Тема 5: “Частотне представлення детермінованих періодичних сигналів”
У частотному вигляді можуть представлятися як періодичні, так і неперіодичні детерміновані сигнали.
Необхідно зазначити, що в реальних умовах сигнали не існують, тому що ідеальний періодичний сигнал нескінченний у часі, в той час як всякий реальний сигнал має початок і кінець. Проте в багатьох випадках скінченністю часу дії сигналу можна знехтувати і для аналізу допустимо використовувати апарат, придатний для ідеальних періодичних сигналів.
Періодичні сигнали
Розглянемо сигнал, що виражається довільною періодичною функцією часу x(t) .
Відомо, що всяка періодична функція, що задовольняє умовам Дрихле(Умова Дрихле полягає в такому: функція x(t) повинна бути обмеженою, кусково – неперервною і мати протягом періоду скінченне число екстремальних значень), може бути подана у вигляді нескінченної, в загальному випадку, суми гармонійних складових – рядом Фур`є.
Відомі дві форми розкладу в ряд Фур`є: тригонометрична і комплексна.
Тригонометрична форма розкладу виражається і виді
??
??
=
1
2
???
0
+
??=1
?
A
k
cos
k
?
0
t?
?
k
Де
1
2
??? - постійна складової функції.
??
??
=
2
??
?
??
2
??
1
??
??
?
??
?????
??
0
??
????
A
k
cos
k
?
0
t?
?
k
- k – а гармоніка складової.
A
k
,k
?
0
,
?
k
- амплітуда, частота і початкова фаза k – ї гармонічної складової ?=2*?/T – частота основної гармоніки; T – період зміни функції x(t).
У математичному відношенні зручніше оперувати комплексною формою ряду Фур`є, що подається у вигляді:
??
??
=
1
2
?
??=??
?
??
??
?
?
??
?????
??
0
??
Де
??
??
?
=
??
??
?
??
?????
??
0
??
- комплексна амплітуда гармонійної складової частоти ?k=k*?0.
При цьому модуль комплексної амплітуди буде дорівнювати амплітуді відповідної гармонійної складової, а аргумент дорівнює початковій фазі складової.
Комплексна амплітуда визначається через часову функція x(t) за допомогою формули:
??
??
?
=
2
??
?
??
1
??
1
+??
??
??
?
??
?????
??
0
??
????
Сукупність амплітуді відповідних частот гармонік прийнято називати спектром амплітуд. Сукупність початкових фаз і відповідних частот гармонік називаються спектром фаз.
Спектр амплітуд і спектр фаз однозначно визначають сигнал, проте для багатьох практичних задач достатньо обмежитися розглядом тільки спекта амплітуд.
///
На мал..2 дані графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу. Окремі спектральні складові в графічному зображенні спектра амплітуд називаються спектральними лініями.
Характерною рисою спектра періодичного сигналу є його переривчастість(дискретність). Відстань між сусідніми спектральними лініями однакова і дорівнює частоті основної гармоніки.
Як приклад розглянемо послідовність прямокутних імпульсів тривалістю ?, амплітудою h, і з періодом проходження T(мал..3).
Функція x(t), що описує такий сигнал, може бути представлена так:
??
??
=
1,
??
1
+????????
??
1
+????+??
0,
??
1
+????+??????
??
1
+(??+1)??
Функція x(t) може бути представлена рядом Фур`є:
??
??
=
1
2
?
??=??
?
??
??
?
?
??
?????
??
0
??
=
1
2
?
??
0
+
??=1
?
[
??
??
?
?
??
????
??
0
??
+
??
???
?
???
?????
??
0
??
]
де
??
0
,
??
??
?
,
??
???
?
- комплексні амплітуди k – ї гармоніки
??
??
?
=
??
??
?
??
??
??
??
??
???
?
=
??
??
?
??
???
??
??
Комплексна амплітуда:
??
??
=
2
??
?
??
1
??
1
+??
??
??
?
??
?????
??
0
??
????=
2
??
?
???/2
??/2
??
??
?????
??
0
??
????=2????
?
??
?
sin
??????/2
??????/2
Постійна складова сигналу може бути отримана при k =0:
1
2
?
??
0
=
1
??
?
???/2
??/2
?????=???/??
/Рисунок 4
Таким чином, розклад в ряд Фур`єперіодичної послідовності прямокутних імпульсів представляється у виді:
??
??
=???
?
??
?(1+2?
??=1
?
sin
??
??
0
??/2
??
??
0
??/2
Як видно, при черговому збільшенні чістоти на величину 2*?/? фаза гармонік змінюється на розмір ?.
Спектр амплітуд показаний на мал.4, причому огинаюча його визначається рівнянням:
??
??
=2????[
sin
??????
2
??????
2
]
де ?=k*?0
Форма згинаючої спектра амплітуд визначається видам функції
sin
????
2
????
2
, причому :
lim
??>0
sin
????
2
????
2
=1
sin
????
2
????
2
=0, при ?=n*?/?
де n – парне число.