РОЗДІЛ 6.
МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Вільні гармонічні коливання довільної величини s:
а) – диференціальне рівняння коливань,
де  – циклiчна частота коливань;
б) , або – розв’язок рівняння,
де А – амплітуда коливань;  – початкова фаза коливань.
Вільні гармонічні коливання вздовж осі OХ:
а) – диференціальне рівняння коливань;
б) , або – розв’язок рівняння;
в)  – період коливань ();
г) якщо , то:
– швидкість руху коливної системи,
– амплітуда швидкості;
д) – прискорення руху коливної системи,
– амплітуда прискорення;
е) – повна механічна енергія коливної системи.
Загасаючі гармонічні коливання вздовж осі ОХ:
а) – диференціальне рівняння коливань;
б) – розв’язок рівняння,
де ( – коефiцiєнт загасання;  – початкова амплітуда;  – амплітуда загасаючих коливань;  – власна циклічна частота коливань ();
в) – декремент загасання,
де і – амплітуди двох послідовних коливань;
г) – логарифмiчний декремент загасання;
д) – добротність коливної системи,
де та  – енергії коливної системи в момент часу і .
У випадку, якщо << 1, то
.
Вимушені коливання вздовж осі ОХ:
а) – диференціальне рівняння коливань,
де  – амплітуда вимушуючої сили; – частота вимушуючої сили;
б) – розв’язок рівняння,
де – амплітуда вимушених коливань; – зсув фаз між зміщенням коливної точки і вимушуючою силою, .
Період коливань пружинного маятника:

де m – маса тіла; k – жорсткість пружини.
Період коливань математичного маятника:

де l – довжина маятника; g – прискорення вільного падіння.
Період коливань фізичного маятника:
,
де J – момент інерції маятника відносно точки його підвісу; а – відстань між точкою підвісу і центром маси маятника.
Довжина хвилі:
=,
де  – фазова швидкість поширення хвилі;  – частота хвилі.
Рівняння плоскої хвилі, oj поширюється вздовж осі ОХ:
,
де k – хвильове число .
Швидкість поширення поздовжньої хвилі:
,
де Е  – модуль Юнга;  – густина середовища.
Швидкість поширення поперечної хвилі:
,
де G – модуль зсуву.
Різниця фаз двох точок хвилі, oj знаходяться на відстані l одна від одної:
,
де – довжина хвилі.
Густина потоку енергії, що переноситься хвилею (вектор Умова):
j = ,
де Ф – потік енергії через поверхню площею ;  – площа поверхні, що перпендикулярна до напрямку поширення хвилі.
Зв’язок між довжиною біжучої та стоячої хвилями:
L = 
де L  – довжина стоячої хвилі
Власні частоти коливань струни:

де l – довжина струни, фазова швидкість поширення хвилі, п = 1, 2, 3 ... .
Швидкість поширення звукових коливань у газі:
,
де  – показник адіабати (коефіцієнт Пуассона);  – молярна маса газу; T – абсолютна температура; R – універсальна газова стала.
Швидкість поширення звукових коливань в середовищі:
,
де Е – модуль Юнга,  – густина середовища.
Ефект Допплера:
,
де  – частота звукової хвилі, якщо джерело і приймач звукових хвиль нерухомі;  – швидкість звуку;  – швидкість приймача;  – швидкість джерела звуку.
а) – приймач рухається до джерела;
– приймач рухається від джерела;
б) – джерело рухається до приймача;
– джерело рухається від приймача.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за косинусоїдальним законом. За яку частину періоду вона проходить першу і другу половину амплітуди коливання ?
Розв’язування
З умови задачі випливає, що рівняння коливань має вигляд:
.
Визначимо момент часу , коли відхилення матеріальної точки дорівнює половині амплітуди із співвідношення:

.
Після спрощення даного рівняння, одержимо:
=.
Оскільки , то =.
Амплітуду А матеріальна точка досягає за чверть періоду, тому другу частину амплітуди вона проходить за час :
=- =-=.
Задача 2. Кулька, що підвішена до пружини, виконує вертикальні коливання з амплітудою А = 9 см та періодом T = 2 с. На якій відстані від положення рівноваги кульки необхідно поставити перешкоду, щоб період коливань став рівним  = 1,5 с. Удари кульки в перешкоду вважати абсолютно пружними.
Дано:
А = 9 см
T = 2 с
 = 1,5 с



= ?

Розв’язування
Зміщення кульки визначається згідно рівняння:
,
де t – час руху кульки від положення рівноваги до перешкоди. Час t визначається з умови:
=.
Зміщення x, із врахуванням часу  становить:
5 см.
Задача 3. У воді плаває плоска крижина товщиною . Крижину занурюють у воду на незначну глибину і відпускають. Визначити період коливань крижини. Густина льоду , густина води . Силою опору води знехтувати.
Дано:






= ?

Розв’язування
У початковий момент часу крижина знаходиться в стані спокою. На неї діє дві сили: сила тяжіння та сила Архімеда , де h – глибина занурення крижини в стані рівноваги, S – площа поперечного перерізу крижини. Використовуючи другий закон Ньютона, отримуємо:
, (1)
звідки:
. (2)
При зануренні на додаткову глибину x (x – довільна величина) виникає додаткова сила Архімеда . Тоді:
, або . (3)
Співставляючи (3) із диференціальним рівнянням вільних гармонічних коливань , отримуємо:
. (4)
З (4) визначаємо період коливань:
= 1,3 с.
Задача 4. На кінцях тонкого стрижня довжиною l = 1 м прикріплені кульки масами m = 200 г і m = 300 г. Маса стрижня m = 400 г. Стрижень коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через його середину перпендикулярно до стрижня. Визначити період коливань такого фізичного маятника.
Дано:
l = 1 м
m = 200 г
m = 300 г
m = 400 г





Розв’язування
Період коливань фізичного маятника визначаємо за формулою:
.
Момент інерції даного маятника
,
де , – моменти інерції першої та другої кульок; – момент інерції стрижня.
Зокрема, (момент інерції кульки вважаємо рівним моменту інерції матеріальної точки), а .
Отже,
J = m
+ m
+ = .
Маса маятника складається із суми мас кульок і стрижня:
m = m.
З умови рівноваги:
+ mgа – = 0,
знайдемо а – відстань між точкою підвісу і центром маси маятника:
.
Використовуючи знайдені величини, обчислимо період коливань фізичного маятника за формулою:
T = 2= 3,5 с.
Задача 5. Визначити показник заломлення звукових хвиль на межі розділу повітря-скло. Модуль Юнга для скла Е = 49, густина скла  = 2600 , температура повітря Т = 293 К, швидкість звуку в повітрі , молярна маса повітря , показник адіабати для повітря , універсальна газова стала R = 8,31 .
Дано:
Е = 49
 = 2600 
Т = 293 К








Розв’язування
Показник заломлення , де і  – швидкості звуку в повітрі і склі відповідно.
Швидкість поширення звукових коливань у повітрі визначається за формулою:
,
а швидкість поширення звукових коливань у середовищі:
.
Таким чином, показник заломлення звукових хвиль на межі розділу повітря-скло
 = 0,079.
6.1. Рівняння коливань матеріальної точки має вигляд  м. Визначити зміщення цієї точки в початковий момент часу.
6.2. Визначити період коливань матеріальної точки, яка виконує гармонічні коливання за законом  м.
6.3. Через який проміжок часу після початку синусоїдальних коливань зміщення матеріальної точки буде дорівнювати половині амплітуди. Період коливань T = 6 с, початкова фаза коливань дорівнює нулю.
6.4. Визначити частоту гармонічних коливань, якщо амплітуда зміщення А, амплітуда швидкості .
6.5. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання. Максимальна швидкість матеріальної точки , максимальне прискорення . Визначити циклічну частоту коливань.
6.6. Коливання струни контрабаса описується законом  м. За який час зміщення струни становитиме l = 3 м ? Яка середня швидкість її руху ?
6.7. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання за синусоїдальним законом. У деякий момент часу її зміщення від положення рівноваги = 5 см. При збільшенні фази коливань в два рази зміщення точки стало = 8 см. Визначити амплітуду коливань матеріальної точки.
6.8. Матеріальна точка масою 10 г коливається за законом  м. Визначити максимальну силу, яка діє на неї.
6.9. Матеріальна точка масою виконує гармонічні коливання за законом . Визначити її повну енергію.
6.10. Матеріальна точка починає рухатись вздовж осі ОХ так, що проекція її швидкості змінюється за законом . Визначити шлях, який пройде ця точка за 1/6 с руху.
6.11. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох коливаннях одного напрямку. Ці коливання є гармонічними з однаковими амплітудами і періодами коливань. Результуюче коливання має ту ж саму амплітуду і період коливань. Визначити початкову різницю фаз результуючого коливання.
6.12. Визначити амплітуду результуючого коливання, яке виникає при додаванні двох коливань одного напрямку:
, .
6.13. Матеріальна точка бере участь у двох коливаннях одного напрямку, які здійснюються за законом i . Визначити модуль максимальної швидкості точки.
6.14. Матеріальна точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з однаковими періодами та однаковими початковими фазами. Амплітуди коливань = 3 см і = 4 см. Визначити амплітуду результуючого коливання.
6.15. Матеріальна точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях і . Визначити рівняння руху точки.
6.16. Матеріальна точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях: і . Визначити рівняння руху точки.
6.17. За час тіло здійснює коливань. За цей же час амплітуда коливань зменшилась у 2,718 рази. Визначити коефіцієнт загасання коливань, логарифмічний декремент загасання, добротність системи, відносне зменшення енергії тіла за період коливань .
6.18. Мідна кулька, яка підвішена до пружини, здійснює вертикальні коливання. У скільки разів зменшиться період коливань, якщо до пружини підвісити алюмінієву кульку такого ж радіуса ? Вважати, що густина міді  кг/м3, алюмінію кг/м3.
6.19. Початкове відхилення тягарця пружинного маятника від положення рівноваги А = 0,02 м. Якою є частота коливань кульки, якщо віддаль l = 0,4 м, кратну максимальному відхиленню, вона пройде за час t = 2 с. Загасанням знехтувати.
6.20. Період коливань вагона T = 1,25 с. Маса всіх пасажирів становить 10 % від його загальної маси. Визначити період коливань для порожнього вагона.
6.21. У відкриту з обох кінців U – подібну трубку, з площею поперечного перерізу S = 0,3 см, швидко вливають ртуть масою m = 120 г. Густина ртуті  = 13600 , прискорення вільного падіння  м/с2. Визначити період коливань ртуті в трубці.
6.22. Кулька виконує коливання у вертикальному напрямку, рухаючись без тертя по вгнутій поверхні сферичної посудини. Внутрішній радіус посудини значно більший від радіуса кульки. Визначити період коливань кульки, якщо посудина рухається вгору з прискоренням а = 0,25 g. Прискорення вільного падіння  м/с2.
6.23. Кульку підвішено за допомогою невагомої нитки завдовжки l = 80 см і відхилено від положення рівноваги на деякий кут. Знайти період коливань цього маятника, якщо він коливатиметься в автомобілі, що рухається горизонтально з прискоренням а = 4 . Прискорення вільного падіння g = 10 . Результат заокруглити до десятих.
6.24. Маятниковий годинник ходить точно при довжині маятника  55,8 см. На скільки часу відстане годинник за добу, якщо довжину збільшити на = 0,5 см.
6.25. Маятниковий годинник перенесли з поверхні Землі на висоту H = 200 м. На скільки часу відстане цей годинник за добу? Прийняти  км.
6.26. Математичний маятник довжиною = 24,7 см здійснює загасаючі коливання. Через який проміжок часу енергія коливань маятника зменшиться в 9,4 рази ? Логарифмічний декремент згасання  = 0,01.
6.27. Кулька масою m = 0,001 кг, зарядом  Кл підвішена на нитці і коливається з періодом T = 1,3 c. Визначити період коливань математичного маятника в електричному полі напруженістю Е = 10
, яке спрямоване вертикально вниз. Прискорення вільного падіння g = 10 .
6.28. Амплітуда загасаючих коливань математичного маятника за  =1 хв зменшилася вдвічі. У скільки разів вона зменшиться за  = 3 хв ? Прискорення вільного падіння  м/с2.
6.29. Амплітуда коливань математичного маятника за  = 1 хв зменшилася вдвічі. Довжина маятника  = 1 м. Визначити логарифмічний декремент загасання маятника. Прискорення вільного падіння  м/с2.
6.30. Однорідний тонкий стрижень довжиною  = 1,2 м закріплений так, що він може обертатись навколо горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно до стрижня через один з його кінців. До середини та нижнього кінця стрижня прикріпили два однакові вантажі. Визначити зведену довжину та період коливань фізичного маятника. Масою стрижня знехтувати. Прискорення вільного падіння  м/с2.
6.31. Однорідний обруч радіусом r = 0,3 м коливається навколо горизонтальної осі. Визначити період коливань такого фізичного маятника. Прискорення вільного падіння g = 10 .
6.32. Однорідний диск радіусом коливається навколо горизонтальної осі, що проходить на віддалі від центра диску. Визначити період коливань диску відносно цієї осі.
6.33. На кінцях вертикального стрижня закріплено два вантажі. Центр мас вантажів знаходиться нижче середини стрижня на віддалі . Знайти довжину стрижня , якщо відомо, що період малих коливань стрижня з вантажами навколо горизонтальної осі, що проходить через його середину, . Масою стрижня знехтувати.
6.34. До середини однорідного стрижня довжиною і масою , верхній кінець якого підвішений на шарнірі, прикріплена горизонтально пружина з жорсткістю (рис. 6.1). В положенні рівноваги пружина не деформується. Знайти період малих коливань стрижня в площині, що проходить через стрижень і пружину.
Рис. 6.1
6.35. Однорідний стрижень довжиною здійснює малі коливання у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через точу, яка знаходиться на віддалі від його верхнього кінця. Знайти період коливань стрижня.
6.36. Що називають довжиною хвилі?
1. Віддаль, яку проходить тіло протягом одного періоду.
2. Віддаль між двома сусідніми точками, що коливаються в протилежних фазах.
3. Віддаль, що проходить хвиля за одиницю часу.
4. Віддаль між двома сусідніми точками, що коливаються в однакових фазах.
6.37. Які з перерахованих хвиль називаються поздовжніми, а які поперечними?
1. Електромагнітні хвилі.
2. Звукові хвилі в газах.
3. Хвилі на поверхні води.
4. Звукові хвилі в рідинах.
6.38. Яку хвилю, поздовжню чи поперечну, описує рівняння ?
6.39.  Числове значення густини потоку енергії хвилі визначається?
1. Енергією, яка переноситься хвилею через одиничну площу.
2. Енергією, яка переноситься хвилею за одиницю часу через одиничну площу.
3. Енергією, яка переноситься хвилею через дану площу.
4. Енергією, яка переноситься хвилею за одиницю часу через одиничну площу перпендикулярну до напрямку поширення хвиль.
5. Енергією, яка переноситься хвилею за одиницю часу через площу, яка перпендикулярна до напрямку поширення хвиль.
6.40. Потік енергії хвиль через площу , що розміщена перпендикулярно до напрямку поширення хвиль  0,11 Вт. Визначити густину потоку енергії за даних умов.
6.41. Визначити швидкість поздовжньої пружної хвилі в мідному стрижні з модулем Юнга . Густина міді .
6.42. При деякому натягу струни довжиною  = 1 м частота основного тону струни =1000 Гц. Визначити швидкість поширення хвилі в струні.
6.43. Струна масою закріплена з обох кінців. У ній збудили коливання циклічної частоти з максимальною амплітудою А. Визначити максимальну кінетичну енергію струни.
6.44. У пружному середовищі розповсюджується поздовжня плоска хвиля . Намалювати для початкового моменту часу графіки залежності: 1). Зміщення від . 2) Густини середовища від .
6.45. Рівняння плоскої хвилі, яка поширюється вздовж осі ОХ, має вигляд . Зміщення від положення рівноваги точки, що знаходиться на віддалі  = 4 см від джерела коливань в момент час , дорівнює половині амплітуди. Визначити довжину хвилі.
6.46. Визначити довжину стоячої хвилі, якщо віддаль між двома сусідніми пучностями дорівнює 0,5 м.
6.47. При якій мінімальній довжині скляної трубки, що закріплена з однієї сторони, всередині неї може виникнути стояча хвиля?
6.48. У скільки разів зміниться частота і довжина звукової хвилі при переході хвилі з повітря у воду ? Швидкість поширення звуку в повітрі , швидкість звуку у воді .
6.49. Через який час після опускання каменя в шахту глибиною H = 80 м спостерігач почує звук удару. Швидкість звуку в повітрі . Прискорення вільного падіння g = 10 .
6.50. Швидкість звуку в повітрі . Визначити відстань на якій знаходяться дві найближчі точки, які здійснюють коливання в протилежних фазах, якщо частота коливань  = 170 Гц.
6.51. За який час звукові коливання пройдуть віддаль між двома точками, якщо температура повітря між ними змінюється лінійно від до . Швидкість звуку в повітрі , де – стала.
6.52. Нерухоме джерело випромінює у всіх напрямках звукову хвилю довжиною . Як зміниться довжина хвилі, якщо джерело привести в рух із швидкістю, що дорівнює половині значення швидкості звуку ?
6.53. Джерело звукових коливань із частотою і приймач знаходяться в одній точці. У початковий момент часу джерело починає віддалятися від приймача з постійним прискоренням а = 10  Швидкість звуку в повітрі . Визначити частоту коливань, яку сприймає нерухомий приймач через після початку руху джерела.
6.54. По прямій ділянці дороги рухаються в одному напрямку один за одним два автомобілі із швидкістю  = 90 . Коли появився зустрічний третій автомобіль із швидкістю  = 72 , водій першого автомобіля дав довгий звуковий сигнал частотою = 700 Гц. Швидкість звуку в повітрі . Звук якої частоти сприймуть пасажири другого і третього автомобілів ?