§6.Закон великих чисел. Як відомо, теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві масовим випадковим явищам. Коли проводиться велика кількість спроб, то характеристики випадкових подій і випадкових величин стають майже невипадковими. Наприклад, частота події при великій кількості спроб стає стійкою, те ж саме стосується і середнього значення випадкових величин. Ця обставина дозволяє використати результати спостережень над випадковими явищами для передбачення результатів майбутніх спроб. Група теорем, які встановлюють відповідність між теоретичними і експериментальними характеристиками випадкових величин і випадкових подій при великій кількості спроб, об’єднуються під назвою закону великих чисел, а тих теорем, що стосуються граничних законів розподілу – під назвою центральна гранична теорема. Закон великих чисел займає чільне місце в теорії ймовірностей: він є зв’язуючою ланкою між теорією ймовірностей як математичною наукою і закономірностями випадкових явищ при масових спостереженнях за ними. Закон великих чисел відіграє велику роль в практичних застосуваннях теорії ймовірностей до технічних процесів, пов’язаних з масовим виробництвом. 1. Нерівності Чебишова. При доведенні теорем, які відносяться до закону великих чисел, користуються нерівностями Чебишова. Нехай Х - невід’ємна випадкова величина, яка має скінченне математичне сподівання , тоді для виконується перша нерівність Чебишова . (1) Дійсно, нехай - функція розподілу неперервної випадкової величини . Тоді . Оскільки в області інтегрування , тобто , то . Остання нерівність тільки підсилиться, якщо інтегрування розповсюдити на всі значення х, але , звідки , отже і . Нехай Х - довільна випадкова величина, для якої існує , тоді має місце друга нерівність Чебишова: ; (2) Дійсно, нехай Х – неперервна випадкова величина, тоді . Оскільки в області інтегрування , то але . Звідси , тобто . Перейшовши до центрованої випадкової величини , отримаємо таку форму другої нерівності Чебишова . (3) де - скінченна дисперсія. Стосовно до протилежної події – відхилення випадкової величини від її математичного сподівання менше ніж , друга нерівність Чебишова може бути записана у формі (4) Для практики нерівність Чебишова має обмежене значення, оскільки вона корисна лише для відносно великих значень . Більш важливим є теоретичне значення цієї нерівності, оскільки вона використовується при доведенні теорем закону великих чисел . 2. Теорема Чебишова. Введемо поняття збіжності за ймовірністю: Кажуть, що послідовність незалежних випадкових величин збігається за ймовірністю до деякої випадкової величини , якщо для . (5) Теорема Чебишова: Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин з однаковим математичним сподіванням , дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто де - стала величина, то . (6) Для доведення розглянемо випадкову величину .В силу властивостей математичного сподівання . Оскільки незалежні, і , то . Застосувавши до випадкової величини нерівність Чебишова у формі (4):
будемо мати , або перейшовши до границі, отримаємо , оскільки ймовірність не може бути більше 1. Теорема Чебишова показує, що при необмеженому збільшенні числа незалежних спроб середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини, яка має скінченну дисперсію , збігається за ймовірністтю до математичного сподівання цієї випадкової величини. Ця теорема є основою правила середнього арифметичного. 3. Узагальнена теорема Чебишова Коли характеристики випадкової величини змінюються від досліду до досліду, то має місце узагальнена теорема Чебишова: Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких рівномірно обмежені, тобто а математичні сподівання - різні, то . (7) Для доведення знову використаємо випадкову ведичину . Тоді , . Застосувавши до випадкової величини нерівність Чебишова у формі (4)
отримаємо . Звідки при отримаємо формулу (7). Частковими випадками теорем Чебишова є наступні теореми. 4. Теорема Бернуллі. Нехай проводиться незалежних спроб, в кожній з яких з ймовірністю може наступити деяка подія . Якщо - число появ події в спробах, то . (8) Іншими словами, із збільшенням числа незалежних спроб частота появи події відрізняється від ймовірності появи цієї події менше ніж на , яким би малим не було . Дійсно, ввівши випадкові величини маємо , де - число появ події в -й спробі . Випадкові величини мають однаковий ряд розподілу
0 1
q p
Звідки Відносну частоту можна розглядати як випадкову величину =. Тоді ; . Нерівність Чебишова (4) для випадкової величини має вигляд (9) Умови теореми Чебишова виконуються, і для середнього арифметичного значень величин тобто для , маємо . Теорема Бернуллі є історично першою теоремою закону великих чисел. Вона була доведена Я.Бернуллі і опублікована в 1713 р. Англійський статистик К.Пірсон підкинув монету 12000 разів і при цьому герб випав 6019 разів, тобто частота випадання герба 0,5016. Іншого разу він підкинув монету 24000 разів і 12012 разів спостерігав випадіння герба. Частота випадання герба 0,5005. Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли досліди проводяться в неоднакових умовах, є теорема Пуассона. 5. Теорема Пуассона. Якщо в послідовності незалежних спроб ймовірність появи події А в -й спробі дорівнює , то (10) де - число появ події А в спробах. Аналогічно, як при доведенні теореми Бернуллі, маємо . Випадкові величини мають однаковий ряд розподілу
0 1
Отже , Відносну частоту можна розглядати як випадкову величину =. Тоді , . Нерівність Чебишова (4) для випадкової величини має вигляд (11) Умови узагальненої теореми Чебишова виконуються, і, перейшовши до границі при , отримаємо Приклад 1. У даній місцевості середня річна кількість сонячних днів дорівнює 100. Оцінити ймовірність того, що протягом ро
