Тема 5: Показники варіацій
1. Необхідність вивчення варіацій.
2. Показники варіацій, їх економічний зміст та техніка обчислення.
3. Математичні властивості дисперсії варіаційної ознаки.
4. Дисперсія альтернативної ознаки.
1. Необхідність вивчення варіацій
Як зазначалося раніше, варіація тієї чи іншої ознаки, що притаманна елементам статистичної сукупності, спричинюється великою кількістю різних факторів. Серед цих факторів можна виділити головні, загальні, що впливають на варіацію ознаки всіх без вийнятку елементів сукупності. Інша частина факторів – фактори випадкові, індивідуальні. Під дією вказаних факторів і формується варіація ознаки, а значить і особливості тієї чи іншої статистичної сукупності.
Особливості статистичної сукупності знаходять своє відображення в її розподілі. Вивчення закономірностей розподілу є одним з важливіших завдань статистики. Вирішити це завдання можна за допомогою узагальнюючих характеристик, які можна поділити на:
1) характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана);
2) характеристики міри і ступеня варіації;
3) характеристики типу (форми) розподілу.
Як відомо, характеристики центру розподілу відображають типовий рівень ознаки в якісно однорідній сукупності. Проте ці характеристики не відображають міри ”розсіювання” індивідуальних значень ознаки у відношенні до середньої. Можуть бути випадки, коли середні значення ознаки двох сукупностей однакові, а характер розподілу цих сукупностей різний.
Наприклад, розподіл студентів за результатами письмового екзамену з статистики:
Оцінка
Число студентів


1–2 група
3–4 група

2
7
2

3
12
14

4
19
30

5
12
4

Разом
50
50


Середній бал виявився однаковим X1,2 = 3,7 бала. Проте характер розподілу цих сукупностей різний. Група 3–4 являє собою статистичну сукупність порівняно з групою 1–2 більш якісно однорідну стосовно отриманих оцінок. В цій групі 88 % студентів отримали оцінки «3» і «4», тому можна сказати, що середній бал для цього потоку є характеристикою більш надійною, яка узагальнила характерний рівень успішності, властивий студентам 3–4 груп.
Саме тому виникає необхідність при здійсненні соціально-економічного аналізу обчислювати показники, які характеризу-вали б міру варіації, тобто міру відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої. Такими показниками і є характеристики другої групи.
2. Показники варіацій, їх економічний зміст та техніка обчислення
Основні характеристики міри і ступеня варіації:
1) Розмах варіації:
R = Xmax – Xmin.
Цей показник, як бачимо, базується на крайніх значеннях ознаки. Може статись, що одне з цих значень є цілком випадкове, тому R не є надійним показником варіації.
2) Середнє лінійне відхилення:

(при умові обчислення з первинних даних),

(дані згруповані).
Ця характеристика показує, наскільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від середньої по сукупності. Ця характеристика в математичному відношенні дещо некоректна, бо при її обчисленні ігноруються математичні знаки.
Абсолютно коректними в цьому відношенні є такі характеристики, як дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
3) Дисперсія (середній квадрат відхилення)

(при умові обчислення з первинних даних),

(дані згруповані).
Дисперсія – величина абстрактна (не має одиниці виміру).
4) Середнє квадратичне відхилення
.
За економічним змістом середнє квадратичне відхилення і середнє лінійне відхилення однакові, а за числовим значенням, при умові симетричного розподілу вони мають такий зв’язок:
.
Наведені вище характеристики є показниками міри варіації. Вони не можуть бути використані для порівняння міри варіації по двох сукупностях при різних середніх та для порівняння міри варіації різних ознак по одній і тій же сукупності.
Це завдання можна вирішити за допомогою характеристик ступеня варіації.
5) Коефіцієнт варіації
– лінійний коефіцієнт варіації.
– квадратичний коефіцієнт варіації.
Ця характеристика показує на скільки % в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від середнього її значення по сукупності.
Приклад техніки обчислення показників варіації.
Вік опитаних випадково 10 студентів був таким: 19, 22, 22, 23,18, 24, 23, 19, 20, 19.
Визначити середній вік:
,
рік.
Обчислимо показники варіації:
Середнє лінійне відхилення:
:

Тобто вік опитаних студентів відхиляється в середньому на 1,8 року від їх середнього віку – 21 року.
Дисперсія:
:
.
Середнє квадратичне відхилення:
:
року.
Економічний зміст – див..
Коефіцієнт варіації:
:
.
Тобто вік опитаних студентів відхиляється в середньому на 9 % від загальної середньої ().
3. Математичні властивості дисперсії варіаційної ознаки
1) При зменшенні всіх індивідуальних значень ознаки на якусь постійну величину ”A”, дисперсія не змінюється.
2) При діленні всіх значень ознаки на постійний множник ”і” дисперсія зменшується в ”і” раз.
3) Середній квадрат відхилень від завжди менший середнього квадрата відхилень значень ознаки від будь-якої довільно взятої величини ”А” на квадрат різниці між середньою і величиною ”А”.
Слід пам’ятати, що дисперсію варіаційної ознаки можна ще обчислити за так званим ”спрощеним методом”. В цьому випадку застосовується така формула:
,
; .
4. Дисперсія альтернативної ознаки
Дисперсія альтернативної ознаки є добутком частки елементів сукупності, яким притаманна ознака, що вивчається, на частку елементів, яким не притаманна ця властивість:
,
де w – частка елементів сукупності, яким притаманна ознака.
Наприклад:
З 100 студентів 80 – склали іспит, 20 – ні.
Таким чином, частка студентів, що склали іспит, становитиме
w =:
w =;
:
.