2. Існуючі методи моделювання систем
У даний час існують різні методи моделювання систем. Розглянемо деякі з сучасних підходів і проаналізуємо труднощі, які зустрічаються у практиці моделювання систем.
2.1. Моделювання систем на основі рядів Вольтерра
Нехай задано вектор вхідних змінних (дій) x(t)=[x(1)(t),x(2)(t),...,x(r)(t)] (як правило, напруг або струмів) та вектор вихідних змінних (реакцій) схеми y(t)=[y(1)(t),y(2)(t),..., y(h)(t)]. Введемо вектор додаткових змінних z=(z1,z2,...,zp), які характеризують, наприклад, початкові умови, температуру навколишнього середовища, технологічні параметри і т.д. Вважатимемо моделлю схеми операторне рівняння виду:
A[x(t),y(t),z]=0, (2.1)
t([t0,t1], x(t)(X(t), z(Z, (2.2)
яке має наступні властивості:
1. Оператор A визначений і для будь-яких фіксованих векторів x(t) та z при умовах (2.2) рівняння (2.1) має один розв'язок відносно y(t).
2. Виконується нерівність

, (2.3)
де y(t) - розв'язок рівняння (2.1) при заданих значеннях x(t) та z; .
Розв'язання задачі побудови математичної моделі полягає у визначенні оператора A з (2.1) за заданими векторами x(t), y(t), z при обмеженні (2.3). Якщо x(t),y(t) та z визначаються за допомогою вимірювань у результаті проведення експериментів або обчислень на основі числових методів, задача є задачею ідентифікації моделі. Якщо за заданою множиною точок елементів векторів x(t),y(t) та z конструюється оператор A, який можна реалізувати у схемній елементній базі, задача є задачею синтезу. Тут головним чином розглядається друга задача.
У випадку, коли реакція y(t) в явному вигляді виражена через x(t) та вектор z, рівняння (2.1) набуває вигляду:
y(t)=B[x(t),z]. (2.4)
Рівняння (2.4) є частковим випадком моделі (2.1).
Розглянемо деякі сучасні методи моделювання систем. Для низки задач зв'язок вхідної дії x(t) та вихідної реакції y(t) системи може бути представлений за допомогою класичного функціонального ряду Вольтерра. При цьому використовується нерекурсивна математична модель виду:

, (2.5)
де h((1,(2,...,(k) - ядро ряду Вольтерра k-го порядку. Використавши багатовимірне перетворення Лапласа та теорему про багатовимірну згортку, можна перейти до зображення виразу (2.5) у комплексній області:
. (2.6)
Для нелінійних систем, які можуть бути реалізовані фізично, повинна виконуватись умова для будь-якого . Ряд Вольтера можна трактувати, як функціональний ряд Тейлора з пам’яттю. Тому такий ряд можна застосовувати лише для класу вхідних дій , для яких значення
. Для розривних функцій збіжний ряд Тейлора в околі точки не існує. Тому розривну систему не можна представити рядом Вольтерра.
При випадкових діях оцінка величини отримується індивідуально для кожної конкретної задачі. Нехай якимось способом ядра Вольтера з скінченною кількістю членів системи, що має скінченну пам’ять, визначено. Тоді таке представлення дозволяє аналізувати систему методом моментів, тобто можна знайти моменти вихідних сигналів за відомими моментами вхідної дії , причому методика обчислення моментів аналогічна тій, яка застосовується при аналізі лінійних систем. Для визначення математичного сподівання вихідного сигналу треба знати -вимірні моменти вхідної дії, а для визначення одновимірного початкового моменту другого порядку - 2-вимірні моменти. Із збільшенням складність та трудоємкість обчислень суттєво зростає.
При застосуванні методу на практиці виникають наступні проблеми:
- функціональні вирази для ядер значно ускладнюються при збільшенні порядку ядер;
- ряд (2.5) у загальному випадку є розбіжним і збігається лише для лінійних схем;
- cуттєвою є проблема факторизації ядер виразу (2.5), тобто необхідності представлення багатовимірних передавальних функцій або багатовимірних ядер функціями однієї змінної;
- підхід має обмеження на вибір частот вхідних сигналів;
- не існує регулярних методів реалізації схем при представленні їх моде-
лей багатовимірними передавальними функціями.
Частина проблем, пов'язаних з представленням моделей функціональними рядами Вольтера, вирішується при використанні поліномів Вольтерра-Пікара (ВП-поліномів). У цьому випадку відсутнє громіздке обчислення ядер Вольтера, визначення реакції на вхідну дію зводиться до багатократного обчислення результатів дії лінійних операторів. ВП-поліноми описуються в компактній алгебраїзованій формі, при цьому існує принципова можливість отримання розв'язку в аналітичному вигляді. Методика побудови нерекурсивної моделі (2.4) на основі ВП-поліномів передбачає визначення за діями x(k)(t), де k=1,2,...,n (вектор-функціями часу t>0) та реакціями y(k)(t) оператора B, для якого мають місце рівності:
y(k)(t)=B[x(k)(t)], k=1,2,..,n. (2.7)
Нехай , - задані вектор-функції від . Тоді для розв'язання задачі побудови моделі оператор рівняння (2.7) можна вибрати у вигляді оператора Гаммерштейна:
, (2.8)
де Hm(p) - лінійний оператор. Вибравши число n, на основі тестових випробувань визначаються оператори Hm(p). Якщо, наприклад, в (2.8) підставити x(t)=x(t) і врахувати умову (2.6), то отримується наступна система рівнянь:
. (2.9)
Нехай - простір функцій, які перетворюються за Лапласом, тоді x(k)(t)є,
y(k)(t)є, . В операторній формі (2.9) приймає вигляд:
, (2.10)
де L - символ прямого перетворення Лапласа. Система (2.10) містить n рівнянь з n невідомими функціями Hm(p), m=1,2,...,n, які входять до неї лінійно. Якщо визначник системи по s тотожно не дорівнює нулю, вона має один розв'язок.
Вищенаведений підхід до розв'язання задачі моделювання систем є справедливм для сигналів, які можуть бути перетворені за Лапласом. Ряди Вольтерра-Пікара дають можливість ефективно моделювати лише лінійні схеми з незначними нелінійностями. Серед найважливіших практичних результатів, отриманих за допомогою методів рядів Вольтерра-Пікара, можна виділити розв'язання задач синтезу компенсатора нелінійних спотворень, пристрою формування імпульсних сигналів, фільтрів та аналізу вихідних сигналів нелінійної системи з пам’яттю при дії гармонічних коливань та гаусівського шуму.
2.2. Побудова моделей за допомогою просторово-керованих функціональних генераторів та термофункціональних гіпермоделей
Підхід передбачає визначення за заданими скінченними множинами дій x(t) та реакцій системи y(t) моделі, яка дозволяє гарантувати, що при будь-яких x(t)є X(t), де X(t) – певна у загальному випадку неперервна множина сигналів, ym(t)(y(t). Розглядається клас систем з наступними властивостями:
1. Система не може самозбуджуватись, тобто при .
2. Виконуються умови: .
Відображення вхідних сигналів у вихідні є неперервним, тобто для
будь-якого можна вказати деяке число таке, що при , якщо
, тоді , причому , якщо .
4. Вхідні сигнали, які діють на систему, є достатньо “повільними”, тобто при кусочно-постійній апроксимації вхідного сигналу довжина кожної ступеньки повинна бути однакового порядку або більшою від тривалості перехідного процесу системи.
Нехай на систему подається дія у вигляді кусочно-постійної функції xк.п(t). Визначивши реакцію y(t) на таку дію, можна покласти, що на достатньо великому інтервалі часу 0...t1, де t1 - тривалість першої ступеньки, реакція на цьому інтервалі буде прямувати до деякої постійної величини. До моменту t=t1 у схемі встановляться певні напруги та струми, які залежать від значення амплітуди першої ступеньки a1