1. Методом Гаусса решить систему уравнений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3
2. Найти предел EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Пусть EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 непрерывны при EMBED Equation.3 , тогда по правилу Лопиталя (применяя его несколько раз), получим:
EMBED Equation.3 Ответ: EMBED Equation.3
3. Найти производную функции: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3
4. Среди равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см. Найти длину основания треугольника с наибольшей площадью.
y
A(-x0;0)
C(x0;0)
0
x
B(0;y0)
y0
Пусть ABC- равнобедренный треугольник.
Расположим оси координатной плоскости
X0Y так, чтобы ось 0X проходила через основание AC, а ось 0Y- через высоту, опущенную на основание. Пусть координаты точек : C( EMBED Equation.3 ), B( EMBED Equation.3 ), тогда A( EMBED Equation.3 ). По условию BC=5см., то есть EMBED Equation.3 , значит
EMBED Equation.3 .
Площадь EMBED Equation.3 .
Пусть EMBED Equation.3 . Функция достигает максимума, если EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3
Из условия EMBED Equation.3 , значит EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (см)
Ответ: EMBED Equation.3 см.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1;2) параллельно касательной к графику функции EMBED Equation.3 , проведённой в точке с абсциссой EMBED Equation.3 , сделать чертеж.
Производная функции EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 равна:
EMBED Equation.3 а уравнение касательной в точке EMBED Equation.3 , как известно,
EMBED Equation.3 , то есть
EMBED Equation.3 или
EMBED Equation.3
Так как искомая прямая параллельна этой касательной, ее уравнение будет иметь вид:
EMBED Equation.3 .
Константу b найдем, подставляя координаты точки (1;2), через которую проходит искомая прямая:
EMBED Equation.3 , отсюда EMBED Equation.3 , а уравнение прямой EMBED Equation.3 .
Ответ: EMBED Equation.3
6. Исследовать функцию и построить график.
EMBED Equation.3
Область определения функции:
EMBED Equation.3
Функция непрерывна на всей области определения.
При EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Пусть EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3
По правилу Лопиталя
EMBED Equation.3 .
То есть, при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Функция не является ни четной, ни нечетной
Найдем точки пересечения графиком оси 0X:
y=0: EMBED Equation.3 x>0 EMBED Equation.3 lnx=1; x=e;
Точка пересечения оси 0X имеет координаты EMBED Equation.3 .
При EMBED Equation.3 y<0; при EMBED Equation.3 y>0.
EMBED Equation.3
Производная обращается в нуль при x=1; в интервале EMBED Equation.3 она отрицательна, в интервале EMBED Equation.3 она положительна.
Значит, при EMBED Equation.3 функция убывает, при EMBED Equation.3 возрастает, в точке x=1 имеет минимум EMBED Equation.3
8. EMBED Equation.3
Вторая производная не имеет нулей и при EMBED Equation.3 положительна, значит, график функции вогнутый.
9. При EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Так как при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Найдем наклонную асимптоту:
EMBED Equation.3 , то есть график не имеет наклонной асимптоты.








Список используемой литературы
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.