§4.Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин.
4.1. Дискретні і неперевні випадкові величини.
В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події і ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад, час безвідмовної роботи деякого приладу, число появ герба при трьох підкиданнях монети і т.п.
Назвемо випадковою величину, пов’язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку.
Між випадковими подіями і випадковими величинами існує тісний зв’язок. Випадкова подія
є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина – його кількісною характеристикою. Випадкові величини за своїм характером поділяються на дискретні і неперервні.
Дискретна випадкова величина - це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення. Іншими словами, вона має таку властивість, що кожне з її можливих значень має окіл, який вже не містить жодного з інших значень цієї ж величини. Всі можливі значення дискретної випадкової величини можуть бути перенумеровані
.
Випадкова величина називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі, який може бути скінченним або нескінченним. Наприклад, випадкова величина - час безвідмовної роботи приладу, - неперервна, оскільки її можливе значення .
4.2. Закон розподілу випадкової величини.
Важливою характеристикою випадкової величини є розподіл ймовірностей цієї величини. Справа в тому, що випадкова величина може приймати ті чи інші числові значення, взагалі кажучи, із різними ймовірностями.
Приклад 1. При трьох підкиданнях монети випадкова величина - число появ герба – може приймати значення із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі



Співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини.
Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий таблично або графічно. В першому випадку закон розподілу називається рядом розподілу ймовірностей випадкової величини .




. . .


Р


. . .



В першому рядку таблиці записують всі можливі значення випадкової величини, а в
другому - відповідні їм ймовірності. Оскільки події становлять повну групу несумісних подій, то за теоремою додавання ймовірностей маємо
, (1)
тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці.
Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення випадкової величини , а по осі ординат – ймовірності цих значень.
Для розглянутого вище прикладу 1 ряд і многокутник розподілу мають вигляд відповідно


0
1
2
3

Р






Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов’язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.
Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі.
Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події
і позначають
, (2)
(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).
4.3. Функція розподілу.
Для кількісної оцінки закону розподілу випадкової величини (дискретної або неперервної) задають функцію розподілу ймовірностей випадкової величини, яку визначають як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа і позначають
(3)
або .
Функцію розподілу інколи називають інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини.
Знаючи функцію розподілу , можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал :
. (4)
Дійсно, випадкова подія є об’єднанням двох несумісних подій і .
Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо
,
звідки ,
або, враховуючи позначення (3) .
Встановимо деякі властивості функції розподілу.
. є неспадною функцією, тобто , якщо .
. Значення функції розподілу належать відрізку , тобто .
Інакше:
. Функція розподілу неперервна зліва:
.
Для прикладу 1 побудуємо функцію розподілу випадкової величини Х , заданої рядом розподілу

Х
0
1
2
3

Р






При
при
при
при
при .
Приклад 2. Нехай функція розподілу деякої неперервної випадкової величини Х задана у вигляді
.
Визначити значення коефіцієнта і побудувати графік функції.
Оскільки функція неперервна зліва, то при маємо , звідки .
4.4. Щільність розподілу.
Закон розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин може бути заданий також і щільністю розподілу.
Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу , неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал знайдемо на підставі співвідношення (4):

тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.
Відношення виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.
Перейшовши до границі при , отримаємо
.
Функція (5)
називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х , а її графік – кривою розподілу. Іноді вживають термін – диференціальна функція розподілу .
З означення (5) випливає, що . (6)
Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу
. (7)
Дійсно, .
Встановимо деякі властивості щільності розподілу:
. є невід’ємною функцією, тобто .
Дійсно, оскільки неспадна функція, то .
. .
Це випливає із формули (6) і властивості для функції розподілу .
Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком кривої , знизу – відрізком осі абсцис, зліва і справа - відрізками прямих , .
Властивість геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.
4.5. Приклади основних законів розподілу:
а) дискретних випадкових величин:
1. біномний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення із ймо