РОЗДІЛ 3.
ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА
Момент сили відносно центра обертання:
.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно центра обертання:
,
де  – радіус-вектор, проведений з центра координат (центра обертання) до точки прикладення зовнішньої сили , або до матеріальної точки, імпульс якої .
Момент сили та момент імпульсу відносно осі:
,
,
де  – плече сили, тобто найкоротша віддаль від точки до осі обертання.
Момент інерції матеріальної точки відносно осі обертання:
,
де  – маса точки,  – віддаль від точки до осі обертання.
У випадку неперервного розподілу точкових мас у твердому тілі:
,
де  – маса тіла.
Моменти інерції найпростіших геометричних фігур:
1. Однорідного стрижня, відносно осі, що проходить через його середину і перпендикулярна до нього:
,
де  – довжина стрижня, а m – його маса.
2. Тонкого обруча радіусом :
,
де  – радіус обруча; m – маса обруча.
3. Диску, циліндра, відносно осі, що проходить через їх центр мас перпендикулярно до основи:
,
де  – радіус диска (циліндра); m – маса диска (циліндра).
4. Суцільної кулі, відносно осі, що співпадає з діаметром:
,
де  – радіус кулі; m – маса кулі.
Момент інерції тіла відносно довільної осі обертання (теорема Штейнера):
.
де  – момент інерції даного тіла відносно осі, що проходить через центр мас і є паралельною до заданої осі обертання;  – віддаль між осями;  – маса тіла.
Момент імпульсу твердого тіла при обертальному русі відносно осі обертання,
що проходить через центр маси тіла:
,
де  – кутова швидкість.
Основний закон динаміки обертального руху:
,
де  – сумарний момент зовнішніх сил, прикладених до тіла.
При :
,
де  – кутове прискорення.
Закон збереження моменту імпульсу.
.
Робота постійного моменту сил при обертанні тіла на кут :
.
Кінетична енергія тіла, що обертається:
.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Маховик у вигляді диску, масою і радіусом , розкрутили до частоти обертання і відпустили. Внаслідок тертя маховик зупинився. Знайти момент сил тертя М, вважаючи його сталим, якщо маховик зупинився через .
Дано:







М = ?

Розв’язування
Згідно основного закону динаміки обертального руху твердого тіла
, (1)
де J – момент інерції маховика; – момент сили тертя та кутове прискорення, спроектовані на вісь обертання.
Рух рівносповільнений, тому кутова швидкість змінюється за законом , де  – початкова кутова швидкість, . Кінцева швидкість , тому , а звідси:
. (2)
Момент інерції диску відносно осі, що проходить через його центр інерції дорівнює
. (3)
Підставляючи (2), (3) у формулу (1), отримаємо:
.
Задача 2. Знайти момент інерції J тонкого однорідного кільця, радіусом і масою , відносно осі, що лежить в площині кільця і проходить через його центр (рис. 3.1).
Дано:





J =?

Розв’язування

Рис. 3.1
Розглянемо малий елемент кільця масою .
При обертанні навколо осі цей елемент матиме момент інерції:
, (1)
де  – відстань від елемента до осі обертання. Момент інерції всього кільця:
. (2)
Кут при інтегруванні по всьому кільцю змінюється від 0 до 2? тому:
. (3)
Після інтегрування отримаємо:
.
Задача 3. Однорідний стрижень , падаючи в горизонтальному положенні з висоти , пружно вдарився одним кінцем об край масивної плити (рис.3.2). Знайти швидкість центра мас стрижня одразу після удару.
Розв’язування
Швидкість центра мас стрижня безпосередньо перед ударом знаходимо із закону збереження повної механічної енергії. Вона дорівнює і протягом часу взаємодії стрижня з плитою зменшується до деякої величини . Якщо знехтувати силою тяжіння стрижня в порівнянні із силою реакції зі сторони плити, то можна записати
. (1)

Рис.3.2
Під час удару, обертовий рух стрижня навколо осі, що проходить через його центр мас, запишеться рівнянням:
, (2)
де – момент інерції стрижня. Виключаючи з рівнянь (1) та (2) силу отримаємо:
. (3)
Після інтегрування рівняння (3) отримаємо:
. (4)
Оскільки зіткнення стрижня з плитою є пружнім, то співвідношення (4) може бути доповнене законом збереження повної механічної енергії
. (5)
Сумісне розв’язування рівнянь (4) та (5) дає кутову швидкість обертання стрижня
. (6)
та швидкість його центра мас одразу після удару
.
Задача 4. Людина, масою , знаходиться на нерухомій платформі масою (рис. 3.3). Яку кількість обертів буде здійснювати платформа, якщо людина буде рухатись по колу радіусом навколо осі обертання? Швидкість руху людини відносно платформи . Радіус платформи . Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.
Дано:








 = ?

Розв’язування
В початковий момент часу платформа з людиною перебувала в стані спокою і момент імпульсу цієї системи дорівнював нулю.

Рис. 3.3
Коли людина починає рухатись по платформі, платформа буде обертатись в протилежному від руху людини напрямку. Отже, якщо відстань людини до осі платформи , то в місці знаходження її швидкість на платформі становитиме:
. (1)
Таким чином, якщо людина рухається відносно платформи зі швидкістю , то відносно землі вона буде рухатись зі швидкістю
. (2)
Момент імпульсу людини відносно осі платформи
. (3)
Момент імпульсу платформи відносно її осі:
, (4)
де J – момент інерції платформи.
Оскільки платформа це однорідний диск, то її момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас
(5)
Із закону збереження моменту імпульсу для системи платформа-людина маємо:
. (6)
Визначаємо з рівняння (6) кутову швидкість обертання платформи
. (7)
Число обертів платформи визначиться із співвідношення:
або
.
Задача 5. Горизонтальна платформа масою та радіусом обертається з частотою . В центрі платформи стоїть людини тримаючи в розставлених руках вантажі. З якою частотою буде обертатись платформа якщо людина, опустивши руки ,зменшить свій момент інерції від до ? Платформу вважати однорідним диском.
Розв’язування
Дано:








 = ?

В початковому положенні момент інерції платформи з людиною складається з моменту інерції платформи і моменту інерції людини:
, (1)
а коли людина опустила руки
, (2)
де – момент інерції платформи.
Згідно закону збереження моменту імпульсу, вважаючи систему платформа-людина замкненою, можна записати:
, (3)
де , .
Тоді

Звідси,
. (4)
Розв’язуючи рівняння (1) – (4), отримаємо:
.
3.1. Знайти момент інерції та момент імпульсу земної кулі відносно осі обертання. Радіус земної кулі , а середня густина Землі .
3.2. Однорідний стрижень довжиною і масою обертається у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через середину стрижня. З яким кутовим прискоренням обертається стрижень, якщо на нього діє момент сил .
3.3. Однорідний диск радіусом і масою обертається навколо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини. Кутова швидкість диску задається рівнянням , де . Знайти дотичну силу , що прикладена до ободу диску. Тертям знехтувати.
3.4. Два вантажі масами та з’єднані невагомою ниткою, що перекинута через блок масою . Знайти: 1) прискорення , з яким рухаються вантажі; 2) силу натягу та нитки, до якої підвішені вантажі. Блок вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати. Прискорення вільного падіння .
3.5. По дотичній до колеса радіусом і масою прикладена сила . Знайти кутове прискорення колеса. Через який час після початку дії сили колесо буде мати частоту обертання 100 об/с. Колесо вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.
3.6. Дві гирі з різними масами з’єднані невагомою ниткою, що перекинута через блок, момент інерції якого . Радіус блока . Момент сил тертя блока, що обертається . Знайти різницю сил натягу нитки по обидві сторони блока, якщо відомо, що блок обертається з кутовим прискоренням . Блок вважати однорідним диском.
3.7. Однорідний стрижень масою підвішений горизонтально за кінці на двох нитках. Знайти силу натягу однієї з ниток одразу після спалювання другої нитки. Прискорення вільного падіння .
3.8. На барабан масою намотано невагомий шнур, до кінця якого прив’язано вантаж масою . Знайти прискорення, з яким опускається вантаж. Барабан вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.
3.9. Маховик радіусом і масою з’єднаний з двигуном за допомогою привідного паса. Сила натягу паса, що рухається без проковзування становить . Якою буде частоту обертання буде мати маховик через час після початку руху ? Маховик вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.
3.10. По ободу шківа, що насаджений на спільну вісь з маховим колесом намотана нитка, до кінця якої підвішений вантаж масою  кг. На яку відстань повинен опуститися вантаж, щоб колесо зі шківом отримало частоту обертання  60 об/хв ? Момент інерції колеса зі шківом –  0,42 , а радіус шківа  10 .
3.11. На важкий барабан, що обертається навколо горизонтальної осі, намотаний тонкий невагомий шнур. По шнуру вгору лізе мавпочка масою . Визначити її прискорення відносно шнура, якщо її швидкість відносно землі постійна. Момент інерції барабана , а його радіус . Прискорення вільного падіння .
3.12. З похилої площини, яка складає кут з горизонтом, скочується без ковзання куля. Визначити час руху кулі по похилій площині, якщо відомо, що її центр мас при скочуванні понизився на . Тертям знехтувати. Прискорення вільного падіння .
3.13. Котушка з ниткою знаходиться на похилій площині (рис. 3.4) з кутом нахилу . Вільний кінець нитки прикріплено до стіни так, що нитка паралельна до похилої площини. Визначити прискорення, з яким котушка рухається по похилій площині. Маса котушки . Момент інерції котушки відносно її осі симетрії . Коефіцієнт тертя котушки по площині . Радіуси котушки . Прискорення вільного падіння

Рис. 3.4
3.14. Куля масою котиться без ковзання, вдаряється об стіну і відскакує від неї. Швидкість кулі до удару в стіну , після удару . Знайти кількість теплоти, що виділилась при ударі об стіну.
3.15. Знайти відносну похибку, яка отримується при обчисленні кінетичної енергії кулі, що котиться, якщо не враховувати її обертання.
3.16. Диск масою котиться без ковзання по горизонтальній поверхні з швидкістю . Знайти кінетичну енергію диску.
3.17. Обруч та диск однакової маси котяться без проковзування з однаковою швидкістю. Кінетична енергія обруча . Знайти кінетичну енергію диску.
3.18. Хлопчик котить обруч по горизонтальній дорозі зі швидкістю . На яку віддаль може закотитись обруч на похилу площину за рахунок кінетичної енергії, якщо зміна висоти площини дорівнює 1 м на 10 м довжини площини. Прискорення вільного падіння .
3.19. Махове колесо починає обертатись з кутовим прискоренням і через час після початку руху набуває момент імпульсу . Знайти кінетичну енергію колеса через час після початку руху.
3.20. Однорідний стрижень довжиною підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня. На який кут необхідно відхилити стрижень, щоб його нижній кінець при проходженні положення рівноваги мав швидкість ? Прискорення вільного падіння .
3.21. Однорідний стрижень довжиною підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня. Яку швидкість необхідно надати нижньому кінцю стрижня, щоб він зробив повний оберт навколо осі ? Прискорення вільного падіння .
3.22. Олівець довжиною , поставлений вертикально, падає на стіл. Яку кутову та лінійну швидкості будуть мати в кінці падіння середина та верхній кінець олівця ? Прискорення вільного падіння .
3.23. Горизонтальна платформа масою 100 кг обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр платформи з частотою . Людина, масою , стоїть при цьому на краю платформи. З якою частотою почне обертатись платформа, якщо людина перейде від краю платформи в її центр? Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.
3.24. Мідна куля радіусом обертається з частотою навколо осі, що проходить через її центр. Яку роботу необхідно виконати, щоб збільшити кутову швидкість кулі вдвічі? Густина міді .
3.25. Дерев’яний стрижень масою і довжиною може обертатись у вертикальній площині відносно осі, що проходить через верхній кінець стрижня. В нижній кінець стрижня потрапляє куля масою , що летіла зі швидкістю , напрямленою перпендикулярно до осі стрижня, і застрягає в ньому. Визначити: 1) кінетичну енергію стрижня після удару; 2) кут, на який стрижень відхилився від вертикалі.
3.26. На ідеально гладкій горизонтальній поверхні лежить стрижень довжиною і масою . В одну з точок стрижня вдаряє кулька масою , яка рухається по поверхні перпендикулярно до стрижня. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити на якій віддалі від середини стрижня повинен відбутися удар, щоб кулька передала стрижню всю свою кінетичну енергію?
3.27. Тонкостінний циліндр радіусом розкрутили до кутової швидкості і поставили в куток, як показано на рис. 3.5. Коефіцієнт тертя між циліндром і стінками . Скільки обертів зробить циліндр до повної зупинки?
Рис. 3.5
3.28. Маховик обертається з частотою . Його кінетична енергія . За який час момент сил , прикладений до маховика, збільшить кутову швидкість маховика вдвічі?
3.29. Визначити момент інерції однорідного стрижня довжиною =50 см і масою =360 г відносно осі, що є перпендикулярною до стрижня і проходить через: а) кінець стрижня; б) точку, яка лежить на віддалі l/6 від кінця стрижня.
3.30. До обода однорідного суцільного диску масою , що насаджений на вісь, прикладена постійна дотична сила . Визначити кінетичну енергію обода через час після початку дії сили.
3.31. Колесо радіусом і масою скочується без тертя по похилій площині довжині і кутом нахилу . Визначити момент інерції колеса, якщо його швидкість в кінці похилої площини була .
3.32. Кінетична енергія вала, що обертається з частотою дорівнює . Знайти момент імпульсу вала.
3.33. Знайти кінетичну енергію велосипедиста, що їде зі швидкістю . Маса велосипедиста разом з велосипедом . На колеса припадає маса . Колеса велосипеда вважати обручами.
3.34. До обода суцільного диску радіусом прикладена дотична сила . При обертанні диску на нього діє момент сил тертя . Визначити масу диску , якщо відомо, що його кутове прискорення .
3.35. Суцільний маховик масою і радіусом обертається, здійснюючи 600 об/хв. З якою силою необхідно притиснути до нього гальмівну колодку, щоб він зупинився через після початку гальмування, якщо коефіцієнт тертя ?
3.36. Дві кулі однакової маси і однакового радіуса закріплені на кінцях невагомого стрижня. Віддаль між кулями . Знайти момент інерції системи відносно осі, що є перпендикулярною до стрижня і співпадає з діаметром однієї з куль.
3.37. Вздовж дотичної до однорідного диску радіусом прикладена сила . При обертанні на диск діє ще момент сил тертя . Знайти масу диску, якщо відомо, що диск обертається з кутовим прискоренням .
3.38. На однорідний суцільний циліндричний вал радіусом , момент інерції якого , намотана невагома нитка, до кінця якої прикріплений вантаж масою . До початку обертання валу висота вантажу над підлогою становила . Визначити: 1) час опускання вантажу до підлоги; 2) силу натягу нитки; 3) кінетичну енергію вантажу в момент удару об підлогу.
3.39. На барабан радіусом намотано невагомий шнур, до кінця якого прив’язано вантаж масою . Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням .
3.40. Знайти лінійні прискорення центрів мас кулі, диска та обруча, які скочуються без проковзування з похилої площини. Кут нахилу площини . Початкові швидкості тіл дорівнюють нулю. Порівняти знайдені прискорення з прискореннями тіл, що ковзають по похилій площині без тертя. Прискорення вільного падіння .
3.41.  Однорідний конус має масу і радіус основи . Обчислити момент інерції конусу відносно його осі.
3.42. Колесо, обертаючись рівносповільнено, зменшило за час частоту обертання від до . Момент інерції колеса . Знайти кутове прискорення колеса, момент сил гальмування, роботу сил гальмування та число обертів, які здійснило колесо за час .
3.43. Яку роботу здійснює людина, переміщаючись з краю платформи в її центр в умовах, викладених в задачі 3.23? Радіус платформи .
3.44. Вентилятор обертається з частотою . Після виключення вентилятор, обертаючись рівносповільнено, зробив до зупинки обертів. Робота сил гальмування . Знайти момент інерції вентилятора та момент сил гальмування .
3.45. Знайти максимальний гіроскопічний тиск осі турбіни, встановленої на кораблі. Корабель зазнає кільової качки з амплітудою і періодом навколо напрямку, перпендикулярного до осі ротора. Ротор турбіни масою 3500 кг і радіусом обертається з частотою . Віддаль між підшипниками .