Министерство Образования Российской Федерации Всероссийский Заочный Финансово - Экономический Институт Владимирский филиал Контрольная работа По дисциплине «Финансовая математика» Вариант № 1 Выполнила: Т.Н. Солдатова Факультет: финансово-кредитный Специальность: финансы и кредит Курс: 4 Группа: вечерняя № личного дела: 03ФФД11151 Проверил: О.В. Лаптев Владимир 2006Задача № 1 Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года). Таблица 1: Данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Требуется: Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания 1=0,3; 2=0,6; 3=0,3. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайность остаточной компоненты по критерию пиков; независимость уровня ряда остатков по d-критерию (критическое значение d1=1,10 и d2=1,37)и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение: Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
где k – период упреждения; Yp(t) – расчетное значение экономического показателя (данных по кредитам)для t-го периода; a(t),b(t),F(t) – коэффициенты модели (уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1к t); F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L – период сезонности (для квартальных данных L=4) Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
Исходя из формул, при периоде сезонности L=4, нам потребуется F(-3 ), F( -2), F(-1), F(0), F(-3) следует понимать, как коэффициент сезонности, относящийся к первому кварталу предыдущего года. Параметры сглаживания, по условию, имеют следующие значения: 1=0,3; 2=0,6; 3=0,3. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по следующим формулам:
Применим линейную модель к первым 8 значениям ряда, воспользуемся для этого приведенными выше формулами. Промежуточные вычисления приведены ниже в таблице 2: Таблица 2:Расчетные данные t Y(t) (Y(t)-YCP) (t-tCP) (t-tCP)2 (Y(t)-YCP)* (t-tCP) t~2 t*Y(t) Yp0(t)
1 28 -7,63 -3,50 12,25 26,71 1 28 32.59
2 36 0,37 -2,50 6,25 -0,92 4 72 33.46
3 43 7,37 -1,50 2,25 -11,06 9 129 34.33
4 28 -7,63 -0,50 0,25 3,82 16 112 35.2
5 31 -4,63 0,50 0,25 -2,32 25 155 36.07
6 40 4,37 1,50 2,25 6,56 36 240 36.94
7 49 13,37 2,50 6,25 33,43 49 343 37.81
8 30 -5,63 3,50 12,25 -19,71 64 240 38.68
36 285
42,00 36,51 204 1319 285.08
В результате проведенных вычислений
Выше приведенное уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид: . Из этого уравнения находим расчетные значения и сопоставляем их с фактическими значениями (результаты приведены ниже в таблице 3): Таблица 3: сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений YP(t) t 1 2 3 4 5 6 7 8
Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1), и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3) и других параметров модели Хольта-Уинтерса. Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений I квартала первого года, равное Y(1)/YP(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/YP(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин. Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III, IV кварталов. F(-3)=[Y(1)/YP(1)+Y(5) /YP(5)]/2=[28/32,59+31/36,07]/2=0,8593 F(-2)=[Y(2)/YP(2)+Y(6) /YP(6)]/2=[36/33,46+40/36,94]/2=1,0794 F(-1)=[Y(3)/YP(3)+Y(7) /YP(7)]/2=[43/34,33+49/37,81]/2=1,2743 F( 0)=[Y(4)/YP(4)+Y(8) /YP(8)]/2=[28/35,20+30/38,68]/2=0,7855 Оценив значения a(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса. Используя выше приведенные уравнения построим модель Хольта-Уинтерса. Таблица 4: Модель Хольта-Уинтерса t Y(t) a(t) b(t) F(t) YP(t) Абсолютная погрешность, Е(t) Относительная погрешность, в %
1 2 3 4 5 6 7 8
0
31,72 0,87 0,7855
1 28 32,59 0,87 0,8592 28,00 0,00 0,00
2 36 33,43 0,86 1,0780 36,11 -0,11 0,32
3 43 34,12 0,81 1,2658 43,69 -0,69 1,61
4 28 35,15 0,88 0,7922 27,44 0,56 2,00
5 31 36,04 0,88 0,8598 30,95 0,05 0,15
6 40 36,98 0,90 1,0803 39,80 0,20 0,50
7 49 38,12 0,97 1,2775 47,94 1,06 2,16
8 30 38,73 0,86 0,7816 30,97 -0,97 3,24
9 34 39,58 0,86 0,8594 34,04 -0,04 0,12
10 44 40,52 0,88 1,0836 43,68 0,32 0,73
11 52 41,20 0,82 1,2683 52,90 -0,90 1,73
12 33 42,08 0,84 0,7832 32,84 0,16 0,47
13 39 43,66 1,06 0,8797 36,88 2,12 5,43
14 48 44,59 1,02 1,0793 48,46 -0,46 0,95
15 58 45,65 1,03 1,2697 57,86 0,14 0,25
16 36 46,47 0,97 0,7781 36,56 -0,56 1,56
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится по формулам: at = bt = Ft = Значения параметров сглаживания согласно значению таковы: 1 = 0,3; 2 = 0,6; 3 = 0,3. Тогда для момента времени t=0, к=1, имеем: yр1 = (a0 +1 b0) F0+1-4 = (31,715+1*0,869)*0,859=27,99 При моменте времени t=1, имеем: а1 = b1 = F1 = Для t=1, к=1, имеем yр2 = (a1 +1 b1) F-2 = (32,546+1*0,858)*1,080=36,076 Для момента времени t=2, имеем а2 = b2 = F2 = Для t=2, к=1, имеем yр3 = (a2 +1 b2) F-1 = (33,383+1*0,852)*1,275=43,650 Для момента времени t=3, имеем а3 = b3 = F3 = Для t=3, к=1, имеем yр4 = (a3 +1 b3) F0 = (34,082+1*0,806)*0,786=27,422 Для момента времени t=4, имеем a4 = b4 = F4 = Для t=4, к=1, имеем yр5 = (a4 +1 b4) F1 = (35,109+1*0,872)*0,853=30,692 Для момента времени t=5, имеем a5 = b5 = F5 = Для t=5, к=1, имеем yр6 = (a5 +1 b5) F2 = (36,089+1*0,904)*1,079=39,915 Для момента времени t=6, имеем а6 = b6 = F6 = Для t=6, к=1, имеем yр7 = (a6 +1 b6) F3 = (37,017+1*0,911)*1,267=48,055 Для момента времени t=7, имеем a7 = b7 = F7 = Для t=7, к=1, имеем yр8 = (a7 +1 b7) F4 = (38,152+1*1,277)*0,872=34,382 Для момента времени t=8, имеем а8 = b8 = F8 = Для t=8, к=1, имеем yр9 = (a8 +1 b8) F5 = (37,712+1*0,553)*0,857=32,793 Для момента времени t=9, имеем a9 = b9 = F9 = Для t=9, к=1, имеем yр10 = (a9 +1 b9) F6 = (38,687+1*0,680)*1,080=42,516 Для момента времени t=10, имеем a10 = b10 = F10= Для t=10, к=1, имеем yр11 = (a10 +1 b10) F7 = (39,779+1*0,803)*1,277=51,823 Для момента времени t=11, имеем a11 = b11 = F11=
