Завдання до лабораторної роботи № 6 «Інтегрування систем диференціальних рівнянь. Розрахунок перехідного процесу для RLC-ланок» 1. Порядок виконання роботи Вдома вивчити теоретичні відомості, необхідні для виконання лабораторної роботи. Згідно варіанту (порядкового номера в журналі викладача) завдання (таблиця 1 та 2), вдома написати програму для реалізації алгоритму вказаного методу, а в лабораторії вписати програмний код та налагодити цю програму. Отримані на комп’ютері числові результати представити викладачу. По результатах виконаної роботи оформити звіт та здати його. Таблиця 1. Завдання до лабораторної роботи * Схеми RCL-ланок вибираються з таблиці 2 № п/п Завдання Для вказаної RCL-ланки скласти систему диференціальних рівнянь та виконати розрахунок перехідного процесу ланки зазначеним методом. Згідно отриманих даних побудувати графік перехідного процесу вихідної напруги . Вхідні дані: , В, Гц, Ом, Ом, Ом, Ом, Гн, Гн, Гн, Ф, Ф, Ф, сек, (крок інтегрування).
Група 1 Група 2 Група 3
1 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
2 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
3 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
4 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
5 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
6 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
7 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
8 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
9 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
10 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
11 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
12 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
13 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
14 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
15 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
16 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
17 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
18 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
19 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
20 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
21 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
22 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
23 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
24 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
25 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
26 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
27 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
28 Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера
29 Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера Модифікований метод Ейлера
30 Модифікований метод Ейлера Неявний метод Ейлера Явний метод Ейлера
Таблиця 2. Схеми RCL-ланок №1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
№11
№12
№13
№14
№15
№16
№17
№18
№19
№20
№21
№22
№23
№24
№25
№26
№27
№28
№29
№30
2. Зміст звіту Номер і назва лабораторної роботи, із зазначенням її виконавця. Мета роботи. Завдання до лабораторної роботи. Короткі теоретичні відомості, що необхідні для виконання лабораторної роботи. Аналітичний вивід системи диф. рівнянь RCL-ланки. Блок-схема розробленої програми. Список ідентифікаторів констант, змінних, функцій, методів, використаних у програмі, та їх пояснення. Остаточна версія програми. Результати виконання програми та графік перехідного процесу. Висновки. 3. Короткі теоретичні відомості 3.1. Приклад запису системи диференціальних рівнянь для RCL-ланки Нам необхідно записати систему диференціальних рівнянь відносно динамічних CL-елементів цієї ланки . (3.1) Для системи (3.1) необхідно виразити , та через схемні константи та невідомі , та . Запишемо рівняння струмів та напруг згідно 1-го та 2-го законів Кірхгофа. Вузол 1: . (3.2) Вузол 2: . (3.3) Контур I: . (3.4) Контур II: . (3.5) Контур III: . (3.6) Згідно закону Ома запишемо значення напруг для активних опорів ; ; . (3.7) Підставимо значення напруг опорів у рівняння контурів Контур I: . (3.8) Контур II: . (3.9) Контур III: . (3.10) Виразимо з 2-го контуру та підставимо у рівняння 1-го контуру . (3.11) Виразимо з рівняння 1-го вузла та підставимо у (3.11) . (3.12) Виразимо з (3.12) . (3.13) Підставимо (3.13) у рівняння 1-го вузла та знайдемо . (3.14) Підставимо значення струму у вираз (3.9) та знайдемо . (3.15) З рівняння 3-го контуру (3.10) виразимо . (3.16) Виразимо з рівняння 2-го вузла струм та підставимо сюди значення для струмів та . (3.17) Тепер підставляємо у систему (3.1) вирази для , та . . (3.18) Приймемо: . (3.19) Остаточно система диф. рівнянь буде мати такий вигляд: . (3.20) Вихідна напруга , значення якої виводиться на друк, дорівнює . (3.21) 3.1. Явний метод Ейлера Однокрокові методи призначені для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку виду (3.1) Метод Ейлера є найпростішим методом розв’язування задачі Коші. Він дозволяє інтегрувати ДР першого порядку. Точність його не велика. - настільки мале, що значення функції мало відрізняється від лінійної функції - тангенс кута нахилу дотичної в
Тобто крива заміняється дотичними. Рух відбувається не по інтегральній кривій, а по відрізках дотичної . Метод Ейлера базується на розкладі функції в ряд Тейлора в околі точки
(3.2) Якщо мале, то, члени розкладу, що містять в собі і т.д. є малими високих порядків і ними можна знехтувати. Тоді (3.3) Похідну знаходимо з рівняння (3.1), підставивши в нього початкову умову. Таким чином можна знайти наближене значення залежної змінної при малому зміщенні від початкової точки. Для системи диференціальних рівнянь явний метод Ейлера записується так , (3.4) де система диференціальних рівнянь. Похибка методу має порядок , оскільки відкинуті члени, що містять в другій і вище степенях. Недолік методу Ейлера – нагромадження похибок, а також збільшення об’ємів обчислень при виборі малого кроку з метою забезпечення заданої точності.
3.2. Модифікований метод Ейлера В методі Ейлера на всьому інтервалі тангенс кута нахилу дотичної приймається незмінним і рівним . Очевидно, що це призводить до похибки, оскільки кути нахилу дотичної в точках та різні. Точність методу можна суттєво підвищити, якщо покращити апроксимацію похідної. Це можна зробити, якщо, наприклад, використати середнє значення похідної на початку та в кінці інтервалу. В т.з. модифікованому методі Ейлера (метод Ейлера з перерахунком) спочатку обчислюється значення функції в наступній точці за звичайним методом Ейлера. (3.5) Воно використовується для обчислення наближеного значення похідної в кінці інтервалу . Обчисливши середнє між цим значенням похідної та її значенням на початку інтервалу, знайдемо більш точне значення : (3.6) Ілюстрація роботи методу наведена на рисунку.
3.3. Неявний метод Ейлера Формула неявного методу Ейлера для системи диференціальних рівнянь виглядає так , (3.7) де система диференціальних рівнянь. На відміну від явного методу Ейлера, у неявному методі наша функція безпосередньо залежить від шуканого , що в свою чергу вимагає розв’язування системи нелінійних рівнянь відносно . На прикладі одного диференціального рівняння геометрична ілюстрація методу виглядає так. Розв’язок на відрізку апроксимується дотичною , проведеною в крапці до інтегральної кривої, що проходить через цю крапку.
