РОЗДІЛ 2
ВИПАДКОВІ ПОДІЇ
ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ
Розглядаємо випадкове явище (проводиться стохастичний експеримент). Множина, яка містить найбільш повну інформацію про всеможливі результати, називається простором елементарних подій і позначається . Нерозкладні результати називають елементарними подіями і позначаються .
Довільна підмножина з або будь-який результат експерименту називається випадковою подією. Випадкові події прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту. Якщо то говорять, що елементарна подія сприяє події .
Означення. Подія, яка в умовах даного стохастичного експерименту обов’язково відбудеться, називається достовірною подією і позначається .
Достовірну подію часто ототожнюють з простором елементарних подій.
Означення. Подія, яка в умовах стохастичного експерименту відбутися не може, називається неможливою подією і позначається .
Означення. Об’єднанням (сумою) подій та називається подія (), яка містить усі елементарні події, які входять або в подію , або в подію .
Означення. Перетином (добутком) подій та називається подія (), яка містить усі елементарні події, які входять і в подію , і в подію .
Означення. Різницею подій та називається подія , яка містить усі елементарні події, які входять в подію і не входять в подію .
Означення. Подія, яка складається з усіх елементарних подій, які не входять у подію , називається протилежною до події і позначається .
Означення. Якщо довільна елементарна подія, яка входить в подію , належить події то говорять, що подія міститься в події і позначають
Означення. Якщо і , то говорять, що події і є рівними і записують це так .
Означення. Події і називаються несумісними, якщо вони не містять однакових елементарних подій.
Означення. Події, які мають однакові шанси відбутись, називають рівноможливими.
Властивості дій над подіями:
Комутативність: , .
Асоціативність:
, .
Дистрибутивність:
,
.
Правила де Моргана: , .
, .
, .
, .
, .
.
КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ
Розглядаємо випадкове явище із скінченною кількістю елементарних подій, які є рівноможливими. Відомо, що подія спостерігається у ньому. Кількість усіх елементарних подій будемо позначати через , а кількість елементарних подій, що сприяють події – через .
Означення. Ймовірністю події називають невід’ємне число , яке дорівнює відношенню кількості елементарних подій, що сприяють події , до кількості усіх елементарних подій, тобто
.
Властивості ймовірностей.
Безпосередньо із означення випливають такі властивості:
1.
Доведення.

Властивість доведена.
2.
Доведення.
Очевидно, що кількість елементарних подій, що сприяють події є не більшою, ніж кількість усіх елементарних подій, тобто
.
Тому
.
Властивість доведена.
3. .
Доведення.
Якщо подія неможлива, то кількість елементарних подій, що їй сприяють дорівнює 0. Тому .
Властивість доведена.
4. Якщо події та несумісні, то
Доведення.
Якщо події та несумісні, то
.
Тому
.
Властивість доведена.
5. Якщо то
Доведення.
Якщо то . Отже,
.
Властивість доведена.
6. Якщо то
Доведення.
Якщо то . Очевидно, що події та несумісні, тому
.
Звідси маємо
.
Властивість доведена.
7. Якщо події та довільні, то

Доведення.
Якщо події та довільні, то об’єднання подій та можна подати у вигляді:
.
Очевидно, що та не перетинаються і та не перетинаються. З другого боку,
,
.
Тому,
,
.
Отже,

=
.
Властивість доведена.
8. .
Доведення.
Очевидно, простір елементарних подій може бути представленим у вигляді об’єднання двох подій, які не перетинаються .
Тому
,
що еквівалентно
,
або
.
Властивість доведена.
Приклад. Двічі підкидають гральний кубик. Знайти ймовірності таких подій:
– “2” випала рівно два рази;
– “2” випала рівно один раз;
– жодного разу не випала “2”;
– хоча б один раз випала “2”;
– сума очок, яка випала є не більшою ніж 5;
– обидва рази випала однакова кількість очок;
– обидва рази випала різна кількість очок;
– перший раз випала більша кількість очок, ніж другий раз.
Розв’язування. Простором елементарних подій є набір упорядкованих пар , де – кількість очок, яка випала перший раз, кількість очок, яка випала другий раз. За правилом добутку в комбінаториці кількість елементарних подій дорівнює .
: Події сприяють ті елементарні події, у яких ; . Лише у одної елементарної події є дві двійки Тому І, відповідно,

: Події сприяють ті елементарні події, у яких рівно одна двійка: або на першому або на другому місці. Тобто маємо елементарні події вигляду або де Тому за правилами додавання і добутку в комбінаториці
,
Події сприяють ті елементарні події, у яких немає двійок. Тобто Їх кількість за правилом добутку в комбінаториці дорівнює Відповідно,

Подія є протилежною до події . Тому
.
Даний результат можна отримати ще двома способами.
По-перше, причому події і є не