ВАРИАНТ 5
Задача 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
РЕШЕНИЕ:
Сформулируем ЭММ задачи на максимизацию выручки
Введем переменные:
Х1 – суточная реализация краски Е (тонн);
Х2 - суточная реализация краски I (тонн);
Составим целевую функцию:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - суточная выручка от реализации красок обоих видов;
Составим ограничения:
Функциональные ограничения:
Ограничение по расходу продуктов А и В:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - расход продута А на производство красок I и Е;
6 – запас продукта А.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - расход продута В на производство красок I и Е;
8 – запас продукта В.
По условию сказано, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение: EMBED Equation.3
Установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Следовательно, EMBED Equation.3
Прямые ограничения: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Построим область решений системы ограничений
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решением уравнения является прямая. Найдем точки, через которые проходит искомая прямая:
EMBED Equation.3 - решением неравенства является полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О (0; 0)
EMBED Equation.3 (верно), значит искомая полуплоскость содержит точку О.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решением уравнения является прямая. Найдем точки, через которые проходит искомая прямая:
EMBED Equation.3 - решением неравенства является полуплоскость. Подставим в неравенство координаты точки О (0; 0)
EMBED Equation.3 (верно), значит искомая полуплоскость содержит точку О.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решением уравнения является прямая. Найдем точки, через которые проходит прямая:
EMBED Equation.3 - решением неравенства является полуплоскость. Подставим координаты точки О (0; 0)
EMBED Equation.3 (верно), следовательно искомая полуплоскость содержит данную точку О.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решением является прямая, параллельная оси Х1
EMBED Equation.3 - решением является полуплоскость, содержащая точку О (0; 0)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решение – прямая, совпадающая с осью оХ2
EMBED Equation.3 - решение – правая полуплоскость.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - решение – прямая, совпадающая с осью оХ1
EMBED Equation.3 - решение – верхняя полуплоскость.
Решением системы неравенств является выпуклый многоугольник ОАВСDЕ.






Найдем оптимальное решение.
Оптимальное решение может быть только в угловых точках многоугольника т. О, т. A, т. B, т. C, т. D или т.Е.
Построим хотя бы одну из линий уровня. Линия уровня – это линия на которой EMBED Equation.3 принимает постоянное значение.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Пусть а = 0, тогда EMBED Equation.3 - линия уровня
Построим вектор – градиент EMBED Equation.3 . Т.к. вектор EMBED Equation.3 перпендикулярен линии уровня, то координаты его будут (3; 2). Начало вектора EMBED Equation.3 в точке О (0; 0).
Поскольку задача стоит на максимизацию выручки, перемещаем линию уровня по направлению вектора EMBED Equation.3 . Максимума EMBED Equation.3 достигает в угловой точке D.
Найдем координаты точки D. Она лежит на пересечении прямых - EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е е в количестве 3,333 т.
При решении задачи на минимум необходимо линию уровня двигать в направлении противоположном вектору EMBED Equation.3 . В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0; 0)



Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

РЕШЕНИЕ:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Введем переменные:
Х1 – количество единиц изделий I вида;
Х2 – количество единиц изделий II вида;
Х3 – количество единиц изделий III вида;
Составим целевую функцию:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - общая стоимость всех изделий;
Составим ограничения:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - расход ресурса труд на производство изделий всех видов;
200 – запас ресурса труд.
EMBED Equation.3 - расход сырья на производство изделий всех видов;
80 – запас сырья.
EMBED Equation.3 расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;
140 – запас рабочего времени оборудования.
Для нахождения оптимального плана используем надстройку Excel Поиск решения. Процесс решения представлен в протоколе решения (Приложение 1).
Ответ: EMBED Equation.3 при Х1 = 40; Х2 = 40, Х3 = 0.
Экономический смысл: максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4000 ден. ед. можно получить, если изготавливать изделия I вида в количестве 40 шт., изделия II вида в количестве 40 шт., а изделия III вида не производить совсем.

Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений, столбца свободных членов и дополнительной строки из коэффициентов при переменных функции цели.
EMBED Equation.3
Транспонируем эту матрицу:
EMBED Equation.3
По полученной матрице, используя свойство двойственных ЗЛП, составим двойственную задачу.
Переменные:
EMBED Equation.3
у1 – цена единицы ресурса труд;
у2 – цена единицы сырья;
у3 – цена единицы ресурса оборудование;
Функция цели:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - общая стоимость запасов всех видов ресурсов
Ограничения:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие I вида; 40 – цена изделия I вида.
EMBED Equation.3 - стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие II вида; 60 – цена изделия II вида.
EMBED Equation.3 - стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие III вида; 80 – цена изделия III вида.
Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя условия второй теоремы двойственности. Эти условия применяются для нахождения оптимального решения одной из задач, если известно оптимальное решение другой.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Получаем систему уравнений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решая ее относительно неизвестных параметров, получаем: у1 = 6,67, у2 = 33,33, у3 = 0.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
План выпуска продукции EMBED Equation.3 и набор цен на ресурсы EMBED Equation.3 являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Нулевое значение переменной Х3 в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.
EMBED Equation.3 - затраты на изготовление продукции третьего вида.
80 – цена едини продукции его вида.
86,67 > 80, затраты на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.
На основе двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
EMBED Equation.3 - расход ресурса труд на производство изделий всех видов;
40 + 4*40 + 3*0 = 200
200 – запас ресурса труд.
200 = 200, следовательно ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.
EMBED Equation.3 - расход сырья на производство изделий всех видов;
40 + 40 + 0 = 80
80 – запас сырья.
80 = 80, значит ресурс сырье расходуется полностью, является дефицитным.
EMBED Equation.3 расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;
40 + 40 + 2*0 = 80
140 – запас рабочего времени оборудования.
80 < 140, следовательно ресурс оборудование расходуется не полностью, он находится в избытке, не является дефицитным, его ценность равна нулю.
Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y2=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y1=6,67).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y3 = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.
определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
EMBED Equation.3 - изменение запаса ресурса вида i;
EMBED Equation.3 - изменение общей стоимости продукции.
EMBED Equation.3
Применим формулу из третьей теоремы двойственности:
EMBED Equation.3 (ден. ед.)
Значит стоимость продукции увеличиться на 600 ден. единиц и станет равной 4 600 (4000 + 600 = 4600)
Модель задачи при измененных запасах ресурсов будет иметь вид:
Х'1 – количество единиц изделий I вида;
Х'2 – количество единиц изделий II вида;
Х'3 – количество единиц изделий III вида;
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Применяем формулы из второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Получаем систему уравнений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Решая систему, получаем новый оптимальный план выпуска продукции EMBED Equation.3 .
Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.
EMBED Equation.3 (ед.), т.е. выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы.
EMBED Equation.3 (ед.), т.е. выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц.
EMBED Equation.3 - выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов
Применяем формулу из третьей теоремы двойственности:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - цена изделия вида j.
EMBED Equation.3 - объективно обусловленные затраты на сырье при выпуске изделия j.
С4 = 70; а14 = 2; а24 = 2; а34 = 2.
EMBED Equation.3
Поскольку EMBED Equation.3 , следовательно, продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие четвертого вида реализовывалось по цене равной или большей 80 ед., то его производство было бы выгодным


Задача 3
Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределение продукции предприятий.
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.
Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).
Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицы А = (aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
Решение:
Xij – объём продукции отрасли i, расходуемой в отрасли j.
Xi – суммарный объём производства продукции отраслью i.
Xj – объём потребностей j-ой отрасли в продукции i-ых отраслей и других факторов производства.
Yi – продукция отрасли i, выходящая из сферы производства в сферу потребления.
Проверяем продуктивность технологической матрицы А:
EMBED Equation.3
Коэффициенты матрицы А показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство 1-ой единицы продукции в отрасли j.
Вводим единичную матрицу Е и находим разность матриц:
EMBED Equation.3
Вычисляем обратную матрицу. Сначала найдем определитель матрицы по правилу треугольников:
EMBED Equation.3
Поскольку определитель матрицы не равен нулю, значит обратная матрица существует.
Транспортируем данную матрицу (Е-А)Т
EMBED Equation.3
Находим алгебраическое дополнение каждого элемента транспортированной матрицы:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Найдем обратную матрицу (Е-А)-1 = В
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Т.к. существует обратная матрица и все ее элементы не отрицательны, значит матрица А продуктивна.
2) Строим баланс:
Найдем величины валовой продукции Xi из уравнения: X = B*Y
EMBED Equation.3
Определим величину Xij
Хij – количество продукции i-ой отрасли, израсходованной на производственные нужды j-ой отрасли.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Zi – условно чист. продукт. Условно – чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Задача 4.
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
Задача 4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
РЕШЕНИЕ:
Проверим наличие аномальных наблюдений.
Используем метод Ирвина
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Для 9 наблюдений на уровне значимости ? = 0,05 табличное значение критерия ?табл составит 1,46.
Сравниваем ?табл. с расчетными значениями ?.
?t < ?табл. (? = 0,05), т.е. с вероятностью допустить ошибку 5% можно утверждать, что аномальных наблюдений нет.
2) Построим линейную модель EMBED Equation.DSMT4
Система нормальных уравнений имеет вид:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - линейная трендовая модель
4) Оценить адекватность построенной моделей
Свойство независимости остаточной компоненты. Применяем критерий Дарбина – Уотсона.
EMBED Equation.3
При сравнении dрасч могут возникнуть 4 ситуации:
0 < dрасч < d1 – свойство не выполняется, остатки зависимы;
d1 < dрасч < d2 – критерий ответа не дает, необходимо применение другого коэффициента (например, 1-ого коэффициента автокорреляции);
d2 < dрасч < 2 – свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция в ряду остатков отсутствует;
2 < dрасч < 4 – находим d’ = 4-dрасч.
Для n = 9, ? = 0,05, d1 = 0.82, d2 = 1.32.
Поскольку, 2 < dрасч < 4 – находим d? = 4 – dрасч = 4 – 2,281 = 1,719
Теперь d? сравниваем с табличными значениями
d2 = 1,32 < d? = 1,719 < 2, следовательно свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляция отсутствует;


Свойство случайности остатков. Применяем критерий поворотных точек (критерий пиков).
График остатков

Точка считается поворотной, если она больше предшествующей и последующей (или меньше).
По графику видно, что m = 5.
Число поворотных точек должно быть больше, чем
EMBED Equation.3
Квадратные скобки означают, что берется целая часть числа
m = 5 > 2. Неравенство выполняется, значит, свойство выполняется, остатки имеют случайный характер.
Свойство соответствия нормальному закону распределения. Применяем R/S-критерий.
Расчетное значение R/S – критерия находим по формуле:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Критическими значениями R/S – критерия являются 2,7 и 3,7.
2,7 < R/S = 2,807 < 3,7. Расчетное значение попадает внутрь табличного интервала, значит свойство выполняется, распределение остаточной компоненты соответствует нормальному закону распределения.
Вывод: т.к. рядом остатков выполняются все свойства, то линейная трендовая модель считается адекватной.
Оценим точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации:
EMBED Equation.3
S < 7%, модель считается точной. Расчетные значения спроса EMBED Equation.3 отличаются от фактических у(t) на 2,5%.
Линейная трендовая модель является адекватной и точной, следовательно она качественная и ее можно использовать для дальнейшего прогнозирования.
Осуществить прогноз спроса на следующие две недели
EMBED Equation.3
Точечный прогноз
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Интервальный прогноз
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - ширина доверительного интервала.
Sпрогн – средняя квадратическая ошибка прогноза
t? – критерий Стьюдента
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = 60
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Критерий Стьюдента на уровне значимости ? = 0,3 с числом степеней свободы n – 2 = 9 – 2 = 7 составит 1,119.
EMBED Equation.3 (10) = 1,119 • 0,424 = 0,474 EMBED Equation.3 (11) = 1,119 • 0,449 = 0,502
28,274 ± 0,474 – интервальный прогноз при к=1
27,800 – нижняя граница
28,748 – верхняя граница
30,907 ± 0,502 – интервальный прогноз при к=2
30,405 – нижняя граница
31,409 – верхняя граница
С вероятностью 70 % можно утверждать, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю окажется в пределах от 27,8 млн.руб. до 28,748 млн.руб., а на 11-ую неделю – от 30,405 до 31,409 млн.руб.




Приложение 1
Представим исходный рабочий лист Excel:

В ячейку Е4 занесем целевую функцию. Для этого воспользуемся встроенной математической функцией СУММПРОИЗВ.

В аргумент Массив 1 заносим ячейки, содержащие значение переменных Х1, Х2, Х3 (В3:D3). Нажимаем клавишу <F4>, чтобы этот аргумент остался постоянным. В Массив 2 заносим значения с ценами на изделия (ячейки В4:D4). Нажимаем ОК.
Копируем ячейку с целевой функцией в ячейки с левыми частями ограничений. Получаем:


Теперь используем надстройку Поиск решения:

В Параметрах делаем отметки: Линейная модель и Неотрицательные значения, нажимаем ОК.

В окне Поиска решения нажимаем клавишу Выполнить. Получаем:

Ответ: f(x) = 4000, при х1 = 40, х2 = 40, х3 = 0.