МЕТА РОБОТИ Отримати практичні навики використання програми спектрального аналізу, дослідити спектри дискретних сигналів різної форми та визначити їх особливості. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСІ Визначення спектральних складових дискретних (дискретизованих) сигналів. Обробка та дослiдження сигналiв з використанням персональних ЕОМ вимагає їх дискретного цифрового представлення. При цьому сигнали описуються сукупнiстю N вiдлiкiв (xk, k=0,N-1) на заданому iнтервалi часу (0,T). Ця сукупнiсть вiдлiкiв може описувати дискретний сигнал Xд(t), або представляти миттєвi значення неперервного сигналу X(t) у певнi моменти часу. В останньому випадку розглядається дискретизована неперервна функцiя, яка при виконаннi певних умов буде адекватно представляти неперервну функцію з необхідною точнiстю (питання дискретизацii неперервних функцiй розглядаються в iншiй лабораторній роботi). Якщо задану сукупнiсть виборок подумки повторити безмежну кiлькiсть разiв, то дослiджуваний сигнал можна вважати перiодичним. Для визначення спектру можна ввести певну математичну модель дискретного перiодичного сигналу i використати розклад у ряд Фур'є. Якщо сигнал неперервний, то за допомогою послiдовностi дельта-iмпульсiв можна отримати його дискретне представлення на iнтервалi (0,T). (1) де: xk = X(k*d) - вiдлiки у k-й точцi; d – інтервал дискретизації; N=T/d. Дискретну модель можна представити комплексним рядом Фур'є: (2) з коефiцiєнтами (3) Пiдставивши (1) в (3) пiсля нескладних математичних перетворень отримаємо (4) або у тригонометричнiй формi (5) (6) (7) (8) Необхiдно зауважити, що при обчисленнi кута з використанням арктангенса потрiбно враховувати знаки Cns та Сnс для правильного визначення квадранта. Вказанi формули визначають послiдовнiсть коефiцiєнтiв спектральних складових заданого вiдлiками сигналу i описують дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Основнi властивостi ДПФ: ДПФ є лінійним перетворенням, тобто ДПФ суми сигналiв є сума коефiцiентiв ДПФ кожного з них, а змiна амплiтуд сигналу в М-разiв викликає таку ж змiну вiдповiдних коефiцiєнтiв С(n). Кiлькiсть рiзних коефiцiєнтiв С(0),...,С(N-1) визначається кiлькiстю вiдлікiв N (якщо n=N, то С(n)=C(0), тобто сигнали i спектри перiодично повторюються). Коефiцiєнт С(0) (нульова гармонiка, яка визначає постiйну складову є середнiм значенням всiх вiдлiкiв. (9) Якщо кiлькicть вiдлiкiв N - парне число, то (10) Якщо значення вiдлiкiв xk- дiйснi числа, то коефiцiенти ДПФ, номери яких симетричнi вiдносно N/2 утворюють комплекснi спряженi пари (11) Тому можна вважати, що коефiцiенти С(N/2+1),...C(N-1) вiдповiдають вiд'ємним частотам. Вiдновлення початкового сигналу по коефіцієнтах ДПФ. Якщо на основi заданих вiдлiкiв знайденi коефiцiєнти ДПФ (С(0),...,С(N/2)), то по цих коефiцiєнтах завжди можна вiдновити початковий сигнал Хд(t), або дискретизований сигнал X(t). Для такого сигналу ряд Фур'є записується скiнченою сумою (12) де: ¦Сi¦ - модуль амплiтуди вiдповiдної гармонiки, а (i - її фаза. Зворотнє перетворення Фур'є. Нехай коефiцiенти Сn, що утворюють ДПФ, заданi. Якщо у формулi (2) t = k*d i сумується скiнченна кiлькiсть членiв ряду, якi вiдповiдають iснуючим гармонiкам у спектрi сигналу, то отримуємо таку формулу для обчислення значень вiдлiкiв (13) Ця формула є зворотнiм дискретним перетворенням Фур'е (ЗДПФ). Формула прямого (2) та зворотнього (13) дискретного перетворення Фур'є є дискретними аналогами пари перетворень Фур'є для неперервного сигналу ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ ЗАВДАНЬ ЗАВДАННЯ 1,2,3 Напишіть програму (чи вручну за допомогою текстового редактора) згенеруйте N значень відліків для дискретного представлення таких функцій: - симетричний прямокутний імпульс (меандр); - несиметричний прямокутний імпульс тривалістю (перші n точок будуть, а решта нулі, де n ваш варіант); - симетричний трикутний імпульс; - пилоподібній імпульс; - два пилоподібних імпульси; - пачку з 10 прямокутних імпульсів (меандр); Амплітуда імпульсів рівна 1.0, період Т=2.0, кількість відліків N=20. Симетричний прямокутний сигнал Таблиця 1 K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Обчислюємо фазу (в радіанах) Обчислюємо відновлення значення функції у точці третього відліку
Обчислене відновлене значення функції у точці третього відліку зійшлось з програмним обчисленням.
ВИСНОВОК На цій лабораторній роботі ми отримали практичні навики використання програми спектрального аналізу RKN, через яку пропустили 6 даних сигналів і отримали їх спектри. Дослідили спектри цих дискретних сигналів різної форми (симетричний прямокутний, несиметричний прямокутний, симетричний трикутний, пилоподібний, два пилоподібних, пачку з 10 прямокутних) та визначили їх особливості та властивості. Всі обчислення, графіки, записали в звіт лабораторної роботи.
