Задание №1
Ниже приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).
Таблица1

Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0,3;?2=0,6; ?3=0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:
1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид:
Yp(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k+L),
где k ? период упреждения;
EMBED Equation.3 ? расчетное значение экономического показателя для EMBED Equation.3 –го периода;
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ? коэффициенты модели;
EMBED Equation.3 ? значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L? период сезонности (для квартальных данных L=4).
Коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:
a(t)=?1·Y(t)/F(t–L)+(1–?1)·[a(t–1)+b(t–1)];
b(t)=?3[a(t)-a(t-1)]+(1- ?3)·b(t-1);
F(t)= ?2·Y(t)/a(t)+(1- ?2)·F(t-L).
Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1–1=0). Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:
EMBED Equation.3

Методом наименьших квадратов определим коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам:
EMBED Equation.3
a(0) = Yср – b(0)*tср ;
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3

Таблица 2
Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения:
a(0)=46,96; b(0)=0,78.
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Yp(t)=46.96+0.78t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3).
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1),F(2),F(3),F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.
F(-3) EMBED Equation.3 0,8620;
F(-2) EMBED Equation.3 1,0781;
F(-1) EMBED Equation.3 1,2774;
F(0) EMBED Equation.3 0,7847.
Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.
Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.
Yp(0+1)= Yp(1)=[a(0)+1·b(0)]·F(0+1-4)=41,15
Полагая, что t=1, находим:
a(1)=?1·Y(1)/F(-3)+(1–?1)·[a(0)+b(0)]=47,69
b(1)=?3[a(1)-a(0)]+(1- ?3)·b(0)=0,76
F(1)=?2·Y(1)/a(1)+(1- ?2)·F(-3)=0,8606
Аналогично рассчитаем для t=2, k=1:
Yp(2)= [a(1)+1·b(1)]·F(1+1-4)=52,23
a(2)=?1·Y(2)/F(-2)+(1–?1)·[a(1)+b(1)]=48,38
b(2)=?3[a(2)-a(1)]+(1- ?3)·b(1)=0,74
F(2)=?2·Y(2)/a(2)+(1- ?2)·F(-2)=1,0761

Для t=3, k=1:
Yp(3)= [a(2)+1·b(2)]·F(-1)=62,74
a(3)=?1·Y(3)/F(-1)+(1–?1)·[a(2)+b(2)]=48,94
b(3)=?3[a(3)-a(2)]+(1- ?3)·b(2)=0,69
F(3)=?2·Y(3)/a(3)+(1- ?2)·F(-1)=1,2711
Для t=4, k=1:
Yp(4)=[a(3)+1·b(2)]·F(0)=38,94
a(4)=?1·Y(4)/F(0)+(1–?1)·[a(3)+b(3)]=50,03
b(4)=?3[a(4)-a(3)]+(1- ?3)·b(3)=0,81
F(4)=?2·Y(4)/a(4)+(1- ?2)·F(0)=0,7936
Для t=5, k=1:
Yp(5)=[a(4)+1·b(4)]·F(1)=43,75
a(5)=?1·Y(5)/F(1)+(1–?1)·[a(4)+b(4)]=50,93
b(5)=?3[a(5)-a(4)]+(1- ?3)·b(4)=0,84
F(5)=?2·Y(5)/a(5)+(1- ?2)·F(1)=0,8626
Для t=6, k=1:
Yp(6)= [a(5)+1·b(5)]·F(2)=55,71
a(6)=?1·Y(6)/F(2)+(1–?1)·[a(5)+b(5)]=51,85
b(6)=?3[a(6)-a(5)]+(1- ?3)·b(5)=0,86
F(6)=?2·Y(6)/a(6)+(1- ?2)·F(2)=1,0785
Для t=7, k=1:
Yp(7)=[a(6)+1·b(6)]·F(3)=67,00
a(7)=?1·Y(7)/F(3)+(1–?1)·[a(6)+b(6)]=52,95
b(7)=?3[a(7)-a(6)]+(1- ?3)·b(6)=0,93
F(7)=?2·Y(7)/a(7)+(1- ?2)·F(3)=1,2790
Для t=8, k=1:
Yp(8)=[a(7)+1·b(7)]·F(4)=42,76
a(8)=?1·Y(8)/F(4)+(1–?1)·[a(7)+b(7)]=53,21
b(8)=?3[a(8)-a(7)]+(1- ?3)·b(7)=0,73
F(8)=?2·Y(8)/a(8)+(1- ?2)·F(4)=0,7798

Для t=9, k=1:
Yp(9)=[a(8)+1·b(8)]·F(5)=46,53
a(9)=?1·Y(9)/F(5)+(1–?1)·[a(8)+b(8)]=54,10
b(9)=?3[a(9)-a(8)]+(1- ?3)·b(8)=0,78
F(9)=?2·Y(9)/a(9)+(1- ?2)·F(5)=0,8663

Для t=10, k=1:
Yp(10)=[a(9)+1·b(9)]·F(6)=59,19
a(10)=?1·Y(10)/F(6)+(1–?1)·[a(9)+b(9)]=55,11
b(10)=?3[a(10)-a(9)]+(1- ?3)·b(9)=0,85
F(10)=?2·Y(10)/a(10)+(1- ?2)·F(6)=1,0846
Для t=11, k=1:
Yp(11)=[a(10)+1·b(10)]·F(7)=71,57
a(11)=?1·Y(11)/F(7)+(1–?1)·[a(10)+b(10)]=55,82
b(11)=?3[a(11)-a(10)]+(1- ?3)·b(10)=0,81
F(11)=?2·Y(11)/a(11)+(1- ?2)·F(7)=1,2748
Для t=12, k=1:
Yp(12)=[a(11)+1·b(11)]·F(8)=44,16
a(12)=?1·Y(12)/F(8)+(1–?1)·[a(11)+b(11)]=56,57
b(12)=?3[a(12)-a(11)]+(1- ?3)·b(11)=0,79
F(12)=?2·Y(12)/a(12)+(1- ?2)·F(8)=0,7786
Для t=13, k=1:
Yp(13)=[a(12)+1·b(12)]·F(9)=49,69
a(13)=?1·Y(13)/F(9)+(1–?1)·[a(12)+b(12)]=58,16
b(13)=?3[a(13)-a(12)]+(1- ?3)·b(12)=1,03
F(13)=?2·Y(13)/a(13)+(1- ?2)·F(9)=0,8830
Для t=14, k=1:
Yp(14)=[a(13)+1·b(13)]·F(10)=64,20
a(14)=?1·Y(14)/F(10)+(1–?1)·[a(13)+b(13)]=59,14
b(14)=?3[a(14)-a(13)]+(1- ?3)·b(13)=1,02
F(14)=?2·Y(14)/a(14)+(1- ?2)·F(10)=1,0831

Для t=15, k=1:
Yp(15)=[a(14)+1·b(14)]·F(11)=76,69
a(15)=?1·Y(15)/F(11)+(1–?1)·[a(14)+b(14)]=60,23
b(15)=?3[a(15)-a(14)]+(1- ?3)·b(14)=1,04
F(15)=?2·Y(15)/a(15)+(1- ?2)·F(11)=1,2770
Для t=16, k=1:
Yp(16)=[a(15)+1·b(15)]·F(12)=47,70
a(16)=?1·Y(16)/F(12)+(1–?1)·[a(15)+b(15)]=61,00
b(16)=?3[a(16)-a(15)]+(1- ?3)·b(15)=0,96
F(16)=?2·Y(16)/a(16)+(1- ?2)·F(12)=0,7737


Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса
2. Проверка точности модели
Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр.8 табл.4) составляет 21.64, что дает среднюю величину 21.64/16=1.34%.
Следовательно, условие точности выполнено.
3. Проверка условия адекватности
Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5).
Общее число поворотных точек в нашем примере равно p=11
Рассчитаем значение q:
EMBED Equation.3
Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В данном случае p=11, q=6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Таблица5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Проверка независимости уровней ряда остатков.
а) по d-критерию Дарбина-Уотсона
EMBED Equation.3
В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.
EMBED Equation.3
Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2, в данном случае d1=1,1 и d2=1,37.
Так как d2<1.48<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.
б) по первому коэффициенту автокорреляции
EMBED Equation.3
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1) < r табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче ¦r(1)¦=0,28 < rтаб =0,32 – уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS–критерию. Рассчитаем значение RS:
RS=(Emax – Emin)/S,
где Еmах - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);
Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t).
S - среднее квадратическое отклонение.
Еmах =2,31, Emin = -1,76, Еmах - Emin = 2,31 - (-0,74) = 3,05;
EMBED Equation.3
RS= 3,05/0,94=3,25
Полученное значения сравниваем с табличными значениями. Т.к. 3,00 < 3,25 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.
4. Построение точечного прогноза
Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на один год, с t=17 по t=20).Зная значения а(16) и b(16) (табл.4), определим прогнозные значения по формуле:
Yp(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k+L),
Для t=17 имеем:
Yp(17)=Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]· F(16+1-4)= (61,00+0,96)·0,8830=54,71
Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):
Yp(18)=Yp(16+2)=( 61,00+0,96·2)·1,0831=68,15
Yp(19)=( 61,00+0,96·3)·1,2770=81,57
Yp(20)=( 61,00+0,96·4)·0,7737=50,17
5. Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных











Задание № 2.
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R, %K, %D.
Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.






Решение:
Таблица1
Расчет MA,EMA,ROC,MOM и RSI
1. Экспоненциальная скользящая средняя.
а) Найдем простую скользящую среднюю (МА) по формуле:
EMBED Equation.3 ;
где Ct – цена закрытия t-го дня.
М5= EMBED Equation.3 =655,40
М6= EMBED Equation.3 =671,40
М7= EMBED Equation.3 =688,00
М8= EMBED Equation.3 =712,60
М9= EMBED Equation.3 =750,80
М10= EMBED Equation.3 =787,20
б) Найдем экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА) по формуле:
EMAt=k·Ct+(1-k)·EMAt-1,
где k=2/(n+1);
Ct – цена закрытия t-го дня.
ЕМА6=0,33·725+0,67·655,40=678,37
ЕМА7=0,33·715+0,67·678,37=690,46
ЕМА8=0,33·780+0,67·690,46=720,01
ЕМА9=0,33·845+0,67·720,01=761,26
ЕМА10=0,33·871+0,67·761,26=797,47



2. Найдем момент (MOM) по формуле:
MOMt=Ct – Ct-n
MOM6=725-645=80
MOM7=715-632=83
MOM8=780-657=123
MOM9=845-654=191
MOM10=871-689=182




3. Найдем скорость изменения цен по формуле:
EMBED Equation.3
ROC6=725/645·100%=112,40%
ROC7=715/632·100%=113,13%
ROC8=780/657·100%=118,72%
ROC9=845/654·100%=129,20%
ROC10=871/689·100%=126,42%



4. Найдем индекс относительной силы (RSI) по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.
RSI6=100-100/ (1+96/16) =86
RSI7=100-100/ (1+96/13) =88
RSI8=100-100/ (1+136/13) =91
RSI9=100-100/ (1+201/10) =95
RSI10=100-100/(1+192/10)=95




5. Найдем стохастические линии по формулам:
%Kt=100*(Ct – L5)/(H5 – L5),
%K- значение индекса текущего дня t,
Ct - цена закрытия текущего дня t;
L5 и H5 - минимальная и максимальная цены за п предшествующих дней, включая текущий.
%Rt=100*(H5 – Ct)/(H5 – L5),
%Rt ? значение индекса текущего дня t;
Ct ? цена закрытия текущего дня t;
L5 и H5 ? минимальная и максимальные цены за п предшествующих, включая текущий.
EMBED Equation.3 ;
%Dt ? значение индекса текущего дня t;
Ct ? цена закрытия текущего дня t;
L5 и H5 ? минимальная и максимальные цены за п предшествующих, включая текущий.
Все расчеты приведены в таблице 2
Таблица 2
Порядок расчета индексов стохастических линий












Задание №3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.
Таблица 1
3.1 Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
3.1.1)
Определим по формуле:
I=Pni; n=t/K,
где P – первоначальная сумма денег,
i? ставка простых процентов
n ? срок ссуды,
К ? число дней в году,
t – срок ссуды в днях.
S=4500000; К=365; t=70; i=0,5
I=4500000·0,5·70/365=431506,8 руб.
3.1.2) S=4500000; К=360, i=0,5; t=70
I=4500000·0,5·70/360=437499,9 руб.
3.1.3) S=4500000; К=360, i=0,5; t=72
I=4500000·0,5·72/360=450000 руб.
3.2 Через Тдн после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i % годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
Определим по формулам:
EMBED Equation.3 ,
где i-ставка простых процентов, n – период
D=S – P
S=4500000; К=360, i=0,5; t=90
P=4500000/(1+0,5·90/360)=4000000руб.
D=4500000 – 4000000=500000руб.
3.3 Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i % годовых (год равен 360 дням). Определить полученную сумму предприятием и дисконт.
Решение:
Определим по формулам:
D=Sni; P=S–D.
S=4500000; К=360, i=0,5; t=90
D=4500000·0,5·90/360=562500 руб.
P=4500000- 562500=3937500 руб.
3.4 В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
Определим по формуле:
S=P(1+i)n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка сложных процентов,
п - срок ссуды,
(1+i)n - множитель наращения.
S=4500000; К=360, i=0,5; n=5
S=4500000· (1+0,5)5=34171875 руб.
3.5 Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет Проценты сложные, ставка – i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
Определим по формуле:
S=P(1+i/m)N
S=4500000; j=0,5; n=5; m=4
N ? число периодов начисления (N=mn)
S=4500000(1+0,5/4)4·5=47452909 руб.
3.6 Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
Решение:
Определим по формуле:
iэ=(1+j/m)m – 1,
где iэ? эффективная ставка,
j ?номинальная ставка.
j=0,5; m=4
iэ=(1+0.5/4)4-1=0,6018 ,т.е. 60,18%
3.7 Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Решение:
Определим по формуле:
j=m[(1+iэ)1/m – 1]
j=0,5; m=4
j=4[(10,5)1/4-1]=0,4267,т.е. 42,67%
3.8 Через Тлет предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Решение:
Определим по формуле:
EMBED Equation.3 ,
S=4500000; i=0,5; n=5
P=4500000·(1+0.5)-5 = 592592,4 руб.
3.9 Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Решение:
Определим по формуле:
P=S(1 – dсл)n, D=S – P
где dсл ?сложная годовая учетная вставка.
S=4500000; i=0,5; n=5
P=4500000(1-0,5)5=140625 руб.
D=4500000-140625=4359375 руб.
3.10 В течение Тлет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
Определим по формуле:
EMBED Equation.3
S=4500000; i=0,5; n=5; m=4
S=4500000·[(1+0,5/4)(5·4) – 1]/[(1+0,5/4)4 – 1]=71373267 руб.