Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово – экономический
институт
Омский филиал


Контрольная работа по дисциплине
«Эконометрика»
Вариант №3

Выполнила:




Омск
Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области.
Даны следующие исходные данные:
(Х1 – город области; 1 – Подольск, 0 - Люберцы).
Задание:
Рассчитайте матрицу парных коэффициентов корреляции; оцените статистическую значимость коэффициентов корреляции.
Постройте поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для всех факторов Х.
Оцените качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Выберите лучшую модель.
Для лучшей модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя EMBED MathType 5.0 Equation при уровне значимости EMBED MathType 5.0 Equation , если прогнозное значение фактора EMBED MathType 5.0 Equation составит 80% от его максимального значения. Представьте графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.
Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, EMBED Equation.3 - и EMBED Equation.3 - коэффициентов.
Решение:
При решении данной задачи расчеты и построение графиков и диаграмм будем вести с использованием настройки Excel Анализ данных.
1. Рассчитаем матрицу парных коэффициентов корреляции и оценим статистическую значимость коэффициентов корреляции.
Чтобы рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции скопируем таблицу с исходными данными в Excel. Далее воспользуемся инструментом Корреляция, входящим в настойку Анализ данных.
В диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал вводим диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Так как мы выделили и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке.
Получили следующие результаты:
Таблица 1.1. Матрица парных коэффициентов корреляции:
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y, т.е. цена квартиры имеет более тесную связь с Х4 (жилая площадь квартиры). Коэффициент корреляции равен 0,826. Это означает, что на 82,6% зависимая переменная Y (цена квартиры) зависит от показателя Х4 (жилая площадь квартиры). Также зависимая переменная Y (цена квартиры) имеет среднюю связь 68,8% с Х2 (число комнат в квартире) и слабую связь с Х1 (город области).
Статистическая значимость коэффициентов корреляции определим с помощью t-критерия Стьюдента. Табличное значение сравниваем с расчетными значениями.
Вычислим табличное значение с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.
tтабл.=1,686 при доверительной вероятности равной 0,9 и степенью свободы (n-2).
Статистическим значимым является фактор Х4.
2. Построим поле корреляции результативного признака (стоимости квартиры) и наиболее тесно связанного с ним фактора (жилой площади квартиры).
Для этого воспользуемся инструментом построения точечной диаграммы программы Excel.
В результате получаем поле корреляции цены квартиры, тыс. долл. и жилой площади квартиры, кв.м. (рисунок 1.1.).
Рисунок 1.1.

3. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии для каждого фактора Х.
Для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в настойку Анализ данных.
В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес диапазона ячеек, которые представляет зависимую переменную, т.е. стоимость квартир. В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения независимых переменных (город области, жилая площадь квартиры, число комнат в квартире). Выполним поочередно вычисления параметры парной регрессии для каждого фактора Х.
Для Х4 получили следующие данные, представленные в таблице 1.2:
Таблица 1.2
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры имеет вид: EMBED Microsoft Equation 3.0
Для Х2 получили следующие данные, представленные в таблице 1.3:
Таблица 1.3
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от числа комнат в квартире имеет вид: EMBED Microsoft Equation 3.0
Для Х1 получили следующие данные, представленные в таблице 1.4:
Таблица 1.4
Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от города области имеет вид:
EMBED Microsoft Equation 3.0
4. Оценим качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера. Установим, какая модель является лучшей.
Коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации мы получили в результате расчетов, проведенных в пункте 3. Полученные данные представлены в следующих таблицах:
Данные по Х4:
Таблица 1.5а
Таблица 1.5б
Данные по Х2:
Таблица 1.6а
Таблица 1.6б
Данные по Х1:
Таблица 1.7а
Таблица 1.7б
А) Коэффициент детерминации определяет, какая доля вариации признака У учтена в модели и обусловлена влиянием на него фактора Х. Чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели.
В программе Excel обозначается R-квадрат.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 0,683
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 0,474
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 0,163
Исходя из данного критерия наиболее адекватной является модель уравнения регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры (Х4).
Б) Среднюю ошибку аппроксимации рассчитаем по формуле:
EMBED Microsoft Equation 3.0 , где числитель – сумма квадратов отклонения расчетных значений от фактических. В таблицах она находится в столбце SS, строке Остатки.
Среднее значение цены квартиры EMBED Microsoft Equation 3.0 рассчитаем в Excel с помощью функции СРЗНАЧ. EMBED Microsoft Equation 3.0 = 93,65025 тыс. долл.
При проведении экономических расчетов модель считается достаточно точной, если средняя ошибка аппроксимации меньше 5%, модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации меньше 15%.
EMBED Microsoft Equation 3.0
EMBED Microsoft Equation 3.0
EMBED Microsoft Equation 3.0
По данному критерию, наиболее адекватной является математическая модель для уравнения регрессии зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры (Х4).
В) Для проверки значимости модели регрессии используется F-тест. Для этого выполняется сравнение EMBED Microsoft Equation 3.0 и критического (табличного) EMBED Microsoft Equation 3.0 значений F-критерия Фишера.
Расчетные значения приведены в таблицах 1.5б, 1.6б, 1.7б (обозначены буквой F).
Табличное значение F-критерий Фишера рассчитаем в Excel с помощью функции FРАСПОБР. Вероятность возьмем равной 0,05. Получили:
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 4,10
Расчетные значения F-критерий Фишера для каждого фактора сравним с табличным значением:
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 81,84 > EMBED Microsoft Equation 3.0 = 4,10 модель по данному критерию адекватна.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 34,19 > EMBED Microsoft Equation 3.0 = 4,10 модель по данному критерию адекватна.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 7,38 > EMBED Microsoft Equation 3.0 = 4,10 модель по данному критерию адекватна.
Проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что наиболее лучшей является математическая модель, построена для фактора жилая площадь квартиры, которая описана линейным уравнением EMBED Microsoft Equation 3.0 .
5. Для выбранной модели зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры EMBED Microsoft Equation 3.0 осуществим прогнозирование среднего значения показателя EMBED MathType 5.0 Equation при уровне значимости EMBED MathType 5.0 Equation , если прогнозное значения фактора EMBED MathType 5.0 Equation составит 80% от его максимального значения. Представим графически: фактические и модельные значения, точки прогноза.
Рассчитаем прогнозное значение Х, по условию оно составит 80% от максимального значения.
Рассчитаем Хmax в Excel с помощью функции МАКС.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 84кв.м
EMBED Microsoft Equation 3.0 =0,8 *84 = 67,2 кв.м
Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим полученное значение независимой переменной в линейное уравнение:
EMBED Microsoft Equation 3.0 = -1,3+2,4*67,2 = 159,98 тыс.долл.
Определим доверительный интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:
EMBED Microsoft Equation 3.0
EMBED Microsoft Equation 3.0
Для вычисления доверительного интервала для прогнозного значения рассчитываем величину отклонения от линии регрессии. Для модели парной регрессии величина отклонения рассчитывается:
EMBED Microsoft Equation 3.0
EMBED Microsoft Equation 3.0 , т.е. значение стандартной ошибки из таблицы 1.5а.
(Так как число степеней свободы равно единицы, то знаменатель будет равен n-2).
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 29,37
Для расчета коэффициента EMBED Microsoft Equation 3.0 воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР, вероятность возьмем равную 0,1, число степеней свободы 38.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,686
Значение EMBED Microsoft Equation 3.0 рассчитаем с помощью Excel, получим 12294.
EMBED Microsoft Equation 3.0
Определим верхнюю и нижнюю границы интервала.
159,98+51,63= 211,61
159,98-51,63= 108,35
Таким образом, прогнозное значение EMBED Microsoft Equation 3.0 = 159,98 тыс.долл., будет находиться между нижней границей, равной 108,35 тыс.долл. и верхней границей, равной 211,61 тыс.долл.
Фактические и модельные значения, точки прогноза представлены графически на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2.

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения), построим модель формирования цены квартиры за счёт значимых факторов.
Для построения множественной регрессии воспользуемся функцией Регрессия программы Excel, включив в нее все факторы. В результате получаем результативные таблицы, из которых нам необходим t-критерий Стьюдента.
Таблица 1.8.а.
Таблица 1.8.б.
Таблица 1.8.в.
Получаем модель вида:
EMBED Microsoft Equation 3.0 .
Поскольку EMBED Microsoft Equation 3.0 < EMBED Microsoft Equation 3.0 (4,10 < 60,87), уравнение регрессии следует признать адекватным.
Выберем наименьшее по модулю значение t-критерия Стьюдента, оно равно ¦-3,38¦, сравниваем его с табличным значением, которые рассчитываем в Excel, уровень значимости берем равным 0,10, число степеней свободы n-m-1=40-4=36: EMBED Microsoft Equation 3.0 =1,688.
Поскольку ¦-3,38¦> 1,688 модель следует признать адекватной.
Коэффициент парной корреляции независимых переменных X2 (число комнат в квартире) и X4 (жилая площадь квартиры) EMBED Microsoft Equation 3.0 = 0,92. Так как это больше 0,8, следовательно в исходных данных имеется мультиколлинеарность. Чтобы избавиться от мультиколлинеарности из переменных X2 (число комнат в квартире) и X4 (жилая площадь квартиры) оставим в модели X4, так как он в большей степени связан с зависимой переменной Y(цена квартиры).
Вычисляем новую математическую модель.
Таблица 1.9.а.
Таблица 1.9.б.
Таблица 1.9.в.
Получаем модель вида: EMBED Microsoft Equation 3.0 .
Поскольку EMBED Microsoft Equation 3.0 < EMBED Microsoft Equation 3.0 (4,10 < 66,78), уравнение регрессии следует признать адекватным.
Выберем наименьшее по модулю значение t-критерия Стьюдента, оно равно ¦-4,13¦, сравниваем его с табличным значением, которые рассчитываем в Excel, уровень значимости берем равным 0,10, число степеней свободы n-m-1=40-3=37: EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,687.
Поскольку ¦-4,13¦> 1,687 модель следует признать адекватной.
Мультиколлинеарность отсутствует.
7. Оцените качество построенной модели.
а) Для модели EMBED Microsoft Equation 3.0 коэффициент детерминации составил 0,78, для модели EMBED Microsoft Equation 3.0 он составил 0,683, поскольку чем больше значение коэффициента детерминации, тем теснее связь между признаками в построенной математической модели, то первая модель является лучшей по данному критерию.
б) Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:
EMBED Microsoft Equation 3.0
Для предыдущей модели она составила 30,57.
в) Рассчитаем табличное значение F-критерия Фишера при вероятности 0,05:
EMBED Microsoft Equation 3.0 =3,25
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 66,78
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 66,78 > EMBED Microsoft Equation 3.0 =3,25 модель по данному критерию адекватна.
Для оценки значимого фактора полученной математической модели, рассчитаем коэффициенты эластичности, EMBED Microsoft Equation 3.0 и EMBED Microsoft Equation 3.0 - коэффициенты.
Коэффициент эластичности показывает, насколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на 1%:
EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 .
Э X4 = 2,29 *(39,62/93,65) = 1%.
Э X1 = (-32,74) * (0,58/93,65) = - 0,2 %.
То есть с ростом общей площади квартиры на 1% стоимость квартиры в среднем возрастает на 1%.
А при изменении города Люберцы на Подольск при неизменной общей площади квартиры величина стоимости квартиры уменьшится в среднем на 0,2%.
То есть наибольшее воздействие на цену квартиры оказывает величина жилой площади (X4), а наименьшее - X1 (город области).
EMBED Microsoft Equation 3.0 -коэффициент показывает на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.
EMBED Microsoft Equation 3.0
EMBED Microsoft Equation 3.0 = 2,29* (17,755/51,492) = 0,79.
EMBED Microsoft Equation 3.0 = (-32,74) * (0,5/51,492) = - 0,32.
Данные средних квадратических отклонений взяты из таблиц, полученных с помощью инструменты Описательная статистика.
Таблица 1.11.
Описательная статистика (Y)
Таблица 1.12.
Описательная статистика (Х4)
Таблица1.13.
Описательная статистика (X1)
EMBED Microsoft Equation 3.0 - коэффициент определяет долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов: EMBED Microsoft Equation 3.0
Для расчета коэффициентов парной корреляции вычисляем матрицу парных коэффициентов корреляции в программе Excel с помощью инструмента Корреляция настройки Анализа данных.
Таблица 1.14.
EMBED Microsoft Equation 3.0 (0,79*0,826) / 0,78 = 0,84.
EMBED Microsoft Equation 3.0 (-0,32*(-0,403))/0,78 = 0,16.
Из полученных расчетов можно сделать вывод, что результативный признак Y (цена квартиры) имеет большую зависимость от фактора X4 (общая площадь квартиры) (на 84 %), чем от фактора X1 (город области) (16 %).





Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED MathType 5.0 Equation , параметры которой оценить МНК ( EMBED MathType 5.0 Equation - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5) Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение:
Проверим наличие аномальных наблюдений.
EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 =7,52
Результаты расчетов приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1
Сравним расчетное значение EMBED Microsoft Equation 3.0 с табличным значением ( EMBED Microsoft Equation 3.0 =1,5). Все расчетные значения EMBED Microsoft Equation 3.0 меньше EMBED Microsoft Equation 3.0 , следовательно аномальных значений во временном ряду нет.
2) Построим линейную модель EMBED MathType 5.0 Equation
Рассчитаем коэффициенты линейной модели с помощью инструмента Регрессия программы Excel. В качестве входного интервала Y берем значения спроса на кредитные ресурсы финансовой компании в качестве входного интервала Х – номера наблюдений.
Результаты приведены в таблице:
Таблица 2.2а
Таблица 2.2б
Таблица 2.2в
Таблица 2.2г
Уравнение линейной модели будет иметь вид: EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,17+2,7t
3) Оценим адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
а) При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей (с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона).
Таблица 2.3а. Таблица для вычисления d-критерия.
EMBED Microsoft Equation 3.0
Зададим уровень значимости равной 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсена для числа n=9 и числа независимых переменных модели k=1 критическое значение d1=0,82 и d2=1,32
Так как d попало в интервал от 2 до 4, то вычисляем EMBED Microsoft Equation 3.0 :
EMBED Microsoft Equation 3.0 4- 2,21 = 1,79
EMBED Microsoft Equation 3.0 попало в интервал от d2<d’<2, по данному критерию модель адекватна.
б) Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.
EMBED Equation.3
В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:
2
Количество поворотных точек равно 5 (Рисунок 2.1.). Правая часть неравенства равна 2. Неравенство выполняется (5>2), следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Таблица 2.3б
Рисунок 2.1

в) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия. RS=[Emax –Emin] : SE
Emax – максимальный уровень ряда остатков = 2,233;
Emin – минимальный уровень ряда остатков = - 2,467;
SE – среднее квадратичное отклонение
SE = EMBED Microsoft Equation 3.0 = EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,351
RS=[2,233–(-2,467)]/ 1,351= 3,48
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 - 3,7), следовательно, свойство нормальности распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
4) Оценим точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации рассчитаем по формуле:
EMBED Microsoft Equation 3.0 *100%
Построим расчетную таблицу:
Таблица 2.5.
EMBED Microsoft Equation 3.0 *100%= 8,85 %
Данную модель можно считать приемлемой, так как рассчитанное значение средней относительной ошибки аппроксимации меньше 15%.
5) Осуществим прогноз спроса на следующие две недели.
Рассчитаем прогнозные значения для 10 и 11 недели, подставив соответствующие значения в ранее полученное уравнение регрессии EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,17+2,7t:
EMBED Microsoft Equation 3.0 (10)= 1,17+2,7*10= 28,17
EMBED Microsoft Equation 3.0 (11)= 1,17+2,7*11= 30,87
Доверительные интервалы для прогнозных значений рассчитаем по формуле:
EMBED Microsoft Equation 3.0 , где
EMBED Microsoft Equation 3.0
Среднее значения параметра t равно:
EMBED Microsoft Equation 3.0 = EMBED Microsoft Equation 3.0 = EMBED Microsoft Equation 3.0 =5
Рассчитаем знаменатель дроби, находящейся под корнем. Для этого построим расчетную таблицу:
Таблица 2.6.
EMBED Microsoft Equation 3.0 =60
Из таблицы 2.2а берем значение стандартной ошибки оценки: EMBED Microsoft Equation 3.0 1,444
Рассчитаем Sпр для каждой недели:
EMBED Microsoft Equation 3.0 =1,444* EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,785
EMBED Microsoft Equation 3.0 =1,444* EMBED Microsoft Equation 3.0 = 1,889
Рассчитаем t-критерий Стьюдента с помощью формулы СТЬЮДРАСПОБР, при доверительной вероятности равной 70%: t=1,119
Рассчитаем доверительные интервалы:
Для 10-ой недели:
EMBED Microsoft Equation 3.0
28,17+1,119*1,785= 30,167
28,17-1,119*1,785= 26,173
Для 11-ой недели
EMBED Microsoft Equation 3.0
30,87+1,119*1,889=32,983
30,87-1,119*1,889= 28,756
6) Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.
Рисунок 2.2.