Умова перпендикулярності прямих: к/=. 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2):
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої: Ах+Ву+С=0, (А2+В2(0). 12. Відстань від точки (х1,у1) до прямої Ах+Ву+С=0: (= 13. Рівняння кола з центром (х0,у0) і радіусом R: (х-х0)2+(у-у0)2=R2 14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в: (1) Фокуси еліпса F(c;0) i F/(-c;0), де с2=а2-в2 15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1): r=a-Ex; r/=a+Ex, де Е= - ексцентриситет еліпса. 16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в: (2) 2 нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x), z1(x, y)(z(z2(x, y) де yi(x), zі(x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою: . Для заміток. І. Аналітична геометрія на площині. 1. Паралельне перенесення системи координат: х'=х-а, у'=у-в, де О' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [х';у'] - її нові координати. 2. Поворот системи координат (при нерухомому початку): х= х'cos(- у'sin(; y= x'sin(+ y'cоs(, де (х,у) - старі координати точки, [х',у'] - її нові координати, ( - кут повороту. 3. Відстань між точками (х1,у1) і (х2,у2): d= 4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1,у1) і (х2,у2) в даному відношенні (: x= y=. При (=1, маємо координати середини відрізка: х= у=. 5. Площа трикутника з вершинами (х1,у1), (х2,у2) і (х3,у3): S=. 6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: у=кх+в, де к=tg( (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох, в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу. 7. tg(= - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/. Умова паралельності прямих: к/=к. 1 24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в: x=a cos t, y=b sin t. 25. Параметричні рівняння циклоїди: x=a(t-sin t), y=a(1-cos t). II. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Основні теореми про границі: а) б) Зокрема, в) Чудові границі: а) б) 3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами: lg x=М ln x, де М=lg e=0,43429… 4. Приріст функції у=f(x), що відповідає приросту аргументу х:
5. Умова неперервності функції у=f(x):
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y /=f /(x) - кутовий коефіцієнт дотичної до 4 XI. Подвійні та потрійні інтеграли. 1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y), розповсюдженим на область S, називається число: , (1) де (хі, уі) є (Si (і=1, 2,…n) і d – найбільший діаметр комірок (Si. Якщо f(x, y)(0, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y). 2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a(x(b, y1(x)(y(y2(x), де y1(x),y2(x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою: . 3. Подвійний інтеграл в полярних координатах ( і r, де x=r cos(, y=rsin( має вигляд:
Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:(((((, r1(()(r(r2((), то
4. Якщо (=((х, у) – поверхнева густина пластини S, то її маса є (2) 25 (фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при (=1 отримуємо формулу площі пластинки 5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами: , де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки S. 6. Координати центра мас пластинки S визначаються за формулами: , , (3) де m – маса пластинки. Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо (=1. 7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами: , , де (=((х, у) – поверхнева густина пластинки. 8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V, називається число: , (4) де (xi, yi, zi) є (Vi (i=1, 2, 3,…n), d – найбільший діаметр комірок (Vi . Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об(єм V. 9. Об(єм тіла V дорівнює: . 10. Якщо область інтегрування V визначається 26 Фокуси гіперболи F(c;0) і F/(-c;0), де с2=а2+в2 17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2): r=((Ex-a), r/=((Ex+a), де Е= - ексцентриситет гіперболи. 18. Асимптоти гіперболи (2): у=. 19. Графік оберненої пропорційності ху=с (с(0) - рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0. 20. Канонічне рівняння параболи з параметром р: у2=2рх Фокус параболи: F(p/2, 0): рівняння директриси: х=-(р/2); фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2). 21. Графік квадратного тричлена у=Ах2+Вх+С вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у: ( tg(= Прямокутні координати точки з полярними координатами ( і (. x=( cos(, y=( sin(. 23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат: x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр) 3 f(/(x0)=0 або f(/(x0) не існує. б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0: f(/(x0)=0, f(/(x0-h1)f(/(x0+h2)<0 при довільних досить малих h1>0 і h2>0, або f(/(x0)=0, f((/(x0)(0 12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f((/(x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f((/(x)<0. Необхідна умова точки перегинy графіка функції y=f(x) при x=x0: f((/(x0)=0 або f((/(x0)не існує. Достатня умова точки перегину при х=х0: f (((x0)=0, f((/(x0-h1)f''(x0+h2)<0 при будь-яких досить малих h1>0, h2>0. 13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [(,(] і f(()f(()<0, то корінь ( рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами: а) (метод хорд) б) , де f ((()(0; f(()-f((()>0 (метод дотичних). 14. Диференціал незалежної змінної х: dx=?x. Диференціал функції у=f(x):dy=y(dx. Зв’язок приросту ?y функції з диференціалом dy функції: ?y=dy+(?x, де (>0 при ?х>0. Таблиця диференціалів функцій. 1) dun=nun-1du; 7) d(ctg u)=- 2) dau=auln a du (a>0); deu=eudu; 8) d(arcsin u)= 3)d(logau)=; 9) d(arccos u)=- 6 № п/п Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння Вигляд загального розв(язку
1 Корені k1 i k2 дійсні і різні
2 Корені рівні k1 = k2
3 Корені комплексні k1=(+і( k2=(-і(
9. Таблиця 2. Характер частинного розв(язку z-неоднорідного рівняння у((+ру(+qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x). № п/п Права частина f(x) Випадки Частинний розв(язок
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти. Х.Криволінійні інтеграли. 1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y), взятий по кусково гладкій кривій К: x=x(t), y=y(t) (t є [(, (]), дорівнює (1) Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) (a(x(b), то 23
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К. Якщо f(x, y) є лінійна густина лінії К, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К. 2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у), взятий по кусково гладкому шляху К: x=x(t), y=y(t) (t є [(, (]), визначається за формулою: (2) Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [(, (]), то . Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К. Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К. 3. Якщо виконується умова Х(х, у)dx+Y(x, y)dy=dU(x, y), то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і , (3) де (х1,у1) – початкова точка шляху і (х2, у2) – кінцева точка шляху. Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y). 24 графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х. Правила і формули диференціювання: а) C(=0; б) (U+V-W)(=U(+V(-W(; в) (CU)(=CU(; г) (UV)(=U(V+V(U; д) е) є) ; и) (хn)(=n xn-1, x(=1; і) (sin x)(=cos x; ї) (cos x)(=-sin x; й) (tg x)(=sec2x; к) (сtg х)(=-cosec2x; л) м) (аx)(=ax ln a, (ex)(=ex. н) (аrcsin x)(= o) (arccos x)(=; п) (arctg x)(= р) (arcctg x)(= 7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції: f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f(/((), де ( є (х1,х2). 8. Функія у=f(x) зростає, якщо f(/(x)>0, і спадає, якщо f((x)<0. 9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або : якщо границя з права існує. 10. Локальна формула Тейлора: f(x)=f(x0)+f(/(x0)(x-x0)+…+ де f(n)(x) існує в деякому повному околі точки х0. 11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0: 5 6) . 7) 8) 9) . 10) . 11) . 12) де ((0. 13) 14) Основні методи інтегрування. а) метод розкладу: , де f(x)=f1(x)+f2(x) б) метод підстановки: якщо x=((t), то
в) метод інтегрування частинами:
4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F((x)=f(x), то . 5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми: 8 де , (n=1, 2,…). IX.Диференціальні рівняння. 1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. X(x)Y(y)dx+X1(x)Y1(y)dy=0 має загальний інтеграл: (1) Особливі розв(язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1(х)=0 і У1(у)=0. 2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0, де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв(язуються за допомогою підстановки y=u(x (u – нова функція). 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку: a(x)y(+b(x)y+c(x)=0 можна розв(язати за допомогою підстановки y=u(v, де u – не нульовий розв(язок однорідного рівняння a(x)y(+b(x)y=0, а v – нова функція. 4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку: а) якщо y((=f(x), то загальний розв(язок: ; б) якщо y((=f(у), то загальний інтеграл: ; в) якщо y((=f(у(), то загальний інтеграл рівняння можна 21 знайти з співвідношення: , де у(=р. 5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку: а) якщо у((=f(x, y(), то приймаючи у(=р(х), отримуємо: ; б) якщо у((=f(у, y(), то приймаючи у(=р(у), отримуємо: . 6. Загальний розв(язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку: у((+р(х)у(+q(x)y=0 має вигляд у=С1у1+С2у2, де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв(язки. 7. Загальний розв(язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку: у((+р(х)у(+q(x)y=f(x) має вигляд , де - загальний розв(язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв(язок даного неоднорідного рівняння. 8. Таблиця 1. Загальний вигляд розв(язків однорідного рівняння у((+ру(+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2+pk+q=0. 22 (a>0,a(1); d(ln u)= 4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)=; 5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)= 6) d(tg u)= 12) df(u)=f((u)du. 15.Малий приріст диференційованої функції: f(x+?x)-f(x)(f((x)?x 16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d2x)=0: d2y=у''dx2. III. Інтегральне числення. 1. Якщо dy=f(x)dx, то y= (незвичайний інтеграл). 2. Основні властивості незвичайного інтеграла: а) б) в) (А(0) г) Таблиця найпростіших невизначених інтегралів. 1) (m(-1). 2) , (при х<0 i при x>0). 3) ; 4) (a>0, a(1). 5) . 7 де h=(b-a)/n, x0=a, xn=b, y=f(x), yi=f(x0+ih), (i=0,1,2,…,n). 11. Формула Сімпсона: де h=(b-a)/2. 12. Невласний інтеграл: 13. Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=f(x) (f(x)(0), віссю Ох і двома вертикалями х=а, х=b (a<b): . 14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією (=f(() (( i ( - полярні координати) і двома промінями (=(, (=( ((<(): . 15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х=b (a<b): . 16. Довжина дуги гладкої кривої (=f(() в полярних координатах ( і ( від точки (=( до точки (=( ((<(): , 17. Довжина дуги гладкої кривої х=((t) y=((t), задано параметрично (t0<T): 18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x): 10 9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій: а) , при (x( < 1; б) ln(1+x) = , при –1<x(1; в) , при (x( ( 1; г) , при (x( < +(; д) , при (x( < +(; е) , при (x( < +(; ж) , при (x( < 1. 11. Ряд Тейлора.
12. Ряди в комплексній області: . 13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд 19 також збігається (абсолютно). 14. Формули Ейлера: , . 15. Тригонометричний ряд Фур(є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2l має вигляд: , (1) де , (n=0, 1, 2,…); , (n=1, 2,…). (коефіцієнти Фур(є функції f(x)). Для функції f(x) періоду 2( маємо , де , (n=0, 1, 2,…). В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює
16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то , де , (n=0,1, 2,…). Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то , 20
де і 6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні): а) ; б) в) г) д) е) ж) 7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b], то , де а<c<b. 8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі: 9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі: де а=(((), b=(((). 10. Формула трапецій: , 9 z=r(cos(+isin(), де r=(z(; (=Arg z 5. Теореми про модуль та аргумент: а) (z1+z2( ( (z1( + (z2(; б) (z1z2( ( (z1( (z2(, Arg z1z2=Arg z1+Arg z2; в) Arg =Arg z1-Arg z2; (z2(0); г) (zn( = (z( n; Arg zn=n Arg z (n - ціле). 6. Корінь з комплексного числа: , (k=0,1,2,…,n-1) 7. Показникова формула комплексного числа: z = r ei(, де z = (z(, ( = Arg z. 8. Визначник другого порядку: . 9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х=(х/(; у=(у/( (правило Крамера), де . 10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х=(1t, y=-(2t, z=(3t; (-(<t<(), де - мінори матриці . 12
3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у: де dx=(x, dy=(y. Якщо U = f(x, y, z), то . 4. Малий приріст диференційованої функції:
5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l, заданому одиничним вектором {cos (, cos (} дорівнює: . Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і {cos (, cos (, cos (} – одиничний вектор напряму l, то
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь: f(х(x, y, z)=0; f(y(x, y, z)=0; f(z(x, y, z)=0 7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
Звідси . 8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G, то 17 ((x, y) є G). (ознака повного диференціалу.). VIII. Ряди. 1.Основне означення: . 2. Необхідна ознака збіжності ряду: якщо ряд збігається, то . 3. Геометрична прогресія: , якщо (q( < 1. 4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається). Ознака Даламбера. Нехай для ряду (Un>0) існує
Тоді: а) Якщо l < 1, то ряд збігається; б) Якщо l > 1, то ряд розбігається, Un непрямує до 0. 6. Абсолютна збіжність. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно). 7. Ознака Лейбніца. Якщо і при , то знакозмінний ряд V1-V2+V3-V4+… - збігається. 8. Радіус збіжності степеневого ряду а0+а1х+а2х2+… визначається за формулою:, якщо остання має зміст. 18 . 19. Об’єм тіла обертання: а) навколо осі Ох: (a<b) б) навколо осі Оу: (c<d) 20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b]:
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь. 1. Комплексне число z=x+iy, де х=Re z, y=Im z - дійсні числа, і2=-1. Модуль комплексного числа:
Рівність комплексних чисел: z1=z2(Re z1=Re z2, Im z1=Im z2 2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy: 3. Арифметичні дії над комплексними числами z1=x1+iy1, z2=x2+iy2: a) б) в) (z2(0) Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і, ( z (2=z. 4. Тригонометрична форма комплексного числа: 11 V. Елементи векторної алгебри. 1. Сумою векторів , , є вектор . 2. Різницею векторів і є вектор , де - - вектор, протилежний вектору . 3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0, і протилежний до нього, якщо k < 0. 4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр). Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l-скаляри) 5. Скалярним добутком векторів і є число , де (=<(, ). Вектори і ортогональні, якщо * = 0. Якщо і , то . 6. Векторним добутком векторів і є вектор , де , , (( = <(a,b)), причому а, b, с - права трійк. Якщо і , то , де i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами. 7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с. Якщо , , , то 14 . VI. Аналітична геометрія в просторі. 1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z) простору Охуz є: x=rx , y=ry , z=rz , де r= - радіус-вектор точки М. 2. Довжина та напрям вектора а={ax,ay,az} визначаються формулами: ; cos (=ax/a; cos (=ay/a; cos (=az/a, (cos2(+cos2(+cos2(=1), де cos (, cos (, cos ( - напрямні косинуси вектора а. 3. Відстань між двома точками M1(x1,y1,z1) i M2(x2,y2,z2): . 4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}(0, що проходить через точку M0(x0,y0,z0) є N((r-r0)=0,…(1) де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0. В координатах рівняння (1) має вид: А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 або Ax+By+Cz+D=0 (2) де D= -Ax0-By0-Cz0 (згальне рівняння площини). 5. Відстань від точки M1(x1,y1,z1) до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі: r=r0+st (3) 15 де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0{x0,y0,z0} - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}(0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (-(<t<+(). В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд: . 7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4) Напрямним вектором прямої (4) є S=N(N(, де N={A,B,C}, N(={A(,B(,C(}. 8. Рівняння сфери радіуса R з центром (x0,y0,z0): . 9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c: . 10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Оz: x2+y2=2pz. VII. Диференціальне числення функції декількох змінних. 1. Умова некперервності функції z=f(x,y): , або Аналогічно визначається неперервність функції f(x, y, z). 2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у: 16 11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні доповнення відповідних елементів визначника. 12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х=(х/(; у=(у/(; z=(z/(, де . 13. Розв’язок однорідної системи , якщо
