Всероссийский заочный финансово-экономический институт Филиал в г. БарнаулеКафедра Математики и Информатики

Контрольная работа по Эконометрике
Вариант 5







Барнаул 2008
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.).
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков EMBED Equation.3 ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1 если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
гиперболической;
степенной;
показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение:
Уравнение линейной регрессии имеет вид: EMBED Equation.3 = а0 + а1x.
Построим линейную модель.
Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).

Рис. 1. Сортировка данных.
Используем программу РЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели.
Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5.
Таблица 2.
Таблица 3.
Таблица 4.

Таблица 5.
Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель построена и ее уравнение имеет вид Yт = 2,70755+0,721698Х.
Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, при увеличении времени разговора с продавцом (Х) на 1 минуту сумма покупки (Y) увеличивается в среднем на 0,721698 ден. ед.
Свободный член а=12,70755, в данном уравнении не имеет реального смысла.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S²e; построить график остатков.
Остатки модели Ei=уi-уti содержатся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).
Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 3).
Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:
Вызвать Матер Диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).
Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1);значения Y - остатки ( таблица 5).

В результате получим график остатков.
EMBED Excel.Chart.8 \s
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.
В уравнении линейной модели Y=a+b*X+? слагаемое ? - случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y.
Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.
Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).
Распределение случайного члена является нормальными.
1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.
Количество повторных точек определим по графику остатков: p=5
Вычислим критическое значение по формуле:
EMBED Equation.3 . При EMBED Equation.3 найдем EMBED Equation.3
Схема критерия:

Сравним EMBED Equation.3 , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.
Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: EMBED Equation.3 .
Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта.
В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных ( EMBED Equation.3 ) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.
С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов EMBED Equation.3 .
С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов EMBED Equation.3 .
Рассчитаем статистику критерия: EMBED Equation.3 .
Критическое значение при уровне значимости EMBED Equation.3 и числах степеней свободы EMBED Equation.3 составляет EMBED Equation.3 .
Схема критерия:

Сравним EMBED Equation.3 , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.
Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина–Уотсона
EMBED Equation.3 .
Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим EMBED Equation.3 ; используем найденную программой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты EMBED Equation.3 .
Таким образом,
EMBED Equation.3
Схема критерия:

Полученное значение d=2,375, что свидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62 и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88 и d2=1,32.
D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.
EMBED Equation.3 . С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков EMBED Equation.3 , следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.
Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение EMBED Equation.3 ?n и составляет для данной задачи EMBED Equation.3
Сравнения показывает, что ?r(1)= 1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.
4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью EMBED Equation.3 критерия:
EMBED Equation.3 .
С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Стандартная ошибка модели найдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет EMBED Equation.3 . Тогда:
EMBED Equation.3
Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения EMBED Equation.3 и при EMBED Equation.3 составляет (2,67; 3,57).
Схема критерия:

2,995 EMBED Equation.3 (2,67; 3,57), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.
Проведенная проверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для модели выполняются все условия Гаусса–Маркова.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерия Стьюдента ( EMBED Equation.3 ).
t–статистика для коэффициентов уравнения приведены в таблице 4.
Для свободного коэффициента EMBED Equation.3 определена статистика EMBED Equation.3 .
Для коэффициента регрессии EMBED Equation.3 определена статистика EMBED Equation.3 .
Критическое значение EMBED Equation.3 найдено для уравнения значимости EMBED Equation.3 и числа степеней свободы EMBED Equation.3 с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.
Схема критерия:

Сравнение показывает:
EMBED Equation.3 , следовательно, свободный коэффициент a является значимым.
EMBED Equation.3 , значит, коэффициент регрессии b является значимым.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F–критерия Фишера ( EMBED Equation.3 ), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент детерминации R–квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет EMBED Equation.3 .
Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложений X.
Проверим значимость полученного уравнения с помощью F–критерия Фишера.
F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и составляет EMBED Equation.3 .
Критическое значение EMBED Equation.3 найдено для уровня значимости EMBED Equation.3 и чисел степеней свободы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Схема критерия:

Сравнение показывает: EMBED Equation.3 ; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.
Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительный столбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле EMBED Equation.3 с помощью функции ABS (таблица 6).
По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение EMBED Equation.3 (функция СРЗНАЧ).
Схема проверки:

Сравним: 9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.
Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшее использование такой модели для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости EMBED Equation.3 , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.
Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49, следовательно, EMBED Equation.3 . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя У:
EMBED Equation.3 .
Таким образом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.
Зададим доверительную вероятность EMBED Equation.3 и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.
Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:
EMBED Equation.3
Предварительно подготовим:
- стандартную ошибку модели EMBED Equation.3 (Таблица 2);
- по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение EMBED Equation.3 (функция СРЗНАЧ) и определим EMBED Equation.3 (функция КВАДРОТКЛ).
Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:
EMBED Equation.3
При EMBED Equation.3 размах доверительного интервала для среднего значения
EMBED Equation.3
Границами прогнозного интервала будут
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3 млн. руб. до 50,67 млн. руб.
7. Представить графически фактические и модальные значения Y точки прогноза.
Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).
Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:
тип > линейная; параметры > показывать уравнение на диаграмме.
Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:
Имя > прогноз; значения EMBED Equation.3 ; значения EMBED Equation.3 ;
Имя > нижняя граница; значения EMBED Equation.3 ; значения EMBED Equation.3 ;
Имя > верхняя граница; значения EMBED Equation.3 ; значения EMBED Equation.3
EMBED Excel.Chart.8 \s
8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной; показательной.
Гиперболическая модель EMBED Equation.3 не является стандартной.
Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим EMBED Equation.3 и получим вспомогательную модель EMBED Equation.3 . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений EMBED Equation.3 (остается без изменений) и столбец преобразованных значений EMBED Equation.3 (таблица 7).
Таблица 7
С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:

Таким образом, EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , следовательно, уравнение гиперболической модели EMBED Equation.3 .
С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения EMBED Equation.3 для каждого уровня исходных данных EMBED Equation.3 .
Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных EMBED Equation.3 , ряд теоретических значений
EMBED Excel.Chart.8 \s
Степенная модель EMBED Equation.3 является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

SHAPE \* MERGEFORMAT