РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ. ФОРМАЛЬНОЕ ПРИСОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k
Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести “изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в следующей теореме
Теорема. Пусть p k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором большем поле K, (p) =pk[x] k[x] - главный идеал с образующим элементом p. Тогда k(U)   k[x]/(p)
Доказательство. Определим отображение :k[x]   k(U)   формулой (q)=q(U). Поскольку каждый элемент V k(U) может быть записан в виде многочлена от U,   сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U)   k[x]/Ker . Остается доказать, что Ker = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и таким образом (p)   Ker . Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker   (p)
Следствие. Если   и   корни одного неприводимого над k многочлена, то поля k( ) и k( ) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент поля k отображается на себя
Замечание. Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K, в котором лежит корень   неприводимого многочлена p. Поле F содержит k. Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x]   F и определим элемент U поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что доказанная теорема позволяет утверждать, что F k(U). Такой способ присоединения новых элементов к полю   называется формальным. Отметим, что именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень (неприводимого над R) многочлена . Присоединение было формальным в вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не можем указать корень этого многочлена
Примеры
Пусть k = Q, U = . Тогда p= имеет корни U, U, U, где - кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному следствию, поля k=k(U) и k=k( U) изоморфны, хотя они и состоят из элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k это уже не так
Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p= +x+1 над этим полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде a+bU, где a , b GF(2), причем +U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит 4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd и остается воспользоваться равенством =U+1. Например, U(U+1) = +U =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В нем многочлен p имеет корень U.   Другим корнем p в том же поле будет V = U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой степени: p = (x+U)(x+U+1)
Поле разложения многочлена
Пусть p k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в произведение неприводимых многочленов: p = . Присоединяя к k корень многочлена p построим новое поле , в котором p = (x-a) , где многочлены неприводимы над . Теперь присоединим к корень многочлена и так далее. В результате не более чем через n шагов мы придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в произведение многочленов первой степени: p=
Определение
Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p. Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни многочлена p: K = k( )
Примеры
У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q( ) -поле разложения многочлена Q[x], Q( ) - поле разложения многочлена Q[x], GF(4) - поле разложения GF(2)[x]
Построим поле разложения для p = Q[x]. Заметим, что поле =Q( ) таковым не является; в этом поле p = и второй множитель q   неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю один из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину , где - кубический корень из 1. Впрочем, поскольку , достаточно присоединить . Первое расширение имеет базис 1, , . Второе - 1, . По теореме о строении составного расширения,   базис K над Q составляют элементы: 1, , , , , и [K:Q] =6. Заметим, что   = K, хотя в отдельности ни i ни не входят в K
Замечание
Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма
Строение конечных полей
Теорема о количестве элементов конечного поля.      
Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов, то K содержит   элементов
Доказательство
Пусть - базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается в виде: , где k. Отсюда и вытекает наше утверждение
Следствие
Количество элементов конечного поля k   характеристики p равно . В самом деле, k GF(p)
Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени n, мы получим расширение K GF(p) степени n. Итак, имеем следующее утверждение
Теорема существования для конечных полей   
Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из   элементов
Рассмотрим теперь многочлен t = , где q =   над полем GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так что в K . Отметим, что среди элементов нет одинаковых. В самом деле,   , так что ОНД(t, ) = 1 и t не имеет кратных корней
Теорема.   
Множество T = { } K является полем из q элементов
Доказательство. Надо проверить, что и   1. , Но . Значит,
2.
Следствие. Поле T из элементов является полем разложения многочлена   над GF(p)
Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле называется полем Галуа   в честь французского математика Эвариста Галуа и обозначается GF( )
Пусть теперь K любое поле из   элементов. Как нам известно, группа K* - циклическая порядка q-1. Поэтому для любого , а потому   для всех без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент x K удовлетворяет уравнению =0   и K GF(q). Поскольку они состоят из одинакового числа элементов, мы получаем:
Теорема. Любое конечное поле изоморфно GF( )
Следствие. Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем многочлена d =
В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле из элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF( ) и неприводимый многочлен s делит d
Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения многочлена s
Следствие
Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p) получается в результате присоединения одного единственного корня этого многочлена и изоморфно GF( ).   Многочлен s не имеет корней в полях GF( ) при l<n
Теорема о подполях конечных полей. Если k GF( ), то k GF( ),   причем m | n. Обратно, для всякого делителя m числа n в поле GF( ) существует единственное подполе из   элементов
Доказательство. Поскольку k имеет характеристику p оно состоит из q =   элементов. Поле GF( ) можно рассматривать как расширение степени l поля   k и, следовательно оно состоит из элементов, так что n = ml. Обратно, поскольку k GF( ), всякий его элемент удовлетворяет уравнению = x. Это уравнение имеет не более корней в поле GF( ), и значит если такое   подполе существует, его элементы определяются однозначно. Остается доказать, что при n = ml уравнение   = x имеет ровно корней в GF( ). Проверим, что . Обозначим и заметим, что число целое. Имеем: .Так как y =1 корень числителя, то деление выполняется нацело. Поскольку в поле GF( ) многочлен распадается, то же верно и для его делителя и потому этот многочлен имеет корней
Теорема о действии автоморфизма Фробениуса. Автоморфизм Фробениуса Ф:   циклически переставляет корни любого неприводимого многочлена степени n над GF(p)
Доказательство. Пусть s заданный многочлен и a один из его корней. Тогда Ф Достаточно проверить, что все элементы a, Ф(a), ...., Ф попарно различны. Допустим, что Ф (a)= Ф (a), то есть , где i<j<n. Обозначим v = i- j+n. Возводя обе части полученного равенства в степень , получаем: . Таким образом a содержится в поле разложения многочлена , то есть в GF( ). Поскольку v<n это невозможно.   
Расширения полей. Присоединение элементов большего поля
Если   k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю