, (4.7) де . Коефіцієнт – має розмірність часу. Так як він залежить і від механічних і від електричних параметрів мотора, він називається електромеханічною сталою часу мотора з незалежним збудженням. Коефіцієнт також має розмірність часу. Оскільки він залежить лише від електричних параметрів обмотки якоря мотора, він називається електричною сталою часу якоря. Вважаючи, що при значення змінних були отримаємо з (4.7) рівняння стану рівноваги . (4.8) Вважаючи, що при запишемо повне рівняння (4.7), використовуючи його лінійність, з врахуванням абсолютних приростів вхідних і вихідної величин . (4.9) Виключивши з (4.9) рівняння (4.8), отримаємо рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах . (4.10) Еквівалентність (4.10) і (4.7) є наслідком лінійності останнього. Звідси можна зробити висновок про те, що при лінійності повного рівняння елементу САК рівняння динаміки цього елементу в абсолютних приростах може бути отримане заміною в цьому рівнянні повних значень змінних їх приростами. Введемо позначення відносних змінних , , , тоді рівняння динаміки мотора з незалежним збудженням у відносних приростах буде , (4.11) де . Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.11) . (4.12) З рівняння (4.12) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки якоря мотора буде мати вигляд . (4.13) Підставивши в (4.13) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією . (4.14) Цей запис є тотожним виразу (2.71), де (4.15) Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.15). 4.2. Мотор постійного струму, що керується напругою збудження З ціллю зменшення потужності сигналу керування мотор постійного струму керується шляхом зміни напруги збудження при постійності напруги, що живить роторне коло (рис. 4.2). Прикладена до кола збудження з індуктивністю і опором , напруга перетворюється в струм збудження залежністю . (4.16) Заморожуючи значення індуктивності в точці, що відповідає вихідному значенню струму збудження , тобто вважаючи , можемо вважати рівняння (4.16) лінійним. Тоді в абсолютних приростах рівняння динаміки буде , (4.17) де – стала часу кола збудження. Вважаючи, що при значення змінних були отримаємо з (4.16) рівняння стану рівноваги обмотки збудження . (4.18) Ввівши відносні прирости , запишемо рівняння динаміки у відносних приростах . (4.19) Зауважимо, що згідно (4.18) , (4.20) а рівняння (4.19) можна записати у вигляді . (4.21) Згідно закону Ома для маґнетного кола струм кола збудження перетворюється в потік збудження , (4.22) де – число витків обмотки збудження. Рівняння (4.22) лінійне, бо ми прийняли , з чого випливає що , тому запишемо його в абсолютних приростах . (4.23) Позначимо відносний приріст потоку збудження і запишемо рівняння (4.23) у відносних приростах , (4.24) Рівняння електричної рівноваги обмотки якоря має вигляд , (4.25) де – напруга живлення обмотки якоря; , – індуктивність і опір обмотки якоря; – струм ротора; – противо-е.р.с., що індукується якорем при обертанні . (4.26) Тут – швидкість обертання [об/хв]; – конструктивний коефіцієнт. Виразивши швидкість обертання в рад/с (див. (4.4)), отримаємо , , (4.27) Підставивши (4.27) в (4.25) отримаємо . (4.28) У вихідному стані рівноваги при значення змінних рівні , , , . Рівняння стану рівноваги має вигляд . (4.29) Вважаючи, що при ; ; ; виконаємо лінеаризацію рівняння (4.28). Індуктивність обмотки якоря заморожуємо , а нелінійний член розкладаємо в ряд Тейлора . (4.30) Підставивши (4.30) в (4.28) і виключивши (4.29) отримаємо рівняння динаміки обмотки якоря в абсолютних приростах , (4.31) де – стала часу якоря. Введемо відносні прирости ; і запишемо рівняння динаміки третьої ланки у відносних одиницях , . (4.32) Рушійний момент мотора пов’язаний з і . (4.33) При маємо , , , тоді рівняння стану рівноваги буде . (4.34) При маємо ; ; . Згідно ряду Тейлора вираз (4.33) прийме вигляд . (4.35) Виключивши рівняння стану рівноваги (4.34) залежність (4.35) набуде вигляду . (4.36) Позначивши запишемо рівняння (4.36) четвертої ланки у відносних приростах ; (4.37) Згідно рівняння Даламбера . (4.38) Так як , то рівняння (4.38) лінійне і його можна записати в абсолютних приростах , (4.39) де – приріст моменту опору. Позначивши , запишемо рівняння динаміки п’ятої ланки у відносних приростах , . (4.40) Коли залежить від , то доцільно ввести шосту ланку, котра на рис. 4.3 показана пунктиром. Таким чином, динамічні властивості мотора постійного струму, керованого зміною напруги збудження, описуються системою рівнянь (4.41) Виключивши проміжні змінні , , , отримаємо рівняння динаміки відносно вхідних , і вихідної величин , (4.42) де ; ; ; ; ; ; ; . – вхідна величина; – вихідна величина; – збурююча дія. Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.42) . (4.43) З рівняння (4.43) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки збудження мотора буде мати вигляд . (4.44) Підставивши в (4.44) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією . (4.45) Цей запис є тотожним виразу (2.71), де (4.46) Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.46). 4.3. Мотор постійного струму з послідовним збудженням На рис. 4.4 зображена схема включення мотора з послідовним збудженням. Мотор керується напругою, що живить обмотки якоря і збудження. Керованою величиною є швидкість обертання якоря , збурюючою величиною – момент опору . Обертовий рух якоря як і у попередніх схемах описується рівнянням Даламбера (4.1), а рушійний момент мотора рівнянням (4.2). Проте в цій схемі , тому його слід залишити у формі . (4.47) Рівняння електричної рівноваги роторного кола має вигляд (4.48) Введемо позначення , тоді рівняння (4.48) з урахуванням залежності (4.4) набуде вигляду (4.49) Підставимо (4.47) в рівняння (4.1) . (4.50) Згідно закону Ома для маґнетного кола струм обмоток мотора перетворюється в потік збудження . (4.51) Рівняння (4.51) лінійне, бо ми прийняли , з чого випливає, що , тому ввівши позначення запишемо його у вигляді . (4.52) Підставимо (4.52) в (4.49), (4.50) , (4.53) . (4.54) Обидва отримані рівняння є нелінійними, виконаємо лінеаризацію їх нелінійних членів , (4.55) . (4.56) При маємо , , , , тоді згідно (4.53), (4.54) рівняння стану рівноваги будуть , (4.57) . (4.58) При маємо , , , . Підставимо (4.55), (4.56) в (4.53), (4.54) , (4.59) . (4.60) Виключимо з (4.59), (4.60) рівняння стану рівноваги (4.57), (4.58) і отримаємо лінеаризовані рівняння динаміки в абсолютних приростах , (4.61) . (4.62) Нагадаємо прийняті позначення відносних приростів , ; , , тоді рівняння (4.61), (4.62) запишемо у відносних приростах , (4.63) . (4.64) Визначимо з (4.64) струм мотора (4.65) і підставимо отриманий результат в (4.63) (4.66) Розділимо рівняння (4.66) на коефіцієнт , тоді дане рівняння можна записати у вигляді , (4.67) де (4.68) Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (4.67) . (4.69) З рівняння (4.69) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за напругою живлення обмотки якоря мотора буде мати вигляд . (4.70) Підставивши в (4.70) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією . (4.71) Цей запис є тотожним виразу (2.71), де (4.72) Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (4.72). 4.4. Асинхронний двофазний мотор Будемо вважати, що даний мотор керується зміною керуючої напруги . Схема включення зображена на рис. 4.5. Позначення: ОК, ОЗ – відповідно обмотки керування і збудження; , – маґнетні потоки, що створюються обмотками керування і збудження; – фазозсуваючий конденсатор в колі ОЗ; – швидкість обертання ротора мотора (рад/с). Напруга прикладена до кола збудження, не змінюється в процесі роботи. Механічні характеристики мотора , де – момент мотору, отримані при різних фіксованих значеннях напруги керування (рис. 4.6). Лінеаризована форма механічних характеристик мотора зображена на рис. 4.7. В усталеному режимі роботи, для якого справедливі механічні характеристики, момент мотору урівноважується рівним за величиною моментом опору . Згідно механічних характеристик, пусковий момент пропорційний керуючій напрузі , (4.73) де – коефіцієнт, що визначається згідно механічних характеристик. Для лінеаризованої механічної характеристики справедливе співвідношення . (4.74) Коефіцієнт визначається нахилом механічної характеристики , де – зміна моменту мотора при зміні швидкості на . При розгляді динамічних процесів в моторі внаслідок малої інерційності процесів в обмотці керування можна на враховувати останніх, вважаючи, що рівняння (4.73) справедливе і в динаміці. В структурній схемі (рис. 4.7) перша ланка відображає без інерційне перетворення напруги керування в пусковий момент мотора у відповідності з рівнянням (4.73) записаним у абсолютних приростах. Перетворення рушійного моменту сумісно зі створюваним навантаженням моментом опору в швидкість обертання ротора описується рівнянням Даламбера . (4.75) З врахуванням (4.73), (4.74), рівняння (4.75) запишемо у вигляді . (4.76) Вважаючи момент інерції системи мотор-навантаження постійним, можна розглядати рівняння (4.76) лінійним, що дає можливість безпосередньо записати рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах . (4.78) В структурній схемі четверта ланка є безінерційною, Вона перетворює зміну швидкості обертання ротора мотора в зміну рушійного моменту . Друга ланка виконує віднімання швидкісної зміни моменту і пускового моменту . Третя ланка структурної схеми відображає перетворення різниці рушійного моменту і моменту опору в зміну швидкості обертання ротора. Введемо позначення відносних величин ; ; Запишемо рівняння динаміки мотора відносно швидкості обертання у відносних приростах , (4.79) де – електромеханічна стала часу мотора. ; Якщо вихідною величиною є кут повороту ротора і вважаючи, що , повне рівняння (4.76) можна записати у формі . (4.80) Відповідно рівняння динаміки мотора в абсолютних і відносних приростах будуть мати вигляд , (4.81) , (4.82) де ; ; . Визначимо передатну функцію асинхронного двофазного мотора за напругою керування . Зображення за Лапласом рівняння (4.79) має вигляд , (4.83) Передатна функція згідно (4.83) буде . (4.84) Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту . (4.85) Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями , (4.86) де . 4.4. Гідравлічний мотор Схема мотору з золотниковою коробкою зображена на рис. 4.9, де позначені: П – поршні золотникової коробки; XВХ – вхідне механічне переміщення поршнів; XВИХ – вихідне механічне переміщення поршня мотора; P0 – тиск на виході масляної помпи, що живить мотор; P – тиск на виході помпи; PВ – тиск у верхній половині мотора; PH – тиск у нижній половині мотора; hB, hH – вертикальні розміри верхньої і нижньої частин мотора; P0 – P – різниця тисків, що створюється живлячою помпою, є сталою в процесі роботи мотора. У вихідному положенні поршні П золотникової коробки перекривають отвори трубопровідників, що з’єднують золотникову коробку з мотором. При цьому мотор відключений від помпи і його поршень нерухомий. При зміщенні поршнів на величину XВХ, наприклад вверх, вони не повністю закривають отвори трубопровідників, в результаті чого область високого тиску (P0) через відкрите поперечне січення трубопровідника пов’язана з верхньою половиною мотора, а нижня половина мотора – через аналогічне поперечне січення пов’язана з областю низького тиску (P). При цьому PВ збільшується, а PH – зменшується і поршень мотору під впливом різниці тисків PВ – PH переміщується вниз, змінюючи XВИХ. Для спрощення наступних розрахунків будемо вважати трубопровідники прямокутними з шириною b, що при зміщенні поршнів на XВХ, приводить до утворення поперечного січення (рис. 4.10) . (4.87) Вважаючи довжину трубопровідників малою, будемо нехтувати падінням тиску в них, вважаючи, що перепад тисків P0 – PB та PH – P визначається гідравлічним опором січення трубопровідників . Позначимо площу поршня мотора через . Визначимо зусилля переміщення, що діє в моторі при зміщенні поршнів з вихідного положення вверх на величину XВХ. При цьому об’ємний приплив рідини у верхню половину можна виразити співвідношенням . (4.88) Так як питома вага та в’язкість є постійними запишемо рівняння (4.88) у формі , (4.89) де – постійний коефіцієнт. Аналогічно, витрата рідини з нижньої половини визначається співвідношенням . (4.90) Враховуючи те, що рідина не піддається стискуванню, зміна об’єму верхньої половини пов’язана з об’ємним припливом співвідношенням , (4.91) де – об’ємна витрата рідини з верхньої половини через нещільності сполучень та щілину між поршнем та циліндром мотора. Нехтуючи малим значенням , згідно (4.91), маємо . (4.92) Аналогічно для нижньої половини , (4.93) де – приплив рідини в нижню половину з верхньої через щілину між поршнем і циліндром мотора. Нехтуючи малим значенням , отримаємо . (4.94) При цьому . Так як , де – вихідні усталені значення вертикальних розмірів верхньої і нижньої половин, тоді , (4.95) звідки слідує . (4.96) Підставивши (4.96) в (4.89), (4.90) та піднімаючи отримане рівняння до квадрату, можемо записати (4.97) Додавши ці два рівняння отримаємо . (4.98) Помноживши отриману різницю тисків на січення поршня, отримаємо вираз для зусилля переміщення мотора . (4.99) Зусилля переміщення врівноважується силою опору навантаження та динамічними силами: силою інерції, яка дорівнює добутку маси переміщуваних елементів на їх прискорення, та силою демпфування, яка пропорційна швидкості руху. , (4.100) де – коефіцієнт демпфування. Рівняння (4.100) є повним, воно пов’язує вхідне і вихідне переміщення з урахуванням сили опору навантажувального пристрою. Це рівняння суттєво нелінійне. Його спрощення може бути виконане, якщо врахувати співвідношення статичних і динамічних сил, що діють на поршень мотора. В зв’язку з малими швидкостями та прискореннями, що властиві гідравлічним системам, діючі в них динамічні сили суттєво менші від статичних, що дає підставу знехтувати динамічними силами в рівнянні (4.100). В результаті отримаємо співвідношення . (4.101) Добувши квадратний корінь отримаємо . (4.102) При незалежності сили опору від переміщення рівняння (4.102) можна розглядати як нелінійне, причому коефіцієнт при похідній переміщення в лівій частині рівняння має розмірність часу і може розглядатися як стала часу гідравлічного мотора . (4.103) Знаки в правій частині рівняння (4.102) мають фізичний зміст, тому що трубопровідники, що з’єднують золотникову коробку і циліндр мотора, можуть конструктивно перехрещуватися, що приведе до зміни напрямку руху поршнів золотникової коробки. Так як і є приростами координат поршнів золотникової коробки і мотора, тоді рівняння (4.102) може розглядатися як рівняння динаміки мотора в абсолютних приростах. При певному розташуванні трубопровідників, яке визначає знак правої частини рівняння (4.102) та враховуючи позначення (4.103) рівняння динаміки може бути записане у вигляді . (4.104) Ввівши позначення відносних приростів запишемо рівняння (4.104) у відносних приростах . (4.105) Визначимо передатну функцію гідравлічного. Зображення за Лапласом рівняння (4.105) має вигляд , (4.106) Передатна функція згідно (4.106) буде . (4.107) Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту . (4.108) Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями . (4.86) Контрольні запитання. Чим керується швидкість обертання якоря моторів постійного струму? Які переваги мають мотори постійного струму перед моторами змінного струму? Запишіть рівняння електричного контуру мотору постійного струму з послідовним збудженням. Яким порядком рівнянь описується мотор постійного струму з незалежним збудженням? Чим керується швидкість обертання ротора асинхронного двофазного мотора? Запишіть передатну функцію за напругою керування асинхронного двофазного мотора. Яким порядком рівнянь описується гідравлічний мотор?