РОЗДІЛ 18.
ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ ТВЕРДОГО ТІЛА
Теплоємність моля кристалічної речовини (Закон Дюлонга і Пті):
,
де  – універсальна газова стала.
В рамках моделі Ейнштейна:
,
де  – характеристична температура Ейнштейна, а ;  –  температура в Кельвінах;  – стала Больцмана;  –  циклічна частота коливань атомів.
Характеристична температура Дебая:

де  –  максимальна циклічна частота коливань атомів;  – швидкість поздовжніх звукових хвиль в середовищі;  –  швидкість поперечних звукових хвиль в середовищі;  –  концентрація атомів.
Для моделі Дебая:
,
де  = .
Для низьких температур: .
Внутрішня енергія моля кристалічної речовини:
.
Функція Фермі-Дірака для розподілу електронів за енергіями:
,
де енергія Фермі
і ,
а  – енергія Фермі при Т = 0 К;  – концентрація вільних електронів в металі;  – маса спокою електрона.
Закон дисперсії для вільних електронів:
.
Густина електронних станів:
.
Тиск електронного газу:
,
де – концентрація електронів.
Концентрація електронів і дірок у власному напівпровіднику:
,
де і – ефективні маси електронів і дірок;  – ширина забороненої зони.
Для невиродженого власного напівпровідника положення рівня Фермі в забороненій зоні визначається за формулою:
.
Питома провідність власного напівпровідника залежить від температури за законом:
,
де  –  питома провідності при .
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Користуючись законом Дюлонга і Пті, знайти з якого металу зроблений кубик масою 0,025 кг, якщо відомо, що для його нагрівання від 283 К до 303 К затрачено  Дж теплоти.
Дано:
 кг


 Дж





Розв’язування
Кількість теплоти, що надана металу, визначимо за формулою:
, (1)
де ; - питома теплоємність металу.
З (1) знаходимо:
.
Запишемо зв’язок питомої теплоємності з молярною:
, (2)
де – шукана молярна маса.
Згідно закону Дюлонга і Пті:
, (3)
де - газова стала.
Використовуючи (1), (2) і (3), для знаходимо:
. (4)
Підставивши в (4) числові значення величин, одержуємо:
 кг/моль.
Використовуючи Періодичну таблицю елементів Менделєєва визначаємо, що такій молярній масі відповідає срібло .
Задача 2. Обчислити молярну теплоємність срібла при температурі , якщо температура Дебая дорівнює .
Дано:







Розв’язування
Згідно моделі Дебая молярна теплоємність твердих тіл при низьких температурах визначається за формулою:
, (1)
де - газова стала.
Підставивши числові дані в (1), одержимо:
Дж/моль·К.
Задача 3. Знайти тиск електронного газу в натрії, якщо енергія Фермі при  еВ. Вважати, що на один атом натрію припадає один вільний електрон.
Дано:

 еВ





Розв’язування
Для знаходження тиску електронного газу використаємо формулу:
, (1)
де концентрація електронів.
Густина речовини пов’язана з концентрацією атомів співвідношенням:
, (2)
де  – маса атома;  – молярна маса;  – число Авогадро. Для натрію  кг/моль.
З (2) отримуємо:
. (3)
Враховуючи (2) і (3), заходимо:
. (4)
Підставивши в (4) числові дані, одержимо:
 Па.
Задача 4. На скільки зміститься рівень Фермі у власному напівпровіднику при підвищенні температури на 50 K, якщо ефективні маси дірок у 5 разів перевищують ефективні маси електронів.
Дано:







Розв’язування
Рівень Фермі у власному напівпровіднику визначається за формулою:
, (1)
де  - ширина забороненої зони; - стала Больцмана.
За умови задачі:
а . (2)
Звідси:
. (3)
Підставивши в (3) числові значення, одержимо:
 Дж.
Задача 5. Знайти температурний коефіцієнт опору для кремнію при , якщо ширина забороненої зони кремнію  еВ.
Дано:







Розв’язування
Залежність питомого опору власного напівпровідника від температури задається формулою:
. (1)
Температурний коефіцієнт опору:
. (2)
З (1) отримуємо:
або . (3)
Підставивши в (3) числові дані, одержимо:
 К -1.
18.1. У рамках моделі кристалічної гратки Ейнштейна характеристична температура . Обчислити частоту коливань атомів для цього випадку.
І8.2. Знайти молярну теплоємність твердого тіла в рамках моделі Ейнштейна при температурі 3 К, якщо характеристична температура .
18.3. Характеристична температура Ейнштейна . У скільки разів зросте молярна теплоємність кристала при підвищенні температури від 3 К до 12 К ?
18.4. Обчислити молярну теплоємність кристала в рамках моделі Ейнштейна для температур: 1) . 2) .
18.5. Обчислити внутрішню енергію 54 г срібла при кімнатній температурі .
18.6. Швидкість поперечних хвиль для срібла . Швидкість поздовжніх хвиль . Число атомів в одиниці об’єму . Визначити температуру Дебая для срібла.
18.7. Для міді модуль Юнга , модуль зсуву , густина – 8900 кг/м3. Визначити температуру Дебая.
18.8. У скільки разів згідно моделі Дебая зросте молярна теплоємність срібла при підвищенні температури від 3 К до 12 К?
18.9. Обчислити теплоємність міді при температурі 20 К. Температура Дебая дорівнює 350 К.
18.10. Користуючись співвідношенням невизначеностей Гейзенберга оцінити енергію електрона в металі, вважаючи, що невизначеність координати дорівнює сталій гратки а = 5,0 Å.
18.11. Концентрація вільних електронів в металі . Знайти максимальну кінетичну енергію електронів при Т = 0 К.
18.12. Припускаючи, що на кожен атом міді припадає один вільний електрон, обчислити енергію Фермі при абсолютному нулі температури. На скільки зміниться енергія Фермі при підвищенні температури від 0 до 300 К?
18.13. Для срібла з густиною та молярною масою на один атом припадає один електрон провідності. Знайти: 1) максимальну енергію електрона ; 2) середню енергію електрона ; 3) тиск електронного газу .
18.14. Знайти число вільних електронів, що припадають на один атом натрію при Т = 0, якщо енергія Фермі , а густина натрію .
18.15. Знайти середню кінетичну енергію вільних електронів, якщо відома їх максимальна кінетична енергія при Т = 0.
18.16. Яка частина вільних електронів в металі має при абсолютному нулі температури кінетичну енергію, що перевищує їх середню енергію?
18.17. Знайти ймовірність того, що вільний електрон металу перебуває в стані з енергією, що дорівнює енергії Фермі.
18.18. До якої температури слід нагріти класичний електронний газ, щоб середня енергія його електронів дорівнювала б середній енергії вільних електронів в міді при Т = 0?
18.19. Обчислити параметр виродження енергетичних рівнів металу при Т = 300 К, якщо концентрація електронів .
18.20. Обчислити тиск електронного газу в металічному натрії при Т = 0 K, якщо концентрація вільних електронів в ньому . Використати рівняння для тиску ідеального газу.
18.21. На скільки зміниться положення рівня Фермі в напівпровіднику (з не виродженими електронним і дірковим газами) при підвищенні температури на 100 К, якщо ефективні маси дірок в 10 раз перевищують ефективні маси електронів?
18.22. Знайти відношення ефективних мас дірок і електронів в невиродженому напівпровіднику, якщо при підвищенні температури на 50 К рівень Фермі зміщується на 10 меВ.
18.23. У скільки разів зміниться опір власного напівпровідника з шириною забороненої зони 0,5 еВ при його нагріванні від 300 К до 350 К?
18.24. Вивести формулу для температурного коефіцієнта опору напівпровідника з власною провідністю.
18.25. Обчислити температурний коефіцієнт опору для германію при Т = 300 К, якщо його ширина забороненої зони .
18.26. При нагріванні кремнієвого кристалу від температури 273 К до 283 К його питома провідність зросла в 2,28 рази. Визначити ширину забороненої зони для кремнію.
18.27. Пряма напруга, прикладена до р-n- переходу дорівнює 2,0 В. У скільки разів зростає сила струму через перехід, якщо змінити температуру від Т1 = 300 К до Т2 = 273 К?
18.28. Кристалик власного напівпровідника шириною при температурі Т = 268 К поміщений у магнітне поле з індукцією В = 0,12 Тл. Знайти концентрацію носіїв струму та поперечну різницю потенціалів (ефект Холла), якщо величина струму І = 100 мА, ширина забороненої зони напівпровідника .