З М І С Т
ПЕРЕДМОВА.............................................................................................................4
1. ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ........5
2. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗА ЛАПЛАСОМ. ПЕРЕДАТНІ ФУНКЦІЇ.......................................................................................8
2.1. Визначення перетворення за Лапласом.........................................................8
2.2. Властивості прямого перетворення за Лапласом.........................................9
2.3. Властивості зворотнього перетворення за Лапласом................................10
2.4. Застосування перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь………………………………………………….12
2.5. Передатні функції…………………………………………………………..13
2.6. Частотні характеристики…………………………………………………..20
3. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ОБ’ЄКТІВ КЕРУВАННЯ...................................25
3.1. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині постійного січення при незалежності витрати рідини від її рівня....................................................25
3.2. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині змінного січення при незалежності витрати рідини від її рівня....................................................27
3.3. Рівняння динаміки рівня рідини в посудині постійного січення при залежності витрати рідини від її рівня.......................................................28
3.4. Електричний нагрівний елемент…………………………………………..30
3.5. Генератор постійного струму, що працює в режимі неробочого ходу…33
3.6. Генератор постійного струму, що працює на активне навантаження…..36
3.7. Рівняння динаміки гідротурбіни…………………………………………..39
3.8. Рівняння динаміки руху літака…………………………………………….41
4. РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ

П Е Р Е Д М О В А
Розвиток сучасних систем автоматичного керування (САК) вимагає розв’язування ряду важливих задач. Умовно їх можна розділити на дві групи: проектування систем та їх експлуатація. Розроблення конструкції САК передбачає ряд проміжних етапів. Перший зводиться до вибору структурної схеми системи в залежності від поставленої задачі. Другий передбачає вибір елементної бази та конструктивних параметрів елементів системи. Далі необхідно створити фізичний макет системи і перевірити правильність інженерних розрахунків шляхом фізичного моделювання. Проте, математичне моделювання є менш затратним, тому саме йому слід надавати перевагу при проектуванні САК. Безумовно, щоб скористатись методами математичного моделювання, необхідно спочатку розробити саму математичну модель пристрою, тобто записати його рівняння динаміки. Саме висвітленню цього питання і присвячений даний посібник.
Аналітичні методи дослідження САК є дуже обмеженими навіть стосовно лінійних систем. Тому широкого розповсюдження набули числові алгоритми, які з розвитком обчислювальної техніки зайняли ведучі позиції. На їх основі створюються програмні продукти аналізу САК, які дають можливість розраховувати перехідні процеси, визначати якість регулювання системи, досліджувати вплив зміни параметрів на динаміку роботи системи.
Даний посібник складається з п’яти розділів. У першому розділі розглядаються загальні теоретичні питання лінеаризації нелінійних диференціальних рівнянь з використанням ряду Тейлора. Другий розділ присвячений питанню визначення передатних функцій та частотних характеристик САК. Усі подальші розділи розглядають виведення та лінеаризацію диференціальних рівнянь динамічних елементів систем. Зокрема, об’єктів керування (третій розділ), електричних та гідравлічних моторів (четвертий розділ), підсилювачів, RLC-фільтрів та однофазних трансформаторів (п’ятий розділ).

1. ЛІНЕАРИЗАЦІЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Першим кроком в складанні рівнянь динаміки елементів САК є вияв фізичного закону, що визначає його поведінку. Другим кроком є визначення факторів від яких залежать змінні стану, що входять у вихідне рівняння динаміки. Третім кроком є встановлення аналітичних виразів, що описують цю залежність. Як правило ці вирази є нелінійними, тому вихідні рівняння динаміки також будуть нелінійними.
З метою спрощення аналізу процесу керування отримане диференціальне рівняння лінеаризується, при умові якщо для даного рівняння лінеаризація є допустимою.
Означення. Якщо в диференціальному рівнянні коефіцієнти при похідних є константами і воно не містить нелінійних алгебричних функцій, то таке рівняння є лінійним.
Нехай коефіцієнти при похідних є константами, але в диференціальному рівняння присутня певна нелінійна функція , де – змінні стану системи. Для лінеаризації такого рівняння аналітичному функцію необхідно записати в лінійному наближенні. Таку процедуру можна виконати з допомогою ряду Тейлора, який для функції трьох змінних має вигляд
(1.1)
де – фіксовані значення змінних стану, які як правило відповідають усталеному режиму; – залишковий член ряду. Показники степенів вказують на необхідність обчислення похідних вищих порядків, наприклад
(1.2)
При лінеаризації необхідно обмежитись похідними першого порядку ряду Тейлора. Отже, відкинувши у формулі (1.1) похідні вищих порядків, отримаємо
(1.3)
причому значення похідних беруться в точці .
Згідно формули (1.3) можна визначити приріст функції
(1.4)
Розглянемо другий випадок, коли коефіцієнт при похідній є нелінійною функцією. Якщо цей коефіцєнт розкласти в ряд Тейлора, то згідно (1.3) ми отримаємо лінійну функцію. Але за означенням, для того щоб диференціальне рівняння було лінійним коефіцієнти при похідних повинні бути константами. Тому в даному випадку розклад в ряд Тейлора не вирішує проблеми. Для лінеаризації таких рівнянь коефіцієнти при похідних заморожують в точці .
Лінеаризоване диференціальне рівняння можна записати у відносних приростах. Для цього необхідно ввести позначення відносних приростів і підставити отримані вирази в лінеаризоване рівняння.
Приклад. Нехай САК описується нелінійним диференціальним рівнянням
, (1.5)
де коефіцієнти є постійними.
Один з коефіцієнтів при похідній є нелінійною функцією відносно змінної стану , тому його необхідно заморозити. В правій частині рівняння (1.5) присутня нелінійна алгебрична функція. Для лінеаризації, її необхідно розкласти в ряд Тейлора за формулою (1.3)
(1.6)
Підставимо (1.6) в (1.5), а коефіцієнт заморозимо
(1.7)
Виразимо змінні стану через їх абсолютні прирости
(1.8)
Підставивши (1.8) в (1.7) отримаємо
(1.9)
З останнього рівняння можна виключити рівняння стану рівноваги (або як його ще називають рівняння статики). Нехай в стані рівноваги змінні стану набувають значень . Підставивши їх в рівняння (1.5) отримаємо
(1.10)
Підставимо (1.10) в (1.9) і введемо позначення коефіцієнтів
, (1.11)
де
Рівняння (1.11) є лінеаризованим рівнянням динаміки записаним в абсолютних приростах. Його можна записати у відносних приростах. Введемо позначення відносних приростів
(1.12)
Запишемо рівняння (1.11) у відносних приростах
. (1.13)
Контрольні запитання.
1. Яке диференціальне рівняння вважається лінійним?
2. Яким чином виконується лінеаризація нелінійного диференціального рівняння?
3. Як лінеаризувати диференціальне рівняння в якого коефіцієнти біля похідних є змінними величинами?
4. Яка мета лінеаризації диференціальних рівнянь?
5. Коли лінеаризація диференціальних рівнянь є недопустимою?

2. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗА ЛАПЛАСОМ. ПЕРЕДАТНІ ФУНКЦІЇ
2.1. Визначення перетворення за Лапласом
Алгоритм прямого перетворення за Лапласом полягає в множенні оригіналу функції на функцію
()
та інтегруванні отриманого добутку за часом
(2.1)
де називають зображенням функції за Лапласом. Зображення існує, тобто інтеграл Лапласа є збіжним, якщо часова функція задовольняє умовам:
1) функція має обмежений порядок зростання, що забезпечує співвідношення
(2.2)
тобто, для будь-якого значення можна підібрати такі додатні числа і , для яких виконається нерівність ;
2) функція неперервна для всіх значень , за виключенням допустимого обмеженого числа значень , де має розриви неперервності першого роду, тобто часова функція не може стати безмежною при .
Зображення деяких часто вживаних функцій часу
Таблиця 2.1
Часова функція (оригінал)
Зображення за Лапласом
















В загальному випадку зображення за Лапласом часової функції може бути записане у вигляді раціонального дробу, чисельник і знаменник якого є поліномами аргументу
(2.3)
2.2. Властивості прямого перетворення за Лапласом
1. Властивість лінійності. Якщо , тоді
(2.4)
тобто, зображення суми оригіналів дорівнює сумі їх зображень, множення оригіналу на постійний множник відповідає множенню зображення на цей множник.
2. Зображення похідних. Введемо позначення за Лапласом часової функції £. Тоді
. (2.5)
Якщо вважати , а , та інтегруючи інтеграл Лапласа за частинами отримаємо
(2.6)
тобто
£ (2.7)
Вважаючи що у відповідності з рівнянням (2.7) отримаємо вираз
££ (2.8)
тобто
£ (2.9)
Аналогічно для похідної -го порядку отримаємо
£ (2.10)
При нульових початкових умовах маємо
£ (2.11)
3. Зображення інтегралів. Нехай зображення за Лапласом £. Якщо вважати , а , та інтегруючи інтеграл (2.5) за частинами отримаємо
£ (2.12)
тобто
£ (2.13)
Аналогічно, позначивши
(2.14)
отримаємо
£ (2.15)
при нульових початкових умовах маємо
£ (2.16)
2.3. Властивості зворотного перетворення за Лапласом
Основний алгоритм переходу від зображень до оригіналу, що приводить до застосування теорії різниць, має вигляд
£-1 (2.17)
Відносна складність застосування формули зворотного перетворення за Лапласом робить доцільним метод розкладу зображення часової функції на більш прості складові, для яких наперед відомі оригінали. Цей метод в літературі відомий як теорема розкладу. Розглянемо можливості використання цієї теореми для переходу від зображення до оригіналу . Згідно (2.3) зображення записується у вигляді раціонального дробу
, (2.18)
де – дійсні, постійні величини; – прості числа. Будемо вважати, що дріб (2.18) є правильним, тобто . В цьому випадку всі полюси зображення є простими, тобто відсутні кратні полюси , зображення може бути записане у формі
(2.19)
де – корені поліному , тобто полюси . Так як порядок поліному є нижчим порядку поліному , то можна записати у формі
(2.20)
де – постійні дійсні числа.
У відповідності до таблиці 2.1 і властивістю лінійності маємо
£-1 (2.21)
тобто
£-1 (2.22)
Згідно (2.22) можна зробити висновок, що оригінал визначається коренями рівняння та коефіцієнтами . Для визначення домножимо (2.20) на , тоді
, (2.23)
звідки
. (2.24)
Підставивши отримане значення в (2.22), отримаємо
. (2.25)
Інколи для зручності поліном записують так, щоб =1, тоді
. (2.26)
2.4. Застосування перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь
Для переходу від диференціальної форми рівняння до його зображення за Лапласом диференціальне рівняння домножується на і інтегрується за часом в межах від 0 до . В результаті цієї операції зберігаються незмінними всі постійні коефіцієнти рівняння, а дійсні функції часу входять у відповідні інтеграли Лапласа. При цьому рівняння стає алгебричним відносно зображень вхідних і вихідної величин. Це дає можливість визначити зображення вихідної величини безпосередньо за формою рівняння зображень як функцію зображень вхідних величин, параметрів системи і початкових умов. Для визначення оригіналу вихідної величини, тобто для отримання розв’язку диференціального рівняння, від отриманого зображення вихідної величини береться зворотне перетворення за Лапласом з допомогою теореми розкладу або теорії різниць. Наприклад, якщо диференціальне рівняння має вигляд
(2.27)
тоді після вказаних операцій множення отримаємо
(2.28)
де
(2.29)
Підставивши ці вирази в інтегральне рівняння (2.28) отримаємо
(2.30)
звідки
(2.31)
де – поліном початкових умов. Для визначення використовується перетворення £-1.
2.5. Передатні функції
Якщо САК має дві вхідні дії, то в загальному випадку вона може бути описана деяким лінеаризованим диференціальним рівнянням
(2.32)
де – приріст вихідної величини; – прирости вхідних величин. Використовуючи перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь отримаємо рівняння аналогічне (2.30)
(2.33)
звідки можна визначити зображення вихідної величини
(2.34)
де – поліном початкових умов вхідних і вихідної величин та їх похідних;
(2.35)
З (2.34) слідує, що при існує однозначна залежність зображення вихідної величини системи від зображень вхідних величин, яка записується через поліноми Коефіцієнти цих поліномів збігаються з відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння (2.32), що визначаються параметрами системи.
Означення. Передатною функцією називається відношення зображення за Лапласом вихідної величини до зображення за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах.
За наявності декількох вхідних величин передатна функція визначається окремо для кожної з вхідних величин при умові що інші вхідні величини рівні нулю.
У нашому випадку при , отримуємо можливість виразити зображення вихідної величини через передатні функції системи і зображення вхідних величин
, (2.36)
де
(2.37)
тобто
(2.38)
Розглянемо визначення передатних функцій для основних сполучень ланок. Якщо система складається з одного елементу тоді вираз (2.36) набуде вигляду
. (2.39)
В структурному вигляді це можна зобразити як певний елемент (рис. 2.1). Отже, згідно (2.39) зображення за Лапласом вихідної величини елементу САК дорівнює добутку її передатної функції на зображення за Лапласом вхідної величини.
Для послідовного сполучення ланок (рис. 2.2) згідно (2.39) маємо

Виключивши змінну отримаємо
(2.40)
Порівнюючи вирази (2.39), (2.40) можна зробити висновок, що передатна функція послідовного сполучення ланок дорівнює добутку передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення
. (2.41)
Для паралельного сполучення ланок (рис. 2.3), справедливими будуть наступні рівняння

Виключивши змінні , отримаємо
(2.42)
Порівнюючи вирази (2.39), (2.42) можна зробити висновок, що передатна функція паралельного сполучення ланок дорівнює сумі передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення
(2.43)
В загальному випадку для n-ланок вирази (2.41) і (2.43) відповідно будуть
(2.44)
Для зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним зв’язком (рис.2.4), маємо
. (2.45)
Виключивши проміжні змінні, отримаємо
, (2.46)
звідки
. (2.47)
Порівнюючи рівняння (2.39), (2.47) отримаємо вираз для обчислення передатної функції зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним зв’язком
. (2.48)
тут – передатна функція основної ланки; – передатна функція ланки зворотного зв’язку. У випадку додатного зворотного зв’язку (рис. 2.5), вираз (2.48) набуде вигляду
. (2.49)
Зворотний зв’язок може бути одиничним, тобто, коли вихідний сигнал безпосередньо без проміжних перетворень подається на елемент порівняння (рис. 2.6, 2.7), тоді у виразах (2.48), (2.49) відповідно, слід прийняти
. (2.50)
Розглянемо приклад визначення передатної функції системи при заданій структурі і передатних функціях її елементів (рис. 2.8).
Спочатку необхідно позначити всі вхідні і вихідні сигнали кожного елементу досліджуваної системи. Далі необхідно скласти систему рівнянь, що описує дану структуру і виключити з неї всі проміжні сигнали крім вихідної () і вхідних () дій. Очевидно, що кількість рівнянь такої системи буде визначатися кількістю елементів досліджуваної структури. Для простоти запису аргумент будемо опускати. Згідно структури рис. 2.8 маємо
(2.51)
Виключимо з цієї системи рівнянь змінні
(2.52)
З системи (2.52) виключимо
(2.53)
Для цього, щоб визначити передатну функцію системи за вхідною дією необхідно прийняти в рівнянні (2.53) другу вхідну дію , тоді з отриманої рівності маємо
. (2.54)
Аналогічно прийнявши знайдемо передатну функцію за вхідною дією
. (2.55)
Таким чином рівняння (2.53) можна записати у формі, аналогічній рівнянню (2.39)
. (2.56)
Передатні функції систем можна визначати і по-іншому. Зокрема, якщо виділити в системі локальні сполучення елементів передатні функції яких наперед відомі, то структуру системи можна суттєво спростити. Розглянемо спрощення структурної схеми системи для визначення її передатної функції. Нехай задана структура системи (рис. 2.9).
Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією . Елементи , і , сполучені зустрічно-паралельно з додатним та від’ємним зворотними зв’язками. Позначимо ці сполучення , (рис. 2.10), тоді згідно (2.48) і (2.49), маємо
, (2.57)
, (2.58)
Послідовне сполучення елементів з передатними функціями , , позначимо як (рис. 2.11), тоді
. (2.59)
Зустрічно-паралельне сполучення (рис. 2.11) дає нам вираз для передатної функції за вхідною дією

. (2.60)
Підставивши (2.57), (2.58), (2.59) в (2.60) отримаємо кінцевий результат
(2.61)
Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією (рис. 2.12). На схемі рис. 2.13 функції , визначаються згідно (2.57), (2.58). Послідовне сполучення , , позначимо , (рис. 2.14), тоді
. (2.62)
Зустрічно-паралельне сполучення , (рис. 2.14) позначимо (рис. 2.15), тоді згідно (2.48), маємо
. (2.63)
Елементи , сполучені послідовно, тому
. (2.64)
Підставимо (2.63) в (2.64), тоді
. (2.65)
Підставивши (2.57), (2.58) в (2.62), а отриманий результат в (2.65), маємо остаточний результат
. (2.66)
Порівнюючи вирази (2.54), (2.55) та (2.61), (2.66) приходимо до висновку, що якою б не була структура САК і скільки б не мала вона вхідних дій, передатні функції по всіх вхідних діях завжди мають однаковий знаменник.
2.6. Частотні характеристики
Нехай передатна функція системи по одній з вхідних дій записана у вигляді відношення двох поліномів (див. (2.38))
. (2.67)
Для визначення частотних характеристик САК у виразі для передатної функції необхідно зробити заміну змінної , де . Зауважимо, що
(2.68)
З урахуванням прийнятих позначень формула (2.67) набуде вигляду
. (2.69)
Як бачимо, складові з непарними степенями містять уявну одиницю , а в парних степенях вона відсутня. Виділимо в чисельнику і знаменнику дійсну і уявну частини та введемо їх позначення
(2.70)
Тоді вираз (2.69) з урахуванням позначень (2.70), можна записати у вигляді відношення двох комплексних величин, а саме
(2.71)
Щоб позбутися комплексності знаменника в (2.71) помножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжену величину по відношенню до знаменника, тобто на
(2.72)
або
. (2.73)
Виділимо в (2.73) дійсну і уявну частини та введемо їх позначення
(2.74)
тоді вираз (2.73) можна записати у вигляді
. (2.75)
Вираз (2.75) називають амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ) системи. Її складові називають, відповідно, дійсною та уявною частотними характеристиками (ДЧХ, УЧХ). Кожне комплексне число, зокрема і АФХ, можна подати у показниковій формі, а саме
, (2.76)
де
, . (2.77)
Тут називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) системи, а – фазо-частотною характеристикою системи
Алгоритм побудови частотних характеристик САК.
1. Задаємо початкове і кінцеве значення частоти, а також крок її зміни . Одним з критеріїв вибори кроку може бути зміна значень , яка не повинна перевищувати одного відсотка. Математично це можна записати у вигляді нерівності
, (2.78)
де Це означає, що крок може змінюватися в залежності від виконання умов (2.78).
2. Маючи біжуче значення частоти згідно (2.70) обчислюємо .
3. Згідно (2.74) обчислюємо .
4. Згідно (2.77) обчислюємо АЧХ і ФЧХ системи – .
5. Результати обчислень записуємо у текстовий файл в такій послідовності , , .
6. Згідно умов (2.78) визначаємо нове значення кроку . Якщо ці умови не виконуються ділимо крок на два аж до їх виконання.
7. Змінюємо частоту .
8. Перевіряємо умову . Якщо ця умова виконується, тоді процес повторюємо починаючи з п. 2 даного алгоритму, в іншому випадку завершуємо обчислення.
9. Маючи таблицю значень , , у вигляді текстового файлу, будуємо частотні характеристики АФХ, АЧХ, ФЧХ.
Приклад. Нехай задано RC-фільтр (рис. 2.16), який описується диференціальним рівнянням першого порядку
. (2.79)
Зображення за Лапласом рівняння (2.79) має вигляд
. (2.80)
Згідно означення та виразу (2.80) передатна функція RC-фільтру буде мати вигляд
. (2.81)
Для запису частотних характеристик підставимо в (2.81)
. (2.82)
Ми отримали частковий випадок виразу (2.71), де
. (2.83)
Підставимо (2.83) в (2.74) і отримаємо вирази для ДЧХ та УЧХ
. (2.84)
Решта частотних характеристик, а саме АФХ, АЧХ та ФЧХ визначаються відповідно формулами (2.75), (2.77). Якщо проаналізувати залежності (2.84), то приходимо до висновку, що при довільних значеннях частоти справедливі нерівності
. (2.85)
Справедливими будуть також умови
, (2.86)
Частотні характеристики можна будувати використовуючи власну частоту RC-ланки , тоді зміну частоти можна визначати за формулою
, (2.87)
де – дійсне додатне число. Якщо прийняти власну частоту рівну одиниці, тоді частотні характеристики можна будувати в базисі , що робить їх універсальними і не прив’язаними до числових значень параметрів ланки та . Зауважимо, що при між параметрами ланки існує обернено пропорційна залежність =1/.
Не важко помітити, що АФХ (рис. 2.17) має форму півкола яке лежить в четвертому квадранті комплексної площини. Центр цього кола знаходиться на дійсні вісі в точці 0.5, а його радіус рівний також 0.5. На рис. 2.17 позначені кілька характерних точок для різних значень . Так, точка А відповідає значенню =0, точка В – =1/3, точка С – =1/2, точка D – =1, точка E – =2, точка F – =3, точка O – >?. На рис. 2.18 наведена АЧХ системи, яка починається з одиниці і з ростом частоти асимптотично наближається до нуля. Так, при , що в 20 разів менше максимального значення, тобто одиниці. ФЧХ зображена на рис. 2.19. Вона на відміну від АЧХ починається з початку координат і асимптотично прямує до –?/2.
На рис. 2.17 позначений вектор ОС. Його початок знаходиться в початку координат (точка О), а кінець зі зміною частоти від 0 до ? ковзає по лінії АФХ від точки А до точки О. Довжина цього вектора є не що інше як АЧХ (), а кут утворений між вектором ОС та віссю є ФЧХ ().
Контрольні запитання.
1. Запишіть інтеграл Лапласа.
2. Коли інтеграл Лапласа є збіжним?
3. Як визначається зображення за Лапласом часової похідної?
4. Що таке зворотне перетворення за Лапласом?
5. Дайте означення передатної функції системи.
6. Як визначити передатну функцію послідовного сполучення ланок?
7. Як визначити передатну функцію паралельного сполучення ланок?
8. Як визначити передатну функцію зустрічно-паралельного сполучення ланок?
9. Запишіть перехід від передатної функції до АФХ системи.
10. Як позбутися комплексності знаменника у виразі для АФХ системи?
11. За якою формулою визначається АЧХ системи?
12. За якою формулою визначається ФЧХ системи?