Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. ?? ?x?E ?u: ¦x-u¦<?
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L?E, ???(0,1) ?z??E\L ¦z?¦=1 ?(z?,L)>1-?
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если ?x?E ?u?L: ¦x-u¦<?
Теорема: Чтобы L было плотно в H ? ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – Ax?Ax0 при x? x0
Определение: ?(X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - ?¦x¦?1 ?с: ¦Ax¦?c
Теорема: A – ограниченный ? ?x?X ¦Ax¦?c¦x¦
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ? чтобы он была ограничен
Теорема: {An} равномерно ограничена ? {An}- ограничена.
Теорема: {Anx} – ограниченно ? {¦An¦}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ¦An-A¦?0, n??, обозначают An?A
Определение: Слабая сходимость - ?x?X ¦(An-A)x¦Y?0, n??
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ? {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза An?A n?? слабо ? 1) {¦An¦}- ограничена 2) An?A, x’?X, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A)?Y, D(A)?X ? ? A’:X?Y 1) A’x=Ax, x?D(A) 2) ¦A’¦=¦A¦
Определение: Равномерная ограниченность - ?a ?x: ¦x(t)¦?a
Определение: Равностепенная непрерывность ?t1,t2 ??: ¦x(t1)-x(t2)¦<?
Теорема: ?(X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {x?X | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*:=?(X,E)
Определение: Сопряженный оператор A*: Y*?X*
Теорема: Банаха A:X?Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда ? A-1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен.
Теорема: A-1 ? и ограничен ? ?m>0 ?x?X ¦Ax¦?m¦x¦
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X?Y – линейный ограниченный функционал ? ?! y?H ?x?H f(x)=(x,y)
Определение: M?X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. M?X компактно ? ??>0 ? конечная ?-сеть
Теорема: Арцела. M?C[a,b] компактно ? все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: ?(X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. A??(X,Y) ? A*??(X*,Y*)
Линейные нормированные пространства
Пространства векторов
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 сферическая норма
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 кубическая норма
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ромбическая норма
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 p>1
Пространства последовательностей EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 p>1
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 пространство ограниченных последовательностей
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 пространство последовательностей, сходящихся к нулю
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 пространство сходящихся последовательностей
EMBED Equation.3
Пространства функций
EMBED Equation.3 пространство непрерывных на EMBED Equation.3 функций
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 пространство k раз непрерывно дифференцируемых на EMBED Equation.3 функций
EMBED Equation.3
£p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
EMBED Equation.3 - пополнение £p[a,b] (Гильбертово)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Неравенство Гёльдера EMBED Equation.3EMBED Equation.3 p,q>0
Неравенство Минковского EMBED Equation.3