Тема 7. Основні перетворення спектрів сигналів ( при зсуві в часі при зміні тривалості, при інтегруванні, диференціюванні та перемноженні сигналів). Розглядається зв’язок між перетвореннями сигналу і відповідному перетворенню змінами спектру сигналу. 1.Зсув сигналу в часі.
Нехай сигналу S1(t) відповідає (?). Спектральна густина сигналу S2(t) : (?) = (t)dt = ( t - t0 ) dt. Введемо нову змінну інтегрування: ( t - t0 ) = ?. (?) = (?)d? = ( ? ) d? = (?). Звідси видно, що спектральна густина отримує додатковий фазовий зсув на кут – ?t0. Тобто, при зсуві сигналу в часі на величину + ?t0 амплітудно-частотна характеристика сигналу не змінюється, але всі складові спектру отримують додатковий зсув на кут + ?t0. Очевидне і зворотнє твердження: якщо всі складові спектру зсунути на кут + ?t0 , то сам сигнал зсунеться в часі на + t0. 2.Зміна тривалості сигналу (відносно часу).
Нехай сигнал S1(t) підданий стиску в часі S2(t) = S1(nt). Тривалісь S2(t) в n раз менше S1(t) і рівна : (?) = (t)d? . Введемо нову змінну інтегрування ? = nt. (?) = (?)dt = (nt)dt. Цей вираз (підінтегральний) представляє собою (?/n), тобто при частоті ?/n; Таким чином : (?) = (?/n). ? – означає зміну масштабу по осі частот, при цьому спектр сигналу вдається розтягнути в n раз. При стиску сигналу в n раз на часовій осі в стільки ж раз розширюється його спектр на осі частот. Модуль спектральної густини при цьому зменшується в n раз. 3.Додавання сигналів. Оскільки перетворення Фур’є є лінійним перетворенням, то сума сигналів S1(t) + +S2(t)+…, відповідає сумі їх спектрів (?) = (?) +(?) +… 4.Диференціювання та інтегрування сигналів. Диференціювання сигналу можна розглядати як по елементне диференціювання його складових. Для якої-небудь частоти ? узагальнений ряд гармонік сигналу можна представити у вигляді: , де в квадратних дужках – амплітуда сигналу в смузі. Продиференціювавши по t, отримаємо j?. Спектральна густина похідної сигналу рівна (?) = j?(?). Аналогічно, спектральна густина інтегралу сигнала рівна: (?) = (?). 5.Добуток двох сигналів. Нехай сигнал s(t) = f(t)g(t). Визначимо спектр такого сигналу. (?) = dt = dt. Функціям f(t) та g(t) відповідають спектральні густини та . Кожна з цих функцій може бути записана за допомогою зворотнього перетворення Фур’є: f(t) = d? ; y(t) = d?. Підставимо інтеграли у вираз (?) , отримаємо, що (?) = dx. Інтеграл представляє собою згортку. Спектр добутку двох функцій f(t) та g(t) рівний згортці їх спектрів та (з коефіцієнтом ). В частковому випадку, при ? = 0 dt = dx ; )=1. Замінюючи x на ?, отримаємо: dt = d? = d?, де – комплексно-спряжена з . Аналогічно можна показати, що згортці двох функцій часу s(t) = d?, відповідає вираз: d? = d?. Цей вираз використовується при аналізі проходження сигналів через лінійні кола. 6.Взаємна зворотність ? та t в перетвореннях Фур’є. а) нехай s(t) – функція парна відносно t. s(t)=s(-t). Запишемо: (?) = dt = dt - j dt. Інтеграл від непарної функції в симетричних границях = 0. Тобто при s(t) – парній, (?) є функція дійсна і парна відносно ?. б) коли s(t) – непарна відносно t. Тоді в нуль перетворюється перший інтеграл, де в підінтегральному виразі є добуток непарної і парної функції. (?) = - j dt; В цьому випадку (?) чисто уявна і непарна відносно ?. в) якщо s(t) не є не парною, ні не парною. В цьому випадку її можна розкласти на s1(t) – парну і s2(t) – непарну функції. Тоді (?) – комплексна величина, причому дійсна її частина парна,а уявна – непарна відносно ?. З пункту а) випливає,що у випадку парної функції s(t) можна довільним чином вибирати t? в зворотному перетворенні Фур’є: s(t) = d? = d?.