3. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ
3.1. Посудина постійного січення
при незалежності витрати рідини від її рівня
В посудину постійного січення безперервно поступає рідина з інтенсивністю (рис. 3.1). Будемо вважати що інтенсивність витрат залежить лише від продуктивності помпи і може вважатися незалежною величиною. Вхідними величинами будуть: – інтенсивність надходження рідини і – інтенсивність витрат. Вихідною або керованою величиною буде рівень рідини . Згідно закону збереження речовини зміну об’єму рідини в посудині можна записати у вигляді диференціального рівняння
. (3.1)
У свою чергу об’єм можна виразити через площу поперечного січення посудини і рівень рідини : . Тоді згідно рівняння (3.1), маємо
. (3.2)
Рівняння (3.2) пов’язує вихідну і вхідну величини об’єкту керування тому його називають повним рівнянням динаміки об’єкту керування.
Будемо вважати, що вхідні величини починають змінюватися з моменту , а при є постійними і дорівнюють таким початковим умовам , , при яких об’єкт керування знаходиться в стані рівноваги. Це в свою чергу означає, що рівень рідини при не змінюється і дорівнює величині . В цьому випадку стан рівноваги об’єкту керування, згідно виразу (3.2) описується рівнянням
. (3.3)
Оскільки площа поперечного перерізу посудини і вхідні величини , не залежать безпосередньо від рівня рідини , то рівняння стану об’єкту керування (3.2) лінійне і не вимагає додаткової лінеаризації. Виразимо вхідні і вихідну величини через величини змінних, що відповідають стану рівноваги та їх абсолютні прирости:
; ; . (3.4)
Тоді рівняння стану (3.2) з врахуванням співвідношень (3.4) набуде вигляду
, (3.5)
а з врахуванням (3.3), отримаємо
. (3.6)
Ми записали рівняння динаміки об’єкту в абсолютних приростах. Його можна подати і у відносних приростах, для цього введемо позначення відносних приростів змінних
; ; . (3.7)
Тоді рівняння стану (3.6) з врахуванням (3.7) набуде вигляду
, (3.8)
де згідно (3.3) . Величини – безрозмірні, а коефіцієнт при похідній має розмірність часу, тому його називають сталою часу і позначають через
. (3.9)
Враховуючи, що , тоді .
Для визначення передатної функції об’єкту керування запишемо зображення за Лапласом рівняння (3.9). Для цього зробимо заміну , тоді
. (3.10)
Передатна функція згідно (3.10) буде
. (3.11)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (3.12)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
. (3.13)
3.2. Посудина змінного січення
при незалежності витрати рідини від її рівня
Нехай посудина має форму конусу (див. рис. 3.2), тоді в цьому випадку радіус поверхні рідини можна виразити через рівень рідини та кут конусу посудини, а саме
, (3.14)
а об’єм рідини в посудині визначається за формулою
. (3.15)
Підставивши (3.15) в (3.1) отримаємо
. (3.16)
Рівняння (3.16) нелінійне, бо коефіцієнт біля похідної керованої величини залежить від миттєвого значення цієї величини. Рівняння стану рівноваги при ( ) тотожне рівнянню (3.3).
Виконати лінеаризацію рівняння (3.16) з допомогою ряду Тейлора неможливо, так як нелінійний член є коефіцієнтом при похідній керованої величини. Тому в околі значення рівня рідини коефіцієнт при похідній вважають величиною постійною, що суттєво звужує зону дії лінеаризованого рівняння
. (3.17)
Беручи до уваги вираз (3.14) для радіусу поверхні рідини, рівняння (3.17) можна записати у вигляді
. (3.18)
Враховуючи, що , тоді
, (3.19)
що тотожно рівнянню (3.2). Тому всі решта рівняння будуть збігатися з виразами (3.8), (3.9). Однак, отримані рівняння будуть наближено справедливими лише при малих відхиленнях біжучого значення рівня рідини від значення .
3.3. Посудина постійного січення
при залежності витрати рідини від її рівня
В даному випадку витрата рідини залежить від прохідного січення , яке змінюється за допомогою вентиля, що встановлений у вихідному трубопровіднику. При цьому інтенсивність витрат рідини залежить від керованого рівня рідини .
Згідно положень гідравліки
, (3.20)
де – вагова витрата (кГ/сек); – коефіцієнт в’язкості рідини; – прохідне січення (см2); – прискорення вільного падіння (м/сек2); – питома вага рідини (кГ/м3); – перепад тисків на гідравлічному опорі (кГ/см2).
Об’ємна витрата рідини визначається за формулою
. (3.21)
Тиск наближено дорівнює тиску на дно посудини
(3.22)
де , – рівень рідини, що вимірюється відповідно в см і м.
Виразивши інтенсивність витрат в см3/сек і вважаючи, що вихідний трубопровід працює на відкритий злив, тобто з рівнянь (3.21), (3.22) отримаємо вираз залежності витрати рідини від її рівня
. (3.23)
Виразивши прохідне січення вентиля в м2, тобто , згідно рівняння (3.23) отримаємо
. (3.24)
Позначивши , отримаємо
. (3.25)
З врахуванням (3.25) рівняння (3.2) набуде вигляду
. (3.26)
Вважаючи, що при , отримаємо рівняння рівноваги
. (3.27)
Як випливає з рівняння (3.25) витрата рідини є нелінійною функцією. Лінеаризуємо її шляхом розкладу в ряд Тейлора функції двох змінних
. (3.28)
Вважаючи, що при , запишемо вираз (3.26) з врахуванням лінеаризації (3.28)
(3.29)
З врахування (3.27), отримаємо
(3.30)
Рівняння (3.30) є рівнянням динаміки розглядуваного об’єкту в абсолютних приростах. Для запису його у відносних приростах введемо такі змінні
(3.31)
Підставляючи абсолютні прирости (3.31) в рівняння (3.30), отримаємо:
. (3.32)
Розділивши (3.32) на і враховуючи (3.27) отримаємо кінцевий вираз рівняння динаміки розглядуваного об’єкту керування у відносних приростах
, (3.33)
де – стала часу.
Визначимо передатну функцію об’єкту за вхідною дією . Зображення за Лапласом рівняння (3.33) має вигляд
, (3.34)
Передатна функція згідно (3.34) буде
. (3.35)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (3.36)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
, (3.37)
де .
3.4. Електричний нагрівний елемент
На рис. 3.4 зображена схема електричного нагрівного елементу з опором , що живиться напругою через резистор керування . Керованою величиною є температура пічки . В даній схемі керуючою величиною є опір , а збурюючими величинами є напруга мережі , температура оточуючого середовища та опір нагрівника .
Згідно закону збереження енергії
, (3.38)
де – підведена теплова енергія; – енергія, затрачувана на зміну теплового стану нагрівника; – енергія, що відводиться від об’єкту керування в оточуюче середовище. Вважаючи, що за безмежно малий інтервал часу напруга мережі , опори нагрівника та резистора керування залишаються незмінними, можна визначити підведену за цей час енергію

(3.39)
де – струм, що протікає по нагрівнику.
В свою чергу
(3.40)
де – питома теплоємність матеріалу об’єкту; – маса об’єкту; – зміна температури.
Енергія, що відводиться від об’єкту в оточуюче середовище, визначається витратами на теплопередачу, конвекційний відвід тепла і випромінювання
(3.41)
де – коефіцієнт тепловіддачі; – еквівалентна поверхня тепловіддачі; – коефіцієнт випромінювання; – еквівалентна поверхня випромінювання.
; , (3.42)
де – реальна поверхня об’єкту; – температура на поверхні об’єкту; – відповідно, коефіцієнти тепловіддачі і випромінювання поверхні пічки.
Підставивши (3.39), (3.40), (3.41) в (3.38) і поділивши результат на отримаємо рівняння динаміки електричного нагрівного елементу
. (3.43)
Стала часу дорівнює . Вважаючи, що при з виразу (3.43) отримаємо
. (3.44)
Виконаємо лінеаризацію нелінійних членів
(3.45)
(3.46)
Замінивши в лінійних членах (3.43) і підставивши (3.45), (3.46) в (3.43) з врахуванням рівняння стану рівноваги (3.44), отримаємо рівняння динаміки електричного нагрівного елементу в абсолютних приростах
, (3.47)
де
;
.
Поділивши (3.47) на отримаємо
, (3.48)
де .
Для запису рівняння динаміки у відносних приростах, введемо позначення відносних змінних
(3.49)
Підставивши (3.41) в (3.40) і поділивши отриманий результат на , отримаємо
, (3.50)
де .
Рівняння динаміки в загальному випадку складається за умови зміни всіх вхідних величин. Якщо деякі вхідні величини постійні, отримуємо частковий варіант рівняння динаміки з загального виразу шляхом прирівнювання відповідних приростів вхідних величин до нуля. Так, при постійності оточуючого середовища і опору нагрівника маємо тоді рівняння динаміки (3.50) набуде вигляду
. (3.51)
Визначимо передатну функцію об’єкту за керуючою величиною . Зображення за Лапласом рівняння (3.51) має вигляд
, (3.52)
Передатна функція згідно (3.52) буде
. (3.53)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (3.54)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
, (3.55)
де .
3.5. Генератор постійного струму, що працює в ненавантаженому режимі
В ненавантаженому режимі вихідною (керованою) величиною генератора є його електрорушійна сила , що залежить від швидкості обертання ротора , напруги живлення кола збудження і керуючого опору кола збудження. Причому, струм збудження , який залежить від двох останніх вхідних величин, нелінійно перетворюється в потік збудження . Останній безпосередньо впливає на е.р.с. генератора (рис. 3.5). В генераторі відбувається ряд перетворень одних вхідних величин в проміжні, далі сумісно з іншими вхідними величинами – в вихідну. Тому доцільно розбити об’єкт керування на ланки і розглядати їх рівняння динаміки. Можна виділити наступні їх перетворення:
ланка перетворення і в струмі ;
ланка нелінійного безінерційного перетворення в потік ;
ланка перетворення потоку і швидкості обертання ротора в е.р.с. .
Перше перетворення за наявності в контурі збудження індуктивності описується рівнянням
. (3.56)
Перетворення струму в потік описується рівнянням
, (3.57)
де – число витків обмотки збудження; – магнетний опір магнетопровідника потоку збудження; – довжина магнетних силових ліній в магнетопровіднику і повітряному проміжку відповідно; – січення магнетопровідника і повітряного проміжку відповідно; – магнетна проникненість повітря; – відносна магнетна проникненість матеріалу магнетопровідника, що залежить від струму збудження , причому .
Перетворення і в е.р.с. визначається співвідношенням
, (3.58)
де – постійний конструктивний коефіцієнт.
Вважаючи, що в початковому стані рівноваги, тобто при t<0, значення змінних були рівними , отримаємо при підстановці цих значень в повну систему рівнянь (3.56), (3.57), (3.58) рівняння стану рівноваги
, (3.59)

, (3.60)

. (3.61)
Виконаємо лінеаризацію нелінійних членів повної системи рівннянь. В рівнянні (3.56) нелінійними є обидва члени, так як , а змінними одночасно є і .
Лінеаризацію члена виконуємо шляхом заморожування значення індуктивності , що відповідає струму збудження . При цьому
.
Умова постійності еквівалентна умови постійності значення відносної магнетної проникності . Якщо нелінійна залежність (рис. 3.6) задана графічно, тоді значення можна знайти при відомому числі витків обмотки збудження з виразу:
, (3.62)
де – кут нахилу дотичної до кривої в точці , так як при графічній лінеаризації залежність рівняння (3.57) в абсолютних приростах можна записати у вигляді:
. (3.63)
Нелінійний добуток двох змінних лінеаризується за допомогою ряду Тейлора
. (3.64)
Лінеаризація рівняння (3.57) обумовлена умовою постійності , тобто постійності . Вона виконується графічним шляхом на основі зміни кривої в точці . При цьому згідно ряду Тейлора
, (3.65)
причому .
Лінеаризація рівняння (3.58) виконується шляхом розкладу виразу е.р.с. в ряд Тейлора двох змінних
. (3.66)
Вважаючи, що всі змінні з моменту мають прирости, тобто при
(3.67)
Можемо записати лінеаризовану систему об’єкту з врахуванням абсолютних приростів
(3.68)
Виключивши змінні , отримаємо рівняння динаміки об’єкту керування в абсолютних приростах
, (3.69)
де – стала часу кола збудження;
.
Введемо відносні прирости
; ; ; .
Запишемо рівняння динаміки (3.57) у відносних приростах
, (3.70)
де ; ;
Зображення за Лапласом рівняння (3.70) має вигляд
, (3.72)
Даний об’єкт має дві керуючі величини опір кола збудження і швидкість обертання ротора . Передатна функція за вхідною дією згідно (3.72) буде
. (3.73)
Натомість передатна функція за вхідною дією є постійною величиною
. (3.74)
Це означає, що швидкість обертання ротора генератора безінерційно перетворюється у вихідну е.р.с.
Підставивши в (3.73) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (3.75)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
, (3.76)
де .
3.6. Генератор постійного струму, що працює на активне навантаження
На рис. 3.7 зображена еквівалентна схема контуру навантаження генератора, де – напруга на навантажені зі змінним опором ; – вихідні опір і індуктивність генератора. Керованою величиною є напруга , основним збурюючим фактором є опір . Вважаємо, що – є величинами постійними. Структурну схему можна зобразити сполученням двох узагальнених ланок: перша перетворює в е.р.с. , а друга – і в напругу (рис. 3.8).
Рівняння контуру навантаження генератора, буде
, . (3.77)
Рівняння стану рівноваги контуру навантаження при , буде
. (3.78)
В рівнянні (3.77) нелінійними є члени, що залежать від струму , який в свою чергу є функцією двох змінних. Виконаємо лінеаризацію виразу (3.77) для струму :
. (3.79)
Запишемо лінеаризоване рівняння (3.77) з урахуванням абсолютних приростів
(3.80)
Виключивши з лінеаризованого рівняння (3.80) рівняння стану рівноваги (3.78), отримаємо рівняння динаміки контуру навантаження записаного в абсолютних приростах
(3.81)
Визначимо з (3.81) і підставимо отриманий результат в рівняння (3.69), отримаємо
(3.82)
де – стала часу контуру навантаження генератора;
; ; .
Рівняння (3.82) є рівнянням динаміки генератора постійного струму в абсолютних приростах навантаженого на активний опір. Ввівши позначення відносних змінних , і враховуючи раніше введені позначення інших відносних змінних в (3.70), запишемо рівняння (3.82) у відносних приростах
(3.83)
де ; ; ; .
Рівняння (3.70) є частковим випадком рівняння (3.83). Так, при стала часу і коефіцієнт стають рівними нулю.
Знайдемо зображення за Лапласом рівняння (3.83)
(3.84)
З рівняння (3.84) можна знайти передатні функції за усіма вхідними діями. Зокрема, передатна функція за швидкістю обертання ротора генератора буде мати вигляд
(3.85)
Підставивши в (3.85) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (3.86)
Цей запис є тотожним виразу (2.71), де
(3.87)
Тоді частотні характеристики об’єкту за вхідною дією будуть визначатися виразами (2.74) – (2.77) з урахуванням позначень (3.87).
Визначимо передатну функцію за опором навантаження генератора
. (3.87)
Підставивши в (3.87) отримаємо вираз для АФХ об’єкту за вхідною дією
. (3.88)
Тоді позначення виразу (2.71) будуть мати вигляд
(3.89)
3.7. Рівняння динаміки гідротурбіни
У багатьох випадках для об’єкту регулювання неможливо скористатися експериментальними характеристиками для рушійного моменту двигуна та моменту опору . Тоді можна отримати лінійні диференціальні рівняння об’єкту регулювання користуючись аналітичними виразами. Покажемо це на прикладі гідравлічної турбіни, схема якої зображена на рис. 3.9.
Вода з водоймища 1 через канал 2 поступає до колеса гідротурбіни 4. Кількість води регулюється направляючим апаратом 3. На валу гідротурбіни розміщений турбогенератор 5. Витік води відбувається через канал 6.
Згідно рівняння Даламбера опишемо рух ротора гідротурбіни
. (3.90)
Рушійний момент двигуна залежить від швидкості течії води у каналі, величини отвору направляючого апарату 3 і кутової швидкості обертання колеса гідротурбіни, а саме
, (3.91)
де – коефіцієнт, що залежить від конструкції гідротурбіни.
Рівняння (3.91) є нелінійним. Лінеаризацію його з допомогою розкладу в ряд Тейлора за змінними . При цьому будемо вважати, що швидкість течії води в каналі постійна, тоді
, (3.92)
де . Рівняння (3.92) запишемо у вигляді
. (3.93)
Момент опору запишемо у вигляді
, (3.94)
де – усталений момент опору на валу гідротурбіни; – момент від зміни навантаження на гідротурбіні за рахунок миттєвого підключення або відключення споживачів електроенергії. Для впевненості будемо вважати, що частина навантаження відключилася, тоді в рівняння (3.90) можна підставити залежності (3.93), (3.94)
. (3.95)
В усталеному режимі , тоді рівняння турбіни в абсолютних приростах буде
. (3.96)
Номінальними значеннями для турбіни будемо вважати наступні , і . Тоді рівняння (3.96) розділимо на і запишемо у вигляді
. (3.97)
Введемо позначення відносних приростів змінних
; ; ;
Тоді рівняння (3.97) можна записати у вигляді
, (3.98)
де – стала часу гідротурбіни.
Передатні функції за обома вхідними діями будуть рівними між собою. Зображення за Лапласом рівняння (3.98) має вигляд
, (3.99)
Передатна функція згідно (3.99) буде
. (3.100)
Підставивши отримаємо вираз для АФХ об’єкту
. (3.101)
Це означає, що ДЧХ, УЧХ, АЧХ та ФЧХ будуть визначатися співвідношеннями
, (3.102)
де .
3.8. Рівняння динаміки руху літака
Рух літака у вертикальній площині описується двома рівняннями сил та одним рівнянням моментів. Всі сили, що діють на літак, зведемо до центру мас (точка О, рис. 3.10), а моменти – до моментів відносно поперечної осі літака, що проходить через точку О. При складанні рівнянь будемо користуватися наступними допущеннями:
вплив дії потоку від крила на закрилки літака незначний і ним можна знехтувати;
коливання кутової швидкості поперечної осі на величину аеродинамічної не впливають;
впливом похибок стабілізації по крену можна знехтувати;
моменти, що створюються силою тяги двигуна, можна не враховувати.
Тоді рівняння проекції сил на дотичну до траєкторії руху літака (вісь OV) буде мати вигляд
, (3.103)
де – маса літака; – сила тяги двигуна, напрямлена по вісі Ох; – площа крилів літака; – відповідно кути вектору швидкості і руху; – щільність повітря; – прискорення вільного падіння.
Складемо рівняння сил, що діють на літак по нормалі до траєкторії його руху:
, (3.104)
де – коефіцієнт підіймальної сили.
Рівняння моментів відносно поперечної вісі Oz запишемо у вигляді
, (3.105)
де – момент інерції літака відносно вісі z; – середня аеродинамічна хорда крила; – кут тангажу; – коефіцієнт моменту всіх сил, що діють на літак; – кут відхилення керма висоти.
До рівнянь аеродинаміки добавимо залежність, що пов’язує кутові параметри літака
. (3.106)
Параметри залежать від швидкості руху літака.
Типові графіки залежностей від числа показані на рис. 3.11. Число – це відношення швидкості руху до швидкості звуку. В залежності від умов руху (числа і висоти руху ) змінюються тягові характеристики турбореактивного двигуна. На рис. 3.12 показані криві зміни тяги турбореактивного двигуна від і . Залежності (3.103) – (3.105) при врахуванні графіків, наведених на рис. 3.11, 3.12, є нелінійними рівняннями зі змінними коефіцієнтами. Безпосереднє їх використання для аналізу систем керування літаком викликає значні складності. Для їх усунення застосовують метод лінеаризації, при якому рівняння динаміки руху літака розглядають в абсолютних приростах.
Опорну траєкторію можна визначити методом чисельного інтегрування наступної системи рівнянь
. (3.107)
Розв’язуючи цю систему рівнянь, отримуємо опорні параметри руху літака при і . Останнє співвідношення справедливе лише на певній ділянці руху (рис. 3.12). Опорні параметри траєкторії будуть і . Тоді рівняння динаміки руху літака (3.103) – (3.105) можна записати в абсолютних приростах, а саме
(3.108)
Підставивши співвідношення (3.108) в рівняння (3.103) – (3.105). Тоді, нехтуючи величинами другого та вищого порядку малості, отримаємо наступні рівняння в абсолютних приростах зі змінними коефіцієнтами, тобто
(3.109)
де













Контрольні запитання.
Яким порядком рівнянь описується посудина постійного січення?
Які складові має енергія, що відводиться від електричного нагрівного елементу?
Чим визначається стала часу електричного нагрівного елементу?
Які основні перетворення фізичних величин відбуваються в генераторі постійного струму?
Яким порядком рівнянь описується ненавантажений генератор постійного струму?
Яким порядком рівнянь описується генератор постійного струму навантажений активним опором?
Від чого залежить рушійний момент гідротурбіни?
Яким порядком рівнянь описується гідротурбіна?
Які допущення приймаються при складанні рівнянь динаміки літака?