Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования

Контрольная работа
Вариант №1
Выполнила
Специальность
№ личного дела
Группа
Дисциплина ЭММ ПМ
Преподаватель

Вариант №1
Задача 1.1.
Условия задачи:
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Решение:
Математическая модель имеет вид.
F = 0,08x1 + 0,1x2 ? max  -  целевая функция (прибыль)
     x1 + x2 ? 300
    x1 ? 2x2 = x1 -2x2 ?0   -   ограничения по сумме вложений 
             x2 ? 100
          x1 ? 0;  x2 ? 0; 
Управляющие переменные:
x1- сумма капитала вложенная в акции автомобильного концерна А ,
x2 – сумма капитала вложенная в акции строительного предприятия В, соответственно;
F – прибыль.
Система неравенств включает ограничения по суммам вложений. Акции А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акции В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:
 
A
B
C
D
E
F
G
H

 1
 
 
 
 
 
 
 
 

 2
 
 
 
 
 
 
 
 

3
переменные
х1
х2
 
 
 
 
 

4
значения
 
 
 
 
<--свободные ячейки
 
 

5
 
 
 
 
 
 
 
 

6
цел-я функция
коэф-ты Cj
значение F
 
 

7
 
0,08
0,1
 
 
=СУММПРОИЗВ(В7:С7;В4:С4)
 
 

8
 
 
 
 
 
 
 
 

9
ограничения
коэф-ты аij
формула
знак
bi

10
1-ое
1
1
 
 
=СУММПРОИЗВ(В10:С10;В4:С4) 
<=
300

11
2-ое
1
-2
 
 
=СУММПРОИЗВ(В11:С11;В4:С4) 
>=
0

12
3-ие
0
1
 
 
=СУММПРОИЗВ(В12:С12;В4:С4) 
<=
100


Диалоговое окно программы «Поиск решения»
Установить целевую ячейку $F$7
Равной О max значению
Изменяя ячейки :$B$4:$C$4
Ограничения: $F$10<=$H$10 v Линейная модель
$F$11>=$H$11 v Неотрицательные значения
$F$12<=$H$12
Результат работы программы «Поиск решения»
 
A
B
C
D
E
F
G
H

1
 
 
 
 
 
 
 
 

2
 
 
 
 
 
 
 
 

3
переменные
х1
х2
 
 
 
 
 

4
значения
200
100
 
 
<--свободные ячейки
 
 

5
 
 
 
 
 
 
 
 

6
цел-я функция
коэф-ты Cj
значение F
 
 

7
 
0,08
0,1
 
 
26
 
 

8
 
 
 
 
 
 
 
 

9
ограничения
коэф-ты аij
формула
знак
bi

10
1-ое
1
1
 
 
300
<=
300

11
2-ое
1
-2
 
 
0
>=
0

12
3-ие
0
1
 
 
100
<=
100


Графическое решение.
F = 0,08x1 + 0,1x2 ? max 
 x1 + x2 ? 300
x1 -2x2 ?0  
x2 ? 100
  x1 ? 0;  x2 ? 0; 
х2























300
































200





















150







X1-2X2=0


A


B






100
















X2=100





















C














0

100

200

300

х1



L






X1+X2=300
























1.Определим множество решений неравенств:
1-ое ограничение
x1 + x2 = 300
x1 0 300
x2 300 0
2-ое ограничение
x1 -2x2 =0  
x1   0 300
x2   0 150
3-ие ограничение
x2 =100 – горизонтальная
прямая
2. Приравняем целевую функцию к нулю F = 0,08x1 + 0,1x2 =0  
x1 0 1
x2 0 -0,8

через эти две точки проведем линию (L).
3. Построим вектор-градиент и соединим его с началом координат
? (с1 ; с2 );
? (0,08 ; 0,1 ).
4. При минимизации целевой функции необходимо в направлении вектора-градиента. В нашем случае движение линии уровня будет осуществляться до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Именно в этой точке достигается максимум целевой функции.
x1 + x2 = 300
x2 =100
x1 = 300 -x2
x1 = 300 – 100 = 200; F = 0,08*200 + 0,1*100 = 16 + 10 = 26.
5. Ответ: max (F) =26 и достигается при   x1 =200;  x2 =100; 
Рекомендуется вложить в акции автомобильного концерна А, 200 тыс. ден. ед., в акции строительного предприятия В, 100 тыс. ден. ед., в первый год получим максимум прибыли 26 тыс. ден. ед.
6. Если поставить задачу минимизации, функциональную линию уровня необходимо смещать в направлении противоположном вектору-градиенту ?. Минимум целевой функции достигается в точке 0 (0;0) следовательно можно записать min (F) = 0 и достигается при   x1 = 0;  x2 = 0.
Задача 2.1.
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие
Запасы сырья


А
Б
В
Г


I
1
2
1
0
18

II
1
1
2
1
30

III
1
3
3
2
40

Цена изделия
12
7
18
10
 


Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план с помощью теорем двойственности.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
1. Математическая модель имеет вид.
F = 18x1 + 30x2 + 40x3 ? min (стоимость ресурсов)
x1 + x2 + x3 ?12      2x1 +x2 + 3x3 ?7 - стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы
      x1 +  2x2 +3x3 ?18 продукции, при нормах расходах сырья соответственно
      0x1 +  x2 +2x3 ?10 (А, Б, В, Г).
Управляющие переменные:
x1 – двойственная оценка или теневая цена 1–ого ресурса
x2 – двойственная оценка или теневая цена 2–ого ресурса
x3 – двойственная оценка или теневая цена 3–го ресурса
Необходимые для работы программы «Поиск решения» данные:
      
 
A
B
C
D
E
F
G

1
 
 
 
 
 
 
 

2
 
 
 
 
 
 
 

3
переменные
х1
х2
х3
 
 
 

4
значения
 
 
 
<--свободные ячейки
 
 

5
 
 
 
 
 
 
 

6
цел-я функция
коэф-ты Cj
значение F
 
 

7
F
18
30
40
=СУММПРОИЗВ(В7:D7;В4:D4)
 
 

8
 
 
 
 
 
 
 

9
ограничения
коэф-ты аij
формула
знак
bi

10
1-ое
1
1
1
=СУММПРОИЗВ(В10:D10;В4:D4)
>=
12

11
2-ое
2
1
3
=СУММПРОИЗВ(В11:D11;В4:D4)
>=
7

12
3-ие
1
2
3
=СУММПРОИЗВ(В12:D12;В4:D4)
>=
18

13
4-ое
0
1
2
=СУММПРОИЗВ(В13:D13;В4:D4)
>=
10


Диалоговое окно программы «Поиск решения»
Установить целевую ячейку $E$7
Равной О min значению
Изменяя ячейки :$B$4:$D$4
Ограничения: $E$10: $E$13>=$G$10: $G$13
v Линейная модель
v Неотрицательные значения

Результат работы программы «Поиск решения»
 
A
B
C
D
E
F
G

1
 
 
 
 
 
 
 

2
 
 
 
 
 
 
 

3
переменные
х1
х2
х3
 
 
 

4
значения



<--свободные ячейки
 
 

5
 
 
 
 
 
 
 

6
цел-я функция
коэф-ты Cj
значение F
 
 

7
F
18
30
40
326

 

8
 
 
 
 
 
 
 

9
ограничения
коэф-ты аij
формула
знак
bi

10
1-ое
1
1
1
12
>=
12

11
2-ое
2
1
3
29
>=
7

12
3-ие
1
2
3
22
>=
18

13
4-ое
0
1
2
10
>=
10

.















































 
 
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое

Ячейка
Имя
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение

$B$4
значения х1
7
0
18
2
18

$C$4
значения х2
0
1
30
1E+30
1

$D$4
значения х3
5
0
40
2
22

















 
 
Результ.
Теневая
Ограничение
Допустимое
Допустимое

Ячейка
Имя
значение
Цена
Правая часть
Увеличение
Уменьшение

$E$10
1-ое формула
12
18
12
1E+30
4

$E$11
2-ое формула
29
0
7
22
1E+30

$E$12
3-ие формула
22
0
18
4
1E+30

$E$13
4-ое формула
10
11
10
14
4


3. Если продукция вошла в оптимальный план хj >0, то в двойственных оценках она не убыточна, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции, равна ее цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимально. В нашей задаче – это предприятия вида А и Г. Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одной единицы продукции больше его цены, то это изделие не во