MACROBUTTON MTEditEquationSection Equation Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT  Структура аффинного пространства над телом
Введение
Чтобы лучше понимать аффинную структуру и не теряться от ее кажущейся сложности, можно обратиться к более общему понятию однородного пространства. Это даст также повод вспомнить, что понятие группы возникло путем абстракции из понятия группы преобразований, и, более того, оно полностью проявляет себя, когда мы рассматриваем действие группы на некотором множестве.
Считая хорошо известным понятие абстрактной группы, введем
Определение 1.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - некоторая группа (с мультипликативным обозначением операции) и EMBED Equation.DSMT4 - ее нейтральный элемент.
Говорят, что EMBED Equation.DSMT4 действует слева на множестве EMBED Equation.DSMT4 , если определенно отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , такое, что набор отображений EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . (1)
Аналогично говорят, что EMBED Equation.DSMT4 действует на EMBED Equation.DSMT4 справа, если определено отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , такое, что набор отображений EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . (1/)
Соотношения (1) (соответственно (1/)) показывают, что EMBED Equation.DSMT4 ( соответственно EMBED Equation.DSMT4 )- это биекции EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 и что EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ).
Например, любая группа EMBED Equation.DSMT4 действует сама на себе слева левыми сдвигами: EMBED Equation.DSMT4 и справа правыми сдвигами: EMBED Equation.DSMT4 .
Группа EMBED Equation.DSMT4 действует на себе слева также внутренними автоморфизмами: EMBED Equation.DSMT4 .
Условимся считать, если иное не оговорено, что действие группы на множестве понимается как действие слева.
Понятно, что для коммутативной группы EMBED Equation.DSMT4 оба действия совпадают; следует, однако, отметить, что одна и та же группа может действовать на множестве, в том числе и на себе, разными способами.
Определение 1.2. Пусть группа EMBED Equation.DSMT4 действует слева на множестве EMBED Equation.DSMT4 с законом действия EMBED Equation.DSMT4 . Говорят, что EMBED Equation.DSMT4 действует на EMBED Equation.DSMT4 транзитивно, если для любой пары EMBED Equation.DSMT4 элементов EMBED Equation.DSMT4 существует хотя бы один элемент EMBED Equation.DSMT4 , такой, что EMBED Equation.DSMT4 ; далее, говорят, что действие EMBED Equation.DSMT4 просто транзитивно, если этот элемент EMBED Equation.DSMT4 всегда единственный.
Пример. Линейная группа EMBED Equation.DSMT4 автоморфизмов EMBED Equation.DSMT4 действует транзитивно на EMBED Equation.DSMT4 , но это действие не является просто транзитивным, кроме случая EMBED Equation.DSMT4 .
Определение 1.3. Пусть группа EMBED Equation.DSMT4 действует слева на множестве EMBED Equation.DSMT4 . Стабилизатором подмножества EMBED Equation.DSMT4 множества EMBED Equation.DSMT4 называется множество EMBED Equation.DSMT4 .
Непосредственно ясно, что EMBED Equation.DSMT4 - подгруппа группы EMBED Equation.DSMT4 . Если множество EMBED Equation.DSMT4 состоит из одного элемента EMBED Equation.DSMT4 , то это подгруппа называется группой изотропии элемента EMBED Equation.DSMT4 .
Замечание. Стабилизатор EMBED Equation.DSMT4 является пересечением двух множеств EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , которые не обязаны быть подгруппами EMBED Equation.DSMT4 . Например, если EMBED Equation.DSMT4 действует на себе трансляциями и EMBED Equation.DSMT4 - положительная полуось, то EMBED Equation.DSMT4 не является подгруппой, а EMBED Equation.DSMT4 .
Определение 1.4. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - группа, действующая слева на EMBED Equation.DSMT4 ; орбитой элемента EMBED Equation.DSMT4 называется образ EMBED Equation.DSMT4 при отображении EMBED Equation.DSMT4 .
Если EMBED Equation.DSMT4 действует на EMBED Equation.DSMT4 транзитивно, то орбиты всех элементов совпадают с EMBED Equation.DSMT4 .
Замечание. На EMBED Equation.DSMT4 можно определить отношение эквивалентности, полагая EMBED Equation.DSMT4 , если существует элемент EMBED Equation.DSMT4 , такой, что EMBED Equation.DSMT4 ; классы эквивалентности являются орбитами элементов EMBED Equation.DSMT4 ; фактормножество по этому отношению назовем пространством орбит.
Однородные пространства
Определение 1.5. Однородным пространством, ассоциированным с группой EMBED Equation.DSMT4 , называется множество EMBED Equation.DSMT4 , на котором определено транзитивное действие группы EMBED Equation.DSMT4 .
Пример (типовой). Пространство смежных классов группы по ее подгруппе.
Пусть EMBED Equation.DSMT4 - группа, EMBED Equation.DSMT4 - ее подгруппа, EMBED Equation.DSMT4 - фактормножество, образованное левыми смежными классами относительно EMBED Equation.DSMT4 : элементы EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 объявляются эквивалентными, если существует элемент EMBED Equation.DSMT4 , такой, что EMBED Equation.DSMT4 ; класс эквивалентности элемента EMBED Equation.DSMT4 есть множество EMBED Equation.DSMT4 элементов вида EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 .
Действие слева группы EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 определяется с помощью EMBED Equation.DSMT4 ; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество EMBED Equation.DSMT4 является однородным пространством относительно этого действия.
Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.
Теорема 1.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - однородное пространство, ассоциированное с группой EMBED Equation.DSMT4 , и для любого EMBED Equation.DSMT4 пусть EMBED Equation.DSMT4 - группа изотропии EMBED Equation.DSMT4 . Тогда существует единственная биекция EMBED Equation.DSMT4 факторпространства EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 , такая, что для всех EMBED Equation.DSMT4 выполнено EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 - каноническая проекция и EMBED Equation.DSMT4 - действие EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Соотношение EMBED Equation.DSMT4 равносильно EMBED Equation.DSMT4 и, значит, EMBED Equation.DSMT4 или EMBED Equation.DSMT4 ; следовательно, отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 переносится на фактормножество и представляется в виде EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 - биекция.
Специальный случай
Если группа EMBED Equation.DSMT4 действует на EMBED Equation.DSMT4 просто транзитивно, то группы изотропии EMBED Equation.DSMT4 тривиальны; для каждой точки EMBED Equation.DSMT4 отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 является биекцией, удовлетворяющей условию EMBED Equation.DSMT4 .
Эта биекция EMBED Equation.DSMT4 позволяет перенести на EMBED Equation.DSMT4 структуру группы EMBED Equation.DSMT4 , которая, однако, будет зависеть от выбора точки EMBED Equation.DSMT4 , т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого, EMBED Equation.DSMT4 допускает структуру группы, изоморфной EMBED Equation.DSMT4 , при произвольном выборе нейтрального элемента.
Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.








2.Аффинные пространства
Определение 2.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - векторное пространство над произвольным телом EMBED Equation.DSMT4 . Аффинным пространством, ассоциированным с EMBED Equation.DSMT4 , называется множество ?, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы EMBED Equation.DSMT4 .
Это действие записывается обычно в виде
EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 ?, EMBED Equation.DSMT4 .
Для любого EMBED Equation.DSMT4 биекция EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 ?, EMBED Equation.DSMT4 называется трансляцией на вектор EMBED Equation.DSMT4 ; далее, для некоторой пары EMBED Equation.DSMT4 элементов ? единственный вектор EMBED Equation.DSMT4 , такой, что EMBED Equation.DSMT4 , обозначается EMBED Equation.DSMT4 .
Чтобы отличить элементы ? (называемые точками) от элементов EMBED Equation.DSMT4 (называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как EMBED Equation.DSMT4 , а ”векторы -строчными, например EMBED Equation.DSMT4 ; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.
Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.
Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с EMBED Equation.DSMT4 , называется множество ?, снабженное семейством биекций EMBED Equation.DSMT4 , таких, что
a) EMBED Equation.DSMT4 ? и EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ;
b) для любой пары EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 ? существует единственный вектор EMBED Equation.DSMT4 , такой, что EMBED Equation.DSMT4 .
Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с EMBED Equation.DSMT4 , называется множество ?, снабженное отображением ? EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 , обозначаемым EMBED Equation.DSMT4 , таким, что
для каждого EMBED Equation.DSMT4 ? отображение ? EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 биективно;
для любых точек EMBED Equation.DSMT4 из ? выполнено соотношение Шаля
EMBED Equation.DSMT4 .
Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки EMBED Equation.DSMT4 ? мы имеем EMBED Equation.DSMT4 .
От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через EMBED Equation.DSMT4 единственную точку EMBED Equation.DSMT4 , такую, что EMBED Equation.DSMT4 , и заметив, что соотношение Шаля равносильно EMBED Equation.DSMT4 . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.
Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки EMBED Equation.DSMT4 ? отображение EMBED Equation.DSMT4 ?, EMBED Equation.DSMT4 есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ? векторную структуру EMBED Equation.DSMT4 .
Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ? будет называться векторной структурой с началом EMBED Equation.DSMT4 ; множество ? с этой структурой будет обозначаться ?A.
Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ?- это те свойства векторного пространства ?A, которые не зависят от выбора точки EMBED Equation.DSMT4 .
Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ?. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.
Размерность аффинного пространства
Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 . По определению, размерность ? равна размерности EMBED Equation.DSMT4 .
В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности EMBED Equation.DSMT4 , ассоциированную с нулевым векторным пространством.
Аффинные подпространства
(Линейные аффинные многообразия)
Пусть ?- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 . Каждое векторное подпространство EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 образует подгруппу группы EMBED Equation.DSMT4 , действующую на ? трансляциями. По определению, орбиты действия EMBED Equation.DSMT4 на ? называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением EMBED Equation.DSMT4 . Группа EMBED Equation.DSMT4 , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с EMBED Equation.DSMT4 ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ?.
Если EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ с направляющим подпространством EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - точка EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 допускает структуру векторного пространства с началом EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 есть векторное подпространство в ?A. Обратно, любое ВПП пространства ?A есть ЛАМ, проходящее через EMBED Equation.DSMT4 ; сформулируем
Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ?, проходящие через точку EMBED Equation.DSMT4 , суть векторные подпространства векторного пространства ?A.
Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ EMBED Equation.DSMT4 пространства ? полностью определяется заданием множества точек EMBED Equation.DSMT4 .
Другие определения.
Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1. Непустое подмножество EMBED Equation.DSMT4 аффинного пространства ? называется линейным аффинным многообразием, если в EMBED Equation.DSMT4 существует точка EMBED Equation.DSMT4 , такая, что EMBED Equation.DSMT4 является векторным подпространством в EMBED Equation.DSMT4 .
Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - непустое подмножество в ? и EMBED Equation.DSMT4 - точка EMBED Equation.DSMT4 , такая, что EMBED Equation.DSMT4 есть векторное подпространство в EMBED Equation.DSMT4 . Тогда для любой точки EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 множество EMBED Equation.DSMT4 совпадает с EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. EMBED Equation.DSMT4 есть множество векторов EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 ; таким образом, EMBED Equation.DSMT4 есть образ EMBED Equation.DSMT4 при биекции EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , и поскольку EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 .
Установив это, легко убедиться, что EMBED Equation.DSMT4 наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 , которое не зависит от точки EMBED Equation.DSMT4 .
Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры EMBED Equation.DSMT4 , можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:
Определение 3.2. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - векторное подпространство в EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - отношение эквивалентности, определяемое на ? с помощью
EMBED Equation.DSMT4 ;
аффинными многообразиями с направлением EMBED Equation.DSMT4 называются классы эквивалентности по отношению EMBED Equation.DSMT4 .
Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ?, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.


Случай векторного пространства.
Каждое векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 канонически снабжено аффинной структурой, так как EMBED Equation.DSMT4 действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор EMBED Equation.DSMT4 называется также ”началом” EMBED Equation.DSMT4 и
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
ЛАМ пространства EMBED Equation.DSMT4 , проходящие через EMBED Equation.DSMT4 , суть векторные подпространства в EMBED Equation.DSMT4 ; ЛАМ, проходящие через точку EMBED Equation.DSMT4 , суть образы векторных подпространств EMBED Equation.DSMT4 при параллельном переносе EMBED Equation.DSMT4 .
Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в EMBED Equation.DSMT4 ).






Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ?; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности EMBED Equation.DSMT4 суть точки ?.
Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.








Пересечение линейных аффинных многообразий
Предложение 3. 3. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - семейство аффинных подпространств в ? и EMBED Equation.DSMT4 для каждого EMBED Equation.DSMT4 - направляющее подпространство для EMBED Equation.DSMT4 .
Если пересечение EMBED Equation.DSMT4 непусто, то оно является аффинным подпространством в EMBED Equation.DSMT4 с направляющим EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение EMBED Equation.DSMT4 двух ЛАМ в ? было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , что EMBED Equation.DSMT4 , и тогда
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Если EMBED Equation.DSMT4 , то для любых EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 имеем EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . Таким образом, EMBED Equation.DSMT4 .
Обратно, если существуют EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , такие, что EMBED Equation.DSMT4 , то можно представить EMBED Equation.DSMT4 в виде EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Тогда точка EMBED Equation.DSMT4 , определяемая условием EMBED Equation.DSMT4 , принадлежит EMBED Equation.DSMT4 и, как легко видеть, EMBED Equation.DSMT4 . Это доказывает, что EMBED Equation.DSMT4 принадлежит также EMBED Equation.DSMT4 , а тем самым EMBED Equation.DSMT4 не пусто.
Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5. Если EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - аффинные подпространства в ?, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 имеют единственную общую точку.

Параллелизм
Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: EMBED Equation.DSMT4 .
Более общо, говорят, что EMBED Equation.DSMT4 параллельно EMBED Equation.DSMT4 , если направляющие пространства EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 многообразий EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяют включению EMBED Equation.DSMT4 .
Можно проверить, что отношение ” EMBED Equation.DSMT4 вполне параллельно (соответственно параллельно) EMBED Equation.DSMT4 ” равносильно существованию трансляции EMBED Equation.DSMT4 пространства ?, такой, что EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ).






Аффинное подпространство, порожденное подмножеством EMBED Equation.DSMT4 пространства ?
Предположение 3.6. Если EMBED Equation.DSMT4 - непустое подмножество в ?, то существует единственное аффинное подпространство в ?, обозначаемое EMBED Equation.DSMT4 , содержащее EMBED Equation.DSMT4 и обладающее следующим свойством:
Любое аффинное подпространство ?, содержащее EMBED Equation.DSMT4 , содержит и EMBED Equation.DSMT4 .
Говорят, что EMBED Equation.DSMT4 порождено EMBED Equation.DSMT4 .
Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: EMBED Equation.DSMT4 есть пересечение всех ЛАМ, содержащих EMBED Equation.DSMT4 . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих EMBED Equation.DSMT4 ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в EMBED Equation.DSMT4 начальной точки EMBED Equation.DSMT4 , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ?A, содержащего EMBED Equation.DSMT4 (поскольку ЛАМ, содержащее EMBED Equation.DSMT4 , являются ВПП в ?). Таким образом, EMBED Equation.DSMT4 есть ВПП в ?A, порожденное EMBED Equation.DSMT4 ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 . Если мы заметим, что направляющее подпространство для EMBED Equation.DSMT4 есть ВПП в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное векторами EMBED Equation.DSMT4 , то получим также
Предложение 3.7. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - непустое подмножество в ?; для каждой точки EMBED Equation.DSMT4 положим EMBED Equation.DSMT4 . Тогда векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 не зависит от выбора EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ, проходящее через EMBED Equation.DSMT4 с направлением EMBED Equation.DSMT4 .
Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если EMBED Equation.DSMT4 - конечное множество, то векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 не зависит от EMBED Equation.DSMT4 и, следовательно, совпадает с
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
Отсюда вытекает
Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного EMBED Equation.DSMT4 точками EMBED Equation.DSMT4 пространства ? не превосходит EMBED Equation.DSMT4 ; его размерность равна EMBED Equation.DSMT4 тогда и только тогда, когда EMBED Equation.DSMT4 векторов EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 ) образуют свободное семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.








Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств
В последующем ? всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 над, вообще говоря, некоммутативным телом EMBED Equation.DSMT4 . ”Взвешенной точкой” называется элемент EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 .
Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) EMBED Equation.DSMT4 взвешенных точек, такого, что EMBED Equation.DSMT4 , существует единственная точка EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):
a) EMBED Equation.DSMT4 ,
b) EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,
c) EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы EMBED Equation.DSMT4 . Мы обозначим ее EMBED Equation.DSMT4 .
Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства. a) Однородность (слева).
Предложение 4.2. Для любого EMBED Equation.DSMT4 имеем
EMBED Equation.DSMT4
b) Ассоциативность.
Предложение 4.3. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - разбиение EMBED Equation.DSMT4 , т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств EMBED Equation.DSMT4 , таких, что EMBED Equation.DSMT4 .
Если для любого EMBED Equation.DSMT4 скаляр EMBED Equation.DSMT4 отличен от нуля и мы положим EMBED Equation.DSMT4 , то
EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательства получаются непосредственно
Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы EMBED Equation.DSMT4 , т.е. EMBED Equation.DSMT4 равна 1. В этом и только в этом случае можно положить
EMBED Equation.DSMT4 .
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение EMBED Equation.DSMT4 равносильно каждому из следующих утверждений:
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , (1)
EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества EMBED Equation.DSMT4 пространства ? называется точка EMBED Equation.DSMT4 . Она существует только тогда, когда характеристика EMBED Equation.DSMT4 не является делителем числа EMBED Equation.DSMT4 .
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
Предложение 4.4. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - конечное семейство взвешенных точек, таких, что EMBED Equation.DSMT4 для всех EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
Если характеристика EMBED Equation.DSMT4 отлична от 2, то существует разбиение EMBED Equation.DSMT4 множества EMBED Equation.DSMT4 , такое, что
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Если одна из сумм EMBED Equation.DSMT4 отлична от нуля, то достаточно положить EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
Если все суммы EMBED Equation.DSMT4 равны нулю, то все EMBED Equation.DSMT4 равны одному и тому же элементу EMBED Equation.DSMT4 , такому, что EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 .
Если характеристика EMBED Equation.DSMT4 отлична от 2, то EMBED Equation.DSMT4 , и, поскольку EMBED Equation.DSMT4 не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая EMBED Equation.DSMT4 как двухэлементное подмножество, а EMBED Equation.DSMT4 как подмножество из EMBED Equation.DSMT4 элементов.
Следствие. Если характеристика EMBED Equation.DSMT4 не равна 2, то построение барицентра EMBED Equation.DSMT4 точек приводится к последовательному построению EMBED Equation.DSMT4 барицентров пар.






Приложения к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5. Если EMBED Equation.DSMT4 - непустое подмножество в ?, то EMBED Equation.DSMT4 есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства EMBED Equation.DSMT4 понимается множество EMBED Equation.DSMT4 .
Условившись об этом, выберем некоторую точку EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 . Барицентры семейства с носителями в EMBED Equation.DSMT4 суть точки EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющие соотношению вида
EMBED Equation.DSMT4 , (3)
где EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . При этом соотношение (3) влечет за собой EMBED Equation.DSMT4 и поэтому EMBED Equation.DSMT4 (см. предложение 3.7). Обратно, если EMBED Equation.DSMT4 - точка из EMBED Equation.DSMT4 , то найдутся точки EMBED Equation.DSMT4 , принадлежащие EMBED Equation.DSMT4 , и скаляры EMBED Equation.DSMT4 ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что EMBED Equation.DSMT4 ; это соотношение также записывается в виде
EMBED Equation.DSMT4 с EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 ;
таким образом, EMBED Equation.DSMT4 есть барицентр системы с носителем в EMBED Equation.DSMT4 .
Определение 4.1. Подмножество EMBED Equation.DSMT4 ? называется аффинно порождающим ?, если EMBED Equation.DSMT4 ?; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 единственным образом представляется в виде
EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 при любом EMBED Equation.DSMT4 .
Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.
Выбирая начало EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 и пологая EMBED Equation.DSMT4 , легко видеть, что EMBED Equation.DSMT4 аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда EMBED Equation.DSMT4 свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что EMBED Equation.DSMT4 не зависит от выбора EMBED Equation.DSMT4 .) Отсюда вытекает
Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество EMBED Equation.DSMT4 пространства ? было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы EMBED Equation.DSMT4 не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ?.
Наконец, применяя предложение 3.7, получим
Предложение 4.7. Если ?- аффинное пространство конечной размерности EMBED Equation.DSMT4 , то любой его аффинный репер образован EMBED Equation.DSMT4 точками.
Обратно, для того, чтобы EMBED Equation.DSMT4 точек в ? образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы EMBED Equation.DSMT4 векторов EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 образовали базис EMBED Equation.DSMT4 , или (эквивалентное условие) чтобы точки EMBED Equation.DSMT4 не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.
Заметим, что если EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ конечной размерности в ? и EMBED Equation.DSMT4 - аффинный репер в EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 есть множество точек EMBED Equation.DSMT4 с EMBED Equation.DSMT4 . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки EMBED Equation.DSMT4 в ?, есть множество точек EMBED Equation.DSMT4 .





Характеризация аффинных подпространств
Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества EMBED Equation.DSMT4 точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит EMBED Equation.DSMT4 .
Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы
a) если EMBED Equation.DSMT4 - любая прямая, соединяющая две точки EMBED Equation.DSMT4 , содержалась в EMBED Equation.DSMT4 ;
b) если EMBED Equation.DSMT4 - эвибарицентр любых трех точек EMBED Equation.DSMT4 лежал в EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в EMBED Equation.DSMT4 точку EMBED Equation.DSMT4 и покажем, что EMBED Equation.DSMT4 есть ВПП пространства EMBED Equation.DSMT4 .
Предположив, что EMBED Equation.DSMT4 , установим прежде всего, что условия EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 влекут EMBED Equation.DSMT4 .
Действительно, по предположению существует точка EMBED Equation.DSMT4 , такая, что EMBED Equation.DSMT4 . Точка EMBED Equation.DSMT4 , определенная условием EMBED Equation.DSMT4 , принадлежит прямой (АВ) и, значит, EMBED Equation.DSMT4 , откуда следует, что EMBED Equation.DSMT4 .
Рассмотрим далее два любых вектора EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 и выберем EMBED Equation.DSMT4 (что возможно, так как EMBED Equation.DSMT4 не сводится к EMBED Equation.DSMT4 ). Точки EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и EMBED Equation.DSMT4 . Следовательно, точка EMBED Equation.DSMT4 принадлежит EMBED Equation.DSMT4 , откуда EMBED Equation.DSMT4 . Итак EMBED Equation.DSMT4 есть ВПП в EMBED Equation.DSMT4 .

Рис. 1
Если EMBED Equation.DSMT4 , то тривиальным образом EMBED Equation.DSMT4 влечет EMBED Equation.DSMT4 (так как EMBED Equation.DSMT4 может принимать только два значения 0, 1). Если EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - два вектора из EMBED Equation.DSMT4 , то точка EMBED Equation.DSMT4 , определяемая условием EMBED Equation.DSMT4 , есть эквибарицентр EMBED Equation.DSMT4 , откуда и вытекает наше утверждение.







Аффинные и полуаффинные отображения
Определение 5.1. Пусть ?, EMBED Equation.DSMT4 - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
Отображение EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 называется полуаффинным (соответственно аффинным), если в ? существует такая точка EMBED Equation.DSMT4 , что отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 полулинейно (соответственно линейно).
Предложение 5.1. Если в ? существует точка EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ? и отображение EMBED Equation.DSMT4 не зависит от EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Для любой пары EMBED Equation.DSMT4 ? имеем в силу линейности EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
что и доказывает требуемое.
Обозначения. Отображение EMBED Equation.DSMT4 обозначается EMBED Equation.DSMT4 и называется полулинейной (соответственно линейной) частью EMBED Equation.DSMT4 .
Истолкование. Фиксируем в ? некоторую точку EMBED Equation.DSMT4 и снабдим EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 векторными структурами, принимая за начало в ? точку EMBED Equation.DSMT4 , а в EMBED Equation.DSMT4 - точку EMBED Equation.DSMT4 . Тогда EMBED Equation.DSMT4 будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если EMBED Equation.DSMT4 - полулинейное (соответственно линейное) отображение ?А в EMBED Equation.DSMT4 .
В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ? в себя, допускающих неподвижную точку EMBED Equation.DSMT4 , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ?А в себя.
Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).
Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.
Если EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 есть отображение вида EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 полулинейно (соответственно линейно), а EMBED Equation.DSMT4 - постоянный элемент.
Непосредственные следствия. Если EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 полуаффинно, то
Образ ЛАМ в ? есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 .
Прообраз ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в ? или пустое множество.
Для любой системы EMBED Equation.DSMT4 взвешенных точек ? образ барицентра EMBED Equation.DSMT4 есть барицентр EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с EMBED Equation.DSMT4 .







Применение аффинных реперов
Теорема 5.2. Пусть ?, EMBED Equation.DSMT4 - аффинные пространства над телами EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - изоморфизм EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - аффинный репер в ? и EMBED Equation.DSMT4 - семейство точек EMBED Equation.DSMT4 , индексированное тем же множеством индексов EMBED Equation.DSMT4 .
Тогда существует единственное полуаффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 пространства ? в EMBED Equation.DSMT4 , ассоциированное с изоморфизмом EMBED Equation.DSMT4 , такое, что EMBED Equation.DSMT4 для всех EMBED Equation.DSMT4 .
Более того, EMBED Equation.DSMT4 биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство EMBED Equation.DSMT4 есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Вернемся к теореме EMBED Equation.DSMT4 , взяв одну из точек EMBED Equation.DSMT4 в качестве начала в ?, а соответствующую точку EMBED Equation.DSMT4 - в EMBED Equation.DSMT4 ; отображение EMBED Equation.DSMT4 определяется равенством
EMBED Equation.DSMT4
для любого конечного подмножества EMBED Equation.DSMT4 и любой системы скаляров EMBED Equation.DSMT4 , таких, что, EMBED Equation.DSMT4 .
В частности, аффинное отображение ? в EMBED Equation.DSMT4 определяется заданием образа аффинного репера из ?.
Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ
Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем
Предложение 5.3. Пусть ?- аффинное пространство над телом EMBED Equation.DSMT4 . Тогда
Если EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 - непостоянное аффинное отображение, то EMBED Equation.DSMT4 - аффинная гиперплоскость в ? с направлением EMBED Equation.DSMT4 .
Обратно, если EMBED Equation.DSMT4 - аффинная гиперплоскость в ?, то существует аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 , такое, что EMBED Equation.DSMT4 , и все аффинные отображения ? в EMBED Equation.DSMT4 с этим свойством суть отображения EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 .
Если ?- аффинное пространство конечной размерности EMBED Equation.DSMT4 , то каждое ЛАМ размерности EMBED Equation.DSMT4 в ? определяется системой уравнений вида EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 - аффинные отображения ? в EMBED Equation.DSMT4 , линейные части которых независимы.








Характеризация аффинных отображений
Теорема 5.4. Пусть ? EMBED Equation.DSMT4 - два аффинных пространства над одним и тем же телом EMBED Equation.DSMT4 . Для того, чтобы отображение EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы
при EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4 ? EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ;
при EMBED Equation.DSMT4 образ эквибарицентра любых трех точек ? был эквибарицентром их образов.
Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).
При фиксированной точке EMBED Equation.DSMT4 ? соотношение a) показывает, что для любого вектора EMBED Equation.DSMT4 направляющего пространства EMBED Equation.DSMT4 имеем
EMBED Equation.DSMT4 .
Отображение EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет, следовательно, условию EMBED Equation.DSMT4 .
Чтобы доказать, что выполняется и условие EMBED Equation.DSMT4 для любых EMBED Equation.DSMT4 , выберем такие EMBED Equation.DSMT4 , что EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , определим точки EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 условиями EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Применяя условие a), получим тогда EMBED Equation.DSMT4 ,
откуда
EMBED Equation.DSMT4 .
Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ? в EMBED Equation.DSMT4 является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ? аффинно.
В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.









Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.
Теорема 5.5. Если EMBED Equation.DSMT4 - полуаффинное отображение и множество EMBED Equation.DSMT4 его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , состоящим из неподвижных элементов отображения EMBED Equation.DSMT4 .
С другой стороны, если EMBED Equation.DSMT4 конечномерно и EMBED Equation.DSMT4 не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то EMBED Equation.DSMT4 имеет единственную неподвижную точку. EMBED Equation.DSMT4
Доказательство. Если фиксировать точку EMBED Equation.DSMT4 , условие EMBED Equation.DSMT4 равносильно EMBED Equation.DSMT4 и, значит, условию EMBED Equation.DSMT4 где EMBED Equation.DSMT4
Если EMBED Equation.DSMT4 - неподвижная точка EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 равносильно EMBED Equation.DSMT4 откуда вытекает первое утверждение.
Если EMBED Equation.DSMT4 , то отображение EMBED Equation.DSMT4 инъективно и потому в случае конечной размерности EMBED Equation.DSMT4 биективно; в EMBED Equation.DSMT4 существует единственная точка EMBED Equation.DSMT4 такая, что EMBED Equation.DSMT4 откуда следует второе утверждение. EMBED Equation.DSMT4
Важное замечание. Если EMBED Equation.DSMT4 - произвольное отображение и EMBED Equation.DSMT4 - биекция, то EMBED Equation.DSMT4
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы.
Если EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то EMBED Equation.DSMT4 также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и EMBED Equation.DSMT4 Отсюда выводится
Теорема 5.6. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 образуют группу, которую мы обозначаем EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ). Отображение EMBED Equation.DSMT4 (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 на группу EMBED Equation.DSMT4 полулинейных биекций EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 .
Наконец, для любой точки EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 ограничение EMBED Equation.DSMT4 на группу изотропии точки EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ) является изоморфизмом этой группы на EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ).
Последнее утверждение получим, выбирая EMBED Equation.DSMT4 в качестве начала в EMBED Equation.DSMT4 .
Следствие. Если EMBED Equation.DSMT4 подгруппа в EMBED Equation.DSMT4 (соотв. в EMBED Equation.DSMT4 ), то EMBED Equation.DSMT4 есть подгруппа в EMBED Equation.DSMT4 (соотв. в EMBED Equation.DSMT4 ); при этом если EMBED Equation.DSMT4 инвариантная подгруппа, то такова же и EMBED Equation.DSMT4 .
В частности, если EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 есть инвариантная подгруппа в EMBED Equation.DSMT4 , образованная трансляциями.
Если EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 есть инвариантная подгруппа в EMBED Equation.DSMT4 , образованная трансляциям и центральными симметриями.
Если EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 инвариантная подгруппа группы EMBED Equation.DSMT4 , образованная векторными гомотетиями, то EMBED Equation.DSMT4 есть инвариантная подгруппа в EMBED Equation.DSMT4 , называемая группой дилатаций.
Пусть EMBED Equation.DSMT4 дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда EMBED Equation.DSMT4 векторная гомотетия вида EMBED Equation.DSMT4 где EMBED Equation.DSMT4 В этом случае EMBED Equation.DSMT4 имеет единственную неподвижную точку EMBED Equation.DSMT4 определяемую из условия EMBED Equation.DSMT4 где EMBED Equation.DSMT4 произвольная точка EMBED Equation.DSMT4 . Таким образом, EMBED Equation.DSMT4 выражается как EMBED Equation.DSMT4 Такое отображение называется гомотетией с центром EMBED Equation.DSMT4 и коэффициентом EMBED Equation.DSMT4
Сформулируем
Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии EMBED Equation.DSMT4 составляют инвариантную подгруппу группы EMBED Equation.DSMT4 , называемую группой дилатаций EMBED Equation.DSMT4 . Мы обозначаем ее EMBED Equation.DSMT4 .
Если основное тело EMBED Equation.DSMT4 коммутативно, то группа EMBED Equation.DSMT4 является инвариантной подгруппой группы EMBED Equation.DSMT4 .
Проектирования
Назовем проектированием EMBED Equation.DSMT4 любое аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 в себя, удовлетворяющее условию EMBED Equation.DSMT4

Рис. 2
Для такого отображения любая точка EMBED Equation.DSMT4 является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства EMBED Equation.DSMT4 . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
Предложение 5.8. Отображение EMBED Equation.DSMT4 является проектированием, если существует ВПП EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 и ЛАМ EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 с направляющим подпространством EMBED Equation.DSMT4 дополнительным к EMBED Equation.DSMT4 , такие, что для любой точки EMBED Equation.DSMT4 ее образ EMBED Equation.DSMT4 есть точка пересечения EMBED Equation.DSMT4 с ЛАМ, проходящим через EMBED Equation.DSMT4 с направлением EMBED Equation.DSMT4 (рис. 2).
Аффинные симметрии
Теорема 5.9. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 над телом EMBED Equation.DSMT4 характеристики EMBED Equation.DSMT4 .
Для того, чтобы аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией EMBED Equation.DSMT4
Такое отображение называется аффинной симметрией.
Доказательство. Если EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , то образом середины отрезка EMBED Equation.DSMT4 будет середина отрезка EMBED Equation.DSMT4 таким образом, эта точка инвариантна при отображении EMBED Equation.DSMT4 и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. EMBED Equation.DSMT4
Предложение 5.10. Отображение EMBED Equation.DSMT4 является аффинной симметрией, если существуют ВПП EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 и ЛАМ EMBED Equation.DSMT4 с направлением, дополнительным к EMBED Equation.DSMT4 такие, что для любой точки EMBED Equation.DSMT4 (см.рис.2)
1). EMBED Equation.DSMT4
2). Середина EMBED Equation.DSMT4 принадлежит EMBED Equation.DSMT4 .
Если EMBED Equation.DSMT4 сводится к одной точке EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 есть центральная симметрия с центром EMBED Equation.DSMT4
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему EMBED Equation.DSMT4 есть ВПП в EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - два аффинных пространства в EMBED Equation.DSMT4 , направляющие которых соответственно EMBED Equation.DSMT4 дополнительны к EMBED Equation.DSMT4 Обозначим через EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ) ограничение проектирования EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ) параллельно EMBED Equation.DSMT4 Тогда, как легко видеть, EMBED Equation.DSMT4 является аффинной биекцией EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 , обратная к которой есть EMBED Equation.DSMT4 . Образ EMBED Equation.DSMT4 точки EMBED Equation.DSMT4 определяется условиями EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 (см. рис. 3).
В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

Рис.3
указанным способом соответствие между EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 является аффинным.
В частности, если EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 векторная гиперплоскость, то справедлива
Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.
§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.
Пусть снова EMBED Equation.DSMT4 - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством EMBED Equation.DSMT4 . Как мы уже видели, выбор начала в EMBED Equation.DSMT4 позволяет отождествить EMBED Equation.DSMT4 с EMBED Equation.DSMT4 теперь мы докажем, что EMBED Equation.DSMT4 канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства EMBED Equation.DSMT4 изоморфного EMBED Equation.DSMT4
Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке EMBED Equation.DSMT4 отображения EMBED Equation.DSMT4
Предварительно сформулируем такое утверждение:
Лемма. Пусть EMBED Equation.DSMT4 левое векторное пространство над телом EMBED Equation.DSMT4 а EMBED Equation.DSMT4 произвольное множество. Тогда множество EMBED Equation.DSMT4 отображений EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 есть левое векторное пространство над EMBED Equation.DSMT4 по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4
В силу доказанного искомое векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 будет ВПП в EMBED Equation.DSMT4 , порожденным отображениями EMBED Equation.DSMT4 Поэтому мы начнем с изучения этого пространства EMBED Equation.DSMT4
Предложение 6.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - векторное подпространство в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное функциями EMBED Equation.DSMT4 пуст, далее, EMBED Equation.DSMT4 элемент из EMBED Equation.DSMT4 . Тогда
А). Сумма EMBED Equation.DSMT4 зависит только от функции EMBED Equation.DSMT4 и притом линейно, т.е. является линейным отображением EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 которое мы обозначим EMBED Equation.DSMT4
Б). Если EMBED Equation.DSMT4 то существует единственная точка EMBED Equation.DSMT4 , такая, что EMBED Equation.DSMT4 .
В). Если EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 постоянна.
Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек EMBED Equation.DSMT4 , такие, что EMBED Equation.DSMT4 но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары EMBED Equation.DSMT4 выполнено соотношение
EMBED Equation.DSMT4 , (1)
которое доказывает существование и линейность функции EMBED Equation.DSMT4
Б). Если EMBED Equation.DSMT4 выберем в EMBED Equation.DSMT4 произвольную точку EMBED Equation.DSMT4 Соотношение (1) показывает, что в EMBED Equation.DSMT4 существует единственная точка EMBED Equation.DSMT4 такая, что EMBED Equation.DSMT4 она определяется условием EMBED Equation.DSMT4 Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой EMBED Equation.DSMT4 Таким образом, барицентр семейства EMBED Equation.DSMT4 зависит только от функции EMBED Equation.DSMT4
В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1). EMBED Equation.DSMT4
Следствие. EMBED Equation.DSMT4 является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида EMBED Equation.DSMT4
Предложение 6.2. Пусть EMBED Equation.DSMT4 отображение EMBED Equation.DSMT4 и пусть EMBED Equation.DSMT4 отображение EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 которое любому вектору EMBED Equation.DSMT4 ставит в соответствие постоянную функцию, равную EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 .
Тогда EMBED Equation.DSMT4 аффинно с линейной частью EMBED Equation.DSMT4 и потому инъективно; при этом EMBED Equation.DSMT4 есть аффинная гиперплоскость EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 с уравнением EMBED Equation.DSMT4
Доказательство. Для любой пары EMBED Equation.DSMT4 разность EMBED Equation.DSMT4 есть постоянная функция EMBED Equation.DSMT4 ; положим EMBED Equation.DSMT4 . Таким образом, EMBED Equation.DSMT4 аффинно, EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 инъективно, как и EMBED Equation.DSMT4
С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции EMBED Equation.DSMT4 суть элементы EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяющие условию EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству EMBED Equation.DSMT4 , ассоциированному с векторным EMBED Equation.DSMT4 -пространством EMBED Equation.DSMT4 , можно канонически присоединить:
Векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 изоморфное EMBED Equation.DSMT4 ,
Ненулевую линейную форму EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 ,
Аффинную инъекцию EMBED Equation.DSMT4 , такую, что EMBED Equation.DSMT4 - аффинная гиперплоскость в EMBED Equation.DSMT4 с уравнением EMBED Equation.DSMT4
Доказательство. Остается только установить изоморфизм между EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка EMBED Equation.DSMT4 , отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки EMBED Equation.DSMT4 .
Заметим, что аффинная гиперплоскость EMBED Equation.DSMT4 имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость EMBED Equation.DSMT4 постоянных функций, которая отождествляется с EMBED Equation.DSMT4 .
Замечания. 1). Векторную структуру на множестве EMBED Equation.DSMT4 можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству EMBED Equation.DSMT4 , но это связано с утомительными выкладками.
2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение EMBED Equation.DSMT4 единственным образом определяемое заданием EMBED Equation.DSMT4 .
Обозначения. Векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 , построенное таким образом, называется векторным продолжением EMBED Equation.DSMT4 и обозначается EMBED Equation.DSMT4 .
Если EMBED Equation.DSMT4 имеет размерность EMBED Equation.DSMT4 то размерность EMBED Equation.DSMT4 равна EMBED Equation.DSMT4 . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.
§7. Приложения теоремы о погружении.
Векторная интерпретация барицентров.
Вернемся к обозначениям §6. Инъекция EMBED Equation.DSMT4 позволяет нам отождествить EMBED Equation.DSMT4 с аффинной гиперплоскостью EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 , в то время как ее линейная часть EMBED Equation.DSMT4 позволяет отождествить EMBED Equation.DSMT4 с векторной гиперплоскостью EMBED Equation.DSMT4
Предложение 7.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 конченое семейство взвешенных точек EMBED Equation.DSMT4 , где точки EMBED Equation.DSMT4 отождествлены с элементами EMBED Equation.DSMT4 . Для того, чтобы элемент EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 принадлежал EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ), необходимо и достаточно, чтобы EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ).
Доказательство. Это вытекает из соотношения EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Правило. Отождествление EMBED Equation.DSMT4 с подмножеством в EMBED Equation.DSMT4 позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации EMBED Equation.DSMT4 элементов EMBED Equation.DSMT4 . Но такая комбинация представляет элемент из EMBED Equation.DSMT4 только тогда, когда EMBED Equation.DSMT4 ( этот элемент будет барицентром системы EMBED Equation.DSMT4 ); если же EMBED Equation.DSMT4 то EMBED Equation.DSMT4 представляет элемент из EMBED Equation.DSMT4 равный EMBED Equation.DSMT4 для любой точки EMBED Equation.DSMT4 .
Приложения. 1). Для того, чтобы три точки EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры EMBED Equation.DSMT4 такие, что
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 (1)
Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению EMBED Equation.DSMT4 ; они интересны своей симметричной формой относительно EMBED Equation.DSMT4 и возможностью складывать подобные соотношения.
2). Если EMBED Equation.DSMT4 то барицентром системы EMBED Equation.DSMT4 является точка пересечения с EMBED Equation.DSMT4 векторной прямой с направляющей EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 .
3). Для того чтобы семейство EMBED Equation.DSMT4 точек из EMBED Equation.DSMT4 было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство EMBED Equation.DSMT4 было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве EMBED Equation.DSMT4
В частности, аффинный репер EMBED Equation.DSMT4 является базисом EMBED Equation.DSMT4 содержащимся в EMBED Equation.DSMT4
Векторная интерпретация аффинных отображений.
Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений
Предложение 7.2. Пусть EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - два векторных пространства над одним и тем же телом EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ) – аффинная гиперплоскость в EMBED Equation.DSMT4 (соотв. EMBED Equation.DSMT4 ), не проходящая через начало; обозначим EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ) векторную гиперплоскость, параллельную EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ).
А) Если EMBED Equation.DSMT4 - линейное отображение, такое, что EMBED Equation.DSMT4 , то ограничение EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 есть аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 , линейная часть которого есть ограничение EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 .
Б) обратно, если EMBED Equation.DSMT4 - аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение EMBED Equation.DSMT4 , ограничения которого на EMBED Equation.DSMT4 совпадает с EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство.
А) Если EMBED Equation.DSMT4 линейно и EMBED Equation.DSMT4 , то для любых точек EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 имеем и EMBED Equation.DSMT4 . Ограничения EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 аффинно с линейной частью EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .
Б) Обратно, пусть EMBED Equation.DSMT4 - аффинное отображение. Фиксируем точку EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 и обозначим через EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ) векторную прямую в EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ), порожденную EMBED Equation.DSMT4 (соответственно EMBED Equation.DSMT4 ) (рис 4). Тогда EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
1. EMBED Equation.DSMT4 ,
2. Ограничения EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 равно линейной части EMBED Equation.DSMT4 .
Но существует единственное линейное отображение EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющее этим условиям ( EMBED Equation.DSMT4 определено своими ограничениями на дополнительные ВПП EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 ); тогда ограничение EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и EMBED Equation.DSMT4 , и принимающее в EMBED Equation.DSMT4 то же значение, что и EMBED Equation.DSMT4 , а тем самым равное EMBED Equation.DSMT4 , откуда вытекает доказываемый результат. EMBED Equation.DSMT4
Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 и линейными отображениями EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющими условию EMBED Equation.DSMT4 .
С другой стороны, если EMBED Equation.DSMT4 , и EMBED Equation.DSMT4 , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

Рис.4
Наконец, если EMBED Equation.DSMT4 - автоморфизм EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - аффинная гиперплоскость в EMBED Equation.DSMT4 , то включение EMBED Equation.DSMT4 влечет равенства EMBED Equation.DSMT4 . В самом деле, EMBED Equation.DSMT4 есть аффинная гиперплоскость в EMBED Equation.DSMT4 , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в EMBED Equation.DSMT4 .
Т.о. мы можем сформулировать
Предложение 7.3. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - векторное пространство, EMBED Equation.DSMT4 - аффинная гиперплоскость в EMBED Equation.DSMT4 , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций EMBED Equation.DSMT4 на стабилизаторе EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 (подгруппу EMBED Equation.DSMT4 , состоящую из изоморфизмов EMBED Equation.DSMT4 , для которых EMBED Equation.DSMT4 ).
Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - векторные продолжения аффинных пространств EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , а EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - образы EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 при канонических погружениях EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 : всякое аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 , отождествляется с линейным отображением EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 в пространство EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющим требованию EMBED Equation.DSMT4 , и группа аффинных биекций EMBED Equation.DSMT4 отождествляется с подгруппой EMBED Equation.DSMT4 , сохраняющей аффинную гиперплосклость EMBED Equation.DSMT4
Случай конечной размерности.
Если аффинное пространство EMBED Equation.DSMT4 имеет конечную размерность EMBED Equation.DSMT4 , то в EMBED Equation.DSMT4 можно выбрать базис EMBED Equation.DSMT4 так, что EMBED Equation.DSMT4 при EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . Тогда EMBED Equation.DSMT4 есть декартов репер в EMBED Equation.DSMT4 с началом EMBED Equation.DSMT4 (рис 4).
В этом случае EMBED Equation.DSMT4 является множеством точек EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 , таких, что EMBED Equation.DSMT4 ; следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением EMBED Equation.DSMT4 в базисе EMBED Equation.DSMT4 . Эндоморфизмы EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющие условию EMBED Equation.DSMT4 , - это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе EMBED Equation.DSMT4 имеет вид
EMBED Equation.DSMT4 , (2)
где EMBED Equation.DSMT4 - квадратная матрица порядка EMBED Equation.DSMT4 . Эндоморфизму EMBED Equation.DSMT4 с матрицей (2) соответствует аффинное отображение EMBED Equation.DSMT4 , координатное выражение которого в декартовом репере EMBED Equation.DSMT4 имеет форму
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 (3)
Матричные вычисления показали бы, что для этого соответствия соблюдаются правила композиции отображений. С другой стороны, эндоморфизм EMBED Equation.DSMT4 с матрицей (2) обратим тогда и только тогда, когда обратима матрица (2), и тогда выполняется и равенство EMBED Equation.DSMT4 . Таким образом, получается
Теорема 7.4. Группа аффинных биекций EMBED Equation.DSMT4 -мерного аффинного пространства изоморфна подгруппе линейной группы EMBED Equation.DSMT4 , образованной матрицами вида (2), где EMBED Equation.DSMT4 принадлежит EMBED Equation.DSMT4 .
В частности, группа аффинных биекций EMBED Equation.DSMT4 тела EMBED Equation.DSMT4 изоморфна подгруппе в EMBED Equation.DSMT4 , состоящей из матриц вида EMBED Equation.DSMT4 .
8.Геометрическая характеризация инъективных полуаффинных отображений.
Ниже мы обозначаем через EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами EMBED Equation.DSMT4 над произвольными телами EMBED Equation.DSMT4 . Мы дадим чисто геометрическую характеризацию полуаффинных отображений EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 . Для ясности начнем со случая инъективных отображений.
Теорема 8.1. Допустим, что EMBED Equation.DSMT4 . Для того, чтобы инъективное отображение EMBED Equation.DSMT4 было полуаффинным, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующим двум условиям:
Образ любой аффинной прямой из EMBED Equation.DSMT4 был аффинной прямой в EMBED Equation.DSMT4 ;
Образы двух параллельных прямых был параллельными прямыми.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Доказательство
достаточности проведем в несколько этапов, все время предполагая, что EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям 1) и 2).
А). Образы при EMBED Equation.DSMT4 двух различных прямых EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 суть также две различные прямые.
В самом деле, пусть EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - прямые в EMBED Equation.DSMT4 , имеющие один и тот же образ EMBED Equation.DSMT4 , пусть EMBED Equation.DSMT4 - две различные точки их общего образа. Тогда прообразы EMBED Equation.DSMT4 точек EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 принадлежат EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 одновременно и различны (в силу иньективности EMBED Equation.DSMT4 ), откуда следует, что EMBED Equation.DSMT4 .
Б). Отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 не зависит от выбора EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 .
В самом деле, пусть другая точка EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 таковы, что EMBED Equation.DSMT4 . Если
EMBED Equation.DSMT4 - несплющенный параллелограмм, то из 2) и А) следует, что его образ EMBED Equation.DSMT4 тоже настоящий параллелограмм, откуда
EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
Если точки EMBED Equation.DSMT4 принадлежат одной прямой EMBED Equation.DSMT4 , то предположение EMBED Equation.DSMT4 позволяет выбрать в EMBED Equation.DSMT4 точки EMBED Equation.DSMT4 так, что EMBED Equation.DSMT4 . Применяя предыдущий случай, имеем
EMBED Equation.DSMT4
откуда EMBED Equation.DSMT4 .
Отображение EMBED Equation.DSMT4 обозначаем отныне просто EMBED Equation.DSMT4 .
В). Отображение EMBED Equation.DSMT4 инъективно и удовлетворяет условию
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . (1)
Инъективность EMBED Equation.DSMT4 сразу следует из инъективности EMBED Equation.DSMT4 . С другой стороны, для любых данных EMBED Equation.DSMT4 выберем в EMBED Equation.DSMT4 такие точки EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 . Тогда EMBED Equation.DSMT4 .
Д). Существует отображение EMBED Equation.DSMT4 , такое, что
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . (2)
Доказательство. Достаточно найти EMBED Equation.DSMT4 , удовлетворяющее условию (2) при EMBED Equation.DSMT4 . Для заданной пары EMBED Equation.DSMT4 выберем EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 так, что EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 . Так как точки EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 коллинеарны, то коллинеарны и векторы EMBED Equation.DSMT4 ; отсюда вытекает существование некоторого скаляра, скажем EMBED Equation.DSMT4 , такого, что EMBED Equation.DSMT4 . Остается доказать, что EMBED Equation.DSMT4 не зависит от вектора EMBED Equation.DSMT4 (по предположению ненулевого).
1). Если EMBED Equation.DSMT4 два неколлинеарных вектора, то неколлинеарны и EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ; в противном случае образы двух прямых EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , проходящих через одну и ту же точку EMBED Equation.DSMT4 с направляющими EMBED Equation.DSMT4 , совпадали бы, что невозможно в силу А).
Для любого EMBED Equation.DSMT4 имеем
EMBED Equation.DSMT4 ,
откуда в силу неколлинеарности EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
2). Если EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 - коллинеарные ненулевые векторы, то предположение EMBED Equation.DSMT4 позволяет выбрать EMBED Equation.DSMT4 так, что пары EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 свободны. Отсюда находим, что
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
Так для каждого EMBED Equation.DSMT4 отображение EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 есть константа, мы обозначим ее через EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
Е). Отображение EMBED Equation.DSMT4 является изоморфизмом тел.
Выбрав EMBED Equation.DSMT4 , мы увидим прежде всего, что соотношения EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 влекут (с учетом EMBED Equation.DSMT4 )
EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 ,
т.е. показывают, что EMBED Equation.DSMT4 - гомоморфизм тел.
Наконец, для любой точки EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 отображение EMBED Equation.DSMT4 есть биекция EMBED Equation.DSMT4 на прямую EMBED Equation.DSMT4 ; ограничение EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 есть биекция EMBED Equation.DSMT4 на прямую EMBED Equation.DSMT4 . Следовательно, композиция EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 биективна. Отсюда вытекает, что отображение EMBED Equation.DSMT4 биективно.
Итак, EMBED Equation.DSMT4 изоморфизм тел, EMBED Equation.DSMT4 полулинейное отображение, ассоциированное с EMBED Equation.DSMT4 , и EMBED Equation.DSMT4 полуаффинное отображение. EMBED Equation.DSMT4
Случай плоскости.
Если EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 двумерны, то условие 2) в теореме 8.1 следует из условия 1) и инъективности EMBED Equation.DSMT4 . Мы можем, таким образом, сформулировать
Следствие. Если EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 аффинные плоскости и EMBED Equation.DSMT4 - инъективное отображение, такое, что образ любой прямой в EMBED Equation.DSMT4 есть прямая в EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 полуаффинное отображение.
Замечание. Условия теоремы 8.1 выполняются, в частности, если EMBED Equation.DSMT4 инъективное отображение EMBED Equation.DSMT4 в себя, такое, что образ любой прямой EMBED Equation.DSMT4 есть прямая, параллельная EMBED Equation.DSMT4 ; тогда можно непосредственно доказать, что EMBED Equation.DSMT4 дилатация.
9.Основная теорема аффинной геометрии.
Исходя из теоремы 8.1 и опираясь на характеризацию аффинных многообразий, представленную теоремой 4.8, мы докажем здесь следующую теорему:
Теорема 9.1. Пусть EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 аффинные пространства над телами EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , отличными от поля EMBED Equation.DSMT4 ; для того, чтобы отображение EMBED Equation.DSMT4 было полуаффинным, достаточно, чтобы
1). Образ любой прямой в EMBED Equation.DSMT4 был прямой в EMBED Equation.DSMT4 , либо сводился к одной точке.
2). Аффинное подпространство в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное EMBED Equation.DSMT4 , имело размерность EMBED Equation.DSMT4 .
Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям 1) и 2).
Лемма 1. Если EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , то EMBED Equation.DSMT4 - ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Пусть EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - две различные точки в EMBED Equation.DSMT4 . Тогда прямая EMBED Equation.DSMT4 есть по условию 1) образ прямой EMBED Equation.DSMT4 ; так как прямая EMBED Equation.DSMT4 содержится в EMBED Equation.DSMT4 , прямая EMBED Equation.DSMT4 содержится в EMBED Equation.DSMT4 . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8. EMBED Equation.DSMT4
Лемма 2. Если EMBED Equation.DSMT4 - ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 и множество EMBED Equation.DSMT4 непусто, то оно является ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Результат очевиден, если EMBED Equation.DSMT4 сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 прямая EMBED Equation.DSMT4 содержится в EMBED Equation.DSMT4 согласно 1). Таким образом, прямая EMBED Equation.DSMT4 содержится в EMBED Equation.DSMT4 и теорема 4.8 показывает, что EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ. EMBED Equation.DSMT4
Лемма 3. Для любой непустой части EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 . (1)
Доказательство. EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , содержащее EMBED Equation.DSMT4 ; по лемме 1, EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , содержащее EMBED Equation.DSMT4 . Отсюда следует включение
EMBED Equation.DSMT4 .
Аналогично, по лемме 2, EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , содержащее EMBED Equation.DSMT4 , а потому и EMBED Equation.DSMT4 ; имеет место включение EMBED Equation.DSMT4 ; применение отображения EMBED Equation.DSMT4 дает EMBED Equation.DSMT4 .
Окончательно получаем равенство (1). EMBED Equation.DSMT4
Лемма 4. Пусть EMBED Equation.DSMT4 - пара параллельных прямых в EMBED Equation.DSMT4 . Если EMBED Equation.DSMT4 сводится к точке, то же имеет место и для EMBED Equation.DSMT4 . Если EMBED Equation.DSMT4 - прямая, то и EMBED Equation.DSMT4 - прямая, параллельная EMBED Equation.DSMT4 .
Доказательство. Мы можем предположить, что EMBED Equation.DSMT4 . Тогда EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ размерности 2 в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное двумя точками EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 одной из прямых и точкой EMBED Equation.DSMT4 другой прямой; по леммам 2и 3, EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ размерности EMBED Equation.DSMT4 .
А). Покажем сначала, что EMBED Equation.DSMT4 либо EMBED Equation.DSMT4 .
Допустим, что EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , такие, что EMBED Equation.DSMT4 . Выбирая EMBED Equation.DSMT4 и полагая по-прежнему EMBED Equation.DSMT4 , получим с помощью леммы 3, что
EMBED Equation.DSMT4
и аналогично
EMBED Equation.DSMT4 ,
откуда EMBED Equation.DSMT4 .
Поскольку сформулированное утверждение при EMBED Equation.DSMT4 очевидно, будем далее полагать EMBED Equation.DSMT4 , т.е. считать, что EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 не имеют общих точек.
Б). Предположим, что EMBED Equation.DSMT4 - прямая в EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 ; тогда EMBED Equation.DSMT4 имеет размерность 2.
Если бы на прямой EMBED Equation.DSMT4 существовали две точки EMBED Equation.DSMT4 , такие, что EMBED Equation.DSMT4 , то для любой точки EMBED Equation.DSMT4 мы имели бы EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , и тогда EMBED Equation.DSMT4 не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что EMBED Equation.DSMT4 - прямая.
Значит, EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если EMBED Equation.DSMT4 сводится к одной точке, то меняя ролями EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 и применяя результат Б), мы видим, что EMBED Equation.DSMT4 также сводится к точке.
Лемма 5. Если EMBED Equation.DSMT4 пара точек в EMBED Equation.DSMT4 , таких, что множества EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
непусты, то EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 - ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 суть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 . Предполагая, что EMBED Equation.DSMT4 , фиксируем точку EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 и точку EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 ; параллельный перенос на вектор EMBED Equation.DSMT4 обозначим через EMBED Equation.DSMT4 . Для любой точки EMBED Equation.DSMT4 прямая EMBED Equation.DSMT4 параллельна прямой EMBED Equation.DSMT4 , и поскольку образ прямой EMBED Equation.DSMT4 сводится к одной точке EMBED Equation.DSMT4 , то образ прямой EMBED Equation.DSMT4 сводится к одной точке EMBED Equation.DSMT4 . Таким образом, EMBED Equation.DSMT4 влечет EMBED Equation.DSMT4 и имеет место включение EMBED Equation.DSMT4 .
Меняя ролями EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 , получим включение EMBED Equation.DSMT4 , откуда EMBED Equation.DSMT4 . Итак, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 имеют общее направление. EMBED Equation.DSMT4
Лемма 6. Обозначим через EMBED Equation.DSMT4 общее направление непустых ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 вида EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 , и пусть EMBED Equation.DSMT4 - факторпространство EMBED Equation.DSMT4 по отношению эквивалентности EMBED Equation.DSMT4 , определенному условием EMBED Equation.DSMT4 .
Тогда EMBED Equation.DSMT4 имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция EMBED Equation.DSMT4 является аффинной.
Доказательство. Выбор начала EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства EMBED Equation.DSMT4 По его векторному подпространству EMBED Equation.DSMT4 , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку EMBED Equation.DSMT4 за начало в EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
Отметим, что EMBED Equation.DSMT4 является пространством орбит действия группы трансляций EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 ; это есть множество ЛАМ с направлением EMBED Equation.DSMT4 .(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение EMBED Equation.DSMT4 представляется в виде EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что EMBED Equation.DSMT4 полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность EMBED Equation.DSMT4 вытекают из того, что соотношение EMBED Equation.DSMT4 равносильно EMBED Equation.DSMT4 (см. лемму 5), и тем самым EMBED Equation.DSMT4 . Для доказательства полуаффинности EMBED Equation.DSMT4 покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть EMBED Equation.DSMT4 – произвольная аффинная прямая EMBED Equation.DSMT4 , порожденная двумя различными элементами EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 . Без труда проверяется, что EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное EMBED Equation.DSMT4 .
По лемме 3, EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ, порожденное EMBED Equation.DSMT4 ; итак (в силу инъективности EMBED Equation.DSMT4 ), EMBED Equation.DSMT4 является аффинной прямой EMBED Equation.DSMT4 .
Наконец, EMBED Equation.DSMT4 не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и EMBED Equation.DSMT4 , что противоречит условию 2). Поэтому EMBED Equation.DSMT4 .
Отсюда следует, что EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на EMBED Equation.DSMT4 , при условии замены EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении EMBED Equation.DSMT4 двух параллельных прямых EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 - две параллельные прямые. Наконец, EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 ). Следовательно, EMBED Equation.DSMT4 полуаффинно и так же обстоит дело с EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. EMBED Equation.DSMT4
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда EMBED Equation.DSMT4 или EMBED Equation.DSMT4 при EMBED Equation.DSMT4 : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение EMBED Equation.DSMT4 на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае EMBED Equation.DSMT4 условие 1) выполнено для любого отображения EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 (поскольку каждая прямая в EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 есть биекция векторного пространства EMBED Equation.DSMT4 над EMBED Equation.DSMT4 в векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 над EMBED Equation.DSMT4 , и образ каждой прямой из EMBED Equation.DSMT4 при отображении EMBED Equation.DSMT4 содержится в фнекоторой прямой пространства EMBED Equation.DSMT4 , но EMBED Equation.DSMT4 не является полулинейным (поскольку EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 не изоморфны).
Лемма 6. Обозначим через EMBED Equation.DSMT4 общее направление непустых ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 вида EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 , и пусть EMBED Equation.DSMT4 - факторпространство EMBED Equation.DSMT4 по отношению эквивалентности EMBED Equation.DSMT4 , определенному условием EMBED Equation.DSMT4 .
Тогда EMBED Equation.DSMT4 имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция EMBED Equation.DSMT4 является аффинной.
Доказательство. Выбор начала EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства EMBED Equation.DSMT4 По его векторному подпространству EMBED Equation.DSMT4 , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку EMBED Equation.DSMT4 за начало в EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
Отметим, что EMBED Equation.DSMT4 является пространством орбит действия группы трансляций EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 ; это есть множество ЛАМ с направлением EMBED Equation.DSMT4 .(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение EMBED Equation.DSMT4 представляется в виде EMBED Equation.DSMT4 , где EMBED Equation.DSMT4 - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что EMBED Equation.DSMT4 полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность EMBED Equation.DSMT4 вытекают из того, что соотношение EMBED Equation.DSMT4 равносильно EMBED Equation.DSMT4 (см. лемму 5), и тем самым EMBED Equation.DSMT4 . Для доказательства полуаффинности EMBED Equation.DSMT4 покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть EMBED Equation.DSMT4 – произвольная аффинная прямая EMBED Equation.DSMT4 , порожденная двумя различными элементами EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 . Без труда проверяется, что EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ в EMBED Equation.DSMT4 , порожденное EMBED Equation.DSMT4 .
По лемме 3, EMBED Equation.DSMT4 есть ЛАМ, порожденное EMBED Equation.DSMT4 ; итак (в силу инъективности EMBED Equation.DSMT4 ), EMBED Equation.DSMT4 является аффинной прямой EMBED Equation.DSMT4 .
Наконец, EMBED Equation.DSMT4 не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и EMBED Equation.DSMT4 , что противоречит условию 2). Поэтому EMBED Equation.DSMT4 .
Отсюда следует, что EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на EMBED Equation.DSMT4 , при условии замены EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении EMBED Equation.DSMT4 двух параллельных прямых EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 из EMBED Equation.DSMT4 - две параллельные прямые. Наконец, EMBED Equation.DSMT4 удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 ). Следовательно, EMBED Equation.DSMT4 полуаффинно и так же обстоит дело с EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена. EMBED Equation.DSMT4
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда EMBED Equation.DSMT4 или EMBED Equation.DSMT4 при EMBED Equation.DSMT4 : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга EMBED Equation.DSMT4 пространства EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение EMBED Equation.DSMT4 на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае EMBED Equation.DSMT4 условие 1) выполнено для любого отображения EMBED Equation.DSMT4 в EMBED Equation.DSMT4 (поскольку каждая прямая в EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 есть биекция векторного пространства EMBED Equation.DSMT4 над EMBED Equation.DSMT4 в векторное пространство EMBED Equation.DSMT4 над EMBED Equation.DSMT4 , и образ каждой прямой из EMBED Equation.DSMT4 при отображении EMBED Equation.DSMT4 содержится в некоторой прямой пространства EMBED Equation.DSMT4 , но EMBED Equation.DSMT4 не является полулинейным (поскольку EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 не изоморфны).






EMBED Equation.DSMT4