ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-КОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ:
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
ВАРИАНТ 2


ВЫПОЛНИЛА:
СТУДЕНТКА III КУРСА (ДНЕВНАЯ Ф/О)
ФАКУЛЬТЕТ: ФИНАНСОВО-КРЕДИТНЫЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: ФИНАНСЫ И КРЕДИТ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: КНЯЗЕВА И.В.

г. Калуга, 2007г.
Задание 1
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на максимум и почему?
Решение
Пусть:
х1 – количество корма «1»
х2 – количество корма «2»

Определим по графику минимальное значение функции z:
Решение системы: x1 =2
x2 = 2
Минимальные затраты: z = 0,2 • 2 + 0,3 • 2 = 1
Таким образом, минимальные затраты на корм составляют 1 тыс.руб. и возможны при использовании 2 ед. корма «А» и 2 ед. корма «Б».
Решение задачи на максимум приведет к решению +?, т.к график сверху справа не ограничен.
Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Пусть xi , i = {1, .. 4} – количество соответственно ресурсов «А», «Б», «В», «Г».
Max f(x) = 9 • x1 + 6 • x2 + 4 • x3 + 7 • x4
1 • x1 + 0 • x2 + 2 • x3 + 1 • x4 ? 180
0 • x1 + 1 • x2 + 3 • x3 + 2 • x4 ? 210
4 • x1 + 2 • x2 + 0 • x3 + 4 • x4 ? 800
xi ?0 , i = {1, .. 4}
Решим задачу, используя пакет анализа «Поиск решения»

Таким образом, функция достигает максимального значения при
x1 =95
x2 = 210
x3 = 0
x4 = 0
max f(x) = 2115
Сформулируйте двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Двойственная задача имеет вид:
Min f(y) = 180 • y1 + 210 • y2 + 800 • y3
1 • y1 + 0 • y2 + 4 • y3 ? 9
0 • y1 + 1 • y2 + 2 • y3 ? 6
2 • y1 + 3 • y2 + 0 • y3 ? 4
1 • y1 + 2 • y2 + 4 • y3 ? 7
yi ?0 , i = {1, .. 3}
Найдем значения двойственных переменных, используя теоремы двойственности.
Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:
Так как первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то
у1 = 0.
Учитывая, что x1 ? QUOTE 0 ; x2 ? 0, то значения остальных двойственных переменных найдем из 1 и 2-го уравнений системы неравенств. То есть
у1 = 0;
у3 = 9 / 4 = 2,25;
у2 = 6 – 2 • 2,25 = 1,5.
Рассчитаем значение целевой функции двойственной задачи
Min f(y) = 180 • 0 + 210 • 1,5 + 800 • 2,25 = 2115.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие В и Г. Подтвердим этот факт, подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.
1 • 0 + 0 • 1,5 + 4 • 2,25 = 9
0 • 0 + 1 • 1,5 + 2 • 2,25 = 6
2 • 0 + 3 • 1,5 + 0 • 2,25 =4,5 ? 4
1 • 0 + 2 • 1,5 + 4 • 2,25 =12 ? 7
На основе двойственных оценок и теорем двойственности:
Поясним использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи.
В оптимальном плане не полностью используется сырье 1, т.к. у1 = 0
Сырье 2 и 3 – дефицитное, т.к. их двойственные оценки отличны от нуля.
При увеличении сырья 2 на 120 ед, сырья 3 – на 160 ед, и уменьшении сырья 1 на 60 ед. произойдут следующие изменения:
Увеличение сырья 2 на 120 ед. приведет к увеличению выручки на
120 • у2 = 120 • 1,5 = 180 ед.
Увеличение сырья 3 на 160 ед. приведет к увеличению выручки на
160 • у3 = 160 • 2,25 = 360 ед.
Увеличение сырья 1 на 60 ед. не повлияет на оптимальный план, так как
у1 = 0
Таким образом, общее изменение выручки составит:
? = 180 + 360 + 0 = 540 ед.
в) оценим целесообразность внедрения изделия ? ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого сырья.
2 • 0 + 2 • 1,5 + 2 • 2,25 – 12 = -4,5 < 0 ? целесообразно.
Задача 3
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.
Построим линейную модель Yr(t) = a0 + a1 • t, параметры которой оценим с помощью МНК.
a1 = ? (xi – xcr) • (yi – ycr) / ? (xi – xcr)2
a0 = ycr – a1 • xcr
Составим разработочную таблицу:
Отсюда
a1 = 155 / 60 = 2,583
a0 = 53,778 – 2,583 • 5 = 40,861
Таким образом, линейная модель имеет вид:
Yr(t) = 40,861 + 2,583 • t
Построим адаптивную модель Брауна
По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а1 и а0 параметров модели с помощью МНК
Получаем
a1 = 23 / 10 = 2,3
a0 = 48,4 - 2,3 • 3 = 41,5
которые соответствуют моменту времени t=0
Прогноз на первый шаг у1расч = а0(0) + а1(0) = 2,3 + 41,5 = 43,8
Величина отклонения: е = 43 – 43, 8 = -0, 8
Корректируем параметры (? = 0,4; ? = 0,6)
a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 – ?2) ? (t) = 41,5 + 2,3 + (1 – 0,62) • (-0, 8) = 43,288
a1(t) = a1(t-1) + (1 – ?) 2 ? (t) = 2,3 + (1 – 0,6) 2 • (-0, 8) = 2,172
Далее расчеты производятся аналогично (см. таблицу)
Аналогичные расчеты для ? = 0,7; ? = 0,3
Графики построенных моделей представлены на рисунке: