гоу впо
всероссийский заочный финансово-экономический институт
серпуховское представительство
факультет : У С
кафедра:высшей математики
Контрольная работа
По дисциплине : «Теория вероятности и математическая статистика»
№-1 вариант-1
Исполнитель
Специальность : БУ и А
Группа:
№Зачётной книжки:
Руководитель: Борисова В И



Серпухов
2008
№-1
Задача:
Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий - с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.
Решение:
Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6 (событие А1),
второй – с вероятностью 0,7 (событие А2), а третий - с вероятностью 0,75 (событиеА3). События независимые, равновозможные, исход испытаний не меняется.
Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением
вероятностей противоположных событий :

По условию задачи , ,

,
где
- вероятность событий, противоположных ,
тогда
следовательно,
Ответ: вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу, равна 0,97.
№-2
Задача:
Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозят товар, не пригодный к употреблению.
Найти вероятность того, что
а) хотя бы два судна привезут качественный товар;
б) ни одно судно не привезет качественный товар.
Решение:
предположим что –
событие – когда судно привезет качественный товар
и событие - когда судно не привезет качественный товар.
Вероятность события равна 1%, т.е.

Тогда вероятность события равна 99%, т.е.
Условие, что хотя бы два судна привезут качественный товар:
а) - событие, состоящее в том, что два судна из трех привезут качественный товар;
- событие, состоящее в том, что все три судна привезут качественный товар.

Условие, что ни одно судно не привезет качественный товар:
б) - событие, состоящее в том, что все три судна не привезут качественный товар.

Ответ: а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный товар - равна 0,98;
б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар – равна 0,000001 (достаточно мала).
№-3
В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:
а) два студента;
б) не менее пяти студентов.
Решение:
а) Дано:
Найти -?
Событие А – состоит в том,что 2студента из 100 сдадут экзамен на отлично. По теореме Пуассона - если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю ( при неограниченном увеличении числа испытаний , причем произведение стремиться к постоянному числу , то вероятность того, что событие появится раз в независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

В данной задаче вероятность - постоянна и мала, число испытаний - велико и число - незначительно, следовательно, из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:
- функция Пуассона.
, так как а - то для решения задачи применима таблица значения функции Пуассона, где при данных значениях , т.е вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два
студента равна - 0,0842.
б) Дано:
Найти -?
Событие А – что 5 или больше студентов сдадут экзамен на отлично. Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов равна:

Указанную вероятность найти проще, если рассмотреть решение задачи через противоположное событие, т.е. из 100 выбранных студентов 4 студента сдадут экзамен по математике на оценку ниже чем «отлично».

По таблице значений функции Пуассона при и от 0 до 4, находим :

0
1
2
3
4


0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755

Тогда,
т.е. вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна – 0,5595.
Ответ:
а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента равна - 0,0842.
б) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, равна – 0,5595.
№-4
Законы распределения случайных величин и заданы таблицами:
:
 
0 
1

 
 ?
 0,4


:

-1
2
3


0,3
?
0,5


Найти:
а) вероятности и ;
б) закон распределения случайной величины ;
в) дисперсию .
Решение:
а) Учитывая, что сумма всех вероятностей для каждого распределения случайных величин равна 1-

Находим вероятности и


Соответственно:
:
 
0 
1

 
 0,6
 0,4

:

-1
2
3


0,3
0,2
0,5


б) Для удобства нахождения всех значений разности и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения разности , а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и :
 
 
 
 
 

 

-1