Таблица 1 Исходные данные Номер Работающие активы, Прибыль Номер Работающие активы Прибыль
банка, млрд руб. млрд руб. банка млрд руб. млрд руб.
п/п
п/п
1 12,0 0,22 16 11,5 0,10
2 14,3 0,38 17 14,5 0,29
3 13,0 0,35 18 15,0 0,35
4 15,2 0,43 19 14,0 0,28
5 18,8 0,39 20 17,5 0,40
6 12,1 0,21 21 20,0 0,48
7 14,2 0,31 22 11,9 0,24
8 15,4 0,34 23 5,0 0,06
9 19,8 0,51 24 13,0 0,30
10 9,5 0,27 25 15,1 0,47
11 4,0 0,17 26 24,0 0,56
12 12,2 0,32 27 10,9 0,25
13 19,9 0,42 28 15,3 0,33
14 11,6 0,20 29 11,6 0,14
15 6,0 0,16 30 14,7 0,37
Задание 1 Построить статистический ряд распределения банков по величине работающих активов, образовав пять групп с равными интервалами. Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным, сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения. Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1. Выполнение Задания 1 Целью выполнения данного задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности банков путем построения и анализа статистического ряда распределения банков по признаку Работающие активы. 1.Построение интервального ряда распределения банков по объему кредитных вложений Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение банков по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда. При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле , (1) где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда. Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса k=1+3,322 lg n, (2) где n - число единиц совокупности. Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, xmax = 24 млрд руб., xmin = 4 млрд руб.:
При h = 4 млрд руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2): Таблица 2 Номер группы Нижняя граница, млрд руб. Верхняя граница, млрд руб.
1 4 8
2 8 12
3 12 16
4 16 20
5 20 24
Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число банков, входящих в каждую группу (частоты групп). Процесс группировки единиц совокупности по признаку Работающие активы представим во вспомогательной (разработочной) таблице 3. Таблица 3 Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки Группы банков по работающим активам, млрд руб. Номер банка Работающие активы, млрд руб. Сумма прибыли, млрд руб.
1 2 3 4
4-8 11 4,0 0,17
15 6,0 0,16
23 5,0 0,06
Всего 3 15,0 0,39
8-12 10 9,5 0,27
27 10,9 0,25
16 11,5 0,10
14 11,6 0,20
22 11,9 0,24
29 11,6 0,14
Всего 6 67,0 1,20
12-16 1 12,0 0,22
6 12,1 0,21
12 12,2 0,32
3 13,0 0,35
24 13,0 0,30
19 14,0 0,28
7 14,2 0,31
2 14,3 0,38
17 14,5 0,29
30 14,7 0,37
18 15,0 0,35
25 15,1 0,47
4 15,2 0,43
28 15,3 0,33
8 15,4 0,34
Всего 15 210,0 4,95
16-20 20 17,5 0,40
5 18,8 0,39
9 19,8 0,51
13 19,9 0,42
Всего 4 76,0 1,72
20-24 21 20,0 0,48
26 24,0 0,56
Всего 2 44,0 1,04
ИТОГО 30 412,0 9,30
Представим интервальный ряд распределения банков по работающим активам в итоговой таблице 4. Таблица 4 Распределение банков по работающим активам. Номер группы Группы банков по работающим активам, млрд руб., х Число банков, f
1 4-8 3
2 8-12 6
3 12-16 15
4 16-20 4
5 20-24 2
Итого 30
Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда: это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле . Таблица 5 Структура банков по объему кредитных вложений № группы Группы банков по работающим активам, млрд руб. Число банков, fj Накопленная частота, Sj= Накопленная частоcть (Доля банков в общем итоге), %
в абсолютном выражении в % к итогу
1 2 3 4 5 6
1 4 - 8 3 10,0 3 10,0
2 8 - 12 6 20,0 9 30,0
3 12 - 16 15 50,0 24 80,0
4 16 - 20 4 13,3 28 93,3
5 20 - 24 2 6,7 30 100,0
Итого 30 100,0
Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности банков показывает, что распределение банков по величине работающих активов не является равномерным: преобладают банки с кредитными вложениями от 12 млрд руб. до 16 млрд руб. - это 15 банков, удельный вес которых составляет 50% 30% банков имеют кредитные вложения менее 12 млрд руб., а 20% – более 16 млрд руб. 1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку. Мода для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. Определим моду графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).
Рис. 1 Определение моды графическим методом Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле: (3) где хМo – нижняя граница модального интервала, h –величина модального интервала, fMo – частота модального интервала, fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному, fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным. Согласно табл.5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 12 – 16 млрд руб., так как его частота максимальна (f3 = 15). Расчет моды по формуле (3):
Вывод. Для рассматриваемой совокупности банков наиболее распространенная величина работающих активов характеризуется средней величиной 13,8 млрд руб. Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности. Определим медиану графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2), для чего построим кумуляту по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).
Рис. 2. Определение медианы графическим методом Рассчитаем значение медианы для интервального ряда по формуле:, (4) где хМе– нижняя граница медианного интервала, h – величина медианного интервала, – сумма всех частот, fМе – частота медианного интервала, SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному. Для расчета медианы необходимо определить медианный интервал, для чего используем накопленные частоты из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот превышает ее. Медианным интервалом является интервал 12 - 16 млрд. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 24 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ). Расчет значения медианы по формуле (4):
Вывод. В рассматриваемой совокупности банков половина банков имеют в среднем работающие активы не более 13,6 млрд руб., а другая половина – не менее 13,6 млрд руб. 3. Расчет характеристик ряда распределения Для расчета характеристик ряда распределения: средней арифметической взвешенной , среднего квадратического отклонения ?, дисперсии ?2 и коэффициента вариации V? построим вспомогательную таблицу 6 на основе табл. 5 ( – середина j-го интервала). Таблица 6 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения Группы банков по работающим активам, млрд руб. Середина интервала,
Число банков, fj
1 2 3 4 5 6 7
4 - 8 6 3 18 -7,5 56,25 168,75
8 - 12 10 6 60 -3,5 12,25 73,50
12 - 16 14 15 210 0,5 0,25 3,75
16 - 20 18 4 72 4,5 20,25 81,00
20 - 24 22 2 44 8,5 72,25 144,50
Итого
30 404
471,50
Расчет средней арифметической взвешенной: (5) Расчет дисперсии: (6) Расчет среднего квадратического отклонения: (млрд руб.) Расчет коэффициента вариации:
