Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робинсон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математической логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконечно большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о каких-то новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико-множественной) математики.
Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче.
Однако, быть может, главное значение нестандартного анализа состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике активно используют нестандартный анализ в своей работе.
Несколько примеров нестандартного анализа:
Пример 1. Вычислим производную функции EMBED Equation.2 . Дадим аргументу x приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при этом изменилось значение функции EMBED Equation.2 . В точке х оно равнялось EMBED Equation.2 . В точке EMBED Equation.2 оно равняется EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . Таким образом, оно изменилось на EMBED Equation.2 . Отношение приращения EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 функции EMBED Equation.2 к приращению EMBED Equation.2 аргумента EMBED Equation.2 равно
EMBED Equation.2 EMBED Equation.2
Если EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 бесконечно мало, то членом EMBED Equation.2 в сумме EMBED Equation.2 можно пренебречь, и искомая производная равна EMBED Equation.2 .
Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 . Приращение EMBED Equation.2 равно EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 ; частное EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 равно EMBED Equation.2
EMBED Equation.2 .
EMBED Equation.2 Взяв EMBED Equation.2 бесконечно малым, получаем, что производная равна
EMBED Equation.2 .
Пример 5. Построение неизмеримого множества. Каждое действительное число EMBED Equation.2 , удовлетворяющее неравенству EMBED Equation.2 ,разлагаем в бесконечную двоичную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с бесконечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число EMBED Equation.2 и отбираем те действительные числа , у которых EMBED Equation.2 -й член разложения равен единице; множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизмеримо по Лебегу.
Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5 представляется просто-напросто абракадаброй.
Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракадабры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими современным критериям строгости.

ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ?
Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число EMBED Equation.2 , если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять , что такого не бывает: если EMBED Equation.2 больше нуля , то оно является одним из положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы число EMBED Equation.2 было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы EMBED Equation.2 было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое EMBED Equation.2 должно изобразиться самой левой точкой множества EMBED Equation.2 . К сожалению числа EMBED Equation.2 с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число EMBED Equation.2 будет положительным числом, меньшим EMBED Equation.2 .
Более точное определение бесконечной малости числа EMBED Equation.2 >0 EMBED Equation.2 , которое мы будем использовать в EMBED Equation.2 дальнейшем таково. Будем складывать число EMBED Equation.2 с самим собой, получая числа EMBED Equation.2 + EMBED Equation.2 и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число EMBED Equation.2 и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если EMBED Equation.2 бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины EMBED Equation.2 вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому EMBED Equation.2 можно переписать в такой форме EMBED Equation.2
1< EMBED Equation.2
Таким образом, если число EMBED Equation.2 бесконечно мало, то число EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 бесконечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоречит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых двух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сумме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В).
Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы должны расширить множество R действительных чисел до некоторого большого множества *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействительными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется и существуют бесконечно малые числа, такие, что сколько их не складывай с собой, сумма будет всё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изучает множество гипердействительных чисел *R. EMBED Equation.2
Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числам?
1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенные действительные числа: R EMBED Equation.2 *R.
2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные операции: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, умножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойства сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействительные числа по величине, т.е. решить какое из них больше.
Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящие в соответствие двум любым элементам EMBED Equation.2 и EMBED Equation.2 множества Р их сумму EMBED Equation.2 , произведение EMBED Equation.2 , разность EMBED Equation.2 и частное EMBED Equation.2 (если EMBED Equation.2 ). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами.
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 ;
EMBED Equation.2 (если EMBED Equation.2 ).
В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов EMBED Equation.2 и EMBED Equation.2 определено, который из них больше. При этом выполняются такие свойства:
если EMBED Equation.2 и EMBED Equation.2 , то EMBED Equation.2 ;
если EMBED Equation.2 , то EMBED Equation.2 для любого EMBED Equation.2 ;
если EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , то EMBED Equation.2 ;
если EMBED Equation.2 , EMBED Equation.2 , то EMBED Equation.2 .
В таком случае говорят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоченное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называется расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действительные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на элементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах.
ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ
Построим пример неархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действительных чисел.
Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его строение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числами. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, будем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)—нестандартными.
По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равные нулю. Гипердействительное число EMBED Equation.2 называется бесконечно малым, если все суммы

EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 и т. д.
меньше 1. Здесь через EMBED Equation.2 обозначен модуль гипердействительного числа EMBED Equation.2 , определяемый так EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 .
Отметим, что стандартное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут стандартными. Это следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимеда.
Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы называем гипердействительное число А бесконечно большим, если
EMBED Equation.2 и т.д.
Если, EMBED Equation.2 бесконечно мало, но отлично от нуля, то число EMBED Equation.2 бесконечно велико. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число EMBED Equation.2 бесконечно мало. Отсюда следует, что все бесконечно большие числа нестандартны.
Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называются конечными. Каждое конечное гипердействительное число EMBED Equation.2 можно представить в виде EMBED Equation.2 где EMBED Equation.2 - стандартное число, а EMBED Equation.2 - бесконечно малое. Пусть EMBED Equation.2 - конечное гипердействительное число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие EMBED Equation.2 и большие EMBED Equation.2 . Т.к. EMBED Equation.2 конечно, то оба класса не пусты. По “аксиоме полноты“ существует действительное число EMBED Equation.2 , разделяющее эти классы. Легко видеть, что EMBED Equation.2 будет бесконечно малым. Число EMBED Equation.2 называется стандартной частью конечного гипердействительного числа EMBED Equation.2 . Обозначается это так: EMBED Equation.2 . Таким образом, множество конечных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы называются монадами. Монадой стандартного числа EMBED Equation.2 называется множество всех бесконечно близких к нему гипердействительных чисел.
Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галактики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипердействительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой малой; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик.
ЧТО ЕЩЕ НУЖНО ОТ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ?
Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.
Прежде всего, мы получаем не архимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А EMBED Equation.2 , на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g - продолжением для g . При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий грубо говоря, что гипердействительные аналоги стандартных объектов обладают теми же самыми свойствами, что и исходные стандартные объекты.
Покажем теперь, как принцип переноса позволяет нам обосновать наши примеры. Пример 1 становится вполне корректным: нужно сказать лишь, что производной функции EMBED Equation.2 в стандартной точке EMBED Equation.2 называется стандартная часть отношения EMBED Equation.2 . Во втором примере рассматривается функция извлечения корня и её гипердействительное положение. Мы пользуемся равенством EMBED Equation.2 ; первое из них представляет собой стандартное определение квадратного корня, второе получается по принципу переноса.
Приведем еще два примера “нестандартных определений” стандартных понятий. Пусть EMBED Equation.2 - последовательность действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестандартный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать EMBED Equation.2 .
Определение предела. Стандартное число EMBED Equation.2 называется пределом последовательности EMBED Equation.2 , если все бесконечно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к EMBED Equation.2 , т.е. для всякого нестандартного гипернатурального числа EMBED Equation.2 разность EMBED Equation.2 бесконечно мала.
Определение предельной точки. Стандартное число EMBED Equation.2 называется предельной точкой последовательности EMBED Equation.2 , если некоторые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к EMBED Equation.2 , т.е. существует такое нестандартное гипернатуральное число EMBED Equation.2 , что разность EMBED Equation.2 бесконечно мала.
ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ?
Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.
Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые - “малыми”, причем выполнены следующие свойства:
Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.
Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества - малым.
Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого - большим.
Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств - большим.
Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение - большим.
С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.
Будем говорить, что последовательности EMBED Equation.2 эквивалентны, если равенство EMBED Equation.2 “выполнено почти при всех i “, т.е. Если множество тех i , при которых EMBED Equation.2 , большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности - класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.
Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс EMBED Equation.2 содержит последовательность EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 , класс EMBED Equation.2 - последовательность EMBED Equation.2 . Назовем суммой классов EMBED Equation.2 и EMBED Equation.2 класс, содержащий последовательность EMBED Equation.2 ,а произведением последовательность EMBED Equation.2 . Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.
Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что в множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.
ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ
ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ

Рассмотрим другой метод построения поля гипердействительных чисел. Но прежде мы должны обсудить понятие логического языка и понятие интерпретации этого языка. Рассмотрим общее понятие односортного языка первого порядка.
Пусть фиксирован набор символов EMBED Equation.2 , элементы которого мы будем называть предикатными символами, и набор EMBED Equation.2 , элементы которого мы будем называть функциональными символами. Пусть каждому предикатному и функциональному символу сопоставлено некоторое натуральное число, называемое числом аргументов, или валентностью, соответствующего символа. В таком случае говорят, что задан некоторый язык.
Определим теперь понятие формулы данного языка. Выберем и зафиксируем бесконечную последовательность символов, называемых переменными. Пусть это будут например символы EMBED Equation.2 Определим в начале понятие терма. Именно (Т1) любая переменная и любой функциональный символ с нулем аргументов суть термы;
(Т2) если термы EMBED Equation.2 уже построены, а f - функциональный символ с m аргументами, то выражение EMBED Equation.2 есть терм.
Термами называются те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Т1) и (Т2). Определим теперь понятие формулы следующим образом:
(Ф1) если t и s термы, то (t=s) - формула; (Ф2) если EMBED Equation.2 - термы, а Р - предикатный символ с m аргументами, то Р EMBED Equation.2 ) - формула; если Р - предикатный символ с нулем аргументов, то Р - формула; (Ф3) если Р и Q- формулы, то EMBED Equation.2 - формулы; (Ф4) если Р - формула, а EMBED Equation.2 - переменная, то EMBED Equation.2 и EMBED Equation.2 - формулы.
Формулами называют те и только те выражения, которые можно получить путем многократного применения правил (Ф1)-(Ф4).
Определить интерпретацию языка L означает:
выбрать некоторое множество М - носитель интерпретации;
с каждым предикатным символом Р валентности m сопоставить некоторый m-местный предикат;
С каждым функциональным символом f валентности k сопоставить некоторую функцию F, ставящую в соответствие любой k-элементной последовательности элементов М некоторый элемент М:F: EMBED Equation.2 .
Истинность формул зависит от выбора интерпретации и от значений переменных, входящих в эту формулу свободно. Если формула не содержит свободных вхождений, то ее истинность зависит только от выбора интерпретации. Формулы языка, не содержащие свободных вхождений переменных, называют суждениями данного языка. Как только мы зафиксировали какую-то интерпретацию языка, все суждения разделяются на истинные и ложные.
Теперь мы в состоянии точно сказать, что мы называем гипердействительными числами. Именно, системой гипердействительных чисел называется любая интерпретация Р рассмотренного языка RL, в которой истинны те же суждения, что и в стандартной интерпретации, но для которой не выполнена аксиома Архимеда. Элементы носителя этой интерпретации и называются гипердействительными числами. Таким образом, возможно много систем гипердействительных чисел.
Вернемся к построению системы гипердействительных с помощью методов математической логики.
Введем несколько понятий. Пусть фиксирован некоторый язык L. Пусть Т- некоторое множество суждений этого языка. Будем говорить, что интерпретация Р языка L является моделью Т, если все суждения из Т истинны в Р. Возьмем в качестве L рассмотренный выше язык RL, в качестве Т - множество Tr всех суждений этого языка, истинных в стандартной его интерпретации. Тогда в соответствии с нашим определением стандартная интерпретация, так же как и любая система гипердействительных чисел, будет моделью для Tr. Теперь задачу отыскания системы гипердействительных чисел можно сформулировать так: найти модель множества Tr, которая не удовлетворяет аксиоме Архимеда.
Введем еще один термин, относящийся к произвольному языку L и произвольному множеству Т суждений языка L.Назовем множество Т совместным, если существует его модель, т.е. если существует интерпретация языка L, в которой истинны все формулы из Т. Теперь все готово для того, чтобы сформулировать теорему компактности Мальцева.
Теорема компактности. Пусть имеется произвольный язык L и произвольное множество Т суждений этого языка. Пусть каждое конечное подмножество EMBED Equation.2 множества Т совместно. Тогда множество Т совместно.
Эта теорема показывает, что для построения модели множества Т достаточно уметь строить модели всех конечных подмножеств множества Т.
Существуют два способа доказательства. Один из них использует нетривиальные ультрафильтры, а другой метод состоит в применении одной из центральных теорем логики - теоремы Гёделя-Мальцева о полноте, рассмотрим его более подробно. Определяется понятие выводимости данного суждения EMBED Equation.2 из данного множества суждений Т. Выводимость EMBED Equation.2 из Т означает, что существует последовательность формул, каждая из которых принадлежит либо Т , либо заранее фиксированному множеству, либо получается из предидущих членов последовательности по определенным правилам, причем последней формулой этой последовательности является формула EMBED Equation.2 . Последовательность формул, обладающая описанными свойствами, называется выводом формулы EMBED Equation.2 из множества формул Т.
Свойство выводимости: если формула EMBED Equation.2 выводится из множества Т, то существует такое конечное подмножество EMBED Equation.2 , что формула EMBED Equation.2 выводится из множества EMBED Equation.2 . Наконец, назовем множество суждений противоречивым, если из него выводится одновременно некоторое суждение EMBED Equation.2 и его отрицание EMBED Equation.2 . Теперь сформулируем теорему Гёделя о полноте.
Теорема. Пусть L - произвольный язык, Т - множество суждений этого языка. Тогда следующие свойства равносильны: а) Т - совместно; б) Т- не противоречиво. Эта теорема позволяет заменить семантическое (т.е. апеллирующее к интерпретациям ) свойство совместимости на синтаксическое (рассматривающие формулы только как знакосочетания в отрыве от их смысла) свойство непротиворечивости. Из неё легко вытекает теорема компактности. Основная трудность в построении гипердействительных чисел заключена именно в доказательстве теоремы о полноте. Так что,. Построение системы гипердействительных чисел с помощью теоремы о полноте ничем не лучше и не хуже, чем её построение с помощью нетривиальных ультрафильтров.
ИСТОРИЯ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА
Возраст нестандартного анализа колеблется от двух десятков до трех сотен лет. Два десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 года, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров Принстонского университета доклад о возможности применения методов математической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет получается, если считать началом нестандартного анализа появление символов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница.
Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: во-первых, это идущая от классиков математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых - традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, менее очевидный источник - нестандартные модели аксиоматических систем, появившиеся в математической логике.
К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработаны и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применении бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию нестандартного анализа. В 1961 г. появилась статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской академии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартного анализа, так и некоторые его приложения. В течении последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. - книга В.А. Дж. Люксембурга “Нестандартный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и бесконечно больших чисел” , в 1966 г. - книга самого А. Робинсона “Нестандартный анализ” и в 1969 г. - книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лекции о нестандартном анализе”.
Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах этой монографии содержалось как построение необходимого логико-математического аппарата, так и многочисленные приложения - к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексного переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости.
В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстейна и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа было получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиально компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “взгляд в гильбертово пространство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задача о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве EMBED Equation.2 , для которых оператор EMBED Equation.2 компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было доказано, что любой полиномиально компактный оператор в гильбертовом пространстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство.
Приложения нестандартного анализа внутри математики охватывают обширную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди них мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообещающим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической механике становится возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц. Помимо применений к различным областям математики, исследования в области нестандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандартных структур.
В 1976 г. вышли сразу три книги по нестандартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления бесконечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. Стройана и В. А. Дж. Люксембурга.
Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в области прикладной математики. В 1981 г. вышла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководство с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нестандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений.
В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее признание. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных нестандартному анализу и его приложениям. В течении последнего десятилетия нестандартный анализ ( точнее, элементарный математический анализ, но основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебных заведений США.

EMBED Equation.2 Литература

Успенский В.А. “Нестандартный, или неархимедов, анализ”. - М.: Знание, 1983 г. - 64 с. ( Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Математика, кибернетика”; № 8 ).
Девис М. “Прикладной нестандартный анализ”. - М., Мир, 1980. (Русский перевод книги: Davis M. Applied nonstandard analysis. New York et al.; John Wiley & Sons, 1977)
.