РОЗДІЛ 3
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ВЕКТОРИ
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
Розглядаємо ймовірнісний простір .
Означення. Відображення називається випадковою величиною, якщо
.
Теорема. Якщо і є випадкові величини, то ( – невипадкова величина), , – випадкові величини.
Означення. Функцією розподілу випадкової величини називають функцію
Властивості функції розподілу:
1.
2. Функція розподілу неперервна зліва.
3. Функція розподілу монотонно неспадна.
4. ,
5. .
Приклад. Двічі підкидають симетричну монету. Випадкова величина – кількість випадань герба. Побудувати функцію розподілу випадкової величини .
Розв’язування. Випадкова величина може набувати значення . Знайдемо ймовірності



Очевидно, що
¦
Приклад. Спортсмен влучає в мішень до першого попадання в “”. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює Випадкова величина – кількість пострілів. Знайти функцію розподілу.
Розв’язування. У даному випадку випадкова величина набуває значення із ймовірностями
Тоді
¦
Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо вона набуває скінченну або зліченну кількість значень.
Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона набуває і ймовірностями з якими набуваються ці значення.
Означення. Значення дискретної випадкової величини і відповідні ймовірності називаються розподілом дискретної випадкової величини або законом розподілу дискретної випадкової величини.
Розподіл дискретної випадкової величини зручно подавати у вигляді таблиці













Якщо значення випадкової величини можна впорядкувати, то значення записують у порядку зростання.
Функцію розподілу дискретної випадкової величини можна записати наступним чином:

Означення. Випадкова величина називається неперервною, якщо її функція розподілу є неперервною функцією.
Означення. Випадкова величина називається абсолютно неперервною, якщо існує функція така, що
.
Функція називається щільністю розподілу випадкової величини .
Властивості щільності:
1. .
2.  у всіх точках, де ця похідна існує.
3. 
4. 
Означення. Випадкова величина називається сингулярною, якщо її функція розподілу є неперервною функцією, але не існує точки, де б існувала щільність.
Теорема. Для довільної випадкової величини існує представлення де – деякі константи, – дискретна випадкова величина, абсолютно неперервна випадкова величина, – сингулярна випадкова величина, а константи зв’язані співвідношенням
Приклад. Дано функцію розподілу абсолютно неперервної випадкової величини

Знайти щільність .
Розв’язування. Згідно з другою властивістю щільності у всіх точках, де ця похідна існує. Тому
¦
Приклад. Дано щільність абсолютно неперервної випадкової величини

Знайти невідомий параметр і функцію розподілу.
Розв’язування. Згідно з другою властивістю Очевидно,

,
.
Переходимо до функції розподілу. За означенням маємо
.
Якщо то . Тому
=.
Нехай ,
;

.
Якщо то

.
Остаточно функція розподілу має вигляд
¦
ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Розглядаємо дискретну випадку величину яка набуває значення відповідно з ймовірностями
Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають число за умови, що цей ряд збігається абсолютно.
Приклад. Нехай дано розподіл дискретної випадкової величини













Знайти математичне сподівання.
Розв’язування. Оскільки , то у даному випадку

. ¦
Далі дамо означення математичного сподівання для абсолютно неперервної випадкової величини. Нехай випадкова величина є абсолютно неперервною і її щільність дорівнює .
Означення. Математичним сподіванням абсолютно неперервної випадкової величини називають число

за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно.
Приклад. Дано щільність абсолютно неперервної випадкової величини

Знайти математичне сподівання.
Розв’язування. 

. ¦
Якщо випадкова величина де – абсолютно неперервна випадкова величина, – дискретна, то
Означення. Випадкові величини і називаються незалежними, якщо
.
Властивості математичного сподівання:
Якщо то
Якщо то
Якщо для випадкової величини існує математичне сподівання а , то для випадкової величини існує математичне сподівання і
Якщо для випадкових величин існують математичні сподівання то для випадкової величини існує математичне сподівання і
Якщо існують то
Якщо для випадкової величини існує математичне сподівання, то існує і
Якщо для випадкових величин існують , то
Якщо випадкові величини і незалежні, то .
Нерівність Чебишова. Якщо випадкова величина є невід’ємна і для неї існує математичне сподівання, то для довільного числа виконується нерівність
.
Очевидно, якщо – дискретна випадкова величин