Министерство образования и науки Украины Национальный технический университет Украины «Киевский Политехнический Институт» Факультет социологии и права Лабораторная работа №1 по теории вероятности на тему: «Основные понятия комбинаторики» Выполнил Студент 2-го курса Группы АМ-74 Балашов Дмитрий Валерьевич Проверила Бахтина Галина Петровна Киев 2008 Цель работы Ознакомится с основными понятиями комбинаторики и способами их решения в программе Microsoft Excel. Теоретические сведения: Комбинаторика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисление элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятности, и имеет широкий спектр применения, например в информатике и статистической физике. Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд "Рассуждения о комбинаторном искусстве". ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ 1. Перестановки Перестановкой n элементов множества называется их комбинация, отличающаяся только порядком расположения. В комбинаторике принято следующее обозначение: если в множестве имеется n элементов, Pn – число перестановок элементов этого множества. Как вычислить число перестановок? Рассмотрим конкретные множества: n = 0: P0 = 1 – по определению; n = 1: P1 = 1; n = 2: например, есть множество {1, 2}, возможны числа 12 и 21, значит P2 = 2; n = 3: сколько различных трехзначных чисел можно составить из множества {1, 2, 3}? Начнем с тех, которые начинаются с 1: 123, 132, затем с 2: 213, 231, и с 3: 312, 321. Всего получается 6 чисел. Это значит, что P3 = 6. Можно предположить, что Pn = n × Pn-1 (1.1) И это действительно так. Доказывается, например, методом математической индукции. Формула (1.1) называется рекуррентной, так как позволяет вычислять значение очередной величины через предыдущее. Применяя формулу (1.1) для множества n элементов последовательно, начиная с первого, получим: Pn = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1 = 1 × 2 × 3 × … × n; Pn = n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Формула числа перестановок в множестве из n элементов. Для нахождения числа перестановок в Microsoft Excel используется специальная функция – ФАКТР. Рассмотрим пример нахождения числа перестановок на компьютере. ПРИМЕР: P26 = 26 РЕШЕНИЕ: Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок.
Для получения значения перестановок воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).
3. 1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические. 3. 2. В поле Функции выбираем функцию ФАКТР . Нажимаем кнопочку «ОК».
Появляется диалоговое окно ФАКТР.
В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число переставляемых объектов (в примере – 26). Нажимаем на кнопочку «ОК».
В ячейке А1 появляется искомое число перестановок – 4,03291E+26 2. Сочетание Рассмотрим пример. Какие наборы можно составить из различного количества предметов, если всего их 4 – Шампанское, Печенье, Конфеты, Апельсины? Были составлены наборы из 1 предмета, из 2, из 3, из 4, на основе исходных 4 предметов. Иначе можно сказать: были составлены подмножества из 1, 2, 3, 4 предметов, из 4 элементов данного множества. Такие подмножества называются сочетаниями. По 1 предмету По 2 предмета По 3 предмета По 4 предмета
Ш Ш, А Ш, А, П Ш, А, П, К
А Ш, К Ш, А, К
П Ш, П П, К, А
К К, П П, К, Ш
К, А
П, А
Всего 4 Всего 6 Всего 4 Всего 1
Сочетаниями называются конечные подмножества, составленные из элементов данного множества. Если во множестве элементов – n, а в подмножестве m, то общее количество всех сочетаний обозначается и читается как число сочетаний из n элементов по m.
Очевидно, что n ? m. Приведем формулу для вычисления числа сочетаний:
Для нахождения числа сочетаний в Microsoft Excel используется специальная функция – ЧИСЛКОМБ. В функции ЧИСЛКОМБ (число; число_выбранных) должны быть заданы следующие параметры: число – это число объектов n; число_выбранных – это число объектов в каждой комбинации m. Рассмотрим пример нахождения числа сочетаний на компьютере. ПРИМЕР: РЕШЕНИЕ: Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение числа перестановок . Для получения значения числа сочетаний воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).
3. 1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические. 3. 2. Справа в поле Функции выбираем функцию ЧИСЛКОМБ . Нажимаем кнопочку «ОК».
4. Появляется диалоговое окно ЧИСЛКОМБ.
В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 36). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m (в примере – 2). Нажимаем на кнопочку «ОК».
= 630 3. Размещение Допустим, что есть ткань трех цветов: Красная, Синяя, Белая. Какие сочетания по 2 цветам можно составить? Следующее: {К; С}, {С; Б}, {К; Б} А сколько различных двухцветных флагов можно составить? К С С Б К Б
С К Б К Б К
В данном случае подмножеств, состоящих из элементов «красная» и «синяя», два, поскольку каждое из них представляет свою расцветку флага: Красная Синяя
Синяя Красная
Чем отличаются эти подмножества от сочетаний? Тем, что во втором случае важен порядок расположения элементов. Такие подмножества называются размещениями. Размещениями называются конечные упорядоченные подмножества из элементов данного множества. Общее количество размещений обозначается как: и читается: число размещений из n по m (n?m). Приведем формулы для вычисления числа размещений:
Рассмотрим оба способа нахождения числа размещений на компьютере с помощью программы Microsoft Excel. ПРИМЕР: РЕШЕНИЕ (способ №1): Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например А1
Находим число сочетаний. Нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx).
1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функции. Выбираем Математические. 3. 2. В поле Функции выбираем функцию ЧИСЛКОМБ . Нажимаем кнопочку «ОК».
4. Появляется диалоговое окно ЧИСЛКОМБ.
5. В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 21). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m (в примере – 2). Нажимаем на кнопочку «ОК».
Указателем мыши щелкаем в Строке формул после последней скобки формулы =ЧИСЛКОМБ(21;2) и вводим с клавиатуры знак умножения - *. Для получения значения m! Дописываем после знака умножения (*) функцию ФАКТР(2) и нажимаем кнопочку Enter. В ячейке А1 получим желаемый результат
= 420 РЕШЕНИЕ (способ №2): Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например А2.
Для получения значения числа размещения воспользуемся специальной функцией ПЕРЕСТ – нажимаем на панели инструментов кнопку Вставить функцию (fx)
1. В появившемся диалоговом окне Мастер функции – шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Статистические. 3. 2. Справа в поле Функция выбираем функцию ПЕРЕСТ. Нажимаем на кнопку «ОК»
4. Появляется диалоговое окно ПЕРЕСТ.
В рабочее поле Число вводим с клавиатуры число объектов n (в примере – 21). В рабочее поле Число_выбранных вводим с клавиатуры число объектов, которые необходимо выбрать, m(в примере – 2).
= 420 ВЫВОД: В ходе лабораторной работы мы ознакомились с основными понятиями комбинаторики (такими как: перестановки, сочетания и размещение) и научились вычислять их в программе Microsoft Excel. Так же привели пример решения каждого из этих способов.
