РОЗДІЛ 11.
ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ
Вільні незагасаючі гармонічні електромагнітні коливання в L - C - контурі.
Заряд на обкладках конденсатора:
,
де – амплітуда коливань заряду; час; початкова фаза.
Власна циклічна частота контура:
,
де  – індуктивність контура;  – ємність конденсатора.
Період коливань:
.
Енергія коливань:
.
Вільні загасаючі гармонічні коливання в L-C-R - контурі.
Заряд на обкладках конденсатора:
,
де – початкова амплітуда коливань заряду.
Циклічна частота загасаючих коливань:
.
Коефіцієнт загасання:
,
де  – активний опір контура.
Період коливань:
.
Час релаксації: .
Декремент загасання: .
Логарифмічний декремент загасання:
.
Добротність контура:
,
де та  – енергії коливальної системи в момент часу і .
У випадку, коли  << 1, можна скористатися наближеною формулою: .
Вимушені гармонічні електромагнітні коливання в L-C-R- контурі під впливом
змінної, з циклічною частотою ?, електрорушійної сили .
Заряд на обкладках конденсатора :
.
Амплітуда заряду:
.
Повний опір Z кола змінного струму:
.
Напруга в колі на затискачах джерела:
.
Амплітуда струму:
.
Зсув фаз ? між струмом І та напругою U визначається із рівняння:
.
Ефективне (діюче) значення струму: .
Ефективне (діюче) значення напруги: .
Потужність змінного струму: .

Електромагнітні хвилі.
Рівняння електромагнітної хвилі у векторній формі:
; ,
де – вектор напруженості електричного поля, а – вектор напруженості магнітного поля електромагнітної хвилі; – вектор амплітуди напруженості електричного поля, а – вектор амплітуди напруженості магнітного поля електромагнітної хвилі; – хвильове число.
Фазова швидкість хвиль:
,
де с – швидкість електромагнітної хвилі у вакуумі;  – електрична стала; відносна діелектрична проникність середовища;  – магнітна стала; відносна діелектрична проникність середовища.
Зв’язок амплітудних значень напруженостей електричного та магнітного полів хвилі:
.
Зв’язок довжини хвилі , періоду Т, частоти і швидкості поширення хвилі:
.
Довжина хвилі, яку випромінює контур: .
Об’ємна густина енергії хвилі:
.
Модуль густини потоку енергії (вектора Пойнтінга):
.
Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі :
.
Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі:
.
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Визначити частоту власних коливань в коливальному контурі, що містить конденсатор ємністю 0,5 мкФ, якщо максимальна різниця потенціалів на його обкладках складає 100 В, а максимальна сила струму в котушці дорівнює 0,05 А. Активним опором котушки знехтувати.
Дано:
 = 0,5 мкФ
 = 100 В
= 0,05 А



= ?

Розв’язування
Частота власних незгасаючих коливань в контурі дорівнює:
.
Оскільки при таких коливаннях енергія залишається сталою і максимальне значення енергії електричного поля дорівнює максимальному значенню енергії магнітного поля:
,
то, звідси
.
Для частоти знаходимо формулу:
.
Після підстановки числових значень отримаємо  = 160 Гц.
Задача 2. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 25 мкФ, котушки індуктивності 40 мГн та резистора. За 8 коливань амплітуда струму в контурі зменшилася в е разів. Визначити активний опір резистора.
Дано:
 = 25 мкФ
 = 40 мГн
 = 8




 = ?

Розв’язування
Час, за який амплітуда коливань зменшилася в е разів, - це час релаксації , що пов’язаний з коефіцієнтом загасання коливань формулою:
.
Оскільки
,
то
.
За час релаксації в коливальному контурі відбудеться число коливань
,
де умовний період загасаючих коливань
.
Таким чином,
.
Звідси
.
Після підстановки числових значень отримаємо  = 2,5 Ом.
Задача 3. В коло змінного струму з діючим значенням напруги 120 В та амплітудним значенням струму 5 А послідовно включені котушка індуктивністю 0,1 Гн та резистор 10 Ом. Визначити період коливань струму.
Дано:
 = 120 В
 = 5 А
 = 0,1 Гн
= 10 Ом



 = ?


Розв’язування
Період коливань змінного струму пов’язаний із його циклічною частотою співвідношенням:
.
Величину знайдемо із закону Ома для змінного струму у випадку послідовно з’єднаних котушки та резистора:
.
Звідси
.
Таким чином,
,
Звідки отримаємо:
.
З урахуванням того, що

,
кінцева формула для знаходження періоду матиме вигляд:
.
Після підстановки числових значень отримаємо:
 = 19,4·10-3 с .
Задача 4. Довжина електромагнітної хвилі у вакуумі, на яку настроєний коливальний контур, складає 24 м. Визначити максимальний заряд на обкладках конденсатора, якщо максимальний струм в контурі складає 1 А.
Дано:
 = 24 м
 = 1 А



 = ?

Розв’язування
Довжина електромагнітної хвилі у вакуумі визначається за формулою:
,
де
.
Отже,
.
Оскільки при випромінюванні хвилі в коливальному контурі підтримуються незгасаючі коливання, то максимальне значення енергії електричного поля хвилі дорівнює максимальному значенню енергії магнітного поля, тобто виконується рівність:
.
Звідки:
.
Таким чином,
.
Звідси знаходимо:
.
Після підстановки числових значень отримаємо:
 = 12,7·10-9 Кл.
Задача 5. Вздовж осі ОХ у вакуумі поширюється плоска електромагнітна хвиля, інтенсивність якої дорівнює 4 мВт/м2. Визначити амплітуду напруженості магнітного поля хвилі.
Дано:
= 4 мВт/м2



=?

Розв’язування
Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі, як середня енергія, що проходить за одиницю часу через одиницю поверхні, дорівнює середньому значенню модуля вектора густини потоку електромагнітної енергії – модуля вектора Пойнтінга:
,
де – амплітудне значення напруженості електричного поля хвилі, а  –амплітудне значення напруженості магнітного поля. Ці значення зв’язані між собою співвідношенням:
,
де – електрична стала; – магнітна стала;  відносна діелектрична проникність середовища; відносна діелектрична проникність середовища; для вакууму:= 1 і  = 1.
Таким чином,
,
а, отже, інтенсивність хвилі:
.
Звідси знаходимо:
.
Після підстановки числових значень отримаємо  = 4,6·10-3 А/м.
11.1. Яку індуктивність повинен мати коливальний контур, щоб при ємності 5 мкФ одержати коливання частотою 1000 Гц? Опором контуру знехтувати.
11.2. Індуктивність коливального контуру 1,6 мГн, електроємність – 0,04 мкФ, а максимальна напруга, прикладена до контуру, дорівнює 200 В. Знайти максимальну силу струму в контурі. Опором повітря знехтувати.
11.3. Включений в коливальний контур конденсатор заповнили діелектриком з відносною діелектричною проникністю ? = 4. У скільки разів змінилась частота власних коливань контуру?
11.4. При вмиканні в коливальний контур конденсатора з електроємністю С1 частота власних коливань була v1 = 30 кГц; після заміни цього конденсатора іншим з ємністю С2 частота власних коливань стала v2 = 40 кГц. Якою буде частота власних коливань при паралельному з’єднанні цих конденсаторів ?
11.5. При вмиканні в коливальний контур деякого конденсатора частота власних коливань складає 40 кГц, а при заміні на інший конденсатор частота власних коливань стала 50 кГц. Якою буде частота власних коливань в контурі, в якому ці два конденсатори з’єднані послідовно?
11.6. Коливальний контур складається з індуктивності L = 0,03 Гн і ємності С = 80 мкФ. Максимальна напруга на конденсаторі Umax = 120 В. Знайти максимальний заряд на обкладках конденсатора та максимальний струм у контурі.
11.7. Максимальна сила струму в коливальному контурі, що складається із конденсатора та котушки, дорівнює 0,01 А, а максимальна напруга на обкладках повітряного плоского конденсатора досягає 50 В. Визначити відстань між пластинами конденсатора, якщо площа пластин 40 см2, а індуктивність котушки 1 мГн. Активним опором котушки знехтувати.
11.8. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 2 мкФ та котушки без сердечника із тонкого дроту, що містить 500 витків. Довжина котушки складає 10 см, а її радіус – 1 см. Визначити період вільних коливань в контурі. Активним опором котушки знехтувати.
11.9. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 48 мкФ, котушки індуктивності L = 24 мГн і активного опору R = 200 0м. Визначити частоту вільних електромагнітних коливань у цьому контурі. Як зміниться частота, якщо знехтувати активним опором котушки?
11.10. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 50 мкФ, котушки індуктивністю 25 мГн й активного опору 40 Ом. На скільки зміниться частота електромагнітних коливань в контурі, якщо активний опір зменшити на 30 Ом ?
11.11. Коливальний контур складається із конденсатора ємністю 2 мкФ, котушки індуктивністю 0,1 Гн і активного опору 10 Ом. Визначити логарифмічний декремент загасання коливань.
11.12. Коливальний контур, що складається з конденсатора ємністю 0,2 Ф, котушки індуктивності і резистора опором 1 Ом, має логарифмічний декремент загасання рівний 0,0314. Визначити індуктивність котушки.
11.13. Логарифмічний декремент загасання коливань з циклічною частотою 314 рад/с в контурі дорівнює 0,01. За скільки коливань амплітуда струму зменшиться в 20 разів?
11.14. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 0,2 мкФ і котушки індуктивністю L = 5,07 мГн. При якому логарифмічному декременті загасання різниця потенціалів на обкладках конденсатора за час t = 1 мс змінюється в три рази? Яким при цьому буде активний опір R контура?
11.15. Коливальний контур має ємність С = 1,1 нФ і індуктивність L = 5 мГн. Логарифмічний декремент загасання коливань дорівнює 0,005. За який час внаслідок загасання втрачається 99 % енергії контура?
11.16. Добротність коливального контура = 10. Визначити, на скільки процентів відрізняється частота ?0 вільних коливань контура від власної частота ? контура.
11.17. Резонанс у коливальному контурі з конденсатором ємності C1 = 1 мкФ настає при частоті коливань v1 = 400 Гц. Коли паралельно до конденсатора C1 під’єднують інший конденсатор С2, то резонансна частота дорівнює v2 = 100 Гц. Визначити ємність С2 другого конденсатора. Опором конденсатора знехтувати.
11.18. До котушки індуктивністю 20 мГн з активним опором 20 Ом підключають батарею із чотирьох однаково заряджених конденсаторів з ємністю 2 мкФ кожен. В скільки разів зміниться частота загасаючих коливань в контурі для двох випадків: конденсатори в батареї з’єднані один раз послідовно, а іншого разу – паралельно.
11.19. Визначити логарифмічний декремент загасання, коли за 5 коливань енергія коливального контуру зменшилася у 8 разів.
11.20. Коливальний контур складається із конденсатора ємність 200 мФ і котушки індуктивністю 2 мГн з активним опором дроту 1 Ом. Визначити добротність такого контуру.
11.21. В коло змінного струму з діючим значенням напруги 120 В та амплітудним значенням струму 5 А послідовно включені котушка індуктивністю 0,1 Гн і активний опір 10 Ом. Знайти період змінного струму.
11.22. В коло змінного струму з максимальною напругою 200 В і частотою 50 Гц послідовно включені ємність 20 мкФ, активний опір 100 Ом та індуктивність 0,25 Гн. Знайти амплітудні значення сили струму в колі та спадів напруги на ємності, активному опорі та індуктивності.
11.23. В коло змінного струму з максимальною напругою 220 В і частотою 50 Гц послідовно включені ємність 40 мкФ, активний опір 80 Ом та індуктивність 0,5 Гн. Знайти амплітудне значення сили струму в колі, зсув фаз між коливаннями струму та напруги і потужність змінного струму за один період.
11.24. У якому діапазоні довжин хвиль працює радіопередавач, якщо ємність його коливального контура може змінюватися від С1 = 60 пФ до С2 = 240 пФ, а індуктивність становить L = 60 мкГн?
11.25. Зміна струму в коливальному контурі описується рівнянням І = 0,3sin(15,7t). Визначити довжину електромагнітної хвилі, яку випромінює контур.
11.26. За якої частоти коливань довжина електромагнітної хвилі у гліцерині дорівнює 5 см ? Відносна діелектрична проникність гліцерину 39,1.
11.27. Визначити довжину хвилі в спирті, якщо частота електромагнітних коливань дорівнює 4·1015 Гц. Відносна діелектрична проникність спирту ? = 26.
11.28. Визначити швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у склі, якщо відносна діелектрична проникність скла ? = 7, а відносна магнітна проникність ? = 1,0.
11.29. Приймальний контур складається з котушки індуктивністю L = 2 мкГн і конденсатора ємністю С = 0,18 нФ. На яку довжину хвилі розраховано контур?
11.30. На яку довжину хвилі настроєний коливальний контур, якщо він складається з котушки, індуктивність якої L = 2 мГн і плоского конденсатора ? Відстань між пластинами конденсатора d = 1 см; площа пластин S = 800 см2; діелектрична проникність речовини між пластинами ? = 3,1.
11.31. Коливальний контур, що складається з плоского повітряного конденсатора з площиною пластин 100 см2 і котушки з індуктивністю 1 мкГн, збуджує електромагнітні хвилі довжиною 10 м. Визначити віддаль між пластинами конденсатора.
11.32. Котушка з індуктивністю L = 30 мкГн під’єднана до плоского конденсатора з площею пластин S = 100 см2 і відстанню між ними d = 0,1 мм. Визначити відносну діелектричну проникність речовини, яка заповнює простір між пластинами, якщо контур резонує на хвилю довжиною ? = 750 м?
11.33. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 10 нФ і котушки індуктивністю 50 мкГн без сердечника. Всередину котушки вводиться феритовий сердечник, який має магнітну проникність ? = 1000. Знайти частоти коливань у першому і другому випадках і довжини випромінюваних хвиль.
11.34. В однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю ? = 4,0 та відносною магнітною проникністю ? = 1,0 розповсюджується плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда напруженості електричного поля хвилі Е0 = 10,0 В/м. Знайти амплітуду напруженості Н0 магнітного поля хвилі та фазову швидкість хвилі.
11.35. В однорідному ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю ? = 9,0 та відносною магнітною проникністю ? = 1,0 поширюється плоска монохроматична хвиля. Амплітуда напруженості магнітного поля рівна Н0 = 40 А/м. Знайти фазову швидкість та амплітуду напруженості Е0 електричного поля хвилі.
11.36. Електромагнітна хвиля з частотою 3,0 МГц переходить з вакууму в середовище з діелектричною проникністю ? = 4,0. Знайти приріст її довжини хвилі.
11.37. Електромагнітна хвиля частотою 4 МГц переходить із середовища з відносною діелектричною проникністю ?1 = 4,0 в середовище з відносною діелектричною проникністю ?2 = 81,0. Знайти приріст її довжини хвилі.
11.38. Знайти середню потужність випромінювання електрону, що здійснює гармонічні коливання з амплітудою 0,1 нм і частотою 6,5·1014 рад/с.
11.39. Стрижень із сегнетоелектрика має напрямлену вздовж його осі поляризованість 0,05 Кл/м2. Діаметр стрижня 5 мм, довжина 200 мм. Стрижень обертають навколо перпендикулярної до нього осі, що проходить через його центр, з кутовою швидкістю 314 рад/с. Знайти довжину хвилі і потужність випромінювання стрижня.
11.40. Густина енергії електромагнітного поля w = 0,5 Дж/м3. Визначити модуль вектора Умова - Пойнтінга P для цього поля та кількість енергії, що переноситься за 2 хвилини через площу в 1 м2, перпендикулярну до напрямку поширення хвиль.