Федеральное агентство по образованию
Всероссийский заочный финансово – экономический институт
Кафедра математики и информатики
КОНТРОЛЬАЯ РАБОТА
по дисциплине «Финансовая математика»
на тему
Вариант №7
Исполнитель: Наймушина Оксана Владимировна
Факультет: Финансово-кредитный
Специальность: Финансы и кредит
Группа: 4ФКп-2
№ 03ФФД10857
Руководитель: Поддубная Марина Львовна

Барнаул
2006
Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной Модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1.37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении г1= 0,32;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Задание 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%К, %К и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Задание 3.
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в процентах и т.д.
По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 1% годовых.
Найти:
3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
3.3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тдн лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году.
Вычислить наращенную сумму.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты от раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
3.8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые т раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
Задание 1.
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом, используя основную формулу:
Yp(t+k)=[a(t)+k×b(t)]×F(t+k-L)
где k – период упреждения;
Yp (t ) – расчетное значение экономического показателя для t-го периода;
F(t+k-L) – коэффициент сезонности, найденный для соответствующего сезона в предыдущем году;
a(t), b(t), F(t) – коэффициенты сезонности, найденные для соответствующего сезона в предыдущем году.
L – период сезонности, например для квартальных данных L=4.
Коэффициенты модели a, b, F зависит от рассматриваемого момента времени t и требует пересчета, уточнения для каждого нового момента по формулам:
a(t)=?1×Y (t )/F(t-L)+(1-?1)×[a(t-1)+b(t-1)];
b(t)=?2×[a(t)-a(t-1)]+(1+?2)×b(t-1);
F(t)=?3×Y (t )/a(t)+(1-?3)×F(t-L).
Формулы выражают адаптивный характер модели с получением новых данных Y(t) они позволяют получить улучшенные, уточненные коэффициенты a(t), b(t) и F(t)
Чтобы начать расчет (для t-1) предварительно нужно определить a(0), b(0) – коэффициенты трендовой модели для предыдущего сезона.
F(-3), F(-2), F(-1), F(0) – коэффициенты сезонности для каждого квартала предыдущего года.
Подготовим расчетную таблицу в которой включим столбцы t1, Y(t), a(t), b(t), F(t), Yp(t).
Рассмотрим 3 периода времени:
Предварительный –t – от -3 до 0
Основной t – от 1 до 16
Прогнозный t – от 16 до 20
Выполним предварительный расчет.
Для определения трендовых коэффициентов построим вспомогательную линейную регрессию по данным за первые 8 кварталов (2 года).
Используем данные, найденного значения a(0)=43,59
b(0)=0,75
Оценим коэффициент сезонности:
С помощью построенной регрессии можно рассчитать:
Y1/Y1 - коэффициент сезонности 1 квартала 1 го года.
Y5/Y5 - коэффициент сезонности 1 квартала 2 го года.
В качестве оценки коэффициента сезонности 1го квартала предыдущего года, возьмем среднее арифметическое
F(-3)=1/2[Y(1)/Yp(1)+ Y(5)/Yp(5)]=0,857
F(-2)=1/2[Y(2)/Yp(2)+ Y(6)/Yp(6)]=1,081
F(-1)=1/2[Y(3)/Yp(3)+ Y(7)/Yp(7)]=1,276
F(0) =1/2[Y(4)/Yp(4)+ Y(8)/Yp(8)]=0,786
Используем значения параметров сглаживания, заданные в условии: ?1=0,3; ?2=0,6; ?3=0,3.
Рассчитаем Yp(t) по основной формуле, выбираем t=0, k=1, находим Yp(1):
Yp(1)=[a(0)+1×b(0)]×F(-3)= 37,72
Уточним коэффициент модели, полагая, что t=1, находим:
a(1)=0,3×Y(1)/F(-3)+(1-0,3)×[a(0)+b(0)]=44,10
b(1)=0,6×[a(1)-a(0)]+(1+0,6)×b(0)=0,78
F(1) =0,3× (1)/a(0)+(1-0,3)×F(0)=0,86
Аналогично определяется остальные коэффициенты и расчетные значения Yp(t) для всех уравнений исходящих данных t-1, 2,…., 16.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Для проверки точности рассчитаем относительные погрешности каждого уровня:
?отн=|?(t)/Y(t)|×100%
По полученным результатам определим среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ.
EMBED Equation.3 =1,77(%).
EMBED Equation.3 =1,77 % находится в интервале (0; 5) значит точность модели высокая.
Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основании критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда ?(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной.
Выделим поворотные точки и соединим их.
EMBED Excel.Chart.8 \s
P=10
Определим по формуле p критические:
Pкр=|2(n-2)/3-1,96v(16n-29)/90|
При n=16, получим
P=10> Pкр=6=>если количество поворотных точек P больше Pкр , то условие случайности уровней ряда остатков выполняется.
1.3.2. Для проверки независимости остатков по d-критерию подготовим:
d=?|E(t)-E(t-1)|2/?E(t)2=43,99/16,32=2,70
Полученное значение больше 2, значит место имеет отрицательная автокорреляция. В этом случае величину d уточняют, вычитая из 4.
d'=4-2,7=1,3.
Из таблицы выпишем критические уровни: d1=1,10; d2=1,37
d'=1,3 входит в интервал (d1; d2) => требуется дополнительная проверка.
Для расчета r(1) подготовим:
?|E(t)-E(t-1)= -5,92
И вычислим r(1)= ?[E(t)×E(t-1)]/?E(t)2=-5,92/16,32=-0,36
Критическое значение по таблице rкр=0,32
|r(1)|=0.36> rкр=0.32 => свойство независимых остатков не выполняется.
Для проверки нормального распределения остатков RS подготовим:
Emin=-1,59
Emax=2,36
Средний квадрат отклонений: S(E)= 1,04
R/S= (Emax- Emin)/S(E)= 3,82
Значение RS для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.
Так как R/S=3,82 входит в критический интервал (3,00; 4,21), то свойство нормального распределения остатков выполняется.
Построим точный прогноз на четыре квартала (т.е. на 1 год) вперед.
Для прогнозирования используем построенную модель. Воспользуемся для этого основной формулой, в которой t=n – фиксировано, k-1, 2, 3, 4 – изменяется, получим:
Yp(17)=|t=16, k=1|=[a(16)+1×b(16)]×F(13)= 51,45
Yp(18)=|t=16, k=2|=[a(16)+2×b(16)]×F(14)= 63,99
Yp(19)=|t=16, k=3|=[a(16)+3×b(16)]×F(15)= 76,64
Yp(20)=|t=16, k=4|=[a(16)+4×b(16)]×F(16)= 47,04
На рисунке показано сопоставление фактических и расчетных данных. Так же показаны прогнозные данные о кредите на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Вывод: По точности модель удовлетворительная, но не является адекватной (не выполняется свойство независимости остатков). Прогноз по этой модели проводить не целесообразно.
Задание 2.
Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю, используя формулу:
EMAt=k×Ct+(1-k)× EMAt-1
При интервале сглаживания n=5, расчет начинаем с 5 строки. Подготовим EMA5=EM5= 352,40
По формуле: EM(t)=Ct+Ct-1+Ct-2/n
где Ct – цена закрытия t-го дня;
MAt- значение скользящего среднего текущего дня t.
Применим формулу EMAt, в которой k=2/n+1=2/5+1=2/6
EMA6=1/3× 590+2/3× 352,40
Аналогично рассчитываются EMA7, EMA8, EMA9, EMA10.
График исходных данных C(t) и экспоненциальной скользящей средней ЕМА(t)
EMBED Excel.Chart.8 \s
С 5 до 10 дня ЕМА ниже, чем Ct => рекомендуются покупки. Графики не пересекаются, значит сигналов разворота нет.
Рассчитаем момент, по формуле:
MOMt=Ct-Ct-n
Где Ct – цена закрытия t-го дня;
Расчет выполняется для t ? n+1
MOMt=C6-C6-5=590-610=-20
Покажем линию момента на графике:

Движение графика МОМ вверх из зоны отрицательных в зону положительных значений в точке пересечения нулевой линии дает сигнал к покупке. С 9-го по 10-й день восходящий тренд – надо покупать.
2.3. Рассчитаем скорость изменения цен по формуле:
ROCt=Ct/Ct-n×100%
Где Ct – цена закрытия t-го дня;
ROCt – значение ROC текущего дня.
ROC6=С6/С6-5×100%= 590/610×100%=96,72
Покажем линию скорости изменения цен на графике:

С 9-го по 10-й день наблюдается пересечение 100% уровня, значит тренд восходящий – рекомендуются покупки.
2.4. Рассчитаем индекс относительной силы по формуле:
RSI=100-100/(1+AU/AD)
Где AU – сумма конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитаем изменение цен:
?Сt=Ct-Ct-1 (начиная со второго дня)
?Сt=C2-C1=614-610=4
Вычислим приросты (положительные изменения) и убытки (отрицательные изменения):
Рассчитаем суммы приростов и убытков по n слагаемых, начиная с n+1-го уровня.
По формуле рассчитаем RSI:
Покажем линию относительной силы цен на графике:

RSI находится в центральной зоне, финансовые операции можно выполнять, нет риска в этих операциях по сигналам других индексов.
Рассчитаем %R, %K и %D по формулам:
%K=(Ct-Lt,n)/(Ht,n-Lt,n)×100%
%Rt=(Ht,n-Ct)/(Ht,n-Lt,n)×100%
%D=?(Ct-Lt,n)/?(Ht,n-Lt,n)×100%
где %K – значение закрытия текущего дня t;
%Rt – значение индекса текущего дня t
Ct – цена закрытия текущего дня t;
Lt и H5 – минимальная и максимальная цены за n предшествующих дней, до дня t.
Рассчитываем %R и %K:
Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той разницей, что при его построении величины (Ct-Lt,n) и (Ht,n-Lt,n) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Выберем min и max цены за 5 дней, начиная с 5-го дня.

Подготовим разности (C-L); (H-L); (H-C)
Подготовим 3-х дневные суммы для D%, начиная с 7-го уровня, заполним столбцы сумм sum(C-L) и sum(H-L). Получим:
Покажем стохастические линии на графике:
EMBED Excel.Chart.8 \s
%К: 5– нижняя критическая зона перекупленности, остановить операции.
С 6 по 10 дни – нейтральная зона.
%R: 5 день – верхняя критическая зона перепроданности, остановить операции.
С 6 по 10 дни – нейтральная зона.
%D: С 5 по 10 дни - нейтральная зона.
Задание 3.
3.1. Банк выдал ссуду, размером 3500000 руб. Дата выдачи ссуды - 11.01.2002, возврата - 19.03.2002. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 40 % годовых.
Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
Решение:
Денежная сумма разовая P=3500000 руб.
Точное число дней ссуды - t=67
Операция – наращение S - ?
Простые проценты рассчитываются по формулам:
I=P×n×i
где n=t/k.
k=365; t=67.

I=3500000× (67/365)×0,4=256986,30 (руб.)
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
I=P×n×i
где n=t/k.
k=360; t=67.
I =3500000× (67/360)×0,4=260555,56 (руб.)
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
I=P×n×i
где n=t/k.
k=360; t=67.
I =3500000× (67/360)×0,4=260555,56 (руб.)
3.2. Через 90 дней после подписания договора должник уплатит 3500000 руб. Кредит выдан под 40% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Денежная сумма разовая S=3500000
Операция дисконтирование P-?
Проценты простые
i=40%, используем математическое дисконтирование:
S=P(1+n•i)=> EMBED Equation.3 , где n=t/k.
АСТ/360:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = 3181818,18 руб.
D=S-P=3500000-3181818=318181,8 (руб)
3.3. Через 90 дней предприятие должно получить по векселю 3500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 40% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
S=3500000 руб.
t=90 дней
процент простой i=40%
Используем формулы:
D=Snd=3500000×90/360×0,4= 350000
P=S-D=3500000-350000= 3150000
3.4. В кредитном договоре на сумму 3500000руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 40% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
Денежная сумма разовая Р=3500000
Операция наращение сложных процентов S-?
Используем функцию БС:

БС= 18 823 840 руб.
3.5. Ссуда размером 3500000руб. предоставлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка - 40% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
Денежная сумма разовая P=3500000
Операция наращение S-?
Проценты сложные i=40%
Число периодов m=4
Число кварталов (5×4)=20
Используем функцию БС:

БС= 23 546 249,82р.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 40% годовых.
Решение:
Используем функцию ЭФФЕКТ:

iэ= 0,4641р.
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в год, чтобы обеспечить аффективную ставку 40% годовых.
Решение:
Используем функцию НОМИНАЛ:

Iн= 0,3510р.
3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 3500000руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 40% годовых.
Решение:
Денежная сумма разовая S=3 500 000
Операция дисконтирование P-?
Проценты сложные i=40%
Для расчета используем функцию ПС:

ПС= 650 770,51руб.
3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 3500000руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 40% годовых. Определить дисконт.
Решение:
Денежная сумма разовая S=3 500 000
Операция дисконтирование P-?
Проценты сложные d=40%

БС= 272 160,00руб.
D=S-P
D =3500000-272 160=3 227 840,00руб.
3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 3500000руб., на которые 4 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 40%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Денежная сумма разовая P=3500000 (год)
Операция наращение S-?
Проценты сложные i=40% (квартал)
m=4?p=1, перейдем к эффективной процентной ставке:

Определения суммы на расчетном счете к концу указанного срока:

БС= 43 193 815,61руб.