Министерство Образования, Молодежи и Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Физический
факультет
Кафедра
теоретической
физики
Курсовая Работа
Тема: Электрон в слое.
Руководитель работы:
Климин С.Н.
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей
Кишинёв 1997 г.Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

( ((2/(2m)((2/(x2 ( U0 , x < (a
( (
H = ( ((2/(2m0)((2/(x2 , (a < x < a
(
( ((2/(2m)((2/(x2 ( U0 , x > a
Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;
m0 - эффективная масса электрона в области II.
Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :
( (2(I/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)(I = 0 , x ( (a
(
( (2(II/(x2 ( 2m0/(2(E((I = 0 , (a ( x ( a
(
( (2(III/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)((I = 0 , x ( a

Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :
(I(x) = A(exp(n(x) + B(exp((n(x).
Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
(I(x) = A(exp(n(x).
Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :
(II(x) = C(exp(i(k(x) + D(exp((i(k(x).
Функция состояния для третьей области выглядит так :
(III(x) = F(exp((n(x).
Где
k = (2m0(E/(2)1/2
n = (2m((U0(E)/(2)1/2.
Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
(I(x=(a) = (II(x=(a)
(II(x=a) = (III(x=a)
(I((x=(a)/m = (II((x=(a)/m0
(II((x=a)/m0 = (III((x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
A(exp((n(a) = C(exp((i(k(a) + D(exp(i(k(a)
m(1(A( n(exp((n(a) = i(k(/m0((C(exp((i(k(a) ( D(exp(i(k(a))
C(exp(i(k(a) + D(exp((i(k(a) = F(exp((n(a)
i(k(/m0((C(exp(i(k(a) ( D(exp((i(k(a)) = ( n/m(F(exp((n(a).
Теперь составим определитель :
|exp((n(a) (exp((i(k(a) (exp(i(k(a) 0 |
|m(1(n(exp((n(a) (1/m0(i(k(exp((i(k(a) 1/m0(i(k(exp(i(k(a) 0 |
|0 exp(i(k(a) exp((i(k(a) (exp((n(a) |
|0 1/m0(i(k(exp(i(k(a) (1/m0(i(k(exp((i(k(a) 1/m(n(exp((n(a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 ( (k/m0)2)(Sin(2(k(a) + 2(k(n/(m(m0)(Cos(2(k(a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F(exp((n(a)({exp(i(k(a) + exp((3(i(k(a) (( i(k/m0 ( n/m)/(n/m + i(k/m0)}
D = C(exp((2(i(k(a)(( i(k/m0 ( n/m)/(n/m + i(k/m0)
A = exp(n(a)((C(exp((i(k(a) + D(exp(i(k(a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA(F
C = RC(F
D = RD(F.
RA, RC, RD - известные постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
(I(x) = F(RA(exp(n(x)
(II(x) = F(( RC(exp(i(k(x) + RD(exp((i(k(x)).
(III(x) = F(exp((n(x).
I1 + I2 + I3 = 1
Где
I1 = (F(2((RA(2(((exp(2(n(x)(dx = (F(2((RA(2((2(n)(1(exp(2(n(x) =
= (F(2((RA(2((2(n)(1(exp((2(n(a)
I2 = (F(2({ (((RC(2(dx + (((RD(2(dx + RC(RD*(((exp(2(i(k(x)(dx +
+ RC*(RD(((exp((2(i(k(x)(dx } = (F(2({ 2(a(((RC(2 + (RD(2) +
((exp(2(i(k(a) ( exp((2(i(k(a))(RC(RD*/(2(i(k) +
+ i(((exp((2(i(k(a) ( exp(2(i(k(a))(RC*(RD/(2(k) }
I3 = (F(2(((exp((2(n(x)(dx = (F(2((2(n)(1(exp((2(n(a)
(F(2 = { (RA(2((2(n)(1(exp((2(n(a) + 2(a(((RC(2 + (RD(2) +
((exp(2(i(k(a) ( exp((2(i(k(a))(RC(RD*/(2(i(k) +
+ i(((exp((2(i(k(a) ( exp(2(i(k(a))(RC*(RD/(2(k) + (2(n)(1(exp((2(n(a) }(1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
(2(/(x2 ( 2m/(2((E ( U0)( = 0
следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:
( = exp(i 2ak)
Тогда ((x+2ma) = ((x)((m , где m=0, (1, (2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
(2(I/(x2 ( 2m2/(2((E ( U0)(I = 0 , 0 > x > (a
его решение выглядит просто:
(I(x) = A(exp(n(x) + B(exp((n(x).
Где n = (2m2 (U0-E) /(2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:
(2(II/(x2 ( 2m1/(2(E (II = 0 , a ( x ( 0
его решение выглядит просто:
(II(x) = C(exp(i(p(x) + D(exp((i(p(x).
Где p = (2m1E/(2)1/2
Рассмотрим область III:
(2(III/(x2 ( 2m2/(2((E ( U0)(III = 0 , 2a > x > a
его решение выглядит просто:
(III(x) = ( (A(exp(n(x) + B(exp((n(x)).
Запишем граничные условия:
(I(x=0) = (II(x=0)
(II(x=a) = (III(x=a)
(I((x=0)/m = (II((x=0)/m0
(II((x=a)/m0 = (III((x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1
(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :
|1 1 (1 (1 |
|exp(i(k(2a(n(a) exp(i(k(2a(n(a) (exp(i(p(a) (exp((i(p(a) |
|n/m2 (n/m2 (i(p/m1 i(p/m1 |
|n/m2exp(i(k(2a(n(a) (n/m2(exp(i(k(2a(n(a) ( i(p/m1(exp(i(p(a) i(p/m1(exp((i(p(a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1

0.1135703312666857
0.6186359585387896
0.2019199605676639

0.3155348518478819
0.05047267055441365
1.263391478912778

0.4544326758658974
2.137353840637548
0.808172718170137

2.479933076698526
0.4544326758658974
6.168062551132728

5.611693924351967
1.820461802850339
1.529165865668653

1.023077302091622




a=10 U=10 m1=2 m2=1

0.1032788024178655
0.2324238959628721
0.41331603936642

0.6460490460448886
0.930750939555283
1.26759057783714

1.656787195799296
2.098624192369327


2.593469359607937
3.141805331837109


3.744277072860902
5.887485640841992


a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441
0.2163802958297131
0.4870681554965061

0.86644533469418
1.354969224117534
1.953300729714778

2.662383817919513
4.418966218448088
7.961581805911094


a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544
4.249561710930034
1.068004282376146

0.4754473139332004
5.78216724725356
2.955345679469631

1.895012565781256




a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349
4.30026851446248

2.479039415645616
1.132264393019809