4. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ

, (4.7)
де .
Коефіцієнт – має розмірність часу. Так як він залежить і від механічних і від електричних параметрів мотора, він називається електромеханічною сталою часу мотора з незалежним збудженням. Коефіцієнт також має розмірність часу. Оскільки він залежить лише від електричних параметрів обмотки якоря мотора, він називається електричною сталою часу якоря.
Вважаючи, що при значення змінних були отримаємо з (4.7) рівняння стану рівноваги
. (4.8)
Вважаючи, що при запишемо повне рівняння (4.7), використовуючи його лінійність, з врахуванням абсолютних приростів вхідних і вихідної величин
. (4.9)
Виключивши з (4.9) рівняння (4.8), отримаємо рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах
. (4.10)
Еквівалентність (4.10) і (4.7) є наслідком лінійності останнього. Звідси можна зробити висновок про те, що при лінійності повного рівняння елементу САК рівняння динаміки цього елементу в абсолютних приростах може бути отримане заміною в цьому рівнянні повних значень змінних їх приростами.
Введемо позначення відносних змінних , , , тоді рівняння динаміки мотора з незалежним збудженням у відносних приростах буде
, (4.11)
де .
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.11)
. (4.12)
З рівняння (4.12) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки якоря мотора буде мати вигляд
. (4.13)
Підставивши в (4.13) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (4.14)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(4.15)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.15).
4.2. Мотор постійного струму, що керується напругою збудження
З ціллю зменшення потужності сигналу керування мотор постійного струму керується шляхом зміни напруги збудження при постійності напруги, що живить роторне коло (рис. 4.2).
Прикладена до кола збудження з індуктивністю і опором , напруга перетворюється в струм збудження залежністю
. (4.16)
Заморожуючи значення індуктивності в точці, що відповідає вихідному значенню струму збудження , тобто вважаючи , можемо вважати рівняння (4.16) лінійним. Тоді в абсолютних приростах рівняння динаміки буде
, (4.17)
де – стала часу кола збудження.
Вважаючи, що при значення змінних були отримаємо з (4.16) рівняння стану рівноваги обмотки збудження
. (4.18)
Ввівши відносні прирости , запишемо рівняння динаміки у відносних приростах
. (4.19)
Зауважимо, що згідно (4.18)
, (4.20)
а рівняння (4.19) можна записати у вигляді
. (4.21)
Згідно закону Ома для маґнетного кола струм кола збудження перетворюється в потік збудження
, (4.22)
де – число витків обмотки збудження.
Рівняння (4.22) лінійне, бо ми прийняли , з чого випливає що , тому запишемо його в абсолютних приростах
. (4.23)
Позначимо відносний приріст потоку збудження і запишемо рівняння (4.23) у відносних приростах
, (4.24)
Рівняння електричної рівноваги обмотки якоря має вигляд
, (4.25)
де – напруга живлення обмотки якоря; , – індуктивність і опір обмотки якоря; – струм ротора; – противо-е.р.с., що індукується якорем при обертанні
. (4.26)
Тут – швидкість обертання [об/хв]; – конструктивний коефіцієнт.
Виразивши швидкість обертання в рад/с (див. (4.4)), отримаємо
, , (4.27)
Підставивши (4.27) в (4.25) отримаємо
. (4.28)
У вихідному стані рівноваги при значення змінних рівні , , , . Рівняння стану рівноваги має вигляд
. (4.29)
Вважаючи, що при ; ; ; виконаємо лінеаризацію рівняння (4.28). Індуктивність обмотки якоря заморожуємо , а нелінійний член розкладаємо в ряд Тейлора
. (4.30)
Підставивши (4.30) в (4.28) і виключивши (4.29) отримаємо рівняння динаміки обмотки якоря в абсолютних приростах
, (4.31)
де – стала часу якоря.
Введемо відносні прирости ; і запишемо рівняння динаміки третьої ланки у відносних одиницях
, . (4.32)
Рушійний момент мотора пов’язаний з і
. (4.33)
При маємо , , , тоді рівняння стану рівноваги буде
. (4.34)
При маємо ; ; . Згідно ряду Тейлора вираз (4.33) прийме вигляд
. (4.35)
Виключивши рівняння стану рівноваги (4.34) залежність (4.35) набуде вигляду
. (4.36)
Позначивши запишемо рівняння (4.36) четвертої ланки у відносних приростах
; (4.37)
Згідно рівняння Даламбера
. (4.38)
Так як , то рівняння (4.38) лінійне і його можна записати в абсолютних приростах
, (4.39)
де – приріст моменту опору.
Позначивши , запишемо рівняння динаміки п’ятої ланки у відносних приростах
, . (4.40)
Коли залежить від , то доцільно ввести шосту ланку, котра на рис. 4.3 показана пунктиром. Таким чином, динамічні властивості мотора постійного струму, керованого зміною напруги збудження, описуються системою рівнянь
(4.41)
Виключивши проміжні змінні , , , отримаємо рівняння динаміки відносно вхідних , і вихідної величин
, (4.42)
де
; ; ;
; ; ;
; .
– вхідна величина; – вихідна величина; – збурююча дія.
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.42)
. (4.43)
З рівняння (4.43) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки збудження мотора буде мати вигляд
. (4.44)
Підставивши в (4.44) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (4.45)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(4.46)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.46).
4.3. Мотор постійного струму з послідовним збудженням
На рис. 4.4 зображена схема включення мотора з послідовним збудженням. Мотор керується напругою, що живить обмотки якоря і збудження. Керованою величиною є швидкість обертання якоря , збурюючою величиною – момент опору . Обертовий рух якоря як і у попередніх схемах описується рівнянням Даламбера (4.1), а рушійний момент мотора рівнянням (4.2). Проте в цій схемі , тому його слід залишити у формі
. (4.47)
Рівняння електричної рівноваги роторного кола має вигляд
(4.48)
Введемо позначення , тоді рівняння (4.48) з урахуванням залежності (4.4) набуде вигляду
(4.49)
Підставимо (4.47) в рівняння (4.1)
. (4.50)
Згідно закону Ома для маґнетного кола струм обмоток мотора перетворюється в потік збудження
. (4.51)
Рівняння (4.51) лінійне, бо ми прийняли , з чого випливає, що , тому ввівши позначення запишемо його у вигляді
. (4.52)
Підставимо (4.52) в (4.49), (4.50)
, (4.53)
. (4.54)
Обидва отримані рівняння є нелінійними, виконаємо лінеаризацію їх нелінійних членів
, (4.55)
. (4.56)
При маємо , , , , тоді згідно (4.53), (4.54) рівняння стану рівноваги будуть
, (4.57)
. (4.58)
При маємо , , , . Підставимо (4.55), (4.56) в (4.53), (4.54)
, (4.59)
. (4.60)
Виключимо з (4.59), (4.60) рівняння стану рівноваги (4.57), (4.58) і отримаємо лінеаризовані рівняння динаміки в абсолютних приростах
, (4.61)
. (4.62)
Нагадаємо прийняті позначення відносних приростів , ; , , тоді рівняння (4.61), (4.62) запишемо у відносних приростах
, (4.63)
. (4.64)
Визначимо з (4.64) струм мотора
(4.65)
і підставимо отриманий результат в (4.63)
(4.66)
Розділимо рівняння (4.66) на коефіцієнт , тоді дане рівняння можна записати у вигляді
, (4.67)
де
(4.68)
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.67)
. (4.69)
З рівняння (4.69) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки якоря мотора буде мати вигляд
. (4.70)
Підставивши в (4.70) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (4.71)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(4.72)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.72).
4.4. Асинхронний двофазний мотор
Будемо вважати, що даний мотор керується зміною керуючої напруги . Схема включення зображена на рис. 4.5. Позначення: ОК, ОЗ – відповідно обмотки керування і збудження; , – маґнетні потоки, що створюються обмотками керування і збудження; – фазозсуваючий конденсатор в колі ОЗ; – швидкість обертання ротора мотора (рад/с).
Напруга прикладена до кола збудження, не змінюється в процесі роботи. Механічні характеристики мотора , де – момент мотору, отримані при різних фіксованих значеннях напруги керування (рис. 4.6). Лінеаризована форма механічних характеристик мотора зображена на рис. 4.7. В усталеному режимі роботи, для якого справедливі механічні характеристики, момент мотору урівноважується рівним за величиною моментом опору . Згідно механічних характеристик, пусковий момент пропорційний керуючій напрузі
, (4.73)
де – коефіцієнт, що визначається згідно механічних характеристик.
Для лінеаризованої механічної характеристики справедливе співвідношення
. (4.74)
Коефіцієнт визначається нахилом механічної характеристики
,
де – зміна моменту мотора при зміні швидкості на .
При розгляді динамічних процесів в моторі внаслідок малої інерційності процесів в обмотці керування можна на враховувати останніх, вважаючи, що рівняння (4.73) справедливе і в динаміці. В структурній схемі (рис. 4.7) перша ланка відображає без інерційне перетворення напруги керування в пусковий момент мотора у відповідності з рівнянням (4.73) записаним у абсолютних приростах. Перетворення рушійного моменту сумісно зі створюваним навантаженням моментом опору в швидкість обертання ротора описується рівнянням Даламбера
. (4.75)
З врахуванням (4.73), (4.74), рівняння (4.75) запишемо у вигляді
. (4.76)
Вважаючи момент інерції системи мотор-навантаження постійним, можна розглядати рівняння (4.76) лінійним, що дає можливість безпосередньо записати рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах
. (4.78)
В структурній схемі четверта ланка є безінерційною, Вона перетворює зміну швидкості обертання ротора мотора в зміну рушійного моменту . Друга ланка виконує віднімання швидкісної зміни моменту і пускового моменту . Третя ланка структурної схеми відображає перетворення різниці рушійного моменту і моменту опору в зміну швидкості обертання ротора. Введемо позначення відносних величин
; ;
Запишемо рівняння динаміки мотора відносно швидкості обертання у відносних приростах
, (4.79)
де – електромеханічна стала часу мотора.
;
Якщо вихідною величиною є кут повороту ротора і вважаючи, що , повне рівняння (4.76) можна записати у формі
. (4.80)
Відповідно рівняння динаміки мотора в абсолютних і відносних приростах будуть мати вигляд
, (4.81)
, (4.82)
де ; ; .
Визначимо передатну функцію асинхронного двофазного мотора за напругою керування . Зображення за Лапласом рівняння (4.79) має вигляд
, (4.83)
Передатна функція згідно (4.83) буде
. (4.84)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (4.85)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
, (4.86)
де .
4.4. Гідравлічний мотор
Схема мотору з золотниковою коробкою зображена на рис. 4.9, де позначені: П – поршні золотникової коробки; XВХ – вхідне механічне переміщення поршнів; XВИХ – вихідне механічне переміщення поршня мотора; P0 – тиск на виході масляної помпи, що живить мотор; P – тиск на виході помпи; PВ – тиск у верхній половині мотора; PH – тиск у нижній половині мотора; hB, hH – вертикальні розміри верхньої і нижньої частин мотора; P0 – P – різниця тисків, що створюється живлячою помпою, є сталою в процесі роботи мотора. У вихідному положенні поршні П золотникової коробки перекривають отвори трубопровідників, що з’єднують золотникову коробку з мотором. При цьому мотор відключений від помпи і його поршень нерухомий. При зміщенні поршнів на величину XВХ, наприклад вверх, вони не повністю закривають отвори трубопровідників, в результаті чого область високого тиску (P0) через відкрите поперечне січення трубопровідника пов’язана з верхньою половиною мотора, а нижня половина мотора – через аналогічне поперечне січення пов’язана з областю низького тиску (P). При цьому PВ збільшується, а PH – зменшується і поршень мотору під впливом різниці тисків PВ – PH переміщується вниз, змінюючи XВИХ. Для спрощення наступних розрахунків будемо вважати трубопровідники прямокутними з шириною b, що при зміщенні поршнів на XВХ, приводить до утворення поперечного січення (рис. 4.10)
. (4.87)
Вважаючи довжину трубопровідників малою, будемо нехтувати падінням тиску в них, вважаючи, що перепад тисків P0 – PB та PH – P визначається гідравлічним опором січення трубопровідників . Позначимо площу поршня мотора через . Визначимо зусилля переміщення, що діє в моторі при зміщенні поршнів з вихідного положення вверх на величину XВХ. При цьому об’ємний приплив рідини у верхню половину можна виразити співвідношенням
. (4.88)
Так як питома вага та в’язкість є постійними запишемо рівняння (4.88) у формі
, (4.89)
де – постійний коефіцієнт.
Аналогічно, витрата рідини з нижньої половини визначається співвідношенням
. (4.90)
Враховуючи те, що рідина не піддається стискуванню, зміна об’єму верхньої половини пов’язана з об’ємним припливом співвідношенням
, (4.91)
де – об’ємна витрата рідини з верхньої половини через нещільності сполучень та щілину між поршнем та циліндром мотора. Нехтуючи малим значенням , згідно (4.91), маємо
. (4.92)
Аналогічно для нижньої половини
, (4.93)
де – приплив рідини в нижню половину з верхньої через щілину між поршнем і циліндром мотора. Нехтуючи малим значенням , отримаємо
. (4.94)
При цьому . Так як
,
де – вихідні усталені значення вертикальних розмірів верхньої і нижньої половин, тоді
, (4.95)
звідки слідує
. (4.96)
Підставивши (4.96) в (4.89), (4.90) та піднімаючи отримане рівняння до квадрату, можемо записати
(4.97)
Додавши ці два рівняння отримаємо
. (4.98)
Помноживши отриману різницю тисків на січення поршня, отримаємо вираз для зусилля переміщення мотора
. (4.99)
Зусилля переміщення врівноважується силою опору навантаження та динамічними силами: силою інерції, яка дорівнює добутку маси переміщуваних елементів на їх прискорення, та силою демпфування, яка пропорційна швидкості руху.
, (4.100)
де – коефіцієнт демпфування.
Рівняння (4.100) є повним, воно пов’язує вхідне і вихідне переміщення з урахуванням сили опору навантажувального пристрою. Це рівняння суттєво нелінійне. Його спрощення може бути виконане, якщо врахувати співвідношення статичних і динамічних сил, що діють на поршень мотора. В зв’язку з малими швидкостями та прискореннями, що властиві гідравлічним системам, діючі в них динамічні сили суттєво менші від статичних, що дає підставу знехтувати динамічними силами в рівнянні (4.100). В результаті отримаємо співвідношення
. (4.101)
Добувши квадратний корінь отримаємо
. (4.102)
При незалежності сили опору від переміщення рівняння (4.102) можна розглядати як нелінійне, причому коефіцієнт при похідній переміщення в лівій частині рівняння має розмірність часу і може розглядатися як стала часу гідравлічного мотора
. (4.103)
Знаки в правій частині рівняння (4.102) мають фізичний зміст, тому що трубопровідники, що з’єднують золотникову коробку і циліндр мотора, можуть конструктивно перехрещуватися, що приведе до зміни напрямку руху поршнів золотникової коробки.
Так як і є приростами координат поршнів золотникової коробки і мотора, тоді рівняння (4.102) може розглядатися як рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах. При певному розташуванні трубопровідників, яке визначає знак правої частини рівняння (4.102) та враховуючи позначення (4.103) рівняння динаміки може бути записане у вигляді
. (4.104)
Ввівши позначення відносних приростів запишемо рівняння (4.104) у відносних приростах
. (4.105)
Визначимо передатну функцію гідравлічного. Зображення за Лапласом рівняння (4.105) має вигляд
, (4.106)
Передатна функція згідно (4.106) буде
. (4.107)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (4.108)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
. (4.86)
Контрольні запитання.
Чим керується швидкість обертання якоря моторів постійного струму?
Які переваги мають мотори постійного струму перед моторами змінного струму?
Запишіть рівняння електричного контуру мотору постійного струму з послідовним збудженням.
Яким порядком рівнянь описується мотор постійного струму з незалежним збудженням?
Чим керується швидкість обертання ротора асинхронного двофазного мотора?
Запишіть передатну функцію за напругою керування асинхронного двофазного мотора.
Яким порядком рівнянь описується гідравлічний мотор?