багато молекул або атомів. Вектор повністю визначає поляризацію діелектрика у всіх його точках. Якщо він у довільний точці однаковий, то такий діелектрик називають однорідним. Таким чином, поле в діелектрику послаблюється в разів, оскільки від поля вільних зарядів необхідно відняти поле поляризаційних зв’язаних зарядів. У більшості випадків поляризація діелектрика неоднорідна. У цьому легко переконатись, якщо в його об’ємі розташувати точковий заряд. Від цього заряду напруженість електричного поля зменшуватиметься за законом і за подібною залежністю буде зменшуватись поляризаційне поле, тобто поляризація діелектрика також має неоднорідний характер.Однак це ще не означає, що де небудь всередині об’єму діелектрика зможуть з’явитись поляризаційні заряди. З точки зору поведінки діелектриків в зовнішньому електричному полі, в природі відомі ще й такі, в яких поляризація виникає спонтанно – це піроелектрики та сегнетоелектрики. Ці діелектрики мають своєрідні електричні властивості, які зумовлені існуванням в них цілих областей (доменів) , в яких вектори дипольних моментів мають однакову орієнтацію. а б Рис.13.2.2 В піроелектриках електричні диполі усіх елементарних комірок кристалу орієнтовані в одному напрямку (рис.13.2.2,а). В сегнетоелектриках однакова орієнтація диполів елементарних комірок має місце лише в межах одного домену, тоді як в різних доменах ця орієнтація різна (рис.13.2.2,б). Тому сегнетоелектрик*) – це частковий ------- *) Свою назву сегнетоелектрики дістали від першої дослідженої речовини цього типу – сегнетової солі. випадок піроелектрика. Типовим піроелектриком є турмалін, цукор, а сегнетоелектриком – титанат барію. § 13.3. Діелектрична проникність. Вектор електростатичної індукції Стан поляризації діелектрика впливає на результуюче електричне поле в ньому. Це враховується шляхом введення у відповідні формули діелектричної проникності . Наприклад, для скла . Це означає, що в ньому сила кулонівської взаємодії при однакових інших умовах зменшується в п’ять разів, порівняно з вакуумом. Пояснюється це тим, що електричні поля вільних та зв’язаних зарядів спрямовані у взаємно протилежні один одному напрямки і з поля вільних зарядів необхідно відняти поле зв’язаних зарядів. Поява під дією зовнішнього електричного поля, крім вільних, ще й зв’язаних на поверхні діелектрика зарядів зумовлює те, що вектор напруженості електричного поля в речовині не може бути універсальною характеристикою. На межі розділу він терпить розрив – змінюється їх густина при переході від одного діелектрика до іншого (рис.13.3.1), а напруженість електричного поля поляризаційних зарядів визначає величина вектора . Здатність діелектрика поляризуватись лише у зовнішньому полі параметрично описують його діелектрична проникність та діелектрична сприйнятливість. Чим більші значення та , тим сильніше поляризується діелектрик і тим менша напруженість електричного поля в його середині. Якщо діелектрик однорідний, то значення і однакові за своїми значеннями у будь - якій точці об’єму. Тому, для опису електричних полів у діелектрику зручніше ввести в розгляд вектор електричного зміщення або вектор електричної індукції як =. (13.3.1) Тут – це відносна діелектрична проникність. Вона виражає зв'язок між макроскопічними параметрами, які характеризують вплив діелектрика на величину напруженості вполя в них. Модуль вектора , на відміну від модуля вектора , залежить лише від величини та розподілу вільних зарядів і є неперервний при переході через межу поділу. Тут необхідно зауважити ось що. В системі у відсутності діелектрика, а отже, зв’язаних зарядів вектор індукції визначається як .
Рис.13.3.1 За аналогією із силовими лініями поля для графічного зображення розподілу електричного зміщення у просторі користуються лініями електричного зміщення, напрям і густина яких визначається так само, як і для ліній . Нагадаємо ще раз, що джерелом поля векторів є виключно сторонні (вільні) заряди, тому лінії електричного зміщення можуть починатись або закінчуватись лише на вільних зарядах. Це означає, що лінії електричної індукції неперервні на межі розділу, тоді як лінії напруженості можуть починатись і закінчуватись як на вільних, так і на зв’язаних зарядах. § 13.4. Теорема Остроградського–Гаусса для електростатичного поля в діелектрику Першим рівнянням електростатики є узагальнений закон Кулона, який у диференціальний формі записується як (13.4.1) для електричного поля у вакуумі та (13.4.2) для поля в діелектрику. Оскільки густина зв’язаних зарядів , то врахувавши, що в ізотропному діелектрику одержимо, що , (13.4.3) або (13.4.4) Вираз (13.4.4) - це математичний запис теореми Остроградського - Гаусса в диференціальній формі для електростатичного поля в діелектрику. Він свідчить, що значення вектора в діелектриках визначається величиною і розподілом виключно вільних зарядів , тоді як напруженість електричного поля визначається величиною і розподілом як вільних, так і зв’язаних зарядів. Фізичний зміст рівнянь (13.4.3) і (13.4.4) ілюстрований на рис.13.4.1. Зліва циркуляція вектора вздовж контура обходу навколо точки А, що містить в собі джерело заряду , відмінна від нуля, а, отже, відмінна від нуля й дивергенція вектора . Якщо ж контур обходу розглядуваної точки електростатичного поля не містить в собі джерела заряду, то дивергенція вектора дорівнює нулеві. Прикладом такого поля, може бути поле в просторі між зарядженими площинами. В ньому в довільній точці існують вектори , хоч у цьому просторі відсутній заряд. Запишемо рівняння електростатики в інтегральній формі. Для цього вираз (13.4.4) домножимо на елементарний об’єм та проінтегруємо . (13.4.5) Рис.13.4.1 Тут права частина дорівнює сумарному заряду, що охоплений поверхнею об’єму . Якщо до лівої частини застосувати теорему Остроградського - Гаусса , то одержимо так зване перше рівняння електростатики , (13.4.6) або інтегральну форму запису електростатичної теореми Остроградського - Гаусса для поля в діелектрику. Вона справедлива для довільних діелектриків будь-якої форми і стверджує про те, що потік вектора електричного зміщення через довільну замкнену поверхню, дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, що охоплені цією поверхнею. § 13.5. Граничні умови для векторів і на межі поділу Якщо на межі поділу двох середовищ під час переходу через межу нормальна складова силового вектора поля змінюється, то на цій межі зосереджені його джерела. Якщо ж змінюється лише тангенційна складова силового вектора, то на межі поділу розташовані його вихори. У випадку стаціонарних полів тангенційні складові векторів розривів не зазнають – вони неперервні (рис.13.5.1). І для нормальних, і для тангенційних складових векторів і , граничні умови записуються так: або (а), (в). (13.5.1) Умова (а) означає, що робота вздовж замкненого шляху в потенціальному полі дорівнює нулеві. Умова (б) означає те, що вектор на межі поділу джерела не має, тоді як на ній вектор , якщо він не паралельний границі поділу, має джерело і ним є зв’язані заряди.
а б Рис.13.5.1 Що ж стосується тангенційної складової вектора , то вона не змінюється під час переходу через межу поділу, і навіть якщо нею є провідні середовища. Дійсно, якщо обчислити роботу, яку електричне поле виконує під час переміщення одиничного додатного заряду вздовж замкнутого контура, що перетинає обидва середовища, то в потенціальному полі вона дорівнює нулеві. Тому в границі одержуємо, що , звідки . (13.5.2) Оскільки джерелами вектора є ще й зв’язані заряди, то на межі поділу нормальна складова вектора терпить розрив, оскільки на ній утворюється зв’язаний поверхневий заряд. Якщо ж тут вільні заряди відсутні, то неперервною є нормальна складова вектора .
§13.6. Накопичення заряду відокремленим електрично ізольованим провідником та його електроємність. Взаємна електроємність Провідники – це тіла, що мають вільні електричні заряди, а саме значну кількість вільних електронів. Тому помістивши його в електричне поле, вільні електрони миттєво переміщуються в ньому і компенсують поле всередині провідника. Наданий провіднику електричний заряд розподіляється на його поверхні так, що вона є еквіпотенціальною: . (13.6.1) Увесь об'єм провідника еквіпотенціальний. На поверхні провідника, що знаходиться в електричному полі, індукуються заряди. Їх густина пропорційна напруженості цього поля. Зміна заряду провідника призводить до відповідної зміни його потенціалу. Досліди показують, що різні за розмірами та формою провідні відокремлені (електрично ізольовані) тіла за умови, що в них однакові заряди, взагалі то набувають неоднакових потенціалів. Експериментально встановлено, що для відокремленого провідника чим більший за величиною накопичений ним заряд, тим більший його потенціал. Між цими величинами має місце прямо пропорційна залежність: . (13.6.2) Коефіцієнт пропорційності називається електричною ємністю, або просто електроємністю ізольованого провідника. Співвідношення*) (13.6.2) справедливе за умови відсутності процесу стікання заряду з поверхні провідника у навколишнє середовище. Фізичний його зміст полягає в тому, що він визначає величину заряду, який необхідно надати відокремленому провіднику або забрати від нього, щоб його потенціал змінився на одиницю. За умови збереження пропорційності в залежності (13.6.1) можна зробити висновок про те, що електроємність провідника залежить від його геометричної форми, розмірів, однак не залежить від його агрегатного стану, хімічної природи речовини, наявності в провіднику пустот та ін. Ємність характеризує здатність накопичувати одним окремо взятим тілом заряд відносно іншого. Тому, коли ми говоримо про відокремлений провідник, то маємо на увазі, що його потенціал визначений відносно потенціалу, наприклад, Землі, тобто друге тіловсе одно присутнє. Розглянемо електроємність не відокремленого провідника, а коли поблизу його знаходиться інший провідник. В цьому випадку провідник, заряджається через вплив зарядом протилежного знаку. Індукційні заряди зменшуватимуть поле, що створюється зарядженим, а, отже, змінюватимуть його електроємність. Оскільки індукційні заряди призводять до зменшення заряду зарядженого провідника, то його електроємність при цьому зростатиме. Два різнойменно заряджені до однакової величини заряду провідники, розташовані на певній відстані один від одного, утворюють електричний прилад, який називається конденсатором. Систему, що складається із двох провідників, суміжні поверхні яких розділені ізолятором, ще називають електричним накопичувачем (акумулятором). Однак, як зауважив ще Максвелл, використання терміну “конденсатор” доцільно обмежити лише до пристроїв, які використовуються не для збереження заряду, а для збільшення його поверхневої густини. Якщо на пластинах зосереджений заряд , а різниця *) З точки зору електромаханічної аналогії зв’язок (13.6.1) доцільніше було б констатувати у вигляді , адже рушійною силою переміщення заряду є різниця потенціалів між відповідними точкми і за єлектроємність прийняти параметр потенціалів між ними , то, як показує дослід, взаємна електроємність двох провідників дорівнює . (13.6.2) Отже, взамною електроємністю двох провідників називають фізичну величину , що чисельно дорівнює величині заряду, який треба перенести з одного провідника на інший, щоб змінити різницю потенціалів між ними на один вольт. Електричне поле двох заряджених провідників майже повністю зосереджене в просторі між ними, тому не зазнає значних змін, коли конденсатор внести у зовнішнє електричне поле. Електроємність конденсатора практично не залежить від наявності оточуючих провідників. Поняття про ємність конденсатора вперше ввів Б.Франклін. Експериментував він з лейденськими банками, яку винайшов голандський вчений Клейст в 1745 році в Лейдені, а конденсатор взагалі вперше винайшов Отто фон Геріке. Плоский конденсатор. Він складається з двох рознесених у просторі плоско паралельних металевих пластин. Якщо на них зосереджений заряд , то напруженість поля в діелектрику між пластинами дорівнює . Це поле однорідне і його вектор перпендикулярний до поверхні пластин, тому . Тоді різниця потенціалів між обкладками конденсатора дорівнює , звідки електроємність плоского конденсатора обчислюється за формулою , (13.6.3) де - площа пластин, - відстань між ними. У формулах (13.6.2) і (13.6.3) не враховані таз звані крайові ефекти (рис.13.6.1), зумовлені викривленням силових ліній електричного поля. Сферичний конденсатор. Він складається з металевої кулі радіусом , оточеної концентричною з нею порожнистою металевою кулею радіусом (). Поза конденсатором поля, створені внутрішньою і зовнішньою обкладками, взаємно знищуються. Поле між обкладками створюється тільки зарядом внутрішньої кул. Тому електроємність сферичного конденсатора дорівнюватиме . Рис.13.6.1 При внутрішню обкладку можна вважати відокремленою кулею, тому при наявності на ній заряду напруженість поля всередині кулі буде дорівнювати і електроємність відокремленої кулі дорівнюватиме . (13.6.4) Циліндричний конденсатор. Він складаєть з двох коаксіальних циліндрів радіусами і та висотою , вставлених один в одного так, щоб їх осі співпадали між собою. У наближенні для обчислення напруженості електричного поля між циліндрами можна використати формулу для прямого безмежно довгого зарядженого стрижня . Тоді за аналогічними обчисленнями одержимо, що електроємність циліндричного конденсатора буде дорівнювати . (13.6.5) Простір між електродами конденсатора ємністю може бути заповнений діелектриком не повністю, а частково, як це зображено,наприклад, на рис.13.6.2,а. В цьому випадку електроємність зручно обчислити шляхом побудови еквалентної схеми сполучення між собою окремо взятих конденсаторів, одержаних умовним поділом простору між пластинами (рис.13.6.2,б). Тут об’єм конденсатора можна умовно розділяється на чотири рівні частини, тому результуюча ємність обчислюється як , де , , . Поняття ємності широко використовується в гідравліці. Тому наведемо гідравлічну аналогію електричній ємності. Під ємністю в гідравліці розуміють здатність певного резервуару наповнювати свій об’єм рідиною. В електротехніці під поняттям ємності розуміють здатність конденсатора накопичувати певний заряд. Однак в цих порівняннях є деяка відмінність. Рідину переважно вважають ідеально нестискуваною, тобто ємність наповненого резервуару не залежить від її тиску, тоді як різниця потенціалів між пластинами прямо пов’язана із величиною заряду на пластинах. а б Рис.13.6.2
Хоч ця аналогія не повна, однак наглядна. Рідина в резервуарі площею створює гідростатичний тиск , тому її енергія дорівнює . Аналогічноцьому, енергія електричного поля зарядженого конденсатора з напруженістю дорівнює . Обгрунтуємо це. § 13.7. Енергія електричного поля поляризованого діелектрика та її об’ємна густина Зарядити конденсатор – означає створити певну різницю потенціалів між його обкладками. Для цього необхідно затратити деяку роботу, оскільки процес зарядки завжди супроводжується розділенням зарядів, тобто створення на одній пластині надлишку зарядів одного знаку, а на іншій – надлишку заряду протилежного знаку. Під час цього процесу весь час доводиться перемагати сили кулонівського притягання між зарядами протилежних знаків. Отже, виконуюючи роботу по розділенню зарядів, як наслідок цього, створюється електричне поле між пластинами конденсатора, яяке володіє певною енергією. І, навпаки, якщо конденсатор розряджається, то таку ж саму за величиною роботу виконують, однак, вже електричні сили. Обчислимо енергію електричного поля . Доки відстань між пластинами мала, порівняно з їх розмірами, доти конденсатор можна вважати плоским і напруженість поля в ньому не залежитиме від . Якщо в деякий момент внаслідок переносу заряду між пластинами виникла різниця потенціалів , то для переносу чергової порції заряду необхідно виконати елементарну роботу , звідки шляхом інтегрування повна буде дорівнювати (13.7.1) енергії електричного поля. Якщо простір між пластинами не заповнений діелектриком, то напруженість поля і енергія електричного поля дорівнює , (13.7.2) де прийнято до уваги, що ємність , а напруга між пластинами . Енергія, віднесена до одиниці об’єму , виражає її об’ємну густину. У вакуумі вона дорівнює . (13.7.3) Якщо ж простір між пластинами заповнений діелектриком із відносною діелектричною проникністю , то крім того, що на конденсаторі необхідно накопичити певний заряд, додатково необхідно виконати роботу для поляризації діелектрика. Тому при заповненні простору діелектриком енергія електричного поля змінюватиметься через появу поляризаційного поля. Повна енергія електричного поля простору, заповненого діелектриком, буде дорівнювати , (13.7.4) а її об’ємна густина . (13.7.5) Ця формула справедлива для ізотропного діелектрика. Розділ XIV. Постійний електричний струм у провідних середовищах § 14.1. Електричне коло та його основні елементи. Сила електричного струм та вектор її густини Електричне коло – це сукупність пристроїв, які призначені для проходження електричного струму. До них у першу чергу належать джерела електричної енергії, які перетворюють інший вид енергії в електричну. Важливими є приймачі електричної енергії. Це перш за все електричні навантаження джерел. Вони електричну енергію перетворюють в механічну, як це відбувається, наприклад, у моторі, в теплову чи світлову в спіралях і тощо. В електричному колі або її ділянці елементи поділяють на активні (джерела струму та напруги) та пасивні (опір, індуктивність, ємність). Нехай через ділянку електричного кола (приймач енергії) під дією електричної напруги переноситься елементарний заряд . Тоді виконувана при цьому елементарна робота або елементарна кількість енергії, що пересилається приймачу енергії, обчислюється за формулою , (14.1.1) де – миттєві значення напруги і струму. В довільний момент їх значення визначають миттєве значення потужності електричного навантаження . (14.1.2) Миттєва потужність – величина алгебраїчна. Вона або додатня, якщо знаки струму і напруги співпадіють, або від’ємна– коли знаки їх різні. Тому якщо додатні напрямки для напруги і струму співпадають, то при (0 енергія пересилається від джерела до приймача, тоді як при (0 енергія пересилатиметься в зворотньому напрямку – від приймача до джерела. Електричний струм - це впорядкований рух (перерозподіл) зарядів. Щоб підтримувати безперервно цей процес, необхідно щоб у замкнуте коло було ввімкнуто джерело, яке підтримує напругу в колі за рахунок розділення електричних зарядів. Причини, які зумовлюють розділення зарядів, дістали назву електрорушійних сил (ЕРС). Назва ЕРС склалась історічно. Але вона не дуже вдала, оскільки виражає не якусь напругу, а ту причину, яка розділяє заряди і, тим самим, створює електричне поле, яяке і рухає заряди. Тут доречно нагадати аналогію з механіки руху рідини. Відомо, що її потік може відбуватись лише за умови, якщо між певними точками трубопроводу є різниця тисків. Щоб цей процес підтримувати безперервно, необхідно в коло трубопроводу ввімкнути стороннє джерело - нагнітальний насос. Щось подібне має місце і в електричному колі. Переміщення заряду від однієї точки кола до іншої відбуватиметься доти, доки між ними існує різниця потенціалів і тим самим підтримується електричне поле напруженістю . У переважній більшості випадків проходження електричного струму через різні речовини зумовлене або вільними електронами, або іонами речовини. В металах електричний струм являє собою дрейф вільних електронів проти напрямку електричного поля; в електролітах - іонів різних знаків у взаємно протилежних напрямках; у напівпровідниках - електронів та дірок, у газах - електронів та іонів. За напрям електричного струму умовились вважати напрям руху позитивних зарядів. Якщо носіями струму є негативно заряджені частинки, то напрям струму вважають протилежним до напрямку їх руху. Протікання електричного струму в провідних середовищах моделюють за допомогою лінії струму. Нею називають лінію, в кожній точці якої в цей момент часу дотична збігається з напрямком упорядкованого руху електричних зарядів. За напрям ліній струму приймають напрям електричного струму. Кількісними характеристиками електричного струму є скалярна величина - сила струму і векторна – густина сили струму . Силою струму називають фізичну величину, яка чисельно дорівнює кількості електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу. Струм, величина і напрям якого не змінюються з часом, називають постійним струмом. Середнє значення сили струму обчислюється за формулою , (14.1.3) а його миттєве значення як . (14.1.4) Для характеристики розподілу електричного струму по переізу провідника вводять вектор густини струму як: , (14.1.5) де - вектор - нормаль до точки поверхні, через яку переноситься заряд. В одиницею вимірювання густини струму є . Оскільки густина заряду , то вираз (14.1.5) можна записати так: , (14.1.6) де - швидкість дрейфу носіїв заряду у напрямку вектора нормалі до площі поперечного перерізк провідника. Факт, що в формулі (14.1.6) до уваги необхідно приймати швидкість дрейфу носіїв заряду, підтверджується ілюстрацією на рис.14.1.1. Рис.14.1.1 Оскільки, згідно із (14.1.4) , тому якщо площа інтегрування, як площа поперечного перерізу провідника, має скінчені розміри, то сила електричного струму через неї дорівнюватиме , (14.1.7) Отже, сила електричного струму - це потік вектора густини сили струму через площу .
§14.3. Закон Ома для однорідної ділянки кола та його диференціальна форма Якщо в ділянці кола стороннє джерело відсутнє, то згідно із (14.2.3) напруга на її кінцях дорівнює . Така ділянка кола називається однорідною. Для неї німецький вчений Ом встановив, що величина сили струму через однорідний металевий провідник пропорційна прикладеній до його кінців напрузі . (14.3.1) У цій формулі – коефіцієнт пропорційності. Його значення залежить від властивостей провідника. Чим його значення більше, тим більша сила струму у провіднику за умови однакової напруги. Тому величина ще носить назву електропровідності провідника. В літературі часто замість електропровідності використовують електричний опір , що вимірюється в Омах . Треба зазначити, що в законі (14.3.1) опір – це додатна величина. Тому відповідна ділянка електричного кола із постійним струмом, що має певне значення омічного опору , завжди є споживачем електричної енергі. В колі ж змінного струму, окрім ділянок з активним опором, є ділянки з реактивним опором, що призводять до зсуву фаз між струмом та напругою на реактивному опорі. Коли зсув фази , то відповідгна ділянка стає джерелом електричної енергії. Кажуть, що в цьому випадку її опір від’ємний. Опір – це перешкода вільному переміщенню носіїв струму. В металах вільні електрони рухаються поміж іонами , які утворюють кристалічну гратку. За умови іони гратки здійснюють теплові коливання*). Крім цього, кисталічна гратка має практично завжди якісь порушення в правильності її забудови, тобто дефекти. Фонони і дефекти чинять супротив вільному переміщенню електронів. Кажуть, що на них носії розсіюються, втрачаючи при цьому енергію, що призводить до наргівання провідника і сповільнюючі свій рух. Однак, з точки зору класичної теорії провідності металів не зрозуміло, чому вільні електрони, що за законом Кулона повинні притягуватись позитивними іонами, насправді цієї дії не зазнають. Правільно забудована позитивними іонами кристалічна гратка опору для руху вільних електронів не спричиняє. Це чисто квантовий ефект. Тут лише відзначимо, що саме порушення ідеальності цієї забудови є центрами розсіяння електронів. Отже, електричний опір провідника, в основному зумовлений дефектами та фононами. З ростом температури кількість фононів збільшується, тому зростає інтенсивність розсіяння електронів провідності, що призводить до зменшення довжини їх вільного пробігу як . Отже, з ростом температури електричний опір провідника збільшується. Але є спеціальні сплави (константан, манганін), в яких електричний опір при цьому майже не змінюється. Розглянуті механізми є основними чинниками електричного опору в металі. Саме вони зумовлюють залежність омічного опору від геометричних розмірів провідника, його довжини та перерізу, складу, будови і температури, які, в узагальненому вигляді, описуються такими функціональними залежностями:
-------- *) Квантами теплових коливань атомів кристалу є так звані фонони
і . (14.3.2) Тут - електричний опір одиниці довжини провідника (питомий опір), - опір провідника при кімнатній температурі , а - температурний коефіцієнт опору. Записані формулиа справеджуються у випадку електрично однорідного провідника. Якщо провідник електрично неоднорідний, то його потрібно розбити на елементарні ділянки, кожна з яких має розмір . Тоді електричний опір кожної із цих ділянок обчислюється як і інтегральний опір буде дорівнювати . Електричний опір зростає із збільшенням температури не у всіх провідних середовищах. Так, наприклад, він інакше змінюється від температури в електролітах. Встановлено, що електричний опір електролітів зменшується з підвищенням температури. Зменшується також електричний опір вугілля чи напівпровідників під час їх нагрівання. В напівпровідниках пояснення цьому таке. Із збільшенням температури зростає імовірність переходу електронів із валентної зони ( зона енергій електронів, що утворюють хімічні зв’язки) в зону провідності (зона енергій вільних електронів, що беруть участь в електропровідності). Залежність опору провідників від температури часто використовують для побудови спеціальних вимірювачів, а саме так званих термометрів опору. У найпростішому випадку – це намотаний на слюдяну пластинку тонкий платиновий дріт, опір якого добре досліджений в широкому діапазоні температур. Диференціальна форма закону Ома. Якщо вираз для густини струму в провіднику перетворити до такого вигляду та прийняти до уваги, що величину заряду можна подати як =, то одержимо, що вектор густини сили електричного струму буде дорівнювати , (14.3.3) де - концентрaція носіїв у розглядуваному об’ємі, - швидкість напрямленого дрейфу носіїв, а вектор – це перпендикуляр до площі поперечного перерізу провідника. Це один із записів закону Ома в диференціальній формі. На відміну від інтегральної форми, запис (14.3.5) встановлює зв’язок між характеристиками струму в конкретній точці провідника та його параметрами. Є й інші форми запису записів закону Ома в диференціальній формі. Наприклад, можна за певних умов, що не обговорюються тут, ввести деяку фізичну величину , що називається питомою провідністю і вимірюється в . Тоді, врахувавши зв’язок одержуємо, що вектор густини струму дорівнює . (14.3.4) Це також закон Ома у диференціальній формі. На відміну від інтегральної форми, закон Ома в диференціальній формі виражає густину сили струму провідності через напруженість електричного поля в розглядуваній точці електричного кола. Однак, розглянуті форми запису закона Ома справджуються для однорідних провідників і не справджуються для неоднорідних. Якщо неоднорідний провідник подати як сполучення між собою однорідних ділянок, то в місцях стику їх частин на заряди, крім сил електричного поля, можуть діяти й сторонні сили. Тому, доцільно розглянути закон Ома для неоднорідної ділянки кола. §14.4. Закон Ома для неоднорідної ділянки і повного кола Нехай між точками деякої ділянки електричного кола з різницею потенціалів ввімкнуто джерело з електрорушійною силою . Така ділянка кола називається неоднорідною. Приписавши джерелу ЕРС внутрішній опір, сила струму в ній буде дорівнювати . (14.4.1) В замкнутому колі і для нього закон Ома має такий вигляд . (14.4.2) Це закон Ома для повного кола. В розімкнутому струм , тому напруга на затискачах джерела дорівнює ЕРС. В разі, якщо між ними виникає коротке замикання , то сила так званого струму короткого замикання в колі буде дорівнювати . (14.4.3) Струм (14.4.1) зумовлюється як різницею потенціалів в ділянці цього кола , так і ЕРС . Тому в закон Ома для неоднорідної ділянки кола в диференціальній формі при спільній дії електричного поля і поля сторонніх сил у провіднику матиме вигляд . (14.4.4) Домноживши це рівняння скалярно на елемент осі провідника та проінтегрувавши його, можна одержати інтегральну форму закону Ома . §14.5. Правила Кірхгофа Згідно із законом Ома, для неоднорідного електричного кола густина струму дорівнює . (14.5.1) Домноживши цю рівність на , де -елементарна довжина електричного контура загальною довжиною , та застосувавши до обох сторін одержаної рівності теорему про циркуляцію одержимо, що . (14.5.2) Кулонівське поле потенціальне, тому інтеграл і в ділянці кола із зовнішньою ЕРС . (14.5.3) Ця рівність відома як друге правило Кірхгофа (правило контурів). Вона дозволяє обчислювати параметри замкнутих електричних кіл. Ним зручно користуватись, якщо електричні кола мають ділянки розгалуження. Для практики друге правило зручно формулювати у такій формі: В розгалуженому замкнутому електричному колі алгебраїчна сума спадів напруг дорівнює алгебраїчній сумі е.р.с. , що увімкнуті в цей контур , (14.5.4) де - кількість електрично активних ділянок замкнутого кола з , - кількість ЕРС із внутрішніми опорами , що ввімкнуті в коло. Знаки доданків визначаються знаками електричних струмів джерел ЕРС. Знаки спадів напруг вибирають згідно із напрямками поширення струмів відносно напрямків обходу вздовж контурів. Якщо вони співпадають, то співпадають і їх знаки, у противному разі вони протилежні. Щоб система рівнянь, що описує електричне коло була повною, рівняння (14.5.4) необхідно доповнити відповідними рівняннями, що випливають із фундаментального закону збереження заряду. У вигляді першого правила Кірхгофа воно формулюється так. Згідно із законом збереження зарядів, сума струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює сумі струмів , що виходять із нього: . (14.5.5) Правило (14.5.5) записується для електрично незалежних вузлів*). При цьому струми, які підходять до вузла, вважають позитивними, а струми, які відходять від нього – негативними. В диференцальній формі перше правило Кірхгофа (правило вузлів) записується так: . (14.5.6) Цей запис означає, що при постійній силі електричного струму в колі витоки та стоки струмів (зарядів) провідності відсутні. В справедливості (14.5.6) можна переконатись так. Якщо закон (14.5.5) записати в інтегральний формі як , то взявши границю одержуємо доказ (14.5.6). §14.6. Послідовне та паралельне сполучення омічних провідників Нехай омічні провідники сполучені між собою послідовно один за одним. Тоді за одиницю часу через кожен із них переноситься однакова кількість електричного заряду, тобто через них протікатимуть однакової величини електричні струми . (14.6.1) За законом Ома, спад напруги між крайніми точками сполучених між собою провідників дорівнює -------- *) Вузлом електричного кола називається довільна точка електричного кола, в якій збігається більше її віток. Електрично незалежними є ті вузли, в якихув рівнянні(14.5.5) відрізняється принаймні хоч один струм. . (14.6.2) Тому загальний опір ділянки кола буде дорівнювати . (14.6.3) Отже, при послідовному сполученні між собою омічних провідників напруга на кожному із них пропорційна до опору кожного провідника, тому опори їх додаються. У механіці аналогічні закономірності властиві паралельному сполученню пружин. При паралельному сполученні опорів, згідно із першим правилом Кірхгофа, процес переносу заряду матиме точку розгалуження (подібно річці, яка розпадається на декільна русел), для якої . (14.6.4) За цієї умови сполучення всі опори знаходяться під однаковою напругою , (14.6.7) тому загальний опір паралельно сполучених між собою провідників буде обчислюватись за формулою . (14.6.8) Отже, при паралельному сполученні між собою провідників, кожний із яких має омічний опір , величини струмів через кожний із них обернено пропорційні до значень їх опорів або прямо пропорційні до значень їх електропровідностей. Аналогічними закономірностями характеризується послідовне сполучення між собою пружин. §14.7. Кінетика заряджання і розряджання конденсатора Як елемент схеми, ємність характеризує властивість ідеального конденсатора утримувати заряд на своїх електродах. Якщо його сполучити із джерелом напруги, як це зображено на рис.14.7.1,а, то процес зарядки конденсатора протікатиме до тих пір, доки напруга на ньому не набуде рівнозначного значення напрузі джерела . Лише на цьому відрізку часу в замкнутому колі протікатиме електричний струм. Розглянемо закономірність його зміни. Нехай незаряджений конденсатор через резистор сполучили з джерелом напруги . За другим правилом Кірхгофа маємо баланс напруг або . (14.7.1) В кінці зарядки , тому або чи , звідки, після інтегрування, отримуємо закон зміни заряду на конденсаторі під час зарядки . (14.7.2) До моменту включення конденсатора , на ньому заряд відсутній , тому стала інтегрування і закон зарядки матиме вигляд (рис.14.7.1,б) . (14.7.3) Дослідимо закон розрядки конденсатора. В початковий момент він заряджений до напруги і на ньому накопичений заряд . Тому за другим правилом Кірхгофа в довільний момент баланс напруг матиме вигляд . Перетворивши це рівняння як або , або та, проінтегрувавши останній вираз, одержимо закон зменшення заряду на конденсаторі під час його розрядки (рис.14.7.1,б) . (14.7.4) Тут стала інтегрування визначена з тої умови, що до резистора під’єднали заряджений конденсатор.
а б Рис.14.7.1 Відзначимо найбільш характерні закономірності розглядуваних процесів. Розрадяка і зарядка конденсатора відбувається за однаковим експоненційним законом. Добуток має вимірність часу, тому (14.7.5) називається часом релаксації, протягом якого заряд змінюється в (основа натурального логарифма) разів. Ця властивість процесу виражає інтегральні властивості -ділянки електричного кола, яка використовується в електричних фільтрах для зменшення амплітуди пульсації електричного струму. Під час зарядки конденсатора струм у колі найбільший в початковий момент, коли замикається ключ схеми і в подальшому він зменшується. Під час аналізу процесів розрядки і розрядки конденсатора допускалось, що миттєве значення струму мало однакові значення у довільній ділянці кола, тобто допускалось, що електричне збурення поширювалось миттєво. Насправді це не так, адже електромагнітне поле може поширюватись з максимальною швидкістю, що дорівнює швидкості світла у вакуумі. Тому розглядувані закономірності справджуватимуться, для тих ділянок, для яких час встановлення квазістаціонарного режиму значно менший часу релаксації. § 14.8. Робота і потужність джерела ЕРС. Потужність втрат Нехай джерело ЕРС має внутрішній опір . Дослідимо умови його роботи, тобто визначимо залежність спаду напруги на омічному опорі , який сполучений із цим джерелом, повну потужність , яку розвиває джерело, корисну теплову потужність опору, к.к.д. джерела в залежності від сили струму в колі. Згідно із (14.4.2) під час зміни опору навантаження від безмежності (розімкнуте коло) до нуля (коротке замикання) сила струму змінюється від нуля до максимального значення (14.4.3). Напруга на затискачах джерела дорівнює . Якщо в правій частині цього виразу винести і врахувати (14.4.3), то одержимо, що напруга на затискачах дорівнює . (14.8.1) Графік цієї прямовидної залежності (14.8.1) зображений на рис.14.8.1. Якщо в електричному колі опором за проміжок часу переноситься елементарний заряд , то виконувана джерелом Рис.14.8.1 елементарна робота , а повна за певний проміжок часу при силі струму в колі , (14.8.2) де - це повна електрична потужність, що розвивається джерелом. Корисна теплова потужність опору навантаження джерела дорівнює різниці між повною потужністю і потужністю теплових втрат на внутрішньому опорі джерела . (14.8.3) Як бачимо із рис.14.8.2, повна потужність, яку розвиває джерело, пропорційна силі струму в колі, тоді як залежність корисної потужності має вигляд параболи (рис.14.8.2), гілки якої спрямовані вниз. Ці гілки перетинають вісь абсцис в точках і, тому: При розімкнутому колі та короткому замиканні корисна потужність омічного навантаження джерела напруги дорівнює нулеві. У випадку короткого замикання вся потужність джерела розсіюється у вигляді теплоти на його внутрішньому опорі. Вершина параболи відповідає максимуму корисної потужності і розташована посередині між точками і , а найбільша корисна потужність досягає для значення сили струму в колі і дорівнює . Рис.14.8.2 Із рис.14.8.2 також випливає, що корисна потужність найбільша, коли опір навантаження дорівнює внутрішньому опору джерела. Дійсно, . (14.8.4) Розв’язок цього рівняння дає умову . К.к.д ділянки електричного кола із омічним опором та ввімкнутим в нього джерелом з ЕРС величиною дорівнює . (14.8.5) Із цього виразу випливає, що перша похідна , (14.8.6) тому залежність екстремальних точок не має (рис.14.8.3).
Рис.14.8.3
Із одержаних результатів випливає, що вимоги одержати найбільшу корисну потужність і найбільший к.к.д. протирічать один одному: За умови найбільшої корисної потужності к.к.д дорівнює лише відсотків. Щоб к.к.д був більший, необхідно зменшити силу струму в колі, але це, в свою чергу, зменшує корисну потужність. Як бачимо із рис.14.8.3, довільну корисну потужність, що менша максимального значення, можна одержати для двох значень сили струму. На практиці з цією метою вигідніше вибрати менше значення струму, оскільки при цьому збільшується к.к.д. Однак, якщо опір безперервно збільшувати, то границя відношення (14.8.9) прямує до одиниці. Це означає, що чим більша величина омічного опору розглядуваної ділянки кола, тим вищий к.к.д використання джерела ЕРС в ній. § 14.9. Теплова дія електричного струму. Закон Джоуля - Ленца Рух вільних електронів у провіднику супроводжується процесом розсіяння їх на дефектах кристалічної гратки і незворотною втратою при цьому енергії електронами. Тому, провідник під час проходження по ньому електричного струму нагрівається. Якщо в такому провіднику відсутні хімічні реакції, то робота сили струму перетворюється у його внутрішню енергію. Джоуль і Ленц встановили, що при при проходженні через провідник електричного струму, в ньому виділяється кількість теплоти . (14.9.1) Цей вираз називається законом Джоуля - Ленца у інтегральній формі. Він стверджує: Kількість теплоти, яка виділяється в провіднику при проходженні через нього електричного струму, прямо пропорційна його опору, квадрату сили струму і часові, протягом якого він підтримується. Обгрунтуємо закон (14.9.1). Якщо провідник нерухомий, то в кожну мить джерелом струму виконується виконується робота з переміщення електронів у зовнішньому колі. Оскільки зовнішнє коло чинить електричний опір переміщенню електронів, то результатом виконання роботи є виділення теплоти Джоуля-Ленца . Тоді згідно із законом збереження енергії , звідки . (14.9.2) Закон Джоуля-Ленца у диференціальний формі. Питома теплова потужність електричного струму– це кількість теплоти , що виділяється в його одиниці об’єму провідника протягом одиниці часу . (14.9.3) Оскільки , то прийнявши до уваги (13.3.4) одержимо, що питома потужність тепловиділення дорівнює . (14.9.4) Одержаний вираз (14.9.4) називається законом Джоуля-Ленца у диференціальний формі. На відмінк від інтегральної форми його запису, в диференціальній всі величини стосуються однієї й тієї самої точки провідника. Джоуль і Ленц виконувал свої досліди на нерухомих металевих провідниках. Тому єдиним результатом протікання по них електричного струму було їх нагрівання. Такі нерухомі провідники, в яких виділення теплоти є єдиним результатом протікання електричного струму, називаються провідниками першого класу. В основу обгрунтування закону Джоуля-Ленца була покладена фізична модель про те, що при зіткненні із вузлами гратки вільні електрони повністю втрачають швидкість впорядкованого руху. Як в подальшому показав Лоренц, це допущення не істотне і аналогічний закон можна одержати вважаючи, що зіткнення електронів з вузлами є абсолютно пружним. Отже, якщо робота електричного струму повністю перетворюється в тепловий еквівалент, то вся робота переходить в теплоту . Якщо ж електричний струм в провіднику крім нагрівання, виконує ще механічну роботу (мотор), то робота струму лише частково переходить у теплоту , а частина її витрачається на виконання зовнішньої роботи. У цьому випадку . §14.10. Класична теорія електропровідності металів та її труднощі Електрон був відкритий Томсоном ще в 1897 р. Той факт, що в металах носіями струму є вільні електрони, був доведений в 1913 р. Мандельштамом і Папалексі, а пізніше в 1916 р. – Толменом та Стюартом. В цих дослідах була використана властивість інерції вільних електронів, як частинок, маса спокою яких не дорівнює нулеві. Для цього котушка з мідним дротом оберталась навколо власної осі і раптово зупинялась. При цьому електрони прдовжують рухатись по інерції, тому в колі виникав електричний струм, який вимірювався гальванометром. Експериментально визначалось відношення , (14.10.1) де маса електрона, - довжина провідника в котушці, - швидкість котушки перед початком гальмування, -повний заряд, що протікав через гальванометр під час гальмування, повний опір котушки. Основи класичної електронної теорії металів були розроблені Рікке, Друде*), Томсоном і Лорентцом. Вона базується на таких основних положеннях: 1. Метал – це система додатних іонів, які утворюють кристалічну гратку. Іони здійснюють теплові коливання навколо положень рівноваги, а електрони вільно рухаються між іноами (рис.14.10.1) за законами класичної механіки; Рис.14.10.1
2. Вільні електрони між собою не взаємодіють, тому електронний газ можна вважати ідеальним; 3. Вільні електрони знаходяться у стані термодинамічної рівноги з граткою, тому кожному електрону можна приписати -------------- *) Друде розробив свою теорію електро- і теплопровідності вже через три роки, після відкриття Томсоном електрона. кінетичну енергію теплового руху. Середні довжини вільного пробігу електронів однакові і не залежать від швидкості; вважається, що ця рівновага забезпечується зіткненнями тому, що швидкість електрона відразу після зіткнення не зв'язана з швидкістю електрона до зіткнення, а напрвавлена довільним чином, причому її величина відповідає тій температурі, яка переважає саме в області зіткнення; 4.При хаотичному тепловому русі з швидкістю вільні електрони без зовнішнього електричного поля не створюють будь-яке переважаюче переміщення, тому відсутній електричний струм. Струм виникає при накладанні електричного поля на тепловий рух електронів, що призводить до їх напрямленого дрейфу в напрямку поля. Розкриємо основну сутність класичної теорії електропровідності. У зовнішьому електричному полі вільні електрони, хаотично рухаючись, дрейфуватимуть у напрямку поля із певною швидкістю направленого руху , створюючи в цьому напрямку електричний струм густиною . Однак розрахунок свідчить, що зростання середньої швидкості теплового руху за рахунок зростання цього поля не буде значним. Електрони під час свого руху розсіюються на різного роду структурних дефектах гратки, таких як ваканції (пустоти) в вузлах гратки, іони в міжвузлових положеннях, теплові коливання іонів (фонони), під час яких вони відхиляються від рівноважних положень і тощо. Інтенсивність процесу розсіяння характеризують середнім значенням вільного пробігу електрона в металі , як час між двома послідовними зіткненнями, що наближено можна оцінити, як: . (14.10.2) Тут – це час вільного пробігу або час релаксації. Значення визначає ймовірність зіткнення протягом одиниці часу. В найпростішій моделі Друде приймається, що вона не залежить від просторового положення електрона провідності і його швидкості. Якщо в провіднику електричне поле відсутнє, то електрони рухаються хаотично і їх середня швидкість , оскільки усі напрямки руху простору рівноймовірні. Тут риска зверху означає усереднення за часом для одного електрона, а кутові дужки - усереднення за багатьма електронами у визначений момент часу. Якщо увімкнути зовнішнє поле напруженістю , то між двома послідовними зіткненнями швидкість електрона зростатиме від нуля до значення . Внаслідок зіткнень процес руху електронів хаотичний, тому в середньому за період між двома послідовними зіткненнями швидкість направленого руху дорівнюватиме . Тому, з позицій класичної теорії електровідності вектор густини струму буде дорівнюавати , (14.10.3) де величина (14.10.4) називається електропровідністю металу. Формула (14.10.4) виражає зв’язок між електропровідністю та характеристиками вільного електронного газу в металах. Наявність вільних електронів у металах забезпечує їм не лише високу електропровіднійсть, але і теплопровідність. Дійсно, оскільки електронний газ підлягає законам ідеального газу, то його теплопровідність виражається такою самою формулою, як і теплопровідність ідеального газу . (14.10.5) Тому поділивши (14.10.5) на (14.10.4), остаточно одержимо, що . (14.10.6) Це закон Відемана-Франца. Відомо, що опір металів зростає при підвищенні температури і зменшується з її пониженням. Це зумовлено збільшенням інтенсивності теплових коливань іонів кристалічної гратки, що призводить до зростання ймовірності зіткнень вільних електронів з ними і, відповідно, електричного опору металу. Залежність (14.10.6) –була найбільшим тріумфом класичної теорії електропровідності металів Друде. Проте, вона наштовхнулась на ряд труднощів, які не змогла перебороти. 1. Експеримент свідчить, що електричний питомий опір залежить від температури як , тоді як згідно із класичної теорії . Дійсно, питомий опір визначається зміною (( і ((. Середня швидкість теплового руху ((, а згідно із (14.10.4) ((, тому опір повинен змінюватись пропорційно . 2. Теплоємність металу складається з теплоємності кристалічної гратки та теплоємності вільного електронного газу. Тому для металів теплоємність повинна була бути більшою, ніж для діелектриків. Це суперечить закону Дюлонга-Пті, згідно із яким теплоємність одноатомного кристалу дорівнює , де - універсальна газова стала. Ці труднощі класичної теорії провідності металів пояснює квантова механіка. Згідно із її уявленнями, електрони в металах змінюють енергію не безперервно, а дискретно, здійснюючи при цьому переходи між так званими енергетичними рівнями. Якщо в окремому ізольованому атомі електрони перебувають на окремих енергетичних рівнях, тобто кружляють навколо ядра вздовж певних орбіт, то під час зближення ізольованих атомів їх енергетичні рівні розщеплюються і перетворюються в так звані енергетичні зони. § 14.11. Поверхневий бар’єр. Робота виходу Той факт, що частина електронів у металах є вільною і бере участь в акті електричної провідності - факт відносний. При наближенні до поверхні електрон, завдяки наявності в нього кінетичної енергії, має змогу з певною ймовірністю залишити об’єм та вийти за його межі, виконавши при цьому деяку роботу. Ця робота виконується електроном проти поверхневих сил, що діють на нього біля поверхні, і називається роботою виходу. Суть поверхневих сил – це сили кулонівського притягання між електроном за межами об’єму та його пустим залишеним місцем (“діркою”) в об’ємі. Виходячи за межі поверхні електрон далеко від неї віддалитись не може, оскільки зі сторони позитивно зарядженої дірки на нього діє сила притягання. Тому, ззовні границі поділу вакуум-метал, сукупність електронів утворюють динамічно рівноважну електронну хмаринку і, зі сторони вакууму, поверхня металу заряджена від’ємно, а з середини об’єму – позитивно (рис.14.11.1,а). У діелектрику вільні електрони практично відсутні. Тому додатний заряд, який діє на електрон за межею поверхні, виникає лише за рахунок поляризації його молекул (рис.14.11.1,б). Такі сили називають поляризаційними. В цілому метал незаряджений, тому різниця потенціальних енергій електрона в його об’ємі та поза ним визначає висоту потенціального бар’єру для електрона біля поверхні. Її величину можна обгрунтувати так.Всередині об’єму металу, електрони утримуються полем іонів кристалічної гратки. У такому полі потенціальна енергія електронів менша, ніж ззовні. Якщо енергію електрона у вакуумі прийняти як таку, що дорівнює нулеві, то в металі вона буде від’ємною. В цьому випадку
а б Рис.14.11.1 електрон всередині металу можна розглядати як частинку в потенціальній ямі шириною та глибиною "". Щоб такий електрон переборов поверхневий бар’єр, йому необхідно виконати роботу виходу порядку (рис.14.11.2,а). Можна поступити інакше. В об’ємі металу потенціальну енергію електрона покласти такою, що дорівнює . Тоді енергія електрона у вакуумі буде перевищувати і їх різниця , (14.11.1) визначатиме роботу виходу . Так визначену роботу виходу ще називають термодинамічною роботою виходу, - вже визначає електричну висоту потенціального бар’єру. Однак, навіть при нульовій температурі за шкалою Кельвіна, електрони в металі мають деяку кінетичну енергію. Її найбільше значення дорівнює . Тому насправді робота виходу дорівнює , (14.11.2)
а б Рис.14.11.2
де – так звана енергія Фермі. Взагалі можуть бути й інші причини виникнення поверхневого бар’єру. До можна віднести обрив кристалічного потенціалу біля межі поверхні і появу так званих поверхневих (таммівських) електронних рівнів, окислення її та поява приповерхневої ділянки із насиченими атомами, які поглинаються з навколишньої атмосфери. Змоделювати електричні сили, що діють на електрон біля поверхні зручно за допомогою методу "дзеркального зображення". В нашому випадку, поверхню для заряду можна розглядати як своєрідне дзеркало. Якщо до неї наближається заряд одного знаку, то в її площині індукується заряд рівний за величиною і протилежний за знаком. Це дає змогу електричне поле поверхневого заряду розглядати як поле плоского зарядженого конденсатора. Тоді на електрони поблизу межі зі сторони “дзеркальних “ зарядів діють електростатичні сили , де - напруженість поверхневого поля з потенціалом . Ці сили і утримують електрони поблизу поверхі в межах шару товщиною , значення якого визначає ширину поверхневого бар’єру. Щоб електрон переборов цей бар’єр і відійшов у вакуум, проти притягуючої дії дзеркальних сил, йому необхідно виконати роботу виходу. § 14.12. Явище термоелектронної емісії Явище випускання електронів поверхнями нагрітих металів (емітерів) називається термоелектронною емісією. Відкрив це явище Едісон в 1883 р. Спостерігати його можна за допомогою вакуумної лампи з двома електродами – вакуумнй діод. Один із електродів розжарюється (катод), а другий служить збирачем термоелектронів - анодом. Той факт, що анодний струм не дорівнює нулеві, якщо анод сполучений з позитивним полюсом батереї свідчить про те, що носіями термоелектронного струму є електрони. Воль-амперна характеристика (ВАХ) термоелектронної емісії має нелінійний характер (рис.14.13.1) і закон Ома для нього не виконується. При певній анодній напрузі виникає насичення струму, коли всі електрони, які вилітають за одиницю часу з катода, досягають анод. Богуславський і Ленгмюр, на ділянці до насичення <, для термоелектронного струму отримали закон “три других” , (14.12.1) де – деяка стала, яка залежить від розмірів катода то його форми. Формула (14.12.1) виражає закон Богуславського-Ленгмюра. На основі термодинамічних міркувань Річардсон встановив таку залежність сили термоелектронного струму насичення від величини роботи виходу , (14.12.2) де -деяка стала. Переконуємось, що при тій самій температурі емісія електронів залежить від роботи виходу і буде інтенсивнішою для того катоду, для якого менша робота виходу. На основі формули (14.12.2), Річардсон розробив метод прямих для визначення . Він полягає в тому, що дослідно вимірюють згачення густини струму для різних температур емітера і будують залежності . (14.12.3) За промолінійними графіками залежностей визначають тангенс кута їхнього нахилу, який і є шуканим значенням . Рис.14.12.1 Найпоширенішими є термокатоди з тугоплавких металів вольфраму, танталу і молібдену. Робота виходу в них складає від , і . З метою зменшення її, на практиці поверхню катоду покривають моношаром інших атомів чи їх окислів. Останні, які ще називають оксидними катодами, широко використовують, особливо в електровакуумних приладах, зокрема в телевізійних трубках. Процес емісії електронів з поверхні може мати місце, якщо її бомбардує інша частинки, наприклад, електрони. Таке явище називається вторинною електронною емісією. Вторинна електронна емісія також має практичне застосування, зокрема для багаторазового підсилення слабких електричних струмів. Це вперше було здійснено Кубецьким в сконструйваному ним фотопомножувачі. В ньому густина струму підсилюється за законом , (14.13.4) де -початкова густина фотоелектричного струму, - кількість вторинних помножень. Внаслідок багатократного помноження силу струму величиною вдається підсилити до величини в декілька міліампер. §14.13. Контактна різниця потенціалів та основні контактні явища Контактні явища виникають на стику двох різних металів, що мають різні роботи виходів. Явище контактної різниці потенціалів відкрив А.Вольта і дослідним шляхом встановив два закони: 1. При дотиканні двох провідників із різних металів між ними виникає контактна різниця потенціалів, величина якої залежить від хімічного складу речовини провідників та їхньої температури; 2. При послідовному дотиканні між собою декількох металів при однакових температурах різниця потенціалів між крайніми провідниками не залежить від хімічних властивостей проміжних, а визначається природою початкового і кінцевого провідників. Пояснення виникненню контактної різниці потенціалів можна дати таке. Якщо в металах, що дотикаються між собою, електрони мають різні значення повних енергій, то під час їх контакту вони переходитимуть із одного металу в інший, внаслідок чого один із них заряджатиметься негативно, а другий – позитивно, тобто контактна різниця потенціалів зумовлена різницею концентрацій електронів в металах. Схематично, процес виникнення контактної різниці потенціалів зображена на рис.14.13.1,а. В контакті знаходяться два метали із різними роботами виходу, причому . Тоді електронний струм зліва направо більший, ніж у зворотному напрямку і поверхня другого металу заряджатиметься від’ємно, а першого додатньо. Цей процес протікатиме до тих пір, доки виникаюча при цьому контактна різниця потенціалів не скомпенсує роботу виходу (рис.14.13.1,б). Виникаюче при цьому контактне електричне поле існує лише в тонкому пограничному шарі між обома металами, в області якого і локалізована контактна різниця потенціалів. Її величина для різних пар металів знаходиться в межах від нуля до кількох вольт. а б Рис.14.13.1
При контакті виникає контактна різниця потенціалів , (14.13.1) де –концентрація вільних електронів у металах. Для виготовлення пристроїв на цьому явищі використовують контактні пари різних речовин: метал-метал; метал-діелектрик; метал-напівпровідник , напівпровідник-напівпровідник (-перехід). Деякі із них, наприклад, метал–напівпровідник чи -перехід володіють випрямними властивостями. Але вони проявляються лише тоді, коли робота виходу електрона із металу менша за роботу виходу електрона із напівпровідника типу, або менша роботи виходу напівпровідника типу. В гальванічних елементах одним із контактних матеріалів є рідина (електроліт). Явище Зеебека. Розглянута різниця потенціалів існує лише в розімкнутому колі. Якщо коло замкнути, то вона з часом зменшується до нуля. Тому Зеебек запропонував різні контактні ділянки нагрівати до різних температур. Величина термоелектрорушійної сили ЕРС такої термопари дорівнює , (14.13.2) де - деяка стала, що дорівнює ЕРС, яка виникає при різниці температур контактних пар в один градус. Носії струму дифундують із більш гарячішої ділянки провідника в холоднішу, що призводить до появи різниці потенціалів між його кінцями. Явище Зеебека використовується для вимірювання різниці температур, як джерела струму і тощо. Залежно від робочих температур в практиці використовують такі види термопар: до температури 1900К – група ПП (платина-платинородій ); до температури 1300К – група ХА (хромель-алюмель) ; до температури 900К –група ХК (хромель-копель); до температури 600К –група МК (мідь-копель); до температур від низьких до 600К широко використовують мідь - константанові термопари. Ефект Пельтьє. Можна спостерігати і зворотне явище. Коли через контакти двох різних металів пропускати електричний струм, то один спай нагрівається, а інший охолоджується (ефект Пельтьє). Суть його полягає в тому, що за умови проходження електричного струму через контакт залежно від його напрямку, на межі контактів виділятиметься або поглинатиметься, окрім джоулевої, ще певна кількість теплоти, яка дістала назву теплоти Пельтьє. Кількість теплоти Пельтьє пропорційна першому ступені сили струму, знак її змінюється при зміні напрямку струму, тоді як теплота Джоуля-Ленца пропорційна квадрату сили струму. Крім того, на відміну від теплоти Джоуля-Ленца, теплота Пельтьє не залежить від опору провідника. Експериментально встановлено, що , (14.13.3) де – коефіцієнт Пельтьє. Домовились вважати теплоту Пельтьє додатною, якщо вона виділяється. З точки зору класичної електронної теорії це досягається тоді, коли контактна різниця потенціалів прискорює електрон. В цьому випадку кінетична енергія електронів зростає і виділяється у вигляді теплоти. Якщо ж контактна різниця потенціалів гальмує електрони, то їх кінетична енергія зменшується і поповнюється за рахунок теплових коливань атомів другого металу. В цьому випадку теплота Пельтьє є від’ємною і поглинається контактним переходом. Ефект Пельтьє застосовується в деяких холодильних пристроях. 14.14. Електричний струм в газах. Газовий розряд За нормальних умов гази є ізоляторами, оскільки носії струму в них відсутні. Він стає електричним провідником лише під час іонізації молекул або атомів. Іонізація – це процес розщеплення атомів на електрони та додатни іони. Зворотне явище називається нейтралізацією. Суть його полягає в тому, що електрон з’єднується з додатним іоном і утворюється нейтральний атом. Робота , яка необхідна для відриву електрона від атома, називається роботою іонізації. Вона залежить від хімічного складу газу та енергетичного стану електрона в атомі чи молекулі. Роботу іонізації прийнято характеризувати потенціалом іонізації , який дорівнює . (14.14.1) Іонізацію газу можна спричинити різними зовнішніми чинниками: нагріванням, опроміненням рентгенівськими, або космічними променями. Інтенсивність іонізації описують величиною , тобто кількістю пар протилежно заряджених іонів, які виникають в одиниці об’єму за одиницю часу. Якщо у відсутності електричного поля між анодом і катодом трубки з газом за одиницю часу в одиниці об’єму рекомбінує пар іонів, то в стані рівноваги між процесами іонізації та рекомбінації задовольняється умова =. (14.14.2) Наявність між катодом і анодом електричного поля призведе до додаткового зменшення кількості пар іонів за рахунок нейтралізації їх на електродах. Якщо цей процес описати величиною , то за кожну секунду із всього об’єму на електрод площею і відстань між якими попадуть пар іонів із зарядами ,тому сила струму в електричному колі буде дорівнювати , (14.14.3) звідки (14.14.4) і за умови встановлення рівноваги між процесами іонізації та рекомбінації . (14.14.5) Густина електричного струму в газі визначається густиною носіїв заряду та їх швидкістями дрейфу. Оскільки в газі присутні носії заряду обох знаків, то струм визначатиметься впорядкованим рухом електронів та від’ємних іонів (молекула, що захопила електрон) в напрямку проти поля та додатніх іонів за напрямком поля. Тому, густина струму буде дорівнювати , (14.14.6) де – середні швидкості впорядкованого (дрейфового) руху відповідних за знаком іонів до електродів. Залежність густини струму від величини напруженості електричного поля в газі є досить складною. В процесі впорядкованого руху під дією поля іони і електрони зазнають співударів з частинками газу. При цьому електрони передають атомам газу значно меншу долю енергії, накопиченої в електричному полі, ніж іони. . Електрони мають значно меншу масу, ніж іони. Це означає, що електрони під час пружного зіткнення з атомами (молекулами) газу практично не втрачають своєї енергії. Іони ж газу під час таких зіткнень можуть цілком гальмуватись. Тому завдяки процесам зіткнення, іони рухаються вздовж електричного поля із деякою сталою швидкістю, яка дорівнює середній швидкості впорядкованого руху між двома послідовними зіткненнями. Її легко підрахувати виходячи із ІІ-го закону Ньютона , звідки середня швидкість між двома зіткненнями . Якщо прийняти до уваги середню довжину вільного пробігу , (14.14.7) то дрейфова швидкість зарядженої частинки в електричному полі дорівнюватиме =, (14.14.8) де величина називається рухливістю іонів. Отже, густина струму в газі дорівнює , або врахувавши, що , , (14.14.9) де . На відміну від іонів, електрони практично не втрачають свою енергію під час пружних ударів з атомами або молекулами газу. Тому під час свого руху в електричному полі вони її накопичують з тією закономірністю, що швидкість дрейфового руху також пропорційна напруженості електричного поля. В електричному полі енергія електрона може зрости до такої величини, якої буде досить щоб збудити або навіть іонізувати атом або молекулу, під час чого електрон також втрачає значну долю своєї енергії. Якщо електричне поле не дуже значне, то в загальному найбільш важливими є такі механізми втрати енергії електронами: 1. Передача енергії частинками газу під час пружних зіткнень; 2. Збудження атомів або молекул; 3. Іонізація атомів або молекул; 4. Втрата енергії в процесі зіткнення електрона з іншими електронами та стінками посудини.
Рис.14.14.1 В сильних електричних полях кількість іонізацій різко збільшується. Процес іонізації молекул газу шляхом зіткнення з швидкими електронами називається ударною іонізацією. Внаслідок цього процесу в газі виникають електронні лавини. Проходження струму через газ називається газовим розрядом. Газови розряди поділяються на: несамостійні, що протікають під дією зовнішнього іонізатора; самостійні, в яких носії струму виникають під дією прикладеного до газу електричного поля. Можуть бути й інші джерела виникнення самостійного розряду. На рис.14.14.1 приведена залежність густини сили струму, що протікає в газі при сталому електричному полі плоского конденсатора, утвореного анодом та катодом від прикладеної напруги. На ній виділені такі ділянки: 1 - область, в якій справджується закон Ома. Електричним полем можна відірвати електрон від атома, якщо його напруженість перевищує значення , чого досить проблематично досягнути в лабораторних умовах. Тому для одержання вільних носіїв у газі і досягнення створення несамостійного розряду використовують зовнішні іонізатори. В реальних умовах в земну атмосферу проникають космічні промені, є реальне радіоактивне випромінювання земної кори, тому в атмосфері завжди є певна кількість заряджених частинок. і 4 - перехідні області; 3 – область насичення електричного струму; 5 – область самостійного розряду. В цій ділянці розряд буде продовжуватись навіть після припинення дії зовнішнього іонізатора. Це означає, за цієї умови в газі протікають процеси утворення іонів, необхідних для підтримки струму, за рахунок дії самого розряду. Електричні процеси в газах покладені в основу конструювання цілого ряду газорозрядних приладів, в яких використовують дуговий, тлійний, коронний, іскровий розряди. Газорозрядні прилади дугового розряду поділяють на прилади з несамостійним розрядом, що мають підігрівний катод та із самостійним дуговим розрядом, що мають металевий саморозжарюваний катод. Прилади іскрового розряду використовують короткочасну електричну дугу між електродами. Такі пристрої використовують для захисту електричних кіл від перенапружень. Прилади на основі коронного розряду використовують у високовольтних стабілітронах. Газорозрядні прилади тлійного розряду характеризуються порівняно малою потужністю споживання, тому мають широке застосування в різних світлових індикаторах. § 14.16. Явище електролізу як хімічна дія струму на речовину Якщо процес переносу заряду через провідне середовище супроводжується в ньому хімічною дією, то такі речовини називаються провідниками другого роду або електролітами. В них під час проходження електричного струму речовина розкладається і виділяється на електродах. Такий процес називається електролізом. Фізична суть хімічної дії сили електричного струму в електролітах (електролітичної дисоціації) полягає ось в чому. Під дією електричного поля молекул - диполів води розчинена в ній речовина розпадається на додатні та від’ємні іони. До додатних іонів належать, переважно, іони металів та водню. Зокрема, кислоти розпадаються на додатні іони водню та від’ємні іони кислотних залишків. Солі ж металів також розпадаються на додатні іони металів та від’ємні іони кислотних залишків. Луги ж дисоціюють на додатні іони металів та від’ємні іони гідроокислів. В загальному електроліти, як вихідні речовини, що беруть участь в електрохімічних процесах, поділяються на фонові, тверді та іонні: Фонові електроліти - це речовини, які безпосередньо не беруть участь в електрохімічних реакціях, але впливають на їхнє протікання. Переважно їх використовують для забезпечення високої електропровідності основних робочих електролітів; Тверді електроліти – це тверді речовини, що мають іонний тип провідності; Іонні електроліти - це високотемпературні рідини, які містять іони. До них належать розплавлені луги, оксиди, сульфіди та їх суміші. Щоб спостерігати явище електролізу, досить через розчин, наприклад, мідного купоросу пропустити електричний струм. Тоді на катоді (негативний електрод) виділятиметься мідь. На цьому якраз і грунтується процес електрохімічного покриття поверхонь металами. Дослідним методом встановлено, що маса речовини, яка виділяється на електроді, залежить від величини струму і часу електролізу як , (14.16.1) де - коефіцієнт пропорційності. Цей закон дістав назву першого закону Фарадея, і звучить він так: Маса речовини, що осаджується на електроді, пропорційна кількості заряду, або кількості електрики, яка пройшла через розчин електроліту. Дослідження Фарадея показали, що коефіцієнт пропорційності є характерним для кожної речовини. Тому вона називається її електрохімічним еквівалентом. Фізичний зміст електрохімічного еквіваленту полягає в тому, що для будь-якої речовини він чисельно дорівнює масі , що виділяється під час електролізу, спричиненого одним кулоном електрики, яка пройшла через електроліт. Деякі хімічні елементи в різних сполуках мають різну валентність ( кількість атомів водню, що сполучається з даним атомом або може бути заміщена ним). Так, наприклад, мідь може бути одновалентною (), двовалентною (). Фарадей на досліді встановив, що електрохімічні еквіваленти речовин пропорційні їх атомній вазі *) і обернено пропорційні числам, що виражають їх ------------- *) Індекс в атомній масі взятий з тих міркувань, щоб відрізнити від аналогічного симовлу для роботи де – число Фарадея або фарадеєм. хімічну валентність . Це відомий другий закон Фарадея і його записують у такому вигляді , (14.16.2) Якщо електричний струм пропускати через розчин, наприклад, сірчаної кислоти, то на аноді буде виділятись кисень, а на катоді - водень. Така електрохімічна система, яка складається із кисню, розчину сірчаної кислоти та водню називається гальванічною парою. Особливість її полягає в тому, що вона здатна перетворювати хімічну енергію в електричну. Якщо від’єднати від електродів гальванічної пари зовнішнє джерело електричної енергії, то між електродами буде протягом деякого часу існувати певна різниця потенціалів. В такому джерелі анод буде мати додатний потенціал, а катод - від’ємний, а в електроліті між ними існує електричне поле. Явище зміни потенціалів електродів у результаті відкладання на них іонів хімічних речовин під час електролізу називається поляризацією електродів. ЕРС, що виникає внаслідок поляризації електродів, називається поляризаційною ЕРС. Вона чисельно дорівнює різниці потенціалів між електродами у розімкнутому стані. Якщо електроди замкнути провідником, то вздовж нього відбуватиметься перенос заряду - з’явиться певної сили струм. Він існуватиме до тих пір, доки на електродах існуватиме кисень та водень. З часом його кількість зменшується, оскільки електрична енергія в гальваноелементах одержується завдяки утворенню молекул води. Щоб знову відновити дію цього хімічного джерела струму, досить його на деякий час під’єднати до зовнішнього джерела напруги і , тим самим, наситити електроди киснем та воднем. Явище електролізу має широке застосування в техніці, перш за все для електрохімічного нанесення металевих покрить. Саме в електрохімічних системах відбувавється взаємне перетворення хімічної й електричної форм енергії. До основних елементів електрохімічної системи належать провідники першого роду (електроди) та провідники другого роду (електроліти). Якщо хімічне перетворення здійснюється за рахунок зовнішньої електричної енергії, то така електрохімічна система називається електролізером або електролітичною ванною. Електрохімічна система, яка виробляє електричну енергію під час хімічних перетворень, що у ній відбуваються, називається хімічним джерелом струму або гальванічним елементом.
Розділ XV. Магнітне поле у вакуумі §15.1. Про аналогію електричних і магнітних силових взаємодій Нерухомі точкови електричні заряди взаємодіють згідно із законом Кулона. Ця взаємодія за теорією близькодії здійснюється через електростатичне поле, яке існує навколо нерухомих електричних зарядів. Разом з тим на основі закону Кулона не можна пояснити характер взаємодії тих самих, але рухомих електричних зарядів. Під час їх руху виникає нова якість - навколо них з’являється особлива форма матерії - магнітне поле, через яке і здійснюється передача фізичної взаємодії на відстані між рухомими зарядженими частинками. Різні властивості зарядів зумовлені тим, що електричне і магнітне поля є окремими проявами більш загального електромагнітного поля. У природі є два види електричних зарядів– додатні та від’ємні. Магніт також має два полюси – північний і південний. Однойменні електричні заряди відштовхуються, а різнойменні – притягуються. Однойменні полюси магніту також відштовхуються, а різнойменні – притягуються. Однак повної симетрії між електричним і магнітним полями немає. Ще раз нагадаємо, що джерелом електричного поля є електричні заряди, які можуть вільно існувати у розділеному стані, тоді як аналогічних магнітних зарядів у природі не встановлено, хоча можливість їх існування теоретично обгрунтована Діраком ще в 1930 році. Ще Кулон експериментально встановив, що різнойменні магнітні полюси притягуються за таким же законом, що й електричні заряди – сила змінюється обернено пропорційно до квадрату відстані. Тому як і у випадку сил електричної взаємодії, він постулював , що магнітна сила пропорційна добутку магнітних зарядів протилежних полюсів. Привертала до себе увагу єдність опису усіх далекодій – гравітаційної, електричної та магнітної. Відмінність полягала лише в тому, що гравітаційна взаємодія пропорційна добутку маси тіл, електрична – добутку електричних зарядів, а магнітна – магнітних зарядів. Між електричним зарядом та “магнітним зарядом” полюса є ще одна відмінність. Якщо під час електризації тіла одержується ізольований заряд одного знаку, то під час намагнічення - одночасно отримуються обидва полюси магніту. Внаслідок намагнічування не можна одержати ізольований одинокий магнітний полюс, тому намагнічене тіло не може мати ізольований “магнітний заряд” певного знаку. На початку XIX сторіччя завдяки відкриттю А.Вольта електричної батареї стало можливим одержувати джерело постійного струму і вже в 1820 році Ерстед вперше відкрив дію електричного струму на магнітну стрілку компаса. Це відбулось 15 січня в Копенгагенському університеті. Ерстед читав лекцію, яка супроводжувалась демонстраціями. На лабораторному столі були джерело струму, провідники і компас. В той час, коли Ерстед замикав коло, стрілка компасу ворохнулась і повернулась. При розмиканні кола вона поверталась у вихідне положення. Це був перший експеримент, який свідчив про подібність між електрикою та магнетизмом, що так довго шукали багато вчених. Саме Ерстед першим виявив, що в просторі навколо провідника із електричним струмом існує силове магнітне поле. Він також встановив такі закономірності дії провідника із струмом на магнітну стрілку: Напрямлена дія провідника із струмом на магнітну стрілку: при зміні напряму струму в ньому на протилежний змінювався і напрям дії сили на магнітну стрілку (стрілка оберталась на 1800); Сила дії провідника із струмом зменшується при віддаленні від нього магнітної стілки (рис.15.1.1); Дія провідника із струмом на магнітну стрілку є не відштовхувальною, а обертальною. Це означало, що сила діє не вздовж прямої, що з’єднує провідник і магніт, а впоперек до неї.
Рис.15.1.1 Нагадаємо, що обертальною є також електрична сила, що діє на електричний диполь. Але на відміну від електричної сили, магнітна повертає магнітний диполь впоперек. Це перша неузгодженість із традиційним ньютонівським описом силової дії на відстані, чим порушувалась єдність підходу до опису силових взаємодії на відстані. Лише дещо пізніше Фарадей та Максвелл відмовляться взагалі від ньютонівської далекодії. Тим не менше, на підставі відкриття Ерстеда були сформульовані такі висновки: –Магніт діє на провідник із струмом; –Два провідники, вздовж яких течуть електричні струми, взаємодіють між собою так, що відштовхуються один від одного, якщо струми в них протилежних напрямків і притягуються, якщо струми мають один напрям (відкрив Ампер); –Неможливо, на відміну від електричних зарядів, розділити в тілі північний та південний магнетизм і створити тіло лише з одним полюсом. Ці висновки не лише стали поштовхом для подальших досліджень, але й дозволили Кулону зробити висновок про те, що два типи магнітних полюсів невіддільно зв’язані один з одним в кожній елементарній частинці речовини, яка намагнічується. Тим самим, було визнано, що кожна невелика частинка такої речовини – її атом, молекула чи невелика група атомів або молекул – є чимось на зразок маленького магніта з двома полюсами на її кінцях. Таким шляхом Кулон дійшов до своєї дуже важливої гіпотези про існування елементарних магнітів із нерозривно зв’язаними полюсами і намагнічування тіла є впорядкувані розташування його елементарних магнітів під впливом зовнішнього магнітного поля.
§15.2. Напруженість і індукція магнітного поля Магнітне поле на відміну від електричного не чинить дії на нерухомі електричні заряди. Сила виникає лише тоді коли заряд рухається. Цю дію можна побачити за відхиленням електронного пучка, що протікає між полюсами постійного магніту. Магнітне поле також діє на провідник зі струмом, оскільки - це впорядкований рух заряджених частинок. Електричний струм в одному з провідників створює навколо себе магнітне поле, яке діє на струм у другому провіднику. А поле, створене другим струмом діє на перший. Таким чином можна дійти до висновку, що магнітне поле – це форма матерії, через яку здійснюється взаємодія між рухомими електрично зарядженими частинками. Це силове поле, тому його дію характеризують напруженістю , за аналогією з напруженістю електричного поля . Історично назва напруженості магнітного поля закріпилась за вектором , який не є чисто силовою характеристикою магнітного поля, а враховує матеріальні властивості середовища, в якому воно існує. Для силової характеристики магнітного поля у вакуумі вводять інший вектор , модуль якого називається індукцією магнітного поля. У немагнітному середовищі із напруженістю , його вектор зв’язаний таким співвідношенням , (15.2.1) де магнітна стала вакууму. Модуль вектора характеризує результуюче магнітне поле, яке створюється всіма макро- і мікрострумами. Тому, для одного і того ж значення сили струму та за інших однакових умов модуль вектора в різних магнітних середовищах може приймати різні значення. Магнітне поле макрострумів описується вектором напруженості подібно тому, як вектором електричної індукції описується результуюче електричне поле в середовищі із врахуванням його поляризації. Тому, в магнітному середовищі із відносною магнітною проникністю *), в розглядуваній точці індукція магнітного поля дорівнює . Фізичні спільності і відмінності між векторами та узагальнені в табл.15.2.1. Магнітне поле породжується лише рухомим зарядом і найпростішим випадком електромагнітного поля є поле, яке зумовлене нерухомим зарядом. Якщо струми відсутні, то відсутнє і магнітне поле. Тоді залишаються лише поля і . Причому, якщо джерелами є вільні і зв’язані заряди, то поле , крім електричних джерел, може мати вихори на межі поділу діелектриків. Силову дію магнітного поля можна наглядно описати за допомогою ліній магнітної індукції. Ними називають лінії, дотичні до ------------------ *) За фізичною суттю, зміст такий, як і для електричного поля в діелектрику яких спрямовані так само, як і вектор. Саме у цьому розумінні лінії магнітної індукції аналогічні лініям напруженості електростатичного поля. Однак, на відміну від них, магнітні силові лінії замкнуті, тобто ніде не починаються і нігде не закінчуються. Замкнуність - це одна із фундаментальних властивостей магнітної індукції і вона відображає вихровий характер магнітного поля. Це означає, що магнітне поле не має джерел, аналогічних електричним, оскільки магнітні заряди, подібні до електричних, в природі відсутні.
Рис.15.2.1 Для наочного зображення магнітного поля зручно користуватись лініями магнітної індукції. Лініями магнітної індукції називають криві, дотичні до яких у кожній точці збігаються з напрямом вектора у цих точках поля. Лінії магнітної індукції завжди замкнуті й охоплюють провідник зі струмом. За напрям вектора індукції можна обрати напрям північного полюса магнітної стрілки в точці її розташування. За домовленністю у більшості випадків так і роблять, хоч магнітною стрілкою не завжди можна скористатись, особливо у випадку складних полів або за наявності поблизу інших агнітних речовини. Але з орієнтацією вектора збігаються дотичні до магнітних лінй в цій точці. Для визначення напряму ліній магнітної індукції можна скористатись правилом свердлика: якщо свердлик повертати так, щоб його поступальний рух збігався з напрямом струму , то обертальний рух ручки покаже напрям ліній магнітної індукції (рис. 15.2.1). Густина силових ліній на одиницю площі графічно зображує величину магнітного поля і його характер. Там де поле однорідне, густота силових ліній скрізь однакова. По дотичних у кожній точці замкнутої лінїї магнітної індукції орієнтуються гольчаті залізні ошурки – як маленькі магнітики, а орієнтуюча дія магнітного поля на магнітну стрілку дозволяє за її орієнтацією в просторі встановити напрям вектора в цій точці. Він збігається з напрямом додатної нормалі*) до замкнутого контура із струмом, що створює магнітне поле (рис.15.2.1,а). Якщо магнітні поля створюються декількома провідниками із струмами, то за відомим принципом суперпозиції, результуючий вектор визначається як . (15.2.2) Індукція - це кількісна характеристика магнітного поля. Встановимо її величину за допомогою плоского контура із струмом (рис.15.2.2), вставленого у зовнішнє магнітне поле. У зовнішньому
Рис.15.2.2 магнітному полі замкнутий струм володіє так званим магнітним моментом , завдяки якому на нього діє обертовий момент. Вектор якого спрямований перпендикулярно до площини витка із струмом так, щоб струм, що спостерігається із кінця вектора , охоплював виток чи рамку у напрямку проти ходу годинникової стрілки. Визначивши додатний напрям нормалі , вектор магнітного моменту буде дорівнювати --------- *) Додатна нормаль спрямована у той бік, куди пересувається свердлик з правою нарізкою, якщо його обертати у напрямі струму в рамці . (15.2.3) Обертова дія магнітного поля на провідник із струмом*) дозволила експериментально встановити, що коли в якійсь точці магнітного поля розташувати контури з різними магнітними моментами, то відношення (15.2.4) залишається всеодно сталим. Тут – це момент сили Ампера*). Отже, обертовий механічний момент, що діє на рамку із струмом зі сторони зовнішнього магнітного поля, пропорційний магнітному моменту (. (15.2.5) Тому за кількісну характеристику магнітного поля приймають відношення максимального обертового механічного моменту, що діє на рамку із струмом, до її магнітного моменту . (15.2.6) Згідно із (15.2.6), магнітна індукція у певному місці магнітного поля визначається найбільшим обертовим моментом, що діє на контур із струмом і має одиничний магнітний момент =1. §15.3. Магнітне поле струму. Закон Біо-Савара- Лапласа. Магнітне поле рухомого заряду Експериментальні вимірювання параметрів магнітного поля навколо провідника із струмом були детально проведені Біо та ------- *) Зі сторони зовнішнього магнітного поля на провідник із струмом діє сила Ампера, напрям дії якої, на відміну від гравітаційної чи електричної, спрямований перпендикулярно площині, що утворена напрямками струму і вектора індукції. Саваром. Вони встановили, що напруженість магнітного поля навколо провідника із струмом, пропорційна силі струму в ньому, залежить від відстані до провідника та його конфігурації. Ця залежність параметрів магнітного поля від конфігурації провідника із струмом свідчить про те, що універсальної формули зв’язку між силою струму в довгому провіднику і індукцією чи напруженістю створюваного ним магнітного поля існувати не може. Тому необхідно було відповідну закономірність шукати для елементу струму *). Результати експериментальних досліджень Біо та Савара теоретично узагальнив Лаплас. Він обгрунтував, що вектор елементу струму у певній точці простору на відстані створює магнітне поле, вектор напруженості якого в системі СІ визначається як векторний добуток (рис.15.3.1.а) . (15.3.1) Модуль вектора дорівнює . (15.3.2) Це один із основних законів електромагнетизму і відомий як закон Біо–Савара–Лапласа. За своєю суттю формула (15.3.2) еквівалентна теоремі про циркуляцію – одне співвідношення можна вивести із іншого і навпаки. Наприклад, за формулою (15.3.2) досить незручно обчислювати напруженість магнітного поля, що створюється соленоїдом із струмом. В цьому випадку зручніше визначити напруженість поля в центрі колового струму, а потім за принцпом суперпозиції додати між собою магнітні поля від кожного витка соленоїда. Незважаючи на те, що закон (15.3.1) дає змогу обчислити напруженість магнітного поля в просторі навколо провідника із струмом довільної конфігурації і в довільній його точці, однак він справедливий лише для лінійних струмів, тобто коли поперечні розміри провідника досить малі порівняно з відстанню до розглядуваної точки поля. Тому, у випадку складного струму, його ------------- *) Елемент струму є модельним аналогом точкового заряду розбивають на так звані елементарні трубки струму і до кожного із них застосовують (15.3.1). Треба також відзначити таку важливу відмінність магнітного поля від електричного. Якщо для електричного поля експериментально можна визначити силу дії його на довільний ізольований заряд, внесений в нього, то елемент струму, на відміну від електричного заряду, не є незалежним фізичним об’єктом, оскільки елемент струму не можна фізично ізолювати і виміряти величину напруженості чи індукції магнітного поля, що ним створюється. Відповідні обчислення можна провести лише шляхом інтегрування по повному контуру з врахуванням внесків від кожного його елементу. Це означає, що формула (15.3.1) не єдина, за допомогою якої можна отримати вірний результат для напруженості чи індукції магнітного поля, оскільки результат інтегрування завжди можна доповнити сталою величиною. Магнітне поле, що створюється прямовидним безмежно довгим та кільцевим струмами. Приклад проведення інтегрування із застосуванням формули (15.3.1) зображений на рис.15.3.1. Якщо провідник безмежно довгий, то відповідне інтегрування дає формулу для індукції у такому вигляді . (15.3.3) Тут – відстань розглядуваної точки до провідника із струмом по перпендикуляру.
а б Рис.15.3.1
Якщо ж провідник має скінчені розміри і обидва його кінці з точки з координатою спостерігаються під кутами і ( рис.15.3.1,б), то індукція магнітного поля в розглядуваній точці буде дорівнювати (. (15.3.4) Щоб визначити індукцію магнітного поля в центрі колового струму на його осі із сталим радіуса , необхідно визначити індукцію , що створюється елементом струму , де довжина дуги кола дорівнює . Тоді згідно із (15.3.2) маємо, що . Прийнявши до уваги, що вектори від кожного елементу лежать вздовж одного напрямку, після інтегрування в межах одержимо, що індукція магнітного поля на осі колового струму дорівнює , (15.3.5) вектор якої лежить вздовж осі до площини колового струму *). Якщо ж шукана точка знаходиться за межами площини кола площею на відстані , то індукція в ній буде дорівнювати . (15.3.6) При одержанні виразу (15.3.6) прийнято до уваги, що та магнітний момент колового струму . Схематично магнітне поле колового струму зображено на рис.15.3.2. За своїм загальним виглядом воно аналогічне полю магнітного диполя, яким може бути кружок, вирізаний із листового заліза. Вираз (15.3.6) за своїм загальним виглядом аналогічний виразу для електричного зміщення в точках поля, що лежать на ----------- *) Ця властивість колового струму була використана Ампером для пояснення магнітних властивостей речовини осі електричного диполя, але зміщені досить далеко від нього. Тому саме магнітне поле кільцевого струму часто розглядають як магнітне поле якогось умовного “магнітного диполя”. Причому позитивним або північним полюсом беруть той бік площини витка, з якого магнітні силові лінії виходять, а негативним, або південним магнітним полюсом – протилежний бік площини витка, в який магнітні силові лінії входять. Рис.15.3.2 Магнітне поле рухомого заряду. Індукція магнітного поля, що виникає навколо рухомого заряду, також визначається за законом Біо-Савара-Лапласа. В цьому випадку розглядається елементарний заряд , де –елементарний заряд, а – кількість елементарних заряджених часток на проміжку переміщення , який в просторі на проміжку переміщається рівномірно і прямолінійно. Тому, ним створюється елемент струму =. Навколо цього елементу струму виникає магнітне поле індукцією =. Тому, однією зарядженою частинкою створюється магнітне поле індукцією , звідки . За своєю структурою, силові лінії магнітного поля навколо рухомого заряду мають вигляд концентричних кіл, як і навколо провідника із струмом, дотичними до яких є вектори . Напрямки трьох векторів, задовольняють правилу правої трійки векторів. §15.4. Дія магнітного поля на провідник із струмом та рухомий заряд. Сили Ампера і Лоренца Використавши більш потужніше джерело струму в липні 1820 р. Ерстед повторив свої експерименти. При цьому, крім дії провідника з електричним струмом на магнітну стрілку, він встановив, що відповідна сила спрямована перпендикулярно до лінії, яка сполучає магніт і провідник із струмом, що не узгоджувалось із ньютонівськими уявленнями про дію та протидію*). Повторивши досліди Ерстеда, Ампер відкрив взаємодію струмів. Він підтвердив, що сили, діючі між струмами не центральні, тобто принципово відрізняються від електричних. Розглянемо, як діє на провідник із струмом зовнішнє магнітне поле. Сила Ампера. Ампер встановив, що на прямолінійний елемент струму скінченої довжини, розташований у певну точку зовнішнього однорідного магнітного поля з індукцією , діє сила величиною , (15.4.1) де - кут між векторами і . Напрямки векторів , і становлять правогвинтову трійку векторів і задовольняють ------------ *) 4 вересня 1820 р. Араго повідомів про досліди Ерстеда членів Французької академії. Повідомлення Араго слухав також академік Ампер. Про одержані результати Ампер повідомив Академію 18 вересня 1820 р. векторну рівність . (15.4.2) Напрям дії сили Ампера визначають за правилом лівої руки. Звучить воно так: Ліву руку розташовують так, щоб вектор, входив в долоню, а чотири пальці були спрямовані в напрямку провідника із струмом. Тоді напрям вказівного пальця свідчитиме про напрям дії сили Ампера Закон Ампера треба розглядати разом із законом Біо-Савара-Лапласа. Разом вони визначають індукцію в довільній точці магнітного поля, створюваного елементом струму і силу, яка діє на нього, внесеного у певну точку простору зі сторони зовнішнього магнітного поля. Зазначимо, що сила Ампера, обчислена для елементу струму, може не задовольняти третій закон Ньютона. Наглядно, в цьому можна переконатись для перпендикулярних струмів (рис.15.4.1). Із цього рисунку бачимо, що сила , з якою діє магнітне поле струму на елемент струму , дорівнює нулеві, тоді як . Рис.15.4.1 Однак, експериментально виміряти можна лише сили взаємодії для замкнутих контурів із струмами, тому в загальному для взаємодіючих струмів третій закон Ньютона виконується. Сила Лоренца. Розглянемо, як діє магнітне поле індукцією на вільно рухомий в просторі заряд . Лоренц встановив, що коли вільно рухомий заряд влітає в нього з швидкістю , то на нього діє сила, вектор якої дорівнює . (15.4.3) Це сила Лоренца. Тут - кут між векторами і . Вектор спрямований перпендикулярно до площини векторів і , а його напрям визначають за таким правилом: Ліву руку розташувють так, що складова магнітної індукції , перпендикулярна до швидкості руху заряду , входить у долоню, а чотири пальці спрямовані у напрямку руху додатного заряду (проти руху від’ємного). Тоді відігнутий на 900 великий палець вказує напрям дії сили Лоренца на рухомий заряд (рис.15.4.2). Якщо ж на рухомий заряд, крім сили Лоренца, ще діє електричне поле з силою , то результуюча сила буде дорівнювати векторній сумі . а б Рис.15.4.2 Сила Лоренца векторного поля не утворює, оскільки вона існує лише під час руху зарядженої частинки. Якщо ж частинка зупиняється, то зникає і ця сила. Оскільки сила Лоренца перпендикулярна до площини, що , то вона не змінює абсолютної величини швидкості і кінетичної енергії рухомої частинки, а відіграє роль доцентрової сили , викривляючи при цьому траєкторію руху. Але за своїм фізичним змістом сила Лоренца аналогічна силі Ампера. Дійсно, нехай для простоти кут між напрямками прямолінійного провідника довжиною із струмом та вектором прямий . Тоді сила Ампера , звідки випливає, що на електрон в провіднику, що дрейфує проти напрямку струму із середньою швидкістю , діє сила Ампера . Якщо заряджена частинка влітає в зовнішнє однорідне магнітне поле перпендикулярно до силової лінії (рис.15.4.2,а), то сила Лоренца зрівноважується відцентровою і вона обертаєся навколо силової лінії по колу радіусом . (15.4.4) Радіус колової траєкторії (15.4.4) називається ларморівським радіусом, а кутова швидкість її обертання (15.4.5) циклотронною частотою. Якщо ж заряджена частинка влітає під кутом до напрямку магнітного поля (рис.15.4.2,б), то вона рухатиметься навколо силової лінії по гвинтовій лінії. Крок її дорівнює , (15.4.6) де – вертикальна і – горизонтальна складови вектора швидкості , модуль якої дорівнює . Радіус спіралі формується значенням вертикальної складової швидкості і визначається із рівності . Отже, траєкторією руху заряду в площині, що перпендикулярна до магнітного поля є коло. Це коло часто називають ларморовою орбітою. Важливим наслідком (15.4.4) для практичного застосування є той, що в однорідному полі період обертання зарядженої частинки навколо силової лінії не залежить від її швидкості. Ця закономірність використовується в циклотронах. Дія магнітного поля на характер руху заряджених частинок використовується в електронно-променевих трубках, мас-спектрографах для просторового розділення іонів із різними значеннями мас, прискорювачах заряджених частинок і тощо. Основні закономірності руху зарядженої частинки в неоднородіному магнітному полі. Вектор сили Лоренца завжди перпендикулярний до вектора швидкості. В однорідному полі вектор лежить в площині орбіти руху зарядженої частинки, тоді як в неоднорідному магнітному полі він нахилений до неї під певним кутом. Тому, в неоднорідному магнітному полі не дорівнює нулеві горизонтальна її складова, яка і зумовлює зміщення орбіти в цьому напрямку. В неоднорідному магнітному полі кінетична енергія зарядженої частинки має дві складові – енергії руху вздовж ларморової орбіти та руху орбіти в просторі. Згідно закону збереження, повна кінетична енергія залишається сталою. Тому, якщо фактор неоднорідності прискорює рух частинки по орбіті, то при цьому гальмуватиметься просторове її зміщення і навпаки. Отже, заряджена частинка виштовхуватиметься з ділянки сильнішого поля в слабшу і область сильнішого поля відіграє роль "магнітного дзеркала" для неї*). § 15.5. Ефект Холла В 1879 р. Холл намагався встановити, чи сила, що діє на провідник у магнітному полі, діє лише на електрони, чи на весь провідник. Схема експерименту Холла зображена на рис.15.5.1. До ------------------- *) Такі локальні області ще називають магнітними пробками. Їх використовують для термоізоляції плазми в відкритих магнітних уловлювачах і спроможні утримувати плазму з досить високою температурою нагріву. Ця ідея була вперше висловлена Таммом та Сахаровим. провідника прямокутної форми, що розташований вздовж осі , прикладене електричне поле , яке зумовлює електричний струм густиною . Паралельно осі направлене магнітне поле, зі сторони якого на електрони діє сила Лоренца . Під її дією електрони відхиляються вздовж осі (дрейфова швидкість електронів спрямована проти напрямку струму). Просторове розділення зарядів вздовж осі призводить до появи електричного поля – холлівського.
Рис.15.5.1 Холл встановив, що відношення (15.5.1) не залежить від напруженості магнітного поля. Величина називається магнітоопором*), Іншою важливою характеристикою ефекту Холла є величина поперечного електричного поля . Електрична сила цього поля зрівноважує силу Лоренца, тому іншою характеристикою є стала Холла (15.5.2) Так зване холлівське поле спрямоване вздовж осі проти додатного напрямку. Тому, стала Холла є від’ємною і співпадає із ----------------------- *) Це так званий поперечний магнітоопір. Поздовжний магнітоопір вимірюється в напрямку, що паралельний струмові. знаком носія струму в металі. Це важливий висновок, оскільки за знаком сталої Холла дозволяє зробити висновок про тип носіїв заряду. В більшості, для металів вона має від’ємний знак. Однак є й такі, в яких вона додатна, що має квантовомеханічне пояснення. На практиці переважно вимірюють різницю потенціалів між зарядженими площинами, яка називається холлівською різницею потенціалів, яка дорівнює . (15.5.3) Із формули (15.5.3) випливають такі висновки: За виміряними значеннями сталої Холла можна визначити концентрацію носіїв заряду матеріалу, якщо відомий тип провідності. Оскільки знак сталої Холла збігається із знаком носія заряду, за встановленим знаком сталої Холла можна зробити висновок про його тип. В матеріалах з електронним типом провідності стала Холла має від’ємне значення. 3. В матеріалах з електронним типом провідності значення сталої Холла дає змогу оцінити середню довжину вільного пробігу електрона §15.6. Закон повного струму та його інтегральна і диференціальна форма. Теорема про циркуляцію вектора індукції магнітного поля або закон повного струму. На відміну від електростатичного поля, магнітне поле не потенціальне. Нагадаємо, що математичною умовою потенціальності поля є рівність нулеві циркуляції силового вектора вздовж замкнутого контура обходу. Ця умова означає, що силові лінії потенціального поля незамкнені і мають свій початок та кінець або прямують у безмежність. На відміну від електричних, магнітні заряди в природі не виявлено. Магнітне поле виникає лише навколо рухомих електричних зарядів. Тому магнітне поле має замкнуті силові лінії, тобто вихрове. За означенням, циркуляцію можна розглядати як роботу, яку виконує сила Ампера над одиничним пробним елементом струму . Тому, на відміну від електростатичного поля, циркуляція вектора вздовж замкнутого контура буде дорівнювати добутку магнітної сталої на алгебраїчну суму струмів, що охоплені контуром інтегрування: . (15.6.1) Вираз (15.6.1) називається теоремою про циркуляцію вектора індукції магнітного поля або законом повного струму. Переконуємось, що циркуляція вектора індукції магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом уздовж замкненого контуру, що охоплює провідник із струмом, не залежить від форми цього контуру. В записі (16.6.1) закон повногоструму справеджується для вакууму, а в магнітному середовищі праву його частину необхідно домножити на . В лівій частині (15.6.1) входить контур інтегрування . На рис.15.6.1,б, ним охоплені струми , а струм – ні. Струми, що не охоплені контуром обходу, на циркуляцію вектора індукції не впливають. В справедливості (15.6.1) можна переконатись на прикладі циркуляції вектора вздовж силової лінії прямолінійного струму. Як бачимо із рис.15.6.1,а, кут між векторами , тому інтерал циркуляції . Індукція магнітного поля прямолінійного струму дорівнює , тому інтеграл . (15.6.2) Застосування (15.6.2) на практиці потребує знання правила знаків. Звучить воно так: Струми, напрям яких разом з напрямком обходу вектора вздовж контура утворюють правий гвинт, приймають додатними, а ті, що утворюють лівий гвинт – від’ємними. а б Рис.15.6.1
Із закону повного струму випливають такі важливи висновки: 1.Магнітне поле вихрове, оскільки циркуляція вектора вздовж довільного контура, а також вздовж силової лінії, не доівнює нулеві; 2.Циркуляція вектора вздовж замкнутого контура довільної форми у вакуумі дорівнює добутку на алгебраїчну суму струмів, що охоплені контуром циркуляції. За допомогою теореми про циркуляцію можна обчислити напруженість магнітного поля всередині суцільного провідника із густиною струму . Так, на відстані від його осі , де– радіус провідника, за теоремою про циркуляцію , звідки . В розглядуваному випадку для прямовидної трубки струму кут між вектором і радіус-вектором розглядуваної точки дорівнює . Тому одержаний результат можна записати у векторній формі . (15.6.2) Одержана формула спрощує процедуру обчислення напруженості магнітного поля всередині пустот провідника. Для цього розроблений такий алгоритм. 1.В точці з координатою відносно осі провідника обчислюємо вектор напруженості магнітного поля . 2.В цій точці з координатою відносно осі пустоти обчислюємо вектор напруженості магнітного поля , створюваного видаленою частиною провідника. 3.Вектор результівної напруженості обчислюється за принциопом суперпозиції . Якщо відстань між осями суцільного провідника і пустоти , то . Тоді =. Це означає, що магнітне поле всередині пустоти однорідне, оскільки його величина не залежить від координати розглядуваної точки, лише від відстані між центрами суцільного провідника і пустоти. Якщо ж ці осі співпадають, то магнітне поле в пустоті відсутнє.
§15.7. Магнітний потік. Теорем Остроградського- Гаусса в інтегральній та диференціальній формах Магнітним потоком через елемент поверхні називається скалярний добуток =, (15.7.1) де - проекція вектора на напрям нормалі до площадки . Інтегруючи цей вираз по , дістанемо, що повний магнітний потік крізь довільну поверхню дорівнює . (15.7.2) Якщо поле одноріде, а поверхня плоска і розташована перпендикулярно до вектора , то і повний потік . (15.7.3) Як бачимо із рис.15.7.1, він виражає кількість ліній індукції магніітного поля, що перетинають поверхню площею . У одиниця магнітного потоку називається вебером (). У електродинаміці доводять*) таку теорему Остроградського-Гаусса для магнітного поля : Потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює нулеві . (15.7.2) ------------- *) Доведення теореми Остроградського-Гаусса для магнітного поля не виходить за рамки нашого курсу Ця теорема є наслідком того, що в природі відсутні вільні магнітні заряди і лінії індукції магнітного поля замкнуті. Щоб сформулювати теорему Остроградського-Гаусса в диференціальній формі, необхідно розглянути границю відношення потоку крізь малий елемент поверхні, що обмежує малий об’єм. За означеннням, ця математична процедура називається дивергенцією вектора і позначається як .
Рис.15.7.1
В диференціальній формі теорема Остроградськго-Гаусса записується як: . (15.7.3) Це означає, що, приймаючи до уваги (15.6.2), електричний струм неперервний, тобто лінії струму завжди замкнуті. §15.8. Плоский замкнутий контур із струмом у магнітному полі Встановимо, як проявляється дія сили Ампера на замкнутий контурі із струмом, якщо його внести в зовнішнє однорідне магнітне поле індукцією . Згідно із законом Ампера, на кожний його елемент струму діє сила . Результуюча цих сил дорівнює , де – одиничний вектор вздовж . Для довільної форми замкнутого контура інтеграл . Щоб в цьому переконатись, досить розглянути коловий струм. Якщо його площину розташувати перпендикулярно до напрямку вектора , то кут між ортами сталий і дорівнює=, де –тангенційний вектор в напрямку . Тому і результуюча сила, що діє на коловий струм, буде дорівнювати . За правилом лівої руки вектори спрямовані в площині струму до центру, тому результуюча сила, що діє на коловий контур в цілому, дорівнює нулеві. Зроблений висновок справедливий для замкнутого струму довільної форми, якщо він внесений в однорідне магнітне поле. Якби результуюча сила не дорівнювала б нулеві, то контур із струмом в однорідному полі рухався б, що не підтверджується дослідом. Розташуємо тепер замкнутий контур із струмом паралельно силовим лініям однорідного магнітного поля, як це показано на рис.15.8.1 для прямокутної форми. Бачимо, що на рамку із Рис.15.8.1 струмом діє пара сил Ампера. Відносно осі на рамку діє обертовий момент , вектор якого дорівнює , де – її площа. Вектор обертового моменту спрямований вздовж осі . Якщо рамка має витків, то . Обертовий момент намагається повернути рамку з струмом так, щоб вектор її магнітного моменту став паралельно вектору індукції. В цьому стані сили Ампера, що діють на окремі сторони рамки, в залежності від напрямку струму в ній будуть спрямовані назовні або всередину неї, при цьому розтягуючи чи стискаючи рамку. Таке положення рамки із струмом в магнітному полі енергетично найбільш вигідне (див.§15.9). §15.9. Робота переміщення та енергія замкнутого контура із струмом у зовнішньому магнітному полі Робота по переміщенню замкнутого контура із струмом у зовнішньому магнітному полі. Отже, на провідник довжиною із струмом зі сторони зовнішнього магнітного поля індукцією діє сила Ампера , яка рухає його в просторі. Якщо на відстані він рухається рівномірно (рис.15.9.1), то елементарна робота , яку виконує сила Ампера, дорівнює скалярному добутку . Як бачимо із рис.15.9.1, площа, що описується провідником під час переміщення, дорівнює . Тому елементарна робота , (15.9.1) дорівнює кількості силових магнітних ліній, які охоплені площею , тобто зміні магнітного потоку, помноженій на силу струму в провіднику. Енергія замкнутого контура із струмом у зовнішньому магнітному полі. Енергія замкнутого контура із струмом в однорідному магнітному полі аналогічна потенціальній енергії електричного диполя в однорідному електричному полі. Для електричного диполя вона дорівнює == . Прийнявши до уваги зв'язок одержимо, що для =, де – електричний дипольний момент.
Рис.15.9.1 За цією аналогією енергія магнітного диполя , яким є коловий струм, у зовнішньому магнітному полі буде дорівнювати =, (15.9.2) де – кут між векторами і . Розділ XVI. Магнітне поле в речовині §16.1. Гіпотеза Ампера про молекулярні струми. Магнітний момент атома Відкриття Ерстеда і Ампера привели до нового і глибшого уявлення про природу магнітних явищ. Спираючись на встановлену тотожність між дією магнітів і відповідно замкнутої форми струмів, Ампер рішуче відмовився від уявлення про існування в природі особливих магнітних зарядів. З його погляду елементарний магніт – це коловий струм, який циркулює всередині атома або молекули. Цей молекулярний струм, за термінологією Ампера, є мікрострумом і виникає завдяки руху електронів вздовж орбіт навколо ядер. Гіпотеза Ампера про молекулярні струми, яка цілком рівнозначна ланцюжкам елементарних магнітиків у гіпотезі Кулона, не лише відкинула потребу в припущенні існування особливих магнітних зарядів, але дала можливість сформулювати такі визначальні висновки: 1.Ніяких магнітних зарядів у природі не існує*). Кожний атом речовини можна розглядати щодо його магнітних _____________ *) Ідею про їх існування висунув Дірак ще в 1931 р . і назвав їх монополями. властивостей як коловий струм. Магнітне поле намагніченого тіла складається з магнітних полів цих колових струмів. 2.У ненамагнічуваному тілі всі елементарні струми розташовані хаотично і не проявляють в зовнішньому просторі магнітного поля. 3.Процес намагнічування тіла полягає в тому, що під впливом зовнішнього магнітного поля його елементарні струми орієнтуються із певним ступенем впорядкованості і створюють магнітне поле. Орбітальні магнітний і механічний моменти електрона. Як замкнутий мікрострум, орбітальний рух електрона вздовж колової орбіти радіусом із швидкістю характеризується магнітним моментом , (16.1.1) (рис.16.1.1). Це так званий орбітальний магнітний момент електрона. З іншого боку, електрон, як частинка із інертною масою , має механічний момент імпульсу , який дорівнює , (16.1.2) напрям якого визначається із векторного добутку . Вектори і спрямовані у взаємно протилежні напрямки, оскільки за додатний напрям електричного струму приймається напрям обертання позитивно зарядженої частинки.
а б Рис.16.1.1 Порівнюючи між собою формули (16.1.1) і (16.1.2) одержуємо, що . (16.1.3) Це відношення називається гіромагнітним. Його значення не залежить від швидкості електрона на орбіті, ні від радіуса орбіти. Спін та власний магнітний момент електрона. Досліди Ейнштейна і де Гааза, проведені з залізними стрижнями, привели до несподіваних результатів. Виявилось, гіромагнітне відношення вдвічі більше, ніж обчислене за формулою (16.1.3). Щоб це пояснити, довелось припустити, що електрон, крім орбітальних моментів і , має ще й власний механічний момент імпульсу , який було названо спіном*) електрона. Спін електрона зумовлений обертанням його навколо власної осі (рис.16.1.1,б). Як засвідчили подальші дослідження, він є невід’ємною властивістю електрона, подібно заряду і маси. Найважливішою особливістю спіну електрона є те, що в магнітному полі його вектор може орієнтуватися тільки двома способами – в напрямку вектора напруженості магнітного поля та проти нього. Завдяки обертанню електрона навколо власної осі, як зарядженої частинки, виникає власний магнітний момент , який дорівнює . (16.1.4) Магнетон Бора. Застосуємо ідею Ампера до одноелектронного атома водню. В стабільному стані кулонівська сила притягання електрона ядром зрівноважує відцентрову, тому його обертальний рух описується рівнянням , де – радіус першої орбіти*) або так званий борівський радіус орбіти електрона. ------------- *) Згідно із квантовомеханічним аналізом обертального руху електрона навколо ядра її радіус приймає дискретні значення. Повна енергія електрона на орбіті дорівнює сумі потенціальної і кінетичної = . Вона однозначно визначає радіус орбіти електрона з механічним моментом імпульсу та магнітним моментом . Енергія електрона в атомі квантована, тобто електрон може перебувати лише на чітко визначених орбітах. Тому квантованим є елементарний магнітний момент , який називається магнетоном Бора. Його значення значно менше одиниці, дорівнює і служить одиницею вимірювання магнітних моментів.
§ 16.2. Основні співвідношення, що характеризують поведінку речовини у магнітному полі. Закон повного струму для магнітного поля в речовині Магнітні поля, які збуджуються молекулярними струмами Ампера, внаслідок хаотичного руху атомів за величиною і за напрямком також змінюються з часом. Відповідних змін зазнають і збуджувані ними мікроскопічні магнітні поля. Не існує методів вимірювання мікрострумів. Тому для характеристики магнітних полів у речовині вводять макроскопічні параметри, які являють собою усереднення відповідних мікроскопічних за фізично нескінченно малим об’ємом. Основною кількісною характеристикою магнітного поля в магнітному середовищі (магнетику) є вектор . Однак, аналогом вектора , який описує поле в діелектрику, є вектор . Саме тому здатність магнетиків намагнічуватись у магнітному полі пов’язують саме з напруженістю. За аналогією з поляризацією діелектрика за міру намагніченності речовини беруть величину магнітного момента її одиниці об’єму . Тоді її вектор кількісно дорівнює сумарному магнітному моменту одиниці об’єму і в невеликих магнітних полях намагнічування магнетиків виражатиметься через напруженість магнітного поля як . (16.2.1) Тут коефіцієнт пропорційності є безвимірною величиною і називається магнітною сприйнятливістю, а вектор - вектором намагнічування або, за аналогією із поляризацією діелектриків у електричному полі, вектором магнітної поляризації . За своїм фізичним змістом вектор намагнічування аналогічний вектору поляризації . Йдучи далі за розглядуваною аналогією, відомому виразу для індукції індукція магнітного поля макрострумів і мікрострумів виражатиметься як =. (16.2.2) Тут зв’язок між магнітною сприйнятливістю та відносною магнітною проникністю записується як (16.2.3) Відносна магнітна проникність - це макроскопічний параметр. Її величина виражає відношення магнітного потоку в досліджуваній речовині до відповідного у вакуумі. Тому магнітна проникність характеризує магнітні властивості різних магнетиків і для однорідного магнетика є матеріальною константою. Наприклад, для заліза магнітна проникність дуже велика і може досягати значення кількох тисяч. Для вакууму =1. Закон повного струму для магнітного поля в речовині в диференціальній формі. Позначимо додаткове магнітне поле, що створюється намагніченою речовиною, як . Якщо зовнішнє поле має індукцію , то за принципом суперпозиції індукція сумарного буде дорівнювати . (16.2.4) Поле , як і поле , не має джерел, тому дивергенція результуючого поля дорівнює нулеві , (16.2.5) а його ротор . (16.2.6) Для макроскопічного поля ротор , тоді як згідно із (16.2.2) для поля ротор , де – це устина молекулярних струмів. Тому ротор результуючого поля запишеться як . (16.2.7) Вираз (16.2.7) виражає закон повного струму для магнітного поля в речовині в диференціальній формі. Закон повного струму для магнітного поля в речовині в інтегральній формі. Принцип суперпозиції мкроскопічного і мікроскопічного магнітних полів (16.2.4) дозволяє сформулювати закон повного струму для магнітного поля в речовині у вигляді інтеграла циркуляції . (16.2.8) Два доданки циркуляції свідчать про те, що контур інтегрування охоплює як струми провідності, так і молекулярні струми. Права частина в дужках виражає їх алгебраїчну суму. Нагадаємо, що циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним замкнутим контуром дорівнює алгебраїчній сумі струмів провідності (макрострумів), що охоплені цим контуром. Граничні умови для магнітних векторів. Розглянемо зміну потоку через елемент поверхні при переході від одного магнетика до іншого (рис.16.2.1,а). Сумарний потік складається з відповідного через бокову і бічні поверхні. Але спрямувавши товщину контура циркуляції одержимо, що нормальні складови вектора індукції задовольняють граничну умову або . (16.2.9)
а б Рис.16.2.1 Обчислимо циркуляцію вектора вздовж замкнутого контура, що охоплює обидва середовища (рис.16.2.1,б). На межі розділу струми провідності відсутні, тому цикуляція вектора напруженості вздовж замкнутого контура при його стягуванні дорівнює нулеві , звідки одержуємо граничну умову для тангенційної компоненти або . (16.2.10) Отже, при переході через межу поділу двох магнетиків нормальна складова вектора і таненційна складова вектора не змінюються, тоді як тангенційна складова і нормальна складова вектора терплять розрив. § 16.3. Поділ магнітних речовин на діамагнетики, парамагнетики і феромагнетики. Явище магнітного гістерезису. Закон Кюрі Усі речовини за магнітними властивостями поділяються на дві групи: сильномагнітні і слабомагнітні. До першої належать феромагнетики (нікель, кобальт та деякі магнітні сплави), ферити і антиферомагнетики. До другої – парамагнетики і діамагнетики. Як свідчать експериментальні вимірювання, в парамегнетиках та феромагнетиках , тоді як в діамагнетиках . Це означає, що заповнення котушки індуктивності парамагнетиками чи феромагнетиками підсилюватиме магнітне поле, тоді як діамагнетиками воно послаблюватиметься. Розглянемо кожну із цих груп магнітних матеріалів зокрема. Діамагнетики. Ними є золото, срібло, мідь, цинк, вісмут, ртуть, вода , гелій, тощо. В діамагнетиках магнітні моменти атомів чи молекул за відсутності зовнішнього магнітного поля дорівнюють нулю, а в магнітному полі магнітна сприйнятливість. Тому, якщо діамагнетиком заповнити соленоїд, то магнітний потік при пропусканні крізь неї електричного струму зменшуватиметься. Зменшення магнітного потоку котушки із струмом, наповненої діамагнітною речовиною означає, що в цьому разі магнітний потік від елементарних струмів спрямований протилежно до магнітного потоку котушки. В діамагнетиках під впливом зовнішнього магнітного поля виникають елементарні струми, спрямовані протилежно до напрямку струму в обмотці. Суть цього явища полягає в тому, що у відсутності зовнішнього магнітного поля орбітальні і спінові магнітні моменти електронів в атомі взаємно скомпенсовані і атоми діамагнетиків не мають власних магнітних моментів. Якщо ж діамагнетик внести у зовнішнє магнітне поле, то за рахунок прецесії електронних орбіт виникають додаткові індуковані струми , як додаткового обертання вектора навколо напрямку під певним кутом, як це зображео на рис.16.3.1,а. Прецесія електронних орбіт в атомі діамагнетику зумовлена відомою у фізиці теоремою Лармора: Єдиним наслідком впливу магнітного поля на орбіту електрона в атомі є прецесія його орбіти і вектора з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через ядро атома і паралельна вектору індукції магнітного поля. Прецесія аналогічна до руху осі обертання дзиги. а б Рис.16.3.1 Зі сторони зовнішнього магнітного поля на рухому заряджену частинку діє сила Лоренца (рис.16.3.1,б). Тоді згідно із другим законом Ньютона рівняння руху прецесіюю чого електрона запишеться як: , (16.3.1) звідки одержуємо , що, де – електрична сила притягання електрона до ядра атома. Тому частота обертання електрона , (16.3.2) де - циклічна частота обертання електрона без магнітного поля. Отже, при внесенні атома у зовнішнє магнітне поле частота обертання його електрона зменшується, якщо магнітний момент атома співпадає із напрямком поля (електрон рухається проти напрямку обертання годинникової стрілки). Якщо ж електрон обертається в зворотному напрямку, то із-за прецесії частота обертання зростатиме. Частота процесії магнітного моменту навколо напрямку вектора (16.3.3) називається ларморовою частотою. Зміна магнітного момента електронної орбіти внаслідок прецесії завжди спрямована проти напрямку зовнішнього поля. Саме це визначає діамагнітні властивості речовин у зовнішньому магнітному полі. В принципі, діамагнетизм властивий усім тілам. Особливий випадок діамагнетизму виявляють метали та напівпровідники. В них поряд діамагнетизмом іонів існує діамагнетизм електронів провідності (діамагнетизм Ландау). Цей вид діамагнетизму зумовлений тим, що вільні носії заряду (електрони провідності в металах) у магнітному полі рухаються по замкнутих траєкторіях ( у найпростішому випадку по колу). Це чисто квантовий ефект. Парамагнетики. (алюміній, платина, рідкоземельні елементи). Це такі речовини, в яких магнітна проникність теж невелика, але . В атомах парамагнітних речовин магнетизм окремо взятих електронів не є взаємно скомпенсований, тому атом в цілому проявляє незначний магнетизм і без зовнішньогополя. Якщо таке поле ввімкнути, то магнітні моменти елементарних струмів впорядковуватимуться в напрямку зовнішнього поля. Тому магнітний потік від елементарних струмів у цьому разі підсилює магнітний потік котушки і парамагнітне тіло притягується до магніту. Отже, необхідною умовою існування парамагнетизму є наявність у атомів постійного магнітного моменту. Факт його існування та величина не залежать від зовнішнього поля. Останнє намагається лише впорядкувати їх напрямки, чому перешкоджає теплові коливиння. Теплові коливання дезорієнтують магнітні моменти атомів, в результаті чого встановлюється деяка переважна їх орієнтація уздовж поля, тим більша, чим більша індукція зовнішнього поля, і тим менша, чим більша температура. Кюрі експериментально встановив, що магнітна сприйнятливість речовини зменшується обернено пропорційно до температури , (16.3.4) де - стала Кюрі, яка залежить від виду речовини. Вираз (16.3.4) – це закон Кюрі. Суть його полягає в тому, що із зростанням температури збільшується ймовірність теплових зіткнень, завдяки яким зростає розкид в різних напрямках орієнтації магнітних моментів атомів чи молекул. Закон (16.3.4) добре виконується лише при досить високих температурах для всіх парамагнетиків. Феромагнетики – це такий клас речовин, в яких магнітна проникність досягає досить великих значень. Феромагнетизм – це особливий стан парамагнетиків, які характеризуються сильною намагнічуваністю в слабких магнітних полях. Типовими представниками феромагнетиків є залізо, нікель, кобальт. Крім того феромагнітні властивості притаманні деяким сплавам із неферомагнітних компонентів, в основі яких є марганець і хром. На відміну від діамагнетиків і парамагнетиків, намагнічуваність феромагнетиків є функцією напруженості зовнішнього магнітного поля (рис.16.3.2). Характерною особливістю цієї залежності є існування так званого магнітного гістерезису. Суть його полягає в тому, що магнітна індукція феромагнетика визначається не лише значенням напруженості поля в цей момент , а й попереднім станом його намагнічення. Рис.16.3.2 Як бачимо із рис.16.3.2, із збільшенням напруженості зовнішнього магнітного поля намагнічування заліза спочатку зростає різко, потім дедалі повільніше і, нарешті, при значеннях перестає збільшуватись, оскільки усі елементарні струми вже орієнтовані в напрямку зовнішнього магнітного поля і залізо в стані 1 досягає магнітного насичення. Досягнувши насичення, знову зменшуватимемо зовнішнє магнітне поле. Тоді намагнічування заліза зменшується, але це зменшення проходить повільніше, ніж відповідне зростання. Більше того, при відсутності зовнішнього магнітного поля залізо має деяку залишкову намагніченість , якої можна позбутися лише змінивши напрям поля на протилежний, досягнувши при цьому величини . Значення напруженості поля , що розмагнічує речовину є мірою того, наскільки міцно утримується стан намагнічення заліза. Її називають коерцетивною силою. При зменшенні напруженості поля у зворотному напрямку і потім під час його зростання в первісному, хід зміни намагнічування заліза зображується гілкою кривої, яка називається петлею магнітного гістерезису. Це важлива характеристика феромагнітної речовини. Зокрема, знаючи її, можна визначити такі характеристики матеріалу, як його магнітне насичення, залишкове намагнічування та коерцетивну силу. Так, для виготовлення постійних магнітів потрібен матеріал з великою коерцетивною силою (сталь і особливо спеціальні сорти кобальтової сталі); для електричнх машин і особливо для трансформаторів вигідними є матеріали з мінімальною площею петлі гістерезису, бо вони, найменше нагріваються при перемагнічуванні. Отже, в феромагнетику зв’язок між і нелінійний. Причому для кожного феромагнетика важливою характеристикою є так звана температура (точка) Кюрі, при досягненні якої магнітна проникність різко зменшується. При температурах понад температури Кюрі всі феромагнітні тіла стають парамагнітними. Наприклад, для заліза температура Кюрі дорівнює 767; для нікелю 360, а кобальту близько 1130. Є феромагнітні сплави із порівняно низькою температурою Кюрі, порядку 100. При температурі нижче точки Кюрі феромагнетики мають так звану доменну структуру. Домен - це виділена ділянка в феромагнітній речовині, яка намагнічена майже до насичення. Якщо
Рис.16.3.3 зовнішнє магнітне поле відсутнє, то ці домени орієнтовані хаотично (рис.16.3.3). Тому результівний магнітний момент феромагнетика дорівнює нулеві і феромагнетик не намагнічений. Під дією зовнішнього магнітного поля магнітні моменти доменів орієнтуються у його напрямку (рис.16.3.3). Оскільки, цілі домени легше орієнтувати, ніж окреми атоми, то феромагнітні речовини найкращі підсилюють магнітне поле.
Розділ XVII. Електродинамічні закономірності магнітного поля § 17.1. Умови виникнення індукованого струму. Закон електромагнітної індукції. Електрорушійна сила індукції та правило Ленца До цього часу ми розглядали електричну і магнітну взаємодії роздільно. Було встановлено, що електричний струм створює магнітне поле, а з боку магнітного поля на провідник з електричним струмом або на рухомий електричний заряд діє сила. Тому, зрозумілим було питання: якщо електричний струм створює магнітне поле, то чи не може магнітне поле уцьому напрямку був зроблений Фарадеєм в 1831 році. Його досліди привели до відкриття не лише принципово нового явища в природі – електромагнітної індукції, але й до відкриття нового виду фізичної матерії – електромагнітного поля. Разом із відкриттям Ерстеда та Ампера, явище електромагнітної індукції зіграло вирішальну роль не лише в подальшому технічному прогресі, але й розвитку науки. Адже до них вважалось, що електричні і магнітні процеси в природі протікають незалежно один від одного. Треба зазначити, що першим, хто переконався в електродинамічній природі магнетизму був Ампер, ввівши поняття про молекулярні струми. Однак тоді ця ідея не була сприйнята вченими, оскільки вона протирічила поширеній тоді ідеї про так звану магнітну рідину. Вважалось, що в зовнішньому магнітному полі вона поляризується і , цим самим, змінює магнітні властивості речовин. Першого удару “рідинній теорії” магнетизму завдав Араго. Так, він встановив, що коли під магнітною стрілкою обертати масивну мідну пластину, то стрілка починає також обертатись. Ці досліди вірно пояснив Фарадей. Він був прихильником теорії Ампера і вважав, що між електричними і магнітними явищами існує тісний взаємозв’язок i першим звернув увагу на те, що електричні ефекти виникають тільки під час зміни магнітного поля. Саме в працях Фарадея вперше зустрічається поняття про магнітне поле і саме з часу їх появи, матерію взагалі почали сприймати як у формі речовини, так і у формі поля. Фарадей встановив, що в замкненому провіднику індукується електричний струм, якщо його пронизує змінний магнітний потік. Дослід і закон Фарадея. Ідея знаменитого досліду Фарадея схематично зображена на рис.17.1.1.На дерев’яний стрижень було намотано дві мідні котушки. До першої приєднувалась електрична батерея, а до другої – гальванометр. Якщо в колі батереї сила струму не змівнювалась, то стрілка гальвагнометра не відхилялась. Однак під час розмикання чи замикання цього кола стрілка гальванометра відхилялась і свідчила Рис.17.1.1 про те, що в колі гальванометра виникав електричний струм. Фарадей у цьому досліді досягав індукування електричного струму у замкненому колі шляхом зміни напруженості магнітного поля, яке виникало навколо провідника з струмом. Такого ж результату можна досягнути й іншим шляхом, наприклад, якщо змінювати площу замкнутого провідного кола, розташованого в незмінному в часі магнітному полі перпендикулярно до вектора . Але електричний струм не індукуватиметься в контурі, якщо площина витка паралельна лініям . Усі досліди, під час яких у замкненому провіднику індукується електричний струм, свідчать про таке: 1. В замкненому провіднику індукований струм виникає тоді і тільки тоді, коли його пронизує змінний магнітний потік; 2. Струм індукції ніколи не виникає, якщо магнітний потік через цей контур залишається незмінним. Результати дослідів можна підсумувати так: Під час довільної зміни магнітного потоку, що пронизує замкнений провідний контур, в останньому виникає електричний струм силою . (17.1.1) Це один із фундаментальних законів електромагнетизму. Його ще називають законом Фарадея. Звучить він ще так: При будь-якій зміні магнытного потоку крізь поверхню, обмежену замкненим контуром, ЕРС електромагнітної індукції, що виникає в замкненому контурі, пропорційна швидкості зміні магнітного потоку. Знак “мінус” відображає ту властивість індукційного струму, що його напрям протилежний напрямку того первинного електричного струму, який створює змінний магнітний потік , що пронизує контур. Яякщо магнітний потік зростає (0, то індукційний струм зменшується і його ЕРС індукції (0 і навпаки. Основний закон електромагнітної індукції формулюється так: Електрорушійна сила електромагнітної індукції у замкненому контурі чисельно дорівнює і протилежна за знаком швидкості змініи магнітного потоку крізь поверхню, охоплену контуром. Правило Ленца. Ленц встановив загальне правило (правило Ленца), за яким визначається напрям індукованого струму. Воно стверджує, що: Індукований струм завжди має такий напрям, при якому його магнітне поле зменшує (компенсує) зміну магнітного потоку, яка є причиною виникнення цього струму; індукований струм завжди має такий напрям, при якому взаємодія його з первинним магнітним полем протидіє тому рухові, внаслідок якого виникає індукція. Згідно із цим правилом, підсилення первинного струму має місце тоді, коли індукований струм виникає на проміжку зростання магнітного потоку через рамку. Гельмгольц показав, що основний закон електромагнітної індукції є наслідком закону збереження енергії. Для цього досить розглянути переміщення провідника довжиною та струмом під дією сили Ампера . Остання на відрізку шляху виконує роботу . Тоді за законом збереження енергії, робота джерела струму переміщення провідника електричним опором протягом часу дорівнює і складається з роботи, витрачається на нагрівання провідника і роботи для переміщення провідника у магнітному полі . (17.1.2) На рис.17.1.2,а, показано напрям індукційного струму в замкнутому контурі, коли магнітний потік, що його пронизує, зростає . Якщо змінити знак індукційного струму на протилежний, то магнітний потік через контур зменшуватиметься. Як переконуємось із рис.17.1.2.б, індукційний струм завжди має такий напрям, що створюване ним магнітне поле перешкоджає зміні магнітного потоку, що створюється індукованим струмом. Якщо індукція виникає внаслідок ослаблення магнітного потоку, то напрями індукованого і первинного струмів співпадают. Отже, коли причиною індукції є підсилення магнітного потоку, що пронизує площу індукційного контура, то виникаючий індукований струм , що спрямований так, що він послаблює початковий магнітний потік. Навпаки, коли індукція виникає внаслідок ослаблення магнітного потоку, магнітне поле індукованого струму підсилює початковий магнітний потік. а б Рис.17.1.2 При застосуванні закону (17.1.1) необхідно відзначити таке. Магнітне поле навколо провідника із струмом просторово неоднорідне. Тому ЕРС в замкнутому контурі може індукуватись шляхом зміни сили струму в провіднику чи зміни просторового розташування рамки відносно нього. В цих випадках для знаходження індукованої ЕРС необхідно використовувати диференціальний підхід, тобто спершу обчислити магнітний потік , що пронизує елементарну площу , а потім застосувати принцип інтегрування до кінцевого результату. Встановимо ті фізичні причини, що призводять до індукції ЕРС. Контур рухається в незмінному магнітному полі. Для цього розглянемо контур з рухомою провідною перемичкою (рис.17.1.3). Якщо вона рухається вправо з швидкістю , то в цьому ж напрямку рухаються і носії струму – електрони. Зі сторони зовнішнього магнітного поля на них діятиме сила Лоренца, яка зміщуватиме електрони вниз вздовж перемички. Тому, при цьому в ній в протилежному напрямку потече індукційний струм. Тут сила Лоренца – це стороння сила. Напруженість поля цих сторонніх сил дорівнює . Тому циркуляція вектора вздовж замкнутого контура дорівнює ЕРС індукції . (17.1.3) Тут прийнято до уваги, що за правилом Ампера вектори , а сила Лоренца зрівноважена кулонівською і вектор спрямований проти додатного напрямку нормалі (він співпадає із напрямком вектора ) до площини контура циркуляції. Оскільки , то і за величиною ЕРС індукції дорівнює . Отже, під час руху провідника в магнітному полі індукується ЕРС. Саме ця ідея покладена в основу побудови індукційних генераторів струму шляхом обертання ротора з обмоткою у магнітному полі. Рис.17.1.3
Нерухомий контур у змінному магнітному полі. Якщо контур нерухомий, то вільні носії заряду (електрони) не рухаються у зовнішньому магнітному полі і сили Лоренца на них не діють. Той факт, що і в цьому випадку виникає ЕРС індукції свідчить про те, що сторонні сили мають іншу природу. Як буде показано в наступному розділі, Максвелл допустив, що змінне магнітне поле, незалежно від того є чи відсутній в розглядуваній точці простору провідник, збуджує в цій точці змінне електричне поле. Отже, якщо нерухомий провідник розташувати у змінному в часі магнітному полі, то за Максвеллом воно в провіднику збуджує змінне електричне поле, яке і відіграє роль сторонніх сил. Тоді циркуляція вектора напруженості поля сторонніх сил буде дорівнювати . (17.1.4) Права частина цього виразу відображає той факт, що магнітний потік, який пронизує контур циркуляції вектора , змінюється лише за рахунок зміни магнітного поля в часі. Оскільки поверхня, охоплена контуром і сам контур нерухомі, то (17.1.5) і циркуляція вектора сторонніх сил дорівнюватиме . (17.1.6) Застосувавши теорему Стокса для перетворення інтегралу по замкнутому контуру в інтеграл по поверхні, обмеженого цим контуром, закон (17.1.6) в диференціальній формі запишеться так: . (17.1.7) Рівняння (17.1.7) стверджує про те, що крім сил Лоренца, джерелом сторонніх сил, які просторово розділяють заряди, є також змінне електричне поле, яке збуджується змінним магнітним полем. Саме в цьому полягає новизна відкритого Фарадеєм явища електромагнітної індукції. Той факт, що циркуляція вектора сторонніх сил вздовж замкненого контура не дорівнює нулеві свідчить про те, що збуджуване змінним в часі магнітним полем електричне також є вихровим.
§ 17.2. Явище самоіндукції. Індуктивність. Взаємоіндукція За законом Фарадея, електрорушійна сила індукції виникає при довільних змінах в часі магнітного потоку через поверхню, яка охоплена провідним контуром. Як випливає із дослідних фактів, навколо провідника із струмом виникає магнітне поле, індукція якого пропорційна величині струму. Тому в замкнутому контурі, в якому змінюється струм, виникає додатковий, індукційний струм. Явище виникнення індукційного струму в провіднику внаслідок зміни магнітного потоку, викликаної зміною сили струму в цьому провіднику, називають самоіндукцією. Самоіндукція є окремим випадком загального явища електромагнітної індукції. За правилом Ленца, струм самоіндукції завжди спрямований так, що протидіє змінам сили струму , який викликає самоіндукцію. Згідно із законом Біо-Савара-Лапласа, індукція магнітного поля струму прямо пропорційна першому ступеню сили струму. Тому й потік магнітної індукції , зчеплений з контуром, також буде пропорційний силі струму . (17.2.1) Тут - коефіцієнт пропорційності, який називається статичною індуктивністю контура. Вона не залежить від сили струму і індукції магнітного поля, але залежить від форми та розмірів контура і від магнітних властивостей навколишнього середовища. Її розмірність . Нагадаємо, що в електриці має місце аналогічна залежність між потенціалом електростатичного поля та величиною заряду, яке його створює . У цьому відношенні потік магнітної індукці аналогічний електричному потенціалу, а статична індуктивність або просто індуктивність – величині, оберненій електроємності. Тому, величину можна розглядати як магнітний потенціал. Встановимо електромеханічну аналогію індуктивності. Із механіки відомо, що кінематичний стан руху тіла із швидкістю , що має масу , доцільно характеризувати значенням імпульсу як , оскільки його швидкість зміни виражає величину дії зовнішньої сили протягом часу , як . Якщо ввести аналогічний параметр для опису електромагнітного стану рухомої зарядженої частинки як , то його зміна з часом також виражає величину дії зовнішнього джерела електрорушійної сили як ЕРС індукції . Отже, індуктивність в електродинаміці виражає стан зарядженої частинки в процесі її механічного руху, як інертна маса виражає інерційність під час руху тіла в динаміці,. Якщо контур із струмом має сталу індуктивність (), то ЕРС самоіндукції дорівнює . (17.2.2) Вираз (17.2.2) дає можливість встановити фізичний зміст індуктивності в : Iндуктивність контура в - це індуктивність такого контура, в якому при швидкості зміни величини струму в один ампер за одну секунду індукується електрорушійна сила в . Експериментальний прояв явища самоіндукції найбільш чітко спостерігається під час замикання і розмикання в колі з котушкою і омічним опором зовнішнього джерела з ЕРС . Згідно із другим правилом Кірхгофа із врахуванням ЕРС самоіндукції , спад напруги у зовнішньому колі дорівнює , де . Тоді після розділення змінних одержимо рівність , інтегруючи яку одержуємо, що , (17.2.3) де стала інтегрування визначається за початковими умовами задачі. Якщо стороннє джерело ЕРС вмикається в коло котушки, то сила струму в початковий момент часу дорівнюватиме нулеві, тому струм в колі зростатиме за законом (17.2.4) до значення . Під час розмикання, сила струму в колі навпаки, спадатиме за законом . (17.2.5) В зв’язку з тим, що зміна сили струму в розглянутих колах має експоненційний характер, зручно ввести так званий час релаксації . (17.2.6) Він визначає той проміжок часу, протягом якого сила струму в колі змінюється в разів. Із (17.2.6) випливає, що коли в електричному колі відсутня індуктивність , то сила струму в ньому залишається незмінною. Знаючи явище самоіндукції, наведемо простий вивід формули для обчислення ЕРС самоіндукції, який запропонував Гельмгольц. Розглянемо його підхід. Припустимо, що в однорідне магнітне поле з індукцією вміщений провідник із омічним опором ,
Рис.17.2.1 довжиною та індуктивністю , який покладений на дві провідні шини і , на поверхнях яких може вільно рухатись (рис.17.2.1). Якщо коло замкнути, то на провідник із струмом зі сторони зовнішнього магнітного поля діятиме сила Ампера, яка за проміжок часу перемістить його на відстань . Знехтуємо перехідними процесами, і приймемо до уваги, що в колі встановиться електричний струм силою . Сила Ампера , яка переміщає провідник, виконує роботу . (17.2.7) При записі (17.2.7) вважається, що сили опору рухові провідника не допускають швидкого його пересування, щоб можна було знехтувати індукційними ефектами, тобто покласти, що під час переміщення сила струму в колі не змінюється. За цієї умови стороннє джерело ЕРС втратить енергію , яка перетворилась в енергію магнітного поля та виділилась у вигляді теплоти Джоуля-Ленца . Тому згідно із законом збереження енергії , і сила струму в розглядуваному колі дорівнюватиме. Чисельник цього виразу становить повну ЕРС в колі. Другий доданок у чисельнику, за змістом , також ЕРС, однак індукована в колі. Рис.17.2.2 Якщо поблизу один одного знаходяться два нерухомі контури і в одному із них протікає змінний за величиною електричний струм, то в іншому також індукуватиметься змінна ЕРС. Це явище називається взаємною індукцією. Параметром взаємної індукції двох контурів є взаємна індуктивність, подібно до взаємної електроємності. Однак, величина взаємної індуктивності може залежити від сили струму в контурах, якщо вони перебувають у феромагнітному ссередовищі. В цьому випадку взаємна індуктивність називається динамічною. Обгрунтуємо теорему взаємності. Для цього розглянемо поблизу розташовані два контури 1і 2 на рис.17.2.2. Якщо в першому провіднику тече змінний струм , то він індукує магнітний потік в другому замкненому контурі величиною (17.2.8) і навпаки, змінний струм в другому провіднику індукує в області розташування першого магнітний потік . (17.2.9) Коефіцієнти – це взаємні індуктивності контурів. Теорема про взаємність стверджує, що у відсутності феромагнітних властивостей середовищ, в якому знаходяться контури, виконується рівність . (17.2.10) На явищі взаємної індукції грунтується принцип дії трансформатора. В ньому на замкненому залізному осерді насаджено дві соленоїдні обмотки. Кінці першої сполучені з джерелом змінного струму, а кінці другої ввімкнено в коло споживача. Замкнене залізне осердя дає змогу різко збільшити магнітний потік взаємної індукції первинної і вторинної обмоток та їх взаємну індуктивність. § 17.3. Енергія магнітного поля навколо провідника із струмом Зміст цього параграфа зручно подати, виходячі із електромеханічної аналогії. Знову нагадаємо, що під дією зовнішньої сили змінюється динамічний стан тіла. Ця зміна характеризується швидкістю зміни імпульсу . Це означає, що виконана джерелом зовнішньої дії робота призводить до зміни кінетичної енергії рухомого тіла. Нагадаємо, що на елементарному відрізку переміщення , за умови , елемнтарна робота дорівнює . Маючи цей запас кінетичної енергії, тіло взаємно спроможне виконати механічну роботу. Якщо джерело електрорушійної сили примушує рухатись заряд у замкнутому контурі, то за механічною аналогією виконана цим джерелом елементарна робота буде дорівнювати . (17.3.1) Інтегрування (17.3.1) дає вираз для енергії магнітного поля у вигляді квадратичної залежністі , яка аналогічна зміні кінетичної енергії механічного руху . Квадратичні залежності відображають той факт, що енергія електромагнітного поля не залежить від зміни напрямку сили струму в провіднику так само, як енергія механічного руху тіла не залежить від напрямку вектора його швидкості.. Перетворимо вираз для для прикладу магнітного поля всередині контушки індуктивності. Для неї , , тому , (17.3.2) де – обє’м внутрішньої порожнини. Якщо середина котушки заповнена матеріалом з відносною магнітною проникністю , то енергія магнітного поля дорівнює . (17.3.3) Як і у випадку електричного поля, відношення = характеризує об’ємну густину енергії. Нагадаємо також, що кінетична енергія прямо повязана із рухом тіла, тому їй характерна відносність. Суть цього полягає в тому, що величина кінетичної енергіії залежить від швидкості руху самого тіла. Оскільки швидкість тіла може змінюватись при переході від однієї системи відліку до іншої, то може змінюватись при переході від одної системи відліку до іншої і кінетична енергія тіла. Те ж саме характерно і для магнітної енергії. Вона також зумовлена динамічним станом зарядженої частинки, а саме її рухом. Тому й магнітній енергії характерна відносність. Її в природі в абсолютному стані не існує. На противагу магнітній, енергія електричного поля не пов’язана із рухом зарядів, а виражає потенціал силового поля, яке існує в просторі навколо них.
Розділ XVIII. Гармонічні коливання заряду в електромагнітному колі та змінний струм синусоїдної форми § 18.1. Коливання заряду в ідеальному електромагнітному контурі та їх електромеханічна аналогія Фізична модель початкових умов збудження коливань. Нехай в початковий момент конденсатор був заряджений і струм у колі був відсутній. Тоді початкові умови формулюються так: . (18.1.1) Зауважимо, що коливання заряду можуть бути збуджені іншими початковими умовами, наприклад, імпульсом струму через трансформаторний зв’язок, що аналогічно наданню імпульсу в початковий момент механічному осцилятору. Замкнувши тепер за допомогою ключа конденсатор на котушку індуктивності, він розряджатиметься і в колі виникне електричний струм, який на ділянці з індуктивністю збудить . За другим правилом Кірхгофа в кожну мить , звідки одержуємо диференціальне рівняння . (18.1.2) Рівняння (18.1.2) описує гармонічні коливання заряду в ідеальному електромагнітному колі з частотою або з періодом Томсона . За своїм виглядом рівняння (18.1.2) таке ж, як і для механічного осцилятора (6.2.2), тому його розв’язок буде також аналогічний (6.2.3): . (18.1.3) Сталі інтегрування і визначаються за початковими умовами. Згідно із (18.1.1), в момент часу конденсатор мав заряд , тому , звідки стала інтегрування . У початковий момент струм у колі був відсутній, тому із рівняння для струму одержуємо рівняння , звідки друга стала інтегрування . Отже, за розглядуваних початкових умов закон коливання заряду описується функцією косинуса , (18.1.4) а сила струму в колі змінюватиметься як , (18.1.5) де – амплітудне значення сили струму.
Енергетичні характеристики. Незважаючи на те, що розглянутий контур і віднесений до ідеального, гармонічні процеси в ньому можуть протікати лише за умови, що сила струму та напруга в колі такі малі, що електричні і магнітні властивості його реактивних елементів мають лінійні ВАХ. Суть електромагнітних коливань полягає в тому, що під час розрядки конденсатора в колі виникає змінний струм і на кінцях котушки індукується ЕРС . Ця індукована ЕРС є джерелом для подальшої перезарядки конденсатора в протилежному за полярністю напрямку. З точки зору енергетичних перетворень в процесі гармонійних коливань в ідеальному контурі відбувається періодичне перетворення енергії електричного поля зарядженого конденсатора в енергію магнітного поля котушки індуктивності і навпаки. За законом збереження, ці перетворення відбуваються так, що сумарна енергія електромагнітного поля залишається в часі незмінною =, (18.1.6) тому в координатах графіком цього процесу є пряма (рис.18.1.1,б). точку простору чи силі струму . § 18.2. Загасаючі коливання заряду велектромагнітному контурі Якщо прийняти до уваги реальний електричний опір провідників та котушки індуктивності і позначиити їх як , то за другим правилом Кірхгофа баланс напруг запишеться як , (18.2.1) звідки одержуємо диференціальне рівняння загасаючих коливань заряду або ,(18.2.2) де . Рівняння (18.2.2) аналогічне (6.3.2), тому його розв’язком є добуток експоненти на гармонічну функцію : , (18.2.3) де . Рис.18.2.1
Графік функції (18.2.4) зображений на рис.18.2.1. Переконуємось, що заряд в колі зменшується за експоненційним законом так, що функція є обвідною (18.2.4). Тому загасаючі коливання зручно характеризувати часом релаксації , логарифмічним декрементом загасання =, (18.2.6) та добротністю =. (18.2.7) Загасаючі коливання з частотою залишаються гармонічними, якщо підкореневий вираз не від’ємний, тобто задовольняється умова . У противному разі конденсатор розряджатиметься так, що його заряд асимптотично спадає до нуля , тобто коливна система асимптотично наближається до положення стійкої рівноваги. Такі коливання називаються аперіодичними. Опір, при якому вони виникають називається критичним і він дорівнює. § 18.3. Вимушені коливання заряду Вимушенні коливання заряду в електромагнітному колі, як і вимушені коливання механічного осцилятора, описуються аналогічними диференціальними рівняннями. Якщо в коло ввімкнутий електричний генератор синусоїдної напруги , то диференціальне рівняння вимушених коливань заряду запишеться як , (18.3.1) де - амплітуда коливань ЕРС зовнішнього джерела. Нас цікавитимуть коливання в електромагнітному колі, що вже встановились. Тому прийнявши до уваги, що – це дійсна частина комплексної функції , розв’яжемо спершу рівняння . (18.3.2) Потім за відомим законом встановимо закон зміни заряду як . Роз’язок рівняння (18.3.2) у комплексному вигляді . (18.3.3) Підставивши (18.3.3) в (18.3.2) одержимо рівняння , звідки . (18.3.4) Тепер в (18.3.4) виділимо дійсну і уявну частини функції : (18.3.5) звідки (18.3.6)
Резонанс вимушених коливань заряду і його амплітудно-фазові закономірності. В усталеному режимі вимушені коливання заряду відбуваються з частотою вимушуючого джерела . Як бачимо із формули (18.3.6) залежність має резонансний характер з чітко вираженим максимум (рис.18.3.1), який локалізований на так званій резонансній частоті, де : (18.3.7) Рис.18.3.1 і має амплітуду . (18.3.8) На резонансній частоті дійсна частина комплексної функції дорівнює нулеві, а уявна має відмінний знак (рис.18.3.2). Тому на ній фаза вимушених коливань заряду дорівнює . При фаза прямує до , тоді як за його межами – . Рис.18.3.2 Комплексний опір електромагнітного кола зміни напрямку переносу в ньому заряду. Прийнявши до уваги заміну (18.3.12) перетворимо вираз (18.3.4) до такого вигляду . (18.3.13) Комплексна величина (18.3.14) називається комплексним опором кола змінному за напрямком переносу заряду. Його ще називають електричним імпедансом. Вирази і , (18.3.15) що входять в комплексний опір, називаються його реактансами. Наголосимо, що мова йде про так званий реактивний опір зміні напрямку переносу заряду в колі за наявності в ньому реактивних елементів ємності та індуктивності. Реактанси вносять не лише реактивний опір у коливну систему, але зумовлюють зсув за фази між ним та активним опором . (18.3.16) Тоді повний опір кола із реактивними елементами буде дорівнювати . (18.3.17) На частоті виконується умова =, (18.3.18) тому фаза і опір ділянки кола з реактивними елементами дорівнює . Отже, при частоті резонансних вимушених коливань заряду в колі реактанси взаємокомпенсуються. Формулу (18.3.16) зручно перетворити до такого вигляду . (18.3.19) Бачимо, що на резонансній частоті = і на ній дійсна частина комплексної функції (18.3.13) дорівнює нулеві, а уявна –від'ємна (рис.18.3.2) (18.3.20) Отже, фази і мають один і той же фізичний зміст. Цей висновок свідчить про те, що амплітуда вимушених коливань заряду дорівнює модулю комплексної амплітуди . Діючі значення струму та напруги. Якщо прийняти до уваги наближення і , то амплітуду вимушених коливань поблизу резонансної частоти можна записати як . (18.3.21) § 18.4. Змінний струм синусоїдної форми з активним і реактивним опором. Резонанс напруги і струму
Змінним називається такий струм, який періодично змінюється в часі за величиною та напрямком. Його найпростіше одержати обертаючи провідну замкнену рамку між полюсами постійного магніту. Це періодичне повторення основного індукційного досліду Фарадея, коли індукована ЕРС у витку рамки виникає за рахунок зміни в часі магнітного потоку, що пронизує її під час обертання. Якщо виток обертається рівномірно з кутовою швидкістю , то рівномірно з цією ж частотою змінюється і магнітний потік. Оскільки до початку обертання індукційний струм у колі відсутній, то пронизуючийй площу рамки магнітний потік змінюватиметься за законом у витку генерується ЕРС синусоїдної форми і індукційний струм буде дорівнювати , де - амплітудне значення струму. Насправді фізичний процес, який відбувається під час генерування в електричних колах змінного струму є значно складнішим. Перш за все необхідно пам’ятати, що довільне електромагнітне збурення поширюється не миттєво, а з скінченною швидкістю. В провідниках ще нехтують струмами зміщення, які породжуються змінними в часі електричними полями, а враховують лише струми провідності. Тому струми, які задовольняють цим умовам, називаються квазістаціонарними. Для них приймається, що відстань між найвіддаленішими точками електричного кола, в якому тече струм, значно менша за довжину періодничності . Технічний змінний струм частотою можна вважати квазістціонарним, оскільки йому відповідає довжина хвилі порядку . Отже, час поширення електромагнітного поля для електротехнічних систем до уваги можна не приймати. Розглянемо основні закономірності поширення змінного струму в колі із послідовним сполученням елементів і . В ділянці кола із омічним опором спад напруги = і струм співпадають за фазою. Тому такий опір в колі змінного струму називаєтьсяя активним. Індуктивний та ємнісний опори синусоїдному струму. Якщо до омічного опору послідовно сполучити індуктивність (рис.18.5.1,а), то спад напруги на ній випереджатиме струм за фазою на . Дійсно, оскільки через котушку тече змінний струм, то навколо неї виникає змінне магнітне поле, яке індукує в ній ЕРС самоіндукції Тут знак мінус відображає правило Ленца, тобто коли струм збільшується, то ЕРС спрямована проти цього струму, а якщо струм зменшується, то вона спрямована у керунку струму. Отже, на кінцях котушки з за другим правилом Кірхгофа , звідки . Отже, напруга на кінцях котушки індуктивності випереджає за фазою силу струму в колі (за її межами) на (рис.18.4.1,б). За законом Ома по аналогії вводять індуктивний? (реактивний) цієї ділянки кола змінному струмові . (18.4.1) Індуктивний опір – величина розрахункова, за допомогою якої враховується явище самоіндукції. Її відсутність в колі можна сформулювати як . (18.4.2) Необхідно зауважити, що реактивний опір ніяким чином не відповідає за своєю суттю омічному опорі. Якщо омічний опір виражає супротив напрямленому руху електронів під дією електричного поля прикладеної до кінців ділянки кола напруги, то індуктивний – виражає лише опір зміні напрямку його руху в колі. Це підтверджується тим, що індуктивний опір має котушка індуктивності, яка виготовлена із надпровідного матеріалу. Індуктивний опір не залежить від сили змінного струму в колі. Він лише зростає із збільшенням частоти та індуктивності .
a б Рис.18.4.1 Справді, ЕРС самоіндукції , яка зменшує силу струму у колі тим більша, чим більша частота зміни напрямку струму та більша швидкість зміни сили струму . Саме завдяки тому, що ЕРС індукції пропорційна швидкості зміни сили струму , для синусоїдного струму індуктивність ділянки кола призводить до зсуву на спаду на ній напруги відносно закону коливань в ньому сили струму. В ті моменти, коли , спад напруги є найбільшим. Що ж відбуватиметься, якщо в коло змінного струму увімкнути конденсатор ємністю (рис.18.4.2,а). Напруга на його обкладках і заряд змінюються у фазі , тому (18.4.5) і відстають за фазою від сили струму в колі.
a б Рис.18.4.2 Електроємність в колі змінного струму також виражає певний опір процесу зміни сили струму змінюється за напрямком. Він вводиться як (18.4.3) і називається ємнісним. Як і індуктивний, ємнісний опір також не виділяє теплоти Джоуля-Ленца, оскільки проявляє себе і тоді, коли між пластинами конденсатора вакуум. Хоч в колі конденсатора носіями поля є струми зміщення, які не виділяють теплоти Джоуля-Ленца, однак вони є джерелом магнітного поля. За означенням ємності і ємнісного опору (18.4.6) відсутність у провідному електричному колі конденсатора означає . В цьому легко пересвідчитись із формули для ємності плоского конденсатора. Дійсно . Тому коли конденсатор утворюють два роз’єднані між собою торці кінців провідників площею поперечного перерізу , відстань між поверхнями яких дорівнює , то при ємність цієї системи і ємнісний опір, який такий , стає відсутній . Конденсатор із нульовою ємністю означає те, що яку б кількість заряду на ньому не зосереджували, різниця потенціалів між його пластинами все одно не зміниться. Як випливає із формули (18.4.6), ємнісний опір конденсатора тим менший, чим більша його ємність і чим більша частота змінного струму. Це пояснюється тим, що чим більша ємність конденсатора, тим більший електричний заряд зосереджується на його обкладках, а чим більша частота, тим за коротший проміжок часу цей заряд проходитиме вздовж провідників, тобто тим більший за величиною середній струм протікатиме через ділянку колі із конденсатором. Перейдемо до аналізу закону Ома для повного кола із змінним струмом. Із закону Ома для кола сталого стуму випливає, що при послідовному сполучення між собою її елементів, спад напруги між кінцями ділянки дорівнює сумі спадів на окремих ділянках. В цьому випадку, якщо кожному спаду надати векторну форму, то за принципом суперпозиції . Усі вектори спрямовані в одному напрямку і косинуси кутів між ними дорівнює нулеві. Тому за теоремою косинусів маємо, що модуль результуючого вектора дорівнює . Однак, це неприйнятно для кола із змінним струмом. В ньому вектори спадів напруг на резисторі , індуктивності та ємності не співпадають за напрямками, тому за принципом суперпозиції . Саме в цьому суть методу векторних діаграм, який зображений на рис.18.4.3. За опорну вісь вибрана вісь струмів, так як спад напруги на опорі коливається у фазі із струмом. Тоді вектор буде обернутий відносно осі струмів у додатному напрямку (проти напрямку обертання стрілки годинника) на кут , а вектор обернутий проти напрямку годинникової стрілки на . Рис.18.4.3 За законом Ома та правилом косинусів переконуємось, що амплітудне значення змінної сили струму в електричному колі, яке складається з трьох послідовно сполучених між собою опорів , дорівнює , де повний опір кола обчислюється за формулою (18.3.17). Його величина відіграє роль роль повного опору кола із змінною силою струму, або його імпедансом, в якому складова - називається її реактивним опором. Резонанс напруги і струму. В колі змінної сили струм є зсув фази між струмом і напругою (18.3.16). І з цієї формули випливає, що при величина і сила струму в колі. При зростанні частоти ефективний опір кола спочатку зменшується, а сила струму в колі збільшується. При резонансній частоті pеактивний опір кола =0 і сила струму в ньому максимальна. При подальшому зростанні частоти реактивний опір кола знову збільшується, тому сила струму в колі знову зменшується (рис.18.4.4,а). Як бачимо із рис.18.4.4,б, на резонансній частоті зсув фази дорівнює , а на значно вищих частотах, напруга коливається у протифазі до струму . а б Рис.18.4.4 Різке зростання сили струму в колі при послідовному сполученні між собою і відоме в електротехніці як резонанс напруг, тоді як при паралельному сполученні конденсатора і котушки індуктивності матиме місце резонанс струмів. Активна і реактивна потужність кола із змінним струмом. Змінний струм також проявляє теплову дію. Оскільки сила струму з часом змінюється, змін зазнає тепловиділення. За законом Джоуля-Ленца кількість виділеної теплоти на омічному опорі в колі постійного струму пропорційна квадрату сили струму. Для змінного струму її абсолютна величина змінюватиметься від нуля до амплітудного значення, тому для нього необхідно встановити певний еквівалент постійного струму, який проявляв би таку саму дію, як і змінний струм. Цей еквівалент встановлюють за тепловою дією так. Згідно із законом Джоуля-Ленца кількість теплоти, що виділяється вділянці кола із активним опором протягом часу дорівнює . Нагадаємо, що при записі цієї формули прийнято до уваги лінійний характер ВАХ активного опору. Тому електрична потужність його теплової дії протягом періоду буде дорівнювати . (18.4.11) Отже, оскільки сила струму і спад напруги на активному опорі періодично змінюються з часом, то фізичний зміст має середнє значення теплової потужності за перод зміни струму в цій ділянці кола. Дійсно, усереднення по періоду виразу (18.4.11) Отже, кожні чверть періоду знак другого доданку електричної потужностів змінюється на протилежний. Тому середнє за період миттєвої потужності дорівнює нулеві і середня за період потужність електричного кола змінному струмові дорівнює , (18.4.12) Тут і такі значення електричні сила струму і напруги в колі змінного струму, яких відповідають еквівалентній тепловій дії омічного опору. Величина змінної сили струму, яка виділяє в провіднику ту саму кількість тепла, що й постійний струм, називається діючою або ефективною. Для синусоїдної сили струму її діючі значення струму і напруги як =0.707 і . (18.4.4) Тому закон Ома для кола із змінним струмом записується як . (18.4.5) Зауважимо, що ця формула справедлива для амплітудних або ефективних значень сили струму і напруги, але не для їх миттєвих значень. Отже, звична для нас напруга в в повсякденній мережі дорівнює діючому значенню, а не максимальному. Найбільша величина напруги в колі дорівнює В. Тому всі амперметри та вольтметри для кола із змінним синусоїдним струмом та напругою градуюються за їх діючими значеннями. Крім ефективних значень сили струму та напруги змінний синусоїдний струм характеризують ще й середніми значеннями цих величин за півперіод , Отже, в колі змінного струму лише із омічним опором фази коливань струму і напруги на ньому співпадають, тому миттєве значення електричної потужності з часом змінюється з подвійною частотою . В колі змінного струму з реактивним опором струм, що створюється генератором, випереджає або відстає від нього. Тоді добуток не виражає реальну (активну) потужність, що створюється генератором, оскільки напруга може бути великою, а струм – прямуватиме до нуля (або навпаки). Щоб виразити потужність через добуток , треба домножити його на коефіцієнт потужності: , (18.4.6) де - називається коефіцієнтом потужності зміного струму. В колі паралельного сполучення . Величина , значення якого змінюється в межаї від 0 до 1 в колі послідовного сполучення визначається як . Отже, якщо в колі змінного струму ввімкнуті лише омічні опори, то , а якщо реактивні – то . Тому за значенням можна судити про характер кола. Активна потужність не розсіюється на реактивному опорі для якого . Енергія, що накопичена в магнітному полі котушки індуктивності або в електричному полі конденсатора, повертається назад в коло, тобто потужність в чисто реактивному опорі не розсіюється. Тому потужність кола, в якому струм і напруга зсунуті по фазі на , називається ще реактивною. Вимірюється вона не в ватах, як активна, а в вольт-амперах реактивних і визначається як . Важливим для економії електричної енергії є значення . Найменш допустиме його значення дорівнює . Якщо споживачі змінного струму мають ще й індуктивний опір, то для зменшення реактивного опору та підвищення значення паралельно індуктивному опорі вмикають додатково ємнісний опір. Значення його так, щоб задовольнялась умова , тоді і . Є інший спосіб досягнення найбільшого значення коефіцієнта потужності. Суть його полягає в тому, що паралельно до споживача під’єднують генератор змінної сили струму, так званий синхронний компенсатор. Він виробляє змінний електричний струм, зсунутий за фазою на необхідний кут відносно сили струму, що надходить від електромережі до споживача.
