Тема 5: “Частотне представлення детермінованих періодичних сигналів” У частотному вигляді можуть представлятися як періодичні, так і неперіодичні детерміновані сигнали. Необхідно зазначити, що в реальних умовах сигнали не існують, тому що ідеальний періодичний сигнал нескінченний у часі, в той час як всякий реальний сигнал має початок і кінець. Проте в багатьох випадках скінченністю часу дії сигналу можна знехтувати і для аналізу допустимо використовувати апарат, придатний для ідеальних періодичних сигналів. Періодичні сигнали Розглянемо сигнал, що виражається довільною періодичною функцією часу x(t) . Відомо, що всяка періодична функція, що задовольняє умовам Дрихле(Умова Дрихле полягає в такому: функція x(t) повинна бути обмеженою, кусково – неперервною і мати протягом періоду скінченне число екстремальних значень), може бути подана у вигляді нескінченної, в загальному випадку, суми гармонійних складових – рядом Фур`є. Відомі дві форми розкладу в ряд Фур`є: тригонометрична і комплексна. Тригонометрична форма розкладу виражається і виді ?? ?? = 1 2 ??? 0 + ??=1 ? A k cos k ? 0 t? ? k Де 1 2 ??? - постійна складової функції. ?? ?? = 2 ?? ? ?? 2 ?? 1 ?? ?? ? ?? ????? ?? 0 ?? ???? A k cos k ? 0 t? ? k - k – а гармоніка складової. A k ,k ? 0 , ? k - амплітуда, частота і початкова фаза k – ї гармонічної складової ?=2*?/T – частота основної гармоніки; T – період зміни функції x(t). У математичному відношенні зручніше оперувати комплексною формою ряду Фур`є, що подається у вигляді: ?? ?? = 1 2 ? ??=?? ? ?? ?? ? ? ?? ????? ?? 0 ?? Де ?? ?? ? = ?? ?? ? ?? ????? ?? 0 ?? - комплексна амплітуда гармонійної складової частоти ?k=k*?0. При цьому модуль комплексної амплітуди буде дорівнювати амплітуді відповідної гармонійної складової, а аргумент дорівнює початковій фазі складової. Комплексна амплітуда визначається через часову функція x(t) за допомогою формули: ?? ?? ? = 2 ?? ? ?? 1 ?? 1 +?? ?? ?? ? ?? ????? ?? 0 ?? ???? Сукупність амплітуді відповідних частот гармонік прийнято називати спектром амплітуд. Сукупність початкових фаз і відповідних частот гармонік називаються спектром фаз. Спектр амплітуд і спектр фаз однозначно визначають сигнал, проте для багатьох практичних задач достатньо обмежитися розглядом тільки спекта амплітуд. /// На мал..2 дані графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу. Окремі спектральні складові в графічному зображенні спектра амплітуд називаються спектральними лініями. Характерною рисою спектра періодичного сигналу є його переривчастість(дискретність). Відстань між сусідніми спектральними лініями однакова і дорівнює частоті основної гармоніки. Як приклад розглянемо послідовність прямокутних імпульсів тривалістю ?, амплітудою h, і з періодом проходження T(мал..3). Функція x(t), що описує такий сигнал, може бути представлена так: ?? ?? = 1, ?? 1 +???????? ?? 1 +????+?? 0, ?? 1 +????+?????? ?? 1 +(??+1)?? Функція x(t) може бути представлена рядом Фур`є: ?? ?? = 1 2 ? ??=?? ? ?? ?? ? ? ?? ????? ?? 0 ?? = 1 2 ? ?? 0 + ??=1 ? [ ?? ?? ? ? ?? ???? ?? 0 ?? + ?? ??? ? ??? ????? ?? 0 ?? ] де ?? 0 , ?? ?? ? , ?? ??? ? - комплексні амплітуди k – ї гармоніки ?? ?? ? = ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ? = ?? ?? ? ?? ??? ?? ?? Комплексна амплітуда: ?? ?? = 2 ?? ? ?? 1 ?? 1 +?? ?? ?? ? ?? ????? ?? 0 ?? ????= 2 ?? ? ???/2 ??/2 ?? ?? ????? ?? 0 ?? ????=2???? ? ?? ? sin ??????/2 ??????/2 Постійна складова сигналу може бути отримана при k =0: 1 2 ? ?? 0 = 1 ?? ? ???/2 ??/2 ?????=???/?? /Рисунок 4 Таким чином, розклад в ряд Фур`єперіодичної послідовності прямокутних імпульсів представляється у виді: ?? ?? =??? ? ?? ?(1+2? ??=1 ? sin ?? ?? 0 ??/2 ?? ?? 0 ??/2 Як видно, при черговому збільшенні чістоти на величину 2*?/? фаза гармонік змінюється на розмір ?. Спектр амплітуд показаний на мал.4, причому огинаюча його визначається рівнянням: ?? ?? =2????[ sin ?????? 2 ?????? 2 ] де ?=k*?0 Форма згинаючої спектра амплітуд визначається видам функції sin ???? 2 ???? 2 , причому : lim ??>0 sin ???? 2 ???? 2 =1 sin ???? 2 ???? 2 =0, при ?=n*?/? де n – парне число.