РОЗДІЛ 1.
КІНЕМАТИКА ПОСТУПАЛЬНОГО ТА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХІВ
Кінематичні рівняння руху в координатній формі:
; ; .
Кінематичне рівняння у природній формі:
,
де s – криволінійна координата.
Миттєва швидкість:
.
Проекції швидкості на координатні осі:
; ; .
Модуль швидкості:
.
Модуль миттєвої швидкості:
.
Середня швидкість нерівномірного руху:
.
Модуль миттєвого прискорення:
.
Середнє прискорення:
.
Проекції прискорення на осі координат:
; ; .
Модуль прискорення:
.
Модуль нормальної складової прискорення:
.
Модуль тангенціальної складової прискорення:
.
Модуль повного прискорення:
.
Кінематичне рівняння рівномірного прямолінійного руху:
.
Кінематичне рівняння рівнозмінного прямолінійного руху:
.
Швидкість для рівнозмінного прямолінійного руху:
.
Кінематичне рівняння обертального руху:
,
де ? – кутова координата.
Середня кутова швидкість:
,
де ?? – кут повороту.
Модуль миттєвої кутової швидкості:
.
Модуль кутового прискорення:

.
Кінематичне рівняння рівномірного обертального руху:
.
Період обертання:
.
Частота обертання:
.
Кінематичне рівняння рівнозмінного обертального руху:
.
Кутова швидкість при рівнозмінному обертальному русі:
.
Лінійна швидкість:
.
Тангенціальне прискорення:
.
Нормальне прискорення:
.
Приклади розв’язування задач

Задача 1. Куля, випущена з гвинтівки, рухається вертикально вгору і пробиває в горизонтальних крилах малошвидкісного літака два отвори, що зміщені один відносно одного на віддаль = 16 см. Швидкість літака = 108 км/год, відстань між крилами = 2 м. Знайти за цими даними висоту польоту літака, якщо швидкість кулі при вильоті з дула гвинтівки = 400 м/с. Опору повітря не враховувати.
Дано:
= 16 см
= 108 км/год
= 2 м
= 400 м/с



 = ?

Розв’язування
Для знаходження висоти польоту літака використаємо формулу:
,
де  – швидкість кулі на висоті ;  – прискорення вільного падіння.
Тоді:
.
Для знаходження швидкості зробимо наступні міркування. Наближено рух кулі між крилами літака можна вважати рівномірним. Тоді рівняння руху кулі між крилами літака матиме вигляд:
.
За той самий час літак зміститься в горизонтальному напрямі на відстань , отже:
.
З останніх двох рівнянь виходить, що на висоті h швидкість кулі
.
Таким чином, шукана висота
.
Після підстановки числових даних, отримуємо:
h = 988 м.
Задача 2. Матеріальна точка рухається рівноприскорено по колу радіусом R = 5 м. За час t = 7 c вона проходить шлях s = 38 м. Через скільки секунд після початку руху її повне прискорення буде дорівнювати 4,6 м/с2 ?
Дано:
R = 5 м
s = 38 м
4,6 м/с2
t = 7 c



 = ?

Розв’язування
Модуль повного прискорення
,
де  – нормальне,  – тангенціальне прискорення. При цьому русі тангенціальне прискорення є сталою величиною, а нормальне – буде змінюватись, оскільки воно залежить від лінійної швидкості, яка змінюється. Тангенціальне прискорення можна визначити з формули:
,
звідки
.
В момент часу t1, коли повне прискорення буде мати значення , лінійна швидкість буде

,
а нормальне прискорення
.
Тоді є можливість записати, що
.
З останнього рівняння можна визначити шукану величину
.
Після підстановки числових даних знаходимо, що шуканий за умови задачі час
.
Задача 3. Матеріальна точка починає рухатись по коловій траєкторії зі сталим кутовим прискоренням ? = 0,04 рад/с2. Через який час після початку руху повне прискорення матеріальної точки буде напрямлене під кутом ? = 760 до напряму її лінійної швидкості ? Визначити шлях, що його пройде точка за цей час, якщо радіус колової траєкторії R = 20 см.
Дано:
? = 0,04 рад/с2
? = 760
R = 20 см



 = ?
= ?

Розв’язування
Матеріальна точка рухається по коловій траєкторії заданого радіуса. Оскільки рух прискорений, лінійна швидкість точки, а отже, і нормальне прискорення неперервно зростають з часом. Дотичне прискорення, за умовою задачі, постійне. Отже, вектор повного прискорення з часом змінюється як за модулем, так і за напрямом.
Кут ? між векторами і залежить від співвідношення між нормальним та дотичним прискореннями:
=.
Оскільки , передостанній вираз можна подати у вигляді:
.
Тоді час та шлях відповідно дорівнюють:
=,
=.
Після підстановки числових даних знаходимо, що:
t = 10 c, а s = 0,4 м.
1.1. Тіло рухається рівномірно і прямолінійно так, що залежність координати тіла від часу визначається рівнянням: , де час в секундах, координата в метрах. Знайти: 1) шлях, пройдений тілом за проміжок часу від 2 с до 5 с; 2) швидкість тіла.
1.2. З двох пунктів А і В, розміщених на відстані 90 м один від одного, одночасно почали рух два тіла в одному напрямку. Тіло, яке рухається з пункту А, має швидкість 5 м/с, а тіло, яке рухається з пункту В, має швидкість 2 м/с. Через який час перше тіло наздожене друге ? Який шлях пройде кожне тіло ?
1.3. Прямолінійний рух одного тіла описується рівнянням: , а другого – . Час заданий в секундах, координати – в метрах. Знайти момент часу, коли тіла зустрінуться. Яку відстань пройде кожне тіло від початку руху до моменту зустрічі ?
1.4. З міст А і В, що знаходяться на відстані 140 км, одночасно назустріч один одному виїхали два мотоциклісти. Швидкість першого мотоцикліста 30 км/год, другого – 40 км/год. Визначити, на якій відстані від міста А і за який час вони зустрінуться.
1.5. Від пристані відправився теплохід зі швидкістю 18 км/год. Через 2 год вслід за теплоходом відправився катер зі швидкістю 54 км/год. Через який час катер дожене теплохід ?
1.6. Пасажир поїзда, що їде зі швидкістю 54 км/год, бачить протягом 4 с зустрічний поїзд довжиною 85 м. З якою швидкістю їде зустрічний поїзд ?
1.7. Велосипедист проїхав першу половину часу свого руху зі швидкістю  км/год, другу половину часу – зі швидкістю = 12 км/год. Визначити середню швидкість руху велосипедиста.
1.8. Велосипедист проїхав першу половину шляху зі швидкістю  = 16 км/год, другу половину шляху – зі швидкістю  = 12 км/год Визначити середню швидкість руху велосипедиста.
1.9. Автомобіль проїхав 200 км зі швидкістю 50 км/год, а наступних 300 км – зі швидкістю 60 км/год. Обчислити середню швидкість автомобіля на всьому шляху.
1.10. Відстань між двома пунктами – 200 км. Першу половину шляху автомобіль проїхав зі швидкістю 80 км/год, після чого зупинився і простояв 30 хв, а другу половину – їхав зі швидкістю 50 км/год. Визначити середню швидкість автомобіля.
1.11. Протягом 10 с тіло рухалось рівномірно зі швидкістю 5 м/с, а протягом наступних 10 с – рівноприскорено з прискоренням 2 м/с2. Обчислити середню швидкість і середнє прискорення тіла за весь час руху.
1.12. Протягом 6 с тіло рухалось рівноприскорено без початкової швидкості з прискоренням 3 м/с2, а наступні 10 с рухалось рівноприскорено з прискоренням 2 м/с2. Обчислити середню швидкість і середнє прискорення тіла за весь час руху.
1.13. Автомобіль протягом 10 с збільшив швидкість від 36 км/год до 54 км/год. Наступних 18 с він рухався рівномірно. Визначити переміщення і середню швидкість автомобіля. Побудувати графік швидкості та переміщення.
1.14. Автомобіль почав свій рух по прямому шляху спочатку з прискоренням 5 м/с2, потім рівномірно і, нарешті, сповільнюючись з таким же прискоренням, зупинився. Весь час руху тривав 25 с. Середня швидкість за цей час була 72 км/год. Визначити час рівномірного руху автомобіля.
1.15. Тіло рухалось рівномірно по півколу радіусом 9 см. Початкове і кінцеве положення тіла знаходилось на кінцях одного діаметра. Визначити шлях і модуль переміщення тіла.
1.16. При падінні каменя в криницю його удар об поверхню води доноситься через час 5 с. Вважаючи швидкість звуку в повітрі рівною 330 м/с, визначити глибину криниці.
1.17. Тіло вільно падає з невеликої висоти на землю. Визначити: 1) швидкість тіла в моменти часу 2 с і 4 с; 2) який шлях проходить тіло за проміжок часу від 2 с до 4 с; 3) яка середня швидкість тіла за цей проміжок часу.
1.18. При вільному падінні без початкової швидкості камінь пролетів другу половину шляху за 1 с. З якої висоти він падав?
1.19. Тіло кинули вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с. Знайти висоту, на яку піднялося тіло. Через який час тіло впаде на землю?
1.20. Із гелікоптера, що піднімається вгору з прискоренням 1 м/с2, на висоті 450 м випав предмет. Визначити кінцеву швидкість предмета, що випав, і час його падіння на землю.
1.21. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 20 м/с з башти висотою 100 м. Визначити швидкість тіла в момент падіння. На якій відстані від основи башти впало це тіло ?
1.22. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю 10 м/с. За який час швидкість тіла зросте в два рази? Який кут утворює вектор швидкості з горизонтом в цей момент часу?
1.23. Камінь кинули в горизонтальному напрямку. Через час 3 с вектор швидкості створював з горизонтом кут 45о. Визначити початкову швидкість каменя.
1.24. Камінь кинули з висоти 2,1 м над поверхнею землі так, що вектор початкової швидкості створював кут 45о з горизонтом. На землю цей камінь впав на відстані 42 м від місця кидання, рахуючи по горизонталі. Визначити швидкість кидання, час польоту та максимальну висоту, на якій побував камінь.
1.25. З гармати зробили постріл під кутом 45о до горизонту. Артилерист почув звук вибуху снаряда через 44 с після пострілу. Визначити далекість польоту снаряда, якщо його початкова швидкість дорівнювала 800 м/с. Швидкість звуку в повітрі – 340 м/с.
1.26. Гармата і ціль знаходяться на одному рівні на відстані 5,1 км одна від одної. За який час снаряд з початковою швидкістю 240 м/с досягне цілі?
1.27. Пістолетна куля пробила два вертикально закріплені листи паперу, відстань між якими – 30 м. Пробоїна у другому листі була на 10 см нижче ніж у першому. Визначити швидкість кулі, якщо до першого листа вона підлетіла, рухаючись горизонтально. Опором повітря нехтувати.
1.28. Літак, що летів на висоті 2940 м зі швидкістю 360 км/год, скинув вантаж. За який час до проходження над ціллю і на якій відстані від неї треба скидати вантаж, щоб влучити в ціль? Опору повітря не враховувати.
1.29. Дуло міномета встановили під кутом 60о до горизонту на даху будинку, висота якого 40 м. Початкова швидкість міни дорівнює 50 м/с. Визначити час польоту міни, максимальну висоту її підйому, горизонтальну далекість її польоту та швидкість в момент падіння на землю. Опору повітря не враховувати.
1.30. Снаряд, випущений з гармати під кутом ? = 30о до горизонту, двічі був на одній і тій самій висоті h: через час  = 10 с та  = 50 с після пострілу. Визначити початкову швидкість снаряда і висоту h.
1.31. Куля пущена з початковою швидкістю 200 м/с під кутом 60о до горизонту. Визначити максимальну висоту підйому, далекість польоту і радіус кривини траєкторії кулі в її найвищій точці. Опору повітря не враховувати.
1.32. Рівняння руху матеріальної точки має вигляд: , де час – в секундах, шлях в метрах. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу 2 с.
1.33. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: , де час – в секундах, шлях – в метрах. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу 0 с і 3 с. Знайти середню швидкість і середнє прискорення за перші три секунди руху.
1.34. Рівняння руху матеріальної точки має вигляд: , де довжина – в метрах, час – в секундах. Знайти середню швидкість руху точки в проміжку часу від 2 до 6 секунд.
1.35. Рухи двох матеріальних точок виражаються рівняннями: , , де довжина – в метрах, час – в секундах. В який момент часу швидкості точок будуть однаковими? Знайти швидкості та прискорення точок в цей момент.
1.36. Кінематичні рівняння руху двох матеріальних точок мають вигляд: і , де шлях – в метрах, час – в секундах. Визначити момент часу, для якого прискорення цих точок будуть однакові.
1.37. Нормальне прискорення точки, що рухається по колу радіусом 4 м, задається рівнянням: , де шлях – в метрах, час – в секундах. Визначити: 1) тангенціальне прискорення точки; 2) шлях, пройдений точкою за 5 с після початку руху; 3) повне прискорення для моменту часу 1 с.
1.38. Тіло рухається в площині так, що його координати змінюються згідно з рівняннями: , . Час вимірюється в секундах, а координати – в метрах. Знайти швидкість і прискорення тіла в момент часу 2 с.
1.39. Залежність швидкості тіла від часу записується рівнянням: , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від нуля до 3 с ? Знайти середню швидкість тіла за цей проміжок часу.
1.40. Залежність швидкості тіла від часу записується рівнянням: , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Який шлях проходить тіло за проміжок часу від однієї до трьох секунд? Якою буде середня швидкість тіла за цей проміжок часу ?
1.41. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 2 м так, що її швидкість змінюється з часом згідно з рівнянням , де час – в секундах, швидкість – в м/с. Знайти повне прискорення точки в момент часу  8 с.
1.42. Автомобіль рухається по заокругленню шосе, що має радіус кривини 100 м. Рівняння руху автомобіля має вигляд: s = 50+10t+0,4t2, де шлях – в метрах, час – в секундах. Знайти швидкість і повне прискорення автомобіля в момент часу  5 с. Який кут утворює вектор повного прискорення з вектором швидкості?
1.43. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 4 м. Рух її описується рівнянням: s = 8–2t2, де час – в секундах, шлях – в метрах. Визначити момент часу, коли нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с2. Знайти швидкість, тангенціальне і повне прискорення точки в цей момент часу.
1.44. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 8 м. В деякий момент часу нормальне прискорення точки дорівнює 4 м/с2, а вектор повного прискорення утворює з вектором нормального прискорення кут 60о. Знайти швидкість і тангенціальне прискорення точки в цей момент часу.
1.45. Лінійна швидкість точок на ободі диску, що обертається, дорівнює 6 м/с. Точки, що розміщені на 10 см ближче до осі, мають лінійну швидкість 4 м/с. Знайти кутову швидкість диска.
1.46. Автомобіль рухається з швидкістю 60 км/год. Скільки обертів за секунду роблять його колеса, якщо вони котяться без ковзання, а зовнішній діаметр цих коліс дорівнює 60 см?
1.47. О дванадцятій годині положення годинної і хвилинної стрілок годинника співпадають між собою. Через який найменший проміжок часу вони будуть знову співпадати?
1.48. Вісь з двома паралельними тонкими дисками, що розташовані на відстані 1 м один від одного, обертається з частотою 30 об/с. Куля, що летить зі швидкістю 400 м/с паралельно до осі, пробиває обидва диски. Знайти кут між радіусами, на яких розташовані ці отвори.
1.49. Два паперові диски насаджено на спільну горизонтальну вісь так, що площини їх паралельні і перебувають на відстані 30 см одна від одної. Диски разом з віссю обертаються, роблячи 2000 об/хв. Куля, що летить паралельно осі на віддалі 12 см від неї, пробиває обидва диски. Пробоїни в дисках зміщені одна відносно одної на віддаль 6 см (вимірюючи за дугою кола). Знайти швидкість кулі в проміжку між дисками.
1.50. Снаряд вилетів з гармати зі швидкістю 400 м/с, зробивши в середині її ствола 2 оберти. Довжина ствола дорівнює 2,00 м. Якою є частота обертання снаряда, якщо він рухався у стволі рівноприскорено?
1.51. Шків радіусом 5 см сполучений пасовою передачею зі шківом радіусом 10 см. Частота обертання першого шківа 20 об/с. Знайти частоту обертання другого шківа.
1.52. Колесо, обертаючись рівноприскорено, за 5 с збільшило частоту обертання з 2 об/с до 12 об/с. Знайти кутове прискорення колеса і кількість обертів, які воно здійснило за цей час.
1.53. Тіло обертається відносно нерухомої осі рівноприскорено без початкової швидкості і за 10 с зробило 100 обертів. Знайти миттєву кутову швидкість і кутове прискорення тіла в кінці 10 с.
1.54. Махове колесо, маючи початкову частоту обертання 720 об/с, зупиняється через 2 хв. Скільки обертів зробило колесо, якщо його рух був рівносповільнений.
1.55. Колесо, маючи початкову частоту 20 об/с, обертається рівносповільнено і за 1 хв зробило 900 обертів. Знайти кінцеву частоту обертання колеса і його кутове прискорення.
1.56. Якір електромотора, що обертається з частотою 50 об/с, рухаючись після вимкнення струму рівно сповільнено, зупинився, зробивши 1680 обертів. Знайти кутове прискорення якоря.
1.57. Колесо обертається з постійним кутовим прискоренням ? = 2 рад/с2. Через час t = 0,5 c після початку руху повне прискорення колеса було 13,6 см/с2. Визначити радіус колеса.
1.58. Колесо обертається навколо нерухомої осі так, що кут повороту його радіуса залежить від часу як ? = kt2, де k = 0,2 рад/с2. Знайти повне прискорення точки на ободі цього колеса в момент часу 2,5 с, якщо лінійна швидкість цієї точки в цей момент часу дорівнює 0,65 м/с.
1.59. Диск радіусом 0,2 м обертається так, що залежність кута повороту його радіуса від часу заданий рівнянням: ? = 3–t + 0,1t3, де час – в секундах, кут повороту – в радіанах. Визначити кутову швидкість, кутове прискорення, тангенціальне, нормальне і повне прискорення точок на краю диска в момент часу 10 с.
1.60. Колесо обертається так, що залежність кута повороту його радіуса від часу задане рівнянням: ? = 2+3t+t2+0,1t3, де час заданий в секундах, кут – в радіанах. Знайти: 1) кутову швидкість і кутове прискорення в моменти часу 1 с і 5 с; 2) середню кутову швидкість і середнє кутове прискорення за проміжок часу від одної до 5 секунд.
1.61. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом: ? = 10+20t–2t2, де час заданий в секундах, кут повороту – в радіанах. Знайти повне прискорення точки, яка знаходиться на відстані 0,1 м від осі обертання, в момент часу 4 с.
1.62. Кутова швидкість тіла змінюється з часом згідно закону: ? = 2+3t+6t2, де час задано в секундах, кутову швидкість – в рад/с. На який кут повернеться тіло за проміжок часу від 0 до 10 с ? Знайти середню кутову швидкість за цей проміжок часу.
1.63. Залежність кутового прискорення тіла від часу описується рівнянням: ? = 8+3t, де час – в секундах, кутове прискорення – в рад/с2. Знайти кутову швидкість тіла в момент часу 4 с, якщо його початкова кутова швидкість дорівнювала 5 рад/с.
1.64. Диск радіусом 10 см обертається так, що залежність лінійної швидкості його точок на ободі від часу задається рівнянням: = 0,3t+0,1t2, де час – в секундах, лінійна швидкість – м/с. Визначити момент часу, для якого вектор повного прискорення утворює з радіусом колеса кут 4о.
1.65. Вектор повного прискорення точки утворює кут ? = 30о з вектором її лінійної швидкості. У скільки разів у цей момент нормальне прискорення точки, що розміщена на ободі колеса, що обертається, більше від її тангенціального прискорення.
1.66. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 4 м. Залежність шляху від часу для цієї точки описується рівнянням s = 8+2t2, де час заданий в секундах, шлях – в метрах. Визначити момент часу, коли нормальне прискорення точки дорівнює  = 9 м/с2. Знайти швидкість, тангенціальне і повне прискорення точки у цей момент часу.
1.67. Точка рухається по колу радіусом R = 2 см. Залежність шляху від часу задається рівнянням:  = Ct3, де С =0,1 см/с3. Визначити нормальне і тангенціальне прискорення точки в момент, коли лінійна швидкість цієї точки дорівнює  = 0,3 м/с.
1.68. Колесо радіусом R = 5 см обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу задається рівнянням: ? = А+Вt+Ct2+Dt3, де D = 1 рад/с3. Визначити для точок, які лежать на ободі колеса, зміну тангенціального прискорення за кожну секунду руху.
1.69. Колесо обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від кута повороту задається рівнянням: ? = t+t2+t3 , де кут – в радіанах, час – в секундах. Знайти радіус колеса, якщо відомо, що в кінці другої секунди руху нормальне прискорення точок, які лежать на ободі колеса, дорівнює  = 346 м/с2.
1.70. Гвинт аеросаней обертається з частотою  = 360 хв-1. Швидкість поступального руху аеросаней = 54 км/год З якою швидкістю рухається один з кінців гвинта, якщо радіус R гвинта дорівнює 1 м?