РОЗДІЛ 13.
ХВИЛЬОВА ОПТИКА
І. Інтерференція світла.
Швидкість світла в середовищі:
,
де – швидкість світла в вакуумі; – показник заломлення середовища.
Довжина світлової хвилі в середовищі:
,
де – довжина хвилі в вакуумі.
Оптичний шлях променя:
,
де  – геометричний шлях променя у середовищі з показником заломлення .
Оптична різниця ходу двох променів, що поширюються в різних середовищах:
.
Зв’язок між різницею фаз світлових коливань, що додаються, та оптичною різницею ходу двох променів:
.
Умова максимумів інтенсивності світла при інтерференції:
, ,
де  – номер (порядок) інтерференційного максимуму.
Умова мінімумів інтенсивності світла при інтерференції:
, .
Інтерференція від двох когерентних джерел.
а) Координати максимумів:
, ;
а) координати мінімумів:
, ;
в) віддаль між сусідніми інтерференційними смугами:
,
де  – віддаль від екрана до джерела;  – віддаль між когерентними джерелами.
Інтерференція світла у плоскопаралельних пластинках.
а) Умова максимумів інтенсивності світла, що проходить через пластинку (мінімумів для світла, що відбивається від пластинки):
, або ;
б) умова мінімумів інтенсивності світла, що проходить через пластинку (максимумів для світла, що відбивається від пластинки):
, або ,
де  – товщина пластинки;  – показник заломлення пластинки;  – кут падіння променя;  – кут заломлення променя;  – довжина хвилі світла, що падає на пластинку.
Радіуси світлих кілець Ньютона у випадку прохідного світла або темних кілець у випадку відбитого світла:
.
Радіуси темних кілець Ньютона у випадку прохідного світла або світлих кілець у випадку відбитого світла:
,
де  – номер кільця Ньютона; – радіус кривини лінзи;  – довжина хвилі світла, що інтерферує в прошарку середовища.
ІІ. Дифракція світла.
Радіуси зон Френеля у випадку плоского хвильового фронту:
,
де  – номер зони Френеля;  – відcтань від діафрагми до точки спостереження, що знаходиться на осі діафрагми;  – довжина світлової хвилі.
Радіуси зон Френеля при проходженні сферичної хвилі через круглий отвір:
,
де  – відстань від точкового джерела світла до отвору;  – відстань від отвору до екрана.
Дифракція Фраунгофера (в паралельних променях) на одній щілині.
а) Умова мінімумів інтенсивності:
;
б) умова максимумів інтенсивності:

де  – ширина щілини;  – кут дифракції променя;  – номер (порядок) максимуму чи мінімуму.
Дифракція паралельних променів на гратці.
а) Умова головних максимумів:
;
б) умова головних мінімумів:
;
в) умова додаткових мінімумів:
;
або , .
Роздільна здатність дифракційної гратки:
,
де  – найменша різниця довжин хвиль сусідніх спектральних ліній, які можуть спостерігатися окремо.
,
де  – загальне число щілин гратки;  – порядок дифракційного максимуму.
ІІІ. Поляризація світла.
Закон Брюстера:
,
де  – кут падіння, при якому відбита хвиля повністю поляризована;  – відносний показник заломлення.
Закон Малюса:
,
де  – інтенсивності світла, що падає і проходить через аналізатор;  – кут між головними площинами поляризатора і аналізатора.
Ступінь поляризації:

,
де і – максимальна та мінімальна інтенсивності, що відповідають двом взаємно перпендикулярним напрямам світлових коливань.
Повертання площини поляризації.
Кут повертання площини поляризації монохроматичного світла:
а) у твердих тілах:
,
де – стала повертання; – товщина пластинки;
б) у чистих рідинах:
,
де  – питоме повертання площини поляризації;  – густина рідини;  – довжина стовпа рідини, що проходить світло;
в) у розчинах:
,
де  – концентрація розчину (маса активної речовини в одиниці об’єму розчину).
Приклади розв’язування задач
Задача 1. У пристрої з дзеркалом Ллойда інтерференційні смуги спостерігаються на екрані, що розташований на віддалі від джерела монохроматичного світла (). Джерело світла розміщається на висоті від площини дзеркала (рис.13.1). Визначити: 1) що буде в точці А – мінімум чи максимум інтенсивності? 2) Як зміниться інтенсивність в точці А, якщо на шляху променя S1A перпендикулярно помістити плоскопаралельну скляну пластинку () товщиною ?
Дано:








=?
=?

Розв’язування

Рис. 13.1
Одним з найпростіших методів розділення однієї монохроматичної хвилі на дві є пристрій з дзеркалом Ллойда, в якому інтерферують два промені і . Отже, для розв’язку задачі потрібно визначити оптичну різницю ходу цих променів і встановити скільки півхвиль вкладається в оптичній різниці ходу .
Побудуємо уявне зображення джерела у дзеркалі. Оптична різниця ходу визначається різницею геометричних шляхів променів () і додатковою різницею , зумовленою втратою півхвилі при відбиванні другого променя від більш густого середовища (в точці В фаза коливань міняється на протилежну). Тобто, . З рис. 13.1 видно, що
,
.
Величина , тому:
, а .
Отже, і ; . Тобто, в різниці ходу вкладається непарне число півхвиль, тому в точці А спостерігається мінімум інтенсивності.
Якщо на шляху променя поставити скляну пластину, то вона змінить оптичну довжину шляху:
.
Оптична різниця ходу променів:
і , .
Число півхвиль ближче до 20, тому в цьому випадку в точці А буде часткове підсилення.
Задача 2. Для вимірювання показників заломлення прозорих речовин використовують інтерферометр Жамена, оптична схема якого зображена на рис. 13.2, де – точкове джерело світла (), 1 і 2 – дві однакові трубки (), Д – діафрагма з двома щілинами. Коли повітря в трубці 2 замінили аміаком, то інтерференційна картина на екрані змістилася на 17 смуг. Визначити показник заломлення аміаку, якщо показник заломлення повітря .
Дано:






= ?


Розв’язування

Рис. 13.2
Згідно з принципом Гюйгенса дві щілини діафрагми є джерелом вторинних когерентних хвиль, тому на екрані виникає інтерференційна картина. Результат інтерференції в довільній точці екрану визначається оптичною різницею ходу . Заміна повітря аміаком в трубці 2 змінила на , що призвело до зміщення інтерференційних смуг. Отже,
.
Звідки:
.
Задача 3. Поверхні скляного клина () утворюють кут . На клин падає нормально до його поверхні пучок монохроматичного світла (). Знайти відстань між інтерференційними смугами.
Дано:






= ?

Розв’язування
Кут падіння променів на поверхню дорівнює нулю, тому різниця ходу для відбитих променів приблизно дорівнює:
,
де – додаткова різниця ходу, що виникає при відбиванні променя від клина.

Рис. 13.3
Нехай точкам А і В відповідають дві сусідні світлі смуги. За умовою максимуму
, ; .
Звідки:
.
З рис. 13.3 випливає, що . В зв’язку з малістю кута
,
де виражається в радіанах:

.
Задача 4. Кільця Ньютона утворюються між двома плоскоопуклими лінзами, притиснутими одна до одної опуклими поверхнями (рис. 13.4). Знайти радіус п’ятого темного кільця у відбитому світлі, якщо довжина світлової хвилі , а радіуси лінз , .
Дано:






= ?

Розв’язування
Інтерференційна картина виникає внаслідок накладання хвиль відбитих від опуклих поверхонь лінз. Місце однакової товщини повітряного прошарку утворюють концентричні кола.
Рис. 13.4
Умову виникнення темних інтерференційних кілець у відбитому світлі можна записати:
,
де – товщина повітряного прошарку (); – втрата півхвилі при відбиванні променя від більш густого середовища (другої лінзи); – номер кільця.
З рис. 13.4 видно, що
; і .
Аналогічно,
і .
Оскільки , то
і ; .
Задача 5. На дифракційну гратку нормально до поверхні падає паралельний пучок світла (). Розташована поблизу гратки лінза проектує дифракційну картину на екран, що знаходиться на віддалі (рис.13.5). Віддаль між максимумами першого порядку . Визначити: 1) постійну дифракційної гратки; 2) число штрихів на 1 см гратки; 3) загальне число максимумів; 4) максимальний кут дифракції променів, що відповідає останньому дифракційному максимуму.
Дано:






= ?



Розв’язування

Рис. 13.5
1. Умова максимумів при дифракції на дифракційній гратці
,
де - порядок максимуму.
В даному випадку для ; кут дифракції малий, то і , а : .
2. Число штрихів на 1 см :
.
3. Для визначення числа максимумів визначимо з таких міркувань: максимальний кут дифракції і ; тому ; .
Число мусить бути цілим, але воно не може дорівнювати 10, бо , значить . Загальне число максимумів дифракційної картини . .
4. Максимальний кут дифракції променів ; ; .
Задача 6. Дві призми Ніколя і розташовані так, що кут між площинами пропускання 60º (рис. 13.6). Визначити: 1) як зменшується інтенсивність при проходженні світла через один ніколь? 2) Як зменшиться інтенсивність при проходженні через 2 ніколі? Втрата інтенсивності при проходженні кожного ніколя 5 %.
Розв’язування

Рис.13.6
1) З пучка природного світла при падінні на грань ніколя внаслідок подвійного променезаломлення утворюється два промені звичайний (“о”) і незвичайний (“е”). Вони однакові за інтенсивністю і повністю поляризовані у взаємноперпендикулярних площинах. Звичайний промінь відбивається від границі АВ і повністю поглинається поверхнею призми. Тому – інтенсивність незвичайного променя з врахуванням поглинання у призмі: . Відносне зменшення інтенсивності
.
Тобто інтенсивність зменшилась у 2,1 рази.
2) Плоскополяризоване світло з інтенсивністю падає на ніколь . Звичайний промінь знову повністю поглинається ніколем, а інтенсивність незвичайного визначається законом Малюса і з врахуванням поглинання , тому
і .
Тобто, після проходження світла через два ніколя інтенсивності зменшиться у 8,86 рази.
13.1. Оптична різниця ходу двох променів монохроматичного світла, що інтерферують, дорівнює 0,3 ?. Визначити різницю фаз коливань.
13.2. У досліді Юнга щілини, розташовані на віддалі 0,3 мм, освітлюють монохроматичним світлом з довжиною хвилі 0,6 мкм. Віддаль від щілин до екрана 0,5 м. Визначити ширину інтерференційної смуги.
13.3. У досліді Юнга щілини освітлюють спочатку світлом довжиною хвилі , а потім – довжиною хвилі . Сьома світла інтерференційна смуга у першому випадку збігається з десятою темною смугою у другому. Визначити довжину хвилі .
13.4. На діафрагму з вузькими щілинами, віддаль між якими 2,5 мм, нормально падає плоска монохромна хвиля. На екрані, що розташований на відстані 100 см за діафрагмою, утворюється система інтерференційних смуг. Одну із щілин перекрили скляною пластинкою () товщиною 10 мкм. На яку відстань змістяться смуги ?
13.5. У досліді з інтерферометром Майкельсона для зміщення інтерференційної картини на 450 смуг дзеркало довелось перемістити на відстань 0,135 мм. Визначити довжину хвилі світла.
13.6. Одну із відкачаних трубок інтерферометра Жамена заповнили хлором, при цьому інтерференційна картина змістилась на 131 смугу. Визначити показник заломлення хлору, якщо довжина хвилі , а довжина трубки .
13.7. На мильну плівку () нормально падає пучок променів білого світла. При якій найменшій товщині плівка буде зеленою () у прохідному світлі ? У відбитому світлі ?
13.8. Біле світло падає під кутом 45º на мильну плівку (). При якій найменшій товщині плівка буде жовтою у відбитому світлі? ().
13.9. Пучок білого світла падає нормально на скляну пластинку, товщина якої 0,8 мкм. Показник заломлення скла . Які довжини хвиль в межах видимого спектра (400 – 700 нм) підсилюються у відбитому світлі?
13.10. На поверхню скляного об’єктива () нанесено тонку плівку (). При якій найменшій товщині цієї плівки відбите світло буде максимально послаблене для світлових хвиль середньої частини спектра? ().
13.11. Мильна плівка, розміщена вертикально, утворює клин внаслідок стікання рідини. Спостерігаючи інтерференційні смуги у відбитому світлі (), знаходимо, що ширина п’яти інтерференційних смуг дорівнює 2 см. Знайти кут клина в секундах. Світло падає перпендикулярно до поверхні плівки. Показник заломлення мильної води 1,33.
13.12. На скляний клин падає нормально пучок світла (). Кут клина дорівнює 20´´. Яке число темних інтерференційних смуг припадає на одиницю довжини клина? Показник заломлення скла дорівнює 1,5.
13.13. Монохроматичне світло () нормально падає на скляний клин. Число інтерференційних смуг, що припадають на 1 см дорівнює 10. Визначити кут клина. Показник заломлення скла 1,5.
13.14. Пристрій для одержання кілець Ньютона освітлюється монохроматичним світлом. Спостереження ведеться у відбитому світлі. Радіуси двох сусідніх темних кілець дорівнюють відповідно 4,0 і 4,38 мм. Радіус кривини лінзи 6,4 м. Знайти порядкові номери кілець і довжину хвилі падаючого світла.
13.15. Біле світло падає нормально на пристрій для одержання кілець Ньютона. Радіус кривини лінзи 5 м. Знайти: 1) радіус четвертого синього кільця (); 2) радіус третього червоного кільця (). Спостереження проводиться у прохідному світлі.
13.16. Відстань між п’ятим і двадцять п’ятим світлими кільцями Ньютона дорівнює 9 мм. Радіус кривини лінзи 15 м. Знайти довжину хвилі монохроматичного світла, яке падає нормально на лінзу. Спостереження проводиться у відбитому світлі.
13.17. Знайти відстань між третім та шістнадцятим темними кільцями Ньютона, якщо відстань між другим та двадцятим темними кільцями дорівнює 4,8 мм. Спостереження проводиться у відбитому світлі.
13.18. Монохроматичне світло падає нормально на діафрагму з круглим отвором. Діаметр отвору 6 мм. За діафрагмою на відстані 3 м від неї розташовано екран. Знайти: 1) скільки зон Френеля вкладається в отвір діафрагми? 2) Яким буде центр дифракційної картини на екрані (темним чи світлим) ?
13.19. Обчислити радіуси перших п’яти зон Френеля для випадку плоскої хвилі. Відстань від хвильової поверхні до точки спостереження дорівнює 1 м. Довжина хвилі .
13.20. Радіус четвертої зони Френеля для плоского хвильового фронту дорівнює 3 мм. Визначити радіус двадцять п’ятої зони.
13.21. Обчислити радіуси перших п’яти зон Френеля, якщо відстань від джерела світла до хвильової поверхні дорівнює 1 м, відстань від хвильової поверхні до точки спостереження також дорівнює 1 м. Довжина хвилі .
13.22. На щілину, ширина якої 2 мкм, падає нормально паралельний пучок монохроматичного світла з довжиною хвилі 589 нм. Знайти кути, у напрямку яких будуть спостерігатися мінімуми світла.
13.23. Паралельний пучок монохроматичного світла з довжиною хвилі , нормально падає на щілину шириною . Під яким кутом буде спостерігатись третій дифракційний мінімум світла ?
13.24. На вузьку щілину падає нормально монохроматичне світло. Кут дифракції променів, що відповідають другій світлій дифракційній смузі . Скільком довжинам хвиль світла дорівнює ширина щілини ?
13.25. Скільки щілин на кожний міліметр містить дифракційна гратка, якщо при спостереженні у монохроматичному світлі з довжиною хвилі 0,6 мкм максимум п’ятого порядку відповідає куту дифракції 18°?
13.26. На дифракційну гратку, що містить 100 щілин на кожний міліметр, падає нормально монохроматичне світло. Зорова труба спектрального приладу наведена на максимум третього порядку. Щоб навести трубу на симетричний максимум цього ж порядку, її необхідно повернути на кут 20°. Визначити довжину світлової хвилі.
13.27. Дифракційна гратка освітлена нормально падаючим монохроматичним світлом. Максимуму спектру другого порядку відповідає куту дифракції 14°. Який кут дифракції для максимуму третього порядку ?
13.28. На дифракційну гратку нормально падає пучок світла від розрядної трубки, що наповнена гелієм. На яку лінію в спектрі третього порядку накладається червона лінія гелію 640 нм спектра другого порядку ?
13.29. Монохроматичне світло падає під кутом на дифракційну гратку, період якої . Максимум якого порядку буде видно на екрані, якщо кут дифракції ?
13.30. Дифракційна гратка має 200 щілин на міліметр. На гратку падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Максимум якого найбільшого порядку дає ця гратка ?
13.31. На дифракційну гратку, що має 400 щілин на 1 мм, падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Знайти загальне число дифракційних максимумів, які дає ця гратка.
1.32. Дифракційна гратка розділяє в першому порядку спектра калію лінії з довжинами хвиль 404,4 нм і 404,7 нм. Ширина гратки становить 3 см. Визначіть період дифракційної гратки ?
13.33. Якою є ширина дифракційної гратки з періодом 25,4 мкм, якщо вона в першому порядку розділяє дублет натрію з довжинами хвиль 589 нм і 589,6 нм?
13.34. Постійна дифракційної гратки, ширина якої 2,5 см, дорівнює 2 мкм. Яку різницю довжин хвиль може розділити ця гратка в області жовтих променів (600 нм) у спектрі другого порядку ?
13.35. Період дифракційної гратки становить 0,01 мм. Яке найменше число щілин повинна мати гратка, щоб дві складові жовтої лінії натрію 589 нм і 589,6 нм можна було бачити роздільно в спектрі першого порядку? Визначити найменшу ширину гратки.
13.36. Під кутом 30° спостерігається четвертий максимум для довжини хвилі 0,644 мкм. Визначити постійну дифракційної гратки та її ширину, якщо вона дозволяє розділяти .
13.37. Визначити кут повної поляризації при відбиванні світла від скла, показник заломлення якого дорівнює 1,57.
13.38. Граничний кут повного внутрішнього відбивання для деякої речовини дорівнює 45°. Яким є для цієї речовини кут повної поляризації ?
13.39. Визначити показник заломлення скла, якщо відбитий промінь буде повністю поляризований при куті заломлення 30°?
13.40. Промінь світла, що проходить у повітрі, падає на поверхню рідини під кутом 54°. Визначити кут заломлення променя, якщо відбитий промінь максимально поляризований.
13.41. Кут максимальної поляризації при відбиванні світла від кристалу кам’яної солі дорівнює 57о. Визначити швидкість поширення світла у цьому кристалі.
13.42. Промінь світла, який падає на поверхню розчину, частково відбивається, частково заломлюється. Визначити показник заломлення розчину, якщо відбитий промінь повністю поляризується при куті заломлення 35°.
13.43. Аналізатор у два рази зменшує інтенсивність світла, яке приходить до нього від поляризатора. Визначити кут між головними площинами поляризатора і аналізатора.
13.44. Кут між головними площинами поляризатора і аналізатора дорівнює 45º. У скільки разів зменшиться інтенсивність світла, яке виходить із аналізатора, якщо кут збільшити до 60°?
13.45. Промінь природного світла послідовно проходить через поляризатор і аналізатор, кут між головними площинами яких дорівнює 60°. Яку частку початкової інтенсивності світла становить інтенсивність світла на виході з аналізатора ?
13.46. У скільки разів послаблюється природне світло, проходячи через два ніколі, головні площини яких утворюють між собою кут 63°, якщо в кожному із них втрачається 10 % інтенсивності світла ?
13.47. Чому дорівнює кут між головними площинами поляризатора і аналізатора, якщо інтенсивність природного світла, що пройшло через поляризатор і аналізатор, зменшується у чотири рази? Поглинанням світла знехтувати.
13.48. Ступінь поляризації частково поляризованого світла Р = 0,5. У скільки разів відрізняється максимальна інтенсивність світла, яке проходить через аналізатор, від мінімальної ?
13.49. На шляху частково поляризованого світла, ступінь поляризації якого Р = 0,6, поставили аналізатор так, що інтенсивність світла, що пройшло через аналізатор, стала максимальною. У скільки разів зменшиться інтенсивність світла, якщо площину пропускання аналізатора повернути на кут ?
13.50. Визначити товщину кварцової пластинки, для якої кут повертання площини поляризації світла з довжиною хвилі 490 нм дорівнює 150°. Стала повертання у кварці для цієї довжини хвилі дорівнює 36,3 рад/мм.
13.51. Між двома паралельними ніколями помістили кварцову пластинку товщиною 1 мм, яка вирізана паралельно до оптичної осі. При цьому площина поляризації монохроматичного світла, яке падає на поляризатор, повернулась на кут 20º. При якій мінімальні товщині пластинки світло не пройде через аналізатор ?
13.52. Розчин цукру у трубці довжиною 18 см, яка розташована між поляризатором і аналізатором, повертає площину коливань жовтих променів натрієвого полум’я на 30°. Яка маса цукру у розчині об’ємом 1 м3, якщо питоме повертання цукру для жовтих променів натрію 66,7·10–20 м2/кг? 
13.53. Концентрація розчину цукру, налитого у скляну трубку, дорівнює 0,3 г/см3. Цей розчин повертає площину поляризації монохроматичного світла на 25°. Визначити концентрацію розчину в другій такій самій трубці, якщо він повертає площину поляризації на кут 20°.