Задача 1.
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение
Введем следующие обозначения:
х1 – количество первого напитка («Лимонад»)
х2 – количество второго напитка («Тоник»)
Цена 1 л «Лимонада» таким образом составляет 0,1 х1 (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х2 (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:
max f(х1,х2) = 0,1 х1 + 0,3 х2.
Ограничения задачи имеют вид:
0,02х1 + 0,04 х2 EMBED Equation.3 24;
0,01х1 + 0,04 х2 EMBED Equation.3 16;
х1,2 EMBED Equation.3 0.
Построим прямые, соответствующие ограничениям задачи: первая прямая имеет вид 0,02х1 + 0,04 х2 = 24, решением ее служат точки (1200;0) и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х1 + 0,04 х2 = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).
Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. Орлова И.В. М.: Вузовский учебник, 2004 – 144 с.

рис. 1 Область допустимых решений
На рисунке 1 заштрихована область допустимых значений. Для определения движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся вдоль вектора-градиента.
Решая систему уравнений
0,02х1 + 0,04 х2 = 24;
0,01х1 + 0,04 х2 = 16.
Находим, что х1 = 800, х2 = 200.
max f(х1,х2) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)
Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х1 = 800, х2 = 200). При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу (особый случай ЗЛП).
Задача 2.
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования  Нахождение оптимального плана задачи может быть получено с помощью надстройки Excel Поиск решения или ‘вручную’ симплексным методом.
.
Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение
1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Введем условные обозначения:
х1 – норма расхода ресурсов на одно изделие I вида
х2 – норма расхода ресурсов на одно изделие II вида
х3 – норма расхода ресурсов на одно изделие III вида
Целевая функция имеет вид:
max f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3
Ограничения задачи имеют вид:
3 х1 + 6 х2 + 4 х3 EMBED Equation.3 2000
20 х1 + 15 х2 + 20 х3 EMBED Equation.3 15000
10 х1 + 15 х2 + 20 х3 EMBED Equation.3 7400
3 х2 +5 х3 EMBED Equation.3 1500
х1,2,3 EMBED Equation.3 0
Оптимальный план найдем через поиск решения в надстройках Microsoft Excel (рис. 2 и рис. 3)

рис. 2 Поиск оптимального плана

рис. 3 Добавление ограничения задачи
Таблица 1
Результаты поиска решения
Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4110 ед.) предприятие может получить при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из 15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета (рис. 4):

рис. 4 Содержание отчета по результатам
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных х1, х 2, х 3, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.
( EMBED Equation.3 )* = (520;0;110)
2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 4 функциональных ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:
y1 – двойственная оценка ресурса «Труд»
y2 – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»
y3 – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»
y4 – двойственная оценка ресурса «Оборудования»
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:
min g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4
Необходимо найти такие «цены» на типы ресурсов (yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.
Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.
В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции.
Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:
3 y1 + 20 y2 +10 y3 EMBED Equation.3 6;
6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 EMBED Equation.3 10;
4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 EMBED Equation.3 9.
Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.
Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 = 0, тогда
y1(3 х1+ 6 х2+4 х3 – 2000) = 0;
y2(20 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 15000) = 0;
y3(10 х1 + 15 х2 + 20 х3 – 7400) = 0;
y4(3 х2 + 5 х3 – 1500) = 0.
( EMBED Equation.3 )* = (520;0;110)
Подставим оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 в полученное выражение
y1(3*520+ 6*0+4*110 – 2000) = 0;
y2(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;
y3(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400) = 0;
y4(3 *0 + 5*110 – 1500) = 0.
Отсюда получим
y1(2 000- 2 000) = 0;
y2 (12 600 – 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y2 = 0;
y3 (7400-7400) = 0;
y4 (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y4 = 0.
Далее воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности
EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 >0, то EMBED Equation.3
В нашей задаче х1=520 > 0 и х3 = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства
х1(3 y1 + 20 y2 +10 y3 – 6) = 0;
х2(6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 -10) = 0;
х3 (4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 –9) = 0.
Решая систему уравнений
3*у1 + 20*у2+10у3-6=0
у2 = 0
4*у1 + 20*у2 + 20 у3 + 5*у4-9=0
у4 = 0,
получим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0.
Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности
g(y) = 2000 y1+15000 y2+7400 y3+1500 y4 = 2 000*1,5 + 7400 *0,15 = 4 110
f(x) = 6 х1 + 10 х2 + 9 х3 = 6*520+9*110 = 4 110.
Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решения – Отчет по устойчивости в Excel (рис. 5).

рис. 5. Отчет по устойчивости
3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора EMBED Equation.3 : ( EMBED Equation.3 )* = (1,5;0;0,15;0)
3 y1 + 20 y2 +10 y3 EMBED Equation.3 6 3*1,5 + 20*0+10*0,15 EMBED Equation.3 6 6=6;
6 y1 + 15 y2 + 15 y3 + 3 y4 EMBED Equation.3 10 6*1,5 + 15*0 + 15*0,15 + 3*0 EMBED Equation.3 10 11,25>10;
4 y1 + 20 y2 + 20 y3 + 5 y4 EMBED Equation.3 9 4*1,5 + 20*0 + 20*0,15 + 5*0 EMBED Equation.3 9 9=9.
Затраты на 2 вид продукции превышает цену (11,25>10). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 5), значение х2 (нормир. стоимость) равно -1,25. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу продукции больше, чем цена изделия. Эта продукция не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности.
4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;
оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.
Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:
2000 EMBED Equation.3 2000 7400 EMBED Equation.3 7400
12600 EMBED Equation.3 15000 550 EMBED Equation.3 1500
Запасы по первому и третьему виду ресурсов были использованы полностью, а по второму и четвертому виду недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно.
Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.
Из теоремы об оценках известно, что колебание величины EMBED Equation.3 приводит к увеличению или уменьшению f( EMBED Equation.3 ). Оно определяется:
EMBED Equation.3 f( EMBED Equation.3 ) = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =24 EMBED Equation.3 =24*1,5=36
f(x)*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)
Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единицы, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.
При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y1 = 1,5 3 х1 + 6 х2 + 4 х3 EMBED Equation.3 2000 + 24
y2 = 0 20 х1 + 15 х2 + 20 х3 EMBED Equation.3 15000
y3 = 0,15 10 х1 + 15 х2 + 20 х3 EMBED Equation.3 7400
y4 = 0 0 x1 + 3 х2 +5 х3 EMBED Equation.3 1500
Решим систему уравнений:
3 х1 + 4 х3 = 2024
10 х1 + 20 х3 = 7400,
откуда х1 = 544,
х3 = EMBED Equation.3 .
Таким образом, новый оптимальный план ( EMBED Equation.3 ) = (544; 0; 98).
EMBED Equation.3 = 24 * 6 = 144, т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.
Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.
8 y1 + 4 y2 + 20 y3 + 6 y4=11
подставим у1 = 1,5, у2 = 0, у3 = 0,15, у4 = 0
8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11
12+3=11
15=11. Т.к. 15>11, то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно.
Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий Студенты специальности 06.04.00 не решают данную задачу.
.
Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1
Таблица 2

РЕШЕНИЕ:
1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
1.1. Заполним таблицу 2 данными:
Таблица 2
Исходные данные
1.2. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (таблицы 3)
Таблица 3
1.3. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.
Для этого воспользуемся правилом вычитания матриц одинаковой размерности. EMBED Equation.3 (таблица 4)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Таблица 4
Разница между единичной матрицей Е и матрицей А
1.4. Найдем обратную матрицу EMBED Equation.3 . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица) (рис. 6).

рис. 6 Обратная матрица
1.5. Чтобы определить Валовую продукцию (матрицу EMBED Equation.3 ), надо матрицу EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 умножить на Конечный продукт (матрицу EMBED Equation.3 ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 7).

Рис. 7 Определение валовой продукции (матрица Х)
1.6. Матрица EMBED Equation.3 (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор EMBED Equation.3 .

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти EMBED Equation.3 (табл. 5)
Таблица 5
Распределение продукции предприятий холдинга
2.2. Построим межотраслевой баланс производства (таблица 6)
Таблица 6
Межотраслевой баланс производства
Условно чистая продукция – это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.
Ответ:
1) Матрица EMBED Equation.3 (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор EMBED Equation.3 .
2)
Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда При решении данной задачи расчеты можно вести с использованием надстройки Excel Анализ данных.
.
Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице
Требуется:
1) Проверить наличие аномальных наблюдений.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
4) Построить адаптивную модель Брауна
EMBED Equation.DSMT4 с параметром сглаживания ?= 0,4 и ?= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания ?.
5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
РЕШЕНИЕ:
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( EMBED Equation.3 ) (таблица 4.1).
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение EMBED Equation.3 уровня ряда считается аномальным. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
Таблица 7
Расчетная таблица для применения метода Ирвина
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Все полученные данные сравнили с табличными значениями, EMBED Equation.3 не превышает их, т.е. аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель EMBED Equation.DSMT4 , параметры которой оценить МНК ( EMBED Equation.DSMT4 - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 8).

Рис. 4.2 Регрессионный анализ данных
Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 8 и 9.
Таблица 8
Результаты регрессионного анализа
Во втором столбце таблицы 8 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a0, a1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости EMBED Equation.3 (спрос на кредитные ресурсы) от tt (время) имеет вид Yt = 31,33+2,40t (рис. 9).
Таблица 9
Вывод остатков

рис. 9 График подбора

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
EMBED Equation.3 , используются данные табл. 9.
Таблица 10
Расчетная таблица для применения d-критерия Дарбина-Уотсона
EMBED Equation.3
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1 (рис. 10). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

Рис. 10 Анализ независимости с помощью критерия Дарбина – Уотсона
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.11).

Рис. 11 График остатков
Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 - максимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - минимальный уровень ряда остатков, EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 - среднеквадратическое отклонение,
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае EMBED Equation.3 , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 11 собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 11
Анализ ряда остатков
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Таблица 12
Расчет относительной ошибки аппроксимации
EMBED Equation.3
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 12)
t = 1,12

Рис. 12 Распределение Стьюдента в Excel
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости EMBED Equation.3 , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при EMBED Equation.3 равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
EMBED Equation.3 , где
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (находим из таблицы 7),
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл. 13).
Таблица 13
Таблица прогноза
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 9), дополнив его данными прогноза.

Рис. 13 Прогноз модели Y=31,33 + 2,40t
Литература

Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.
Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.
Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
Половников В.А., Орлова И.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002.
Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm