Лекція №12
Означення Z – перетворення.
При аналізі й синтезі систем дискретної обробки сигналів велике поширення одержало Z – перетворення.
Пряме Z – перетворення послідовності s[n] визначається формулою :

де Z – комплексна змінна. Областю зміни n може бути також n=[0,(). Зрозуміло, що функція X(Z) означена тільки для тих значень Z , при яких цей ряд сходиться.
Z – перетворення відіграє для дискретних сигналів і систем таку ж роль, як перетворення Лапласа – для аналогових.
Розглянемо Z – перетворення деяких дискретних сигналів. Спеціальним вхідним сигналом для дискретних систем є одинична імпульсна функція:

Ця функція в дискретних системах відіграє таку ж роль, як ( - функція Дірака в неперервних системах.
Розрахунок Z – перетворення такої функції є нескладним

Ця функція X(Z) сходиться в усій комплексній площині.
Дискретний сигнал

називається одиничним стрибком.
Використовуючи означення Z – перетворення, в цьому випадку одержимо

Цей ряд є сумою нескінченної геометричної прогресії з парними членом 1(Z-0=1 і знаменником Z-1. цей ряд сходиться при |Z-1|<1, тобто при |Z|>1 і його сума дорівнює
.
Дискретна експоненційна функція означається таким чином:
, де а=const.
Для обчислення Z – перетворення потрібно обчислити суму ряду
.
Як і в прямому випадку цей ряд представляє собою суму геометричної прогресії. Перший член дорівнює 1, а знаменник – аZ-1. Таким чином, ряд сходиться при |aZ-1| < 1 тобто при |Z|>|a|, a його сума дорівнює
.
Дискретне Z – перетворення зв’язане з перетворенням Лапласа й Фур’є. Зіставимо дискретній послідовності S[n] при n(0 часовий сигнал

де Т – інтервал дискретизації.
Перетворення Лапласа для цього сигналу дорівнює

Ця формула переходить у формулу для Z – перетворення , якщо виконати підстановку Z=epT.
Таким чином, взаємна відповідність між Z – перетворенням X(Z) і перетворення Лапласа L(p) описується наступним чином:

подібними формулами описується і зв’зок Z – перетворення з перетворенням Фур’є F(():
.
Властивості Z – перетворення.
Тісний зв’язок Z – перетворення з перетворенням Фур’є й Лапласа обумовлює і подібність властивостей цих перетворень. Проте є і деяка специфіка, яка виникає із-за дискретного характеру розглядуваних сигналів.
Затримка.
Якщо Z – перетворення послідовності S[n] дорівнює X(Z), то Z – перетворення послідовності, затриманої на k0 тактів y[n]=S[n-k0] , дорівнює

Таким чином, при затримці послідовності на k0 тактів необхідно помножити його Z – перетворення на . Множник є оператором затримки дискретної послідовності на k0 тактів.
Зворотне Z – перетворення.
Відповідність між дискретною послідовністю S[n] і її Z – перетворенням є взаємно однозначним. Формула переходу від Z – перетворення до {S[n]} називається зворотнім Z – перетворенням і формально описується наступним чином:
.
інтеграл береться по довільному замкнутому контуру, який розміщений в області збіжності X(Z) і який охоплює всі її полюси. Практичне обчислення зворотнього Z – перетворення здійснюється шляхом розкладу X(Z) на прості дроби (зведення до табличних випадків).

Дискретні системи.
Дискретна система і дискретний фільтр – це синонімічні поняття, проте поняття „фільтр”, досить часто пов’язують з системами, які одні частоти пропускають, а інші затримують.
Взагалі, дискретний фільтр – це система обробки дискретного сигналу, яка володіє властивостями лінійності і стаціонарності. Під цими властивостями розуміється це ж саме , що і в аналоговому випадку:
Лінійність – вихідна реакція на суму сигналів дорівнює сумі реакцій на ці сигнали;
Стаціонарність – затримка вихідного сигналу, приводить наше до такої ж затримки вихідного сигналу, не змінюючи його форми.
Дискретні системи, як і аналогові, можуть описуватися різними способами.
Імпульсна характеристика.
Вихідна реакція на одиничну імпульсну функцію ([n] називається імпульсною характеристикою дискретної системи і позначається h[n]. Як і в випадку аналогових систем з постійними перетвореннями, знання імпульсної характеристики дозволяє проаналізувати проходження через дискретну систему будь-якого сигналу. Зауважимо перш за все, що довільний сигнал {S[n]} можна зобразити у вигляді лінійної комбінації:
.
Тоді вихідний сигнал, виходячи із лінійності системи, повинен представляти собою лінійну комбінацію імпульсних характеристик:

Цей вираз називається дискретною згорткою (лінійною). Для фізично реалізованої системи h[n]=0 при n=0, тому верхню границю сумування в системній формулі можна замінити на n:

Функція передачі.
Застосуємо Z – перетворення до співвідношення для y[n] , яке являє собою дискретну згортку. Згідно властивостей Z – перетворення, результатом буде добуток Z – перетворень:
Y(Z)=X(Z)H(Z).
Функція H(Z) , яка дорівнює відношень вихідного й вхідного сигналів і яка представляє собою Z – перетворення імпульсної характеристики системи, називається функцією передачі (transfer function) дискретної системи:

Частотна характеристика.
Щоб одержати частотну характеристику дискретної системи, необхідно здійснити в H(Z) підстановку Z=(-i(kT одержимо

з останнього виразу бачимо, що частотна характеристика дискретної системи, так як і спектри дискретизованих сигналів,є періодичною функцією, із періодом рівним частоті дискретизації

Щоб частотна характеристика дискретної системи (фільтра) була нетривіальною, тобто щоб коефіцієнт передачі фільтра на різних частотах був різний, вихідний сигнал повинен залежати від декількох відліків вхідного сигналу S[n]. пам'яттю.
Щоб забезпечити лінійність і стаціонарність, здійснювані фільтром математичні операції повинні обмежуватися додаванням і множенням на константи. Для прикладу, нехай вхідний сигнал фільтра дорівнює сумі останніх відліків вхідного сигналу:
Y[n]=S[n]+S[n-1].
Такі фільтри, які сумують деяку кількість вхідних відліків, при цьому перемножуючи їх постійні вагові константи, називається нерекурсивними.
Крім вихідних відліків ми можемо використати для обчислень і раніше розраховані значення вихідного сигналу. Наприклад, y[n]=S[n]+y[n-1]. Такі фільтри називаються рекурсивними.
Отже рекурсивні фільтри сумують не тільки вхідні , но і деяку кількість попередніх вихідних відліків сигналу, перемножуючи їх при цьому на постійні вагові коефіцієнти.
В загальному випадку дискретний фільтр сумує (із ваговими коефіцієнтами) деяку кількість вхідних відліків (включаючи останній) і деяку кількість попередніх вихідних відліків:

де аі і bі – деякі коефіцієнти ().
Ця формула називається алгоритмом дискретної фільтрації. Її можна переписати так:

Ця форма запису називається різницевим рівнянням.
Застосувавши Z – перетворення до обох частин різницевого рівняння, одержимо

звідси для функції передачі одержимо:

тобто функція передачі фізично реалізованої дискретної системи представляється у вигляді відношення поліномів по від’ємних степенях Z.
Нерекурсивні фільтри.
Для цих фільтрів рівняння фільтрації має вигляд:

Кількість використовуваних попередніх відліків m називається порядком фільтра. Структурна схема, яка реалізує цей алгоритм, наведена на рисунку.
Тут:

1) - суматор
2) помножувач на постійний коефіцієнт на bi
3) - затримка дискретної послідовності на такт.
Затримка дискретної послідовності на один такт відповідає множенню її Z – перетворення на Z-1 .
m- попередніх відліків вхідного сигналу зберігаються в комірках пам’яті, які утворюють дискретну лінію затримки. Ці відліки множаться на коефіцієнт bi і сумуються, формуючи вихідний відлік y[k]. Так як при обмеженнях не використовуються попередні відліки вихідного сигналу, то в схемі відсутні зворотні зв’язки. Тому такі фільтри називаються нерекурсивними (nonrecursive). Застосовується також термін „транcверсальний” фільтр (transversal - поперечний).
Підставивши в рівняння фільтрації одиничну імпульсну функцію для імпульсної характеристики одержимо:

Оскільки ([k-i]=0 для вихідних k крім k=1, коли має рівність одиниці, одержуємо h[k]=bk. Коефіцієнти bk є відліками імпульсної характеристики фільтра. Оскільки лінія затримки містить комплексне число елементів, то імпульсна характеристика являється конечною по тривалості. Це обумовило ще одну назву таких ф