Вариант 6
Задача 1
В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется.
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания EMBED Equation.3 .
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении EMBED Equation.3 ;
нормального распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на один год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.






Решение.
1. Построение модели.
Покажем исходные данные на графике (мастер диаграмм / график).

Выполним предварительный расчет.
Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо найти начальные оценки EMBED Equation.3 коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности EMBED Equation.3 за весь предыдущий год.
Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня EMBED Equation.3 в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.
С помощью метода наименьших квадратов построим вспомогательную линейную модель EMBED Equation.3 . Коэффициенты этой модели EMBED Equation.3 можно получить с помощью «сервис/ анализ данных/ РЕГРЕССИЯ».
Уравнение вспомогательной линейной модели запишется в виде
EMBED Equation.3 .
Примем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , занесем эти значения в нулевой уровень соответствующих столбцов основной расчетной таблицы.
Для оценки коэффициентов сезонности EMBED Equation.3 найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 и сопоставим их с фактическими:

Для первого квартала это EMBED Equation.3 в первом году и EMBED Equation.3 во втором году. В качестве окончательной (более точной) оценки коэффициента сезонности EMBED Equation.3 первого квартала предыдущего года возьмем среднее арифметическое значение
EMBED Equation.3 .
Аналогично найдем
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Полученные значения занесем в соответствующие уровни столбца «F» основной расчетной таблицы.
Перейдем к построению модели Хольта.
Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания EMBED Equation.3 ; период сезонности EMBED Equation.3 .
По основной формуле модели Хольта-Уинтерса, приняв EMBED Equation.3 , рассчитаем начальное значение EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .

Теперь перейдем к EMBED Equation.3 и уточним коэффициенты модели
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
По основной формуле модели Хольта-Уинтерса при EMBED Equation.3 получим
EMBED Equation.3 .
Перейдем к EMBED Equation.3 и уточним коэффициенты модели
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
По основной формуле модели Хольта при EMBED Equation.3 получим
EMBED Equation.3
и т.д. для EMBED Equation.3 . Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты EMBED Equation.3 , определяется количеством исходных данных и равно 16.
Результаты вычислений приведены в основной расчетной таблице.
Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.
2. Оценим точность построенной модели.
Предварительно для каждого уровня исходных данных вычислим остатки EMBED Equation.3 и относительные погрешности EMBED Equation.3 ; затем определить среднюю относительную ошибку аппроксимации EMBED Equation.3 .
Для этого дополним расчетную таблицу столбцами EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 :
Средняя относительная погрешность аппроксимации составит
EMBED Equation.3 (%) .
EMBED Equation.3 . Следовательно, модель точная.
3. Оценим адекватность построенной модели.
- Для проверки свойства случайности используем критерий поворотных точек.
Построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество EMBED Equation.3 .
Вычислим при EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Сравним EMBED Equation.3 > EMBED Equation.3 , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.
Для проверки независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона.
С помощью функций «СУММКВ» и «СУММКВРАЗН» найдем
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Таким образом, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
При EMBED Equation.3 критические значения d – статистик EMBED Equation.3 .
Сравнение величин показывает, что EMBED Equation.3 , то дополнительные условия d' = 4 - 2,44 =1,56. d2<d<2 - условие выполняется, уровни ряда остатков являются независимыми.
Для дополнительной проверки свойства независимости вычислим первый коэффициент автокорреляции.
Найдем сумму «СУММПРОИЗВ» EMBED Equation.3 .
Тогда EMBED Equation.3 .
Критическое значение для коэффициента автокорреляции составляет EMBED Equation.3 .
Сравнение с критическим значением показывает, что EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Таким образом, свойство независимости остаточной компоненты выполняется
Для проверки свойства нормального распределения остаточной компоненты используем R/S-критерий.
Вычислим EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Критический интервал EMBED Equation.3 , дан в условиях.
EMBED Equation.3 , значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты не выполняется.
4. Составим с помощью построенной модели прогноз цен на акции на один год вперед.
В целом построенная модель адекватной не является, т.к. одно из условий не выполняется. Использовать такую модель для прогнозирования нецелесообразно. Поэтому расчет прогнозных оценок проведем лишь в учебных целях.
Для первого квартала будущего пятого года положим в основной формуле модели Хольта-Уинтерса EMBED Equation.3 и найдем
EMBED Equation.3 .
Для второго квартала будущего пятого года при EMBED Equation.3 найдем
EMBED Equation.3 .
Для третьего квартала будущего пятого года при EMBED Equation.3 найдем
EMBED Equation.3 .
Для четвертого квартала будущего пятого года при EMBED Equation.3 найдем
EMBED Equation.3 .
На графике отражены фактические, расчетные и прогнозные данные.







Задача 2
Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.
Требуется рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%R, %K, %D.
Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Результаты расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.





Решение:
Расчет возможен для EMBED Equation.3 .
Для определения начального значения ЕМА5 используем формулу простой скользящей средней
EMBED Equation.3
Дальнейшие расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней при EMBED Equation.3 . Получим
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
и т.д.
Результаты вычислений округлены до 2-х знаков после запятой и приведены в столбце EMA(t).
Покажем исходные цены закрытия и найденную экспоненциальную среднюю на графике, проведем анализ.

В 3 день кривые сблизились, причем дневная сверху нужно приготовиться к продаже
- Проведем расчет по указанным формулам.
Момент: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3
и т.д.
Скорость изменения цен:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 и т.д
Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графиках.
Рассмотрим график момента:

Все значения положительные- рост цен, нужно покупка
Рассмотрим график скорости изменения цен:

Все значения выше 100 - повышение цен, предпочтительнее покупка.
Для использования формулы расчета индикатора RSI предварительно найдем изменения цен закрытия EMBED Equation.3 для всех дней EMBED Equation.3 .
Из значений EMBED Equation.3 выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.
Для всех EMBED Equation.3 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t ( EMBED Equation.3 задано по условию).
Теперь несложно найти величины RSIt . Расчет удобно проводить в таблице.

EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 и т.д.
Рассмотрим график RSI:

10-й показатель вышел из зоны перекупленности- нужно продавать.
Рассчитать индикаторы %K, %R, %D, приняв интервал сглаживания EMBED Equation.3 .
Решение.
Расчет возможен для EMBED Equation.3 . Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.




Рассмотрим стохастические линии %K, %R и %D:

График %K - в 10-й день показатель вышел из зоны перекупленности, нужно продавать.
График %R – в 10-й день показатель подошел сверху к критическому значению 0 – можно расценивать как сигнал к продаже.
График %D – в 10-й день показатель подошел снизу к критическому значению 100% - можно расценивать как сигнал к продаже.





Задача 3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условиях задач значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Tлет – время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие значения параметров и выполнить расчеты.
1. Банк выдал ссуду размером S руб. Дата выдачи ссуды – Тн, дата возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых. Найти:
а. Точные % с точным числом дней ссуды найдем по формуле:
Решение:
I=S*n*I=S*i*t/K
K=365, t=63, I=181232,8767 руб.
б. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды найдем по формуле:
Решение:
I=S*n*I=S*i*t/K
K=360, t=63, I=183750 руб.
в. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды найдем по формуле:
Решение:
I=S*n*I=S*i*t/K
K=360, t=64, I=186666,6667 руб.
2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Первоначальную. сумму и дисконт найдем по формуле:
P=S/(1+ni)=S/(1+i*t/K)
Дисконт= S- P
K=360, t=90, I=2824267,78 руб.
Дисконт= 175732,22 руб.
3. Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом: учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
Полученная предприятием сумма и дисконт найдем по формуле:
K=360, t=90
d=i
Дисконт= S*n*d=S*(t/K)*d
P=S-Дисконт
P=273750 руб.
Дисконт=262500 руб.
4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
Наращенную сумму найдем по формуле:
P= S/(1+i)
n=5
P=13452100,31 руб.
5. Ссуда размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
Наращенную сумму найдем по формуле:
n=5, m=4 P=S*((1+i/m)^(m*n))
P=16058558,84 руб.
6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году исходя из номинальной ставки i% годовых.
Решение:
Эффективную ставку процента найдем по формуле:
iэ=(1+i/m)-1
iэ=0,3987=39,87%
7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Решение:
Номинальную ставку найдем по формуле:
iн=m*((1+iэ)-1)
iн=0,3116=31,16%
8. Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Решение:
Современная стоимость при сложной процентной ставке найдем по формуле:
P=S/(1+i)
P=669040,506 руб.
9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Решение:
Дисконт найдем по формуле:
Дисконт=S*(1-(1-i))
P=S*(1-i)
Дисконт=2651912,813 руб.
P=348087,1875 руб.
10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
Сумма на расчетном счете можно определить по формуле:
S = R[(1 + i)n - 1] / i.
S = 32754831,5 руб.