§10. Закон розподілу функції випадкових величин.
В попередньому параграфі ми розглядали задачі знаходження числових характеристик функцій випадкових величин без знаходження законів їх розподілу. Проте в багатьох застосуваннях, зокрема при визначенні ймовірності попадання цих функцій в певні області їх можливих значень, потрібно знати закони розподілу функцій. Тому при розв’язуванні задач такого типу необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують в постановці задачі. Звичайно при цьому закон розподілу випадкового аргументу або системи випадкових аргументів є відомим, так само як і відома функціональна залежність.
Отже, виникає така задача: задана система випадкових аргументів (X1, X2, … , Xn), закон розподілу якої відомий. Відома випадкова величина Y
. (1)
як функція випадкових аргументів (X1,…, Xn).Потрібно визначити закон розподілу випадкової величини Y.
1.Закон розподілу функції випадкової величини.
Спочатку розглянемо простішу задачу: про закон розподілу функції одного випадкового аргументу
(2)
Нехай: – X – дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу

X


…


P


…



Тоді – теж дискретна випадкова величина, яка приймає можливі значення
, ..., .
Тут розрізняють два випадки: а) коли всі значення різні (функція монотонна),
б) коли серед є значення, які співпадають (функція немонотонна).
а) Якщо всі значення різні, то для кожного i=1,2, ...,n події
і тотожні.
Отже, і шуканий закон розподілу функції має вигляд
Y


…


P


…


де , (); .
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу
X
1
2
3

P
0,25
0,40
0,35

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Для заданої множини значень функція приймає значення:, ,
Отже, закон розподілу функції має вигляд
Y
1
4
9

P
0,25
0,40
0,35

б) Якщо серед чисел є однакові, то кожній групі однакових чисел відводимо в таблиці один стовпчик, а відповідні ймовірності додаємо.
Приклад 2. Задано закон розподілу випадкового аргументу
X
-2
-1
0
1
2

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Можливі значення функції , , , , .
Маємо три різні числові значення y=0, y=1, y=4, причому два останні повторюються, тому додаємо їх відповідні ймовірності.
Отже, закон розподілу функції
Y
0
1
2

P
0,4
0,27
0,33


Нехай X – неперервна випадкова величина, щільність розподілу якої відома: f(x). Знайдемо щільність розподілу g(y) випадкової величини .
Припустимо, що функція монотонно зростає, неперервна і диференційовна на .
Функція розподілу випадкової величини визначається за формулою
= (3)
Якщо функція монотонно зростає, то подія еквівалентна події (), де- функція, обернена функції , яка теж монотонно зростаюча, неперервна і диференційовна.
Отже, === (4)
Диференціюючи цей вираз по , отримаємо щільність розподілу випадкової величини
== (5)
Якщо функція на монотонно спадає, то подія еквівалентна події ().
Отже, = (6)
і =-. (7)
Оскільки щільність розподілу не може бути від‘ємною, то формули (5) і (7) можна об‘єднати в одну
= (8)
Отже, щільність розподілу функції (2) визначається формулою (8).
Зауваження. Якщо функція немонотонна, тобто обернена функція неоднозначна, то весь інтервал зміни значень функції розбиваємо на інтервали монотонності і для знаходження підсумовуємо за формулою (8) по всіх інтервалах монотонності.
Приклад 3. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами ,

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Функція монотонна на . Обернена до неї функція .
Знаходимо похідну.
Отже, за формулою (8) маємо
.
Приклад 4. Випадкова величина X розподілена нормально з параметрами , .

Знайти закон розподілу функції .
Розв’язання. Обернена функція неоднозначна:
для і для .
Отже, , .
1.2. Закон розподілу лінійної функції.
Нехай , де – невипадкові величини. Оскільки монотонна функція, то обернена функція теж монотонна. Маємо і за формулою (8)
. (9)
Вираз (9) показує, що лінійне перетворення випадкової величини X тотожне зміні масштабу зображення кривої і переносу початку координат в нову точку. Вигляд кривої при такому перетворенні не змінюється.
Покажемо, що лінійна функція розподілена нормально, якщо аргумент - нормально розподілена випадкова величина:
. Припустивши , знайдемо похідну . За формулою (9) запишемо щільність розподілу функції


або
. (10)
Таким чином, лінійна функція теж розподілена нормально з параметрами і .
2. Закон розподілу функції двох випадкових величин.
Задача визначення закону розподілу функції декількох випадкових аргументів є складнішою. Тому розглянемо випадок функції двох аргументів. Нехай задана система двох неперервних випадкових величин , щільність р