§3. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Граничні теореми. В численних застосуваннях теорії ймовірностей часто зустрічається схема незалежних спроб (або схема Бернуллі). 3.1. Схема незалежних спроб. Формула Бернуллі. Нехай проводиться скінченне число спроб, в результаті яких може з´явитися подія з певною ймовірністю , причому ймовірність не залежить від наслідків інших спроб. Такі спроби назвемо незалежними відносно події . Обчислимо ймовірність того, що в результаті проведення незалежних спроб подія наступить рівно разів, якщо в кожній із спроб вона наступає із сталою ймовірністю або не наступає з ймовірністю . Позначимо шукану ймовірність , це означає, що в спробах подія з´явиться разів. Зауважимо, що тут не вимага-ється, щоб подія повторилася разів в певній послідовності. Для розв´язання поставленої задачі при великих значеннях і безпосереднє застосування теорем додавання і множення ймовірностей приводить до громіздких розрахунків, тому зручніше користуватися формулою Бернуллі, до виведення якої ми приступимо. Ймовірність того, що подія в спробах з´явиться рівно разів, а в решті - спроб з´явиться протилежна подія , за теоремою множення ймовірностей незалежних подій дорівнює . При цьому подія в спробах може з´явитися рівно разів в різних комбінаціях, число яких . Оскільки всі комбінації подій є подіями несумісними і нам байдуже, в якій послідовності з´явиться подія або подія , то, застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримаємо формулу Бернуллі ==. (1) Ймовірності називаються біномними , оскільки вони мають відношення до формули бінома Ньютона ++…++…++, або +++…++…++=1. Приклад 1. Гральний кубик підкидають тричі. Яка ймовірність того, що при цьому двічі випаде 6 очок? Розв’язання. Нехай подія : при одному кидку випаде 6 очок. Ймовірність , відповідно . Тут Отже, за формулою (1) = Цей результат потрібно трактувати так: якщо такий дослід проводити багато разів, то в середньому в 5 випадках із 72 грань з 6 очками випаде рівно два рази. 3.2. Найімовірніше число появ події. Найімовірнішим числом появ події в незалежних спробах називається число, для якого ймовірність перевищує або принаймні не менша ймовірності кожного з решти можливих наслідків спроб. Нехай цьому числу відповідає ймовірність =. (2) Тоді, за означенням числа , ймовірності та не повинні перевищувати , тобто повинні виконуватися умови , (3) . (4) Із нерівності (3) маємо , або після спрощення , звідки . (5) Аналогічно із (4) маємо , або , звідки . (6) Об’єднавши нерівності (5) і (6), отримаємо подвійну нерівність , (7) з якої і визначається найімовірніше число появ події. Зауважимо, що довжина інтервала (7) дорівнює 1: = Тому, якщо межі цього інтервала - дробові числа, то отримаємо тільки одне значення , якщо ж межі є цілими числами, то отримаємо два значення найімовірнішого числа = та =. Приклад 2. Підприємство випускає 85% продукції вищого гатунку. Знайти найімовірніше число виробів вищого гатунку в партії із 150 виробів. Розв’язання. Тут Із нерівності (7) маємо
або . Звідки Варто відзначити особливу роль числа - в певному сенсі його можна трактувати як середнє число появ події в спробах. Для великих значень безпосереднє застосування формули Бернуллі є нераціональним, тому для обчислення ймовірності використовують інші, так звані асимптотичні, формули, що базуються на граничних теоремах. 3.3. Локальна теорема Муавра – Лапласа. Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність числа появ події в спробах обчислюється за формулою , (8) де . Функція - парна, для неї складені таблиці значень при . Приклад 3. Яка ймовірність того, що подія наступить рівно 80 разів в 400 спробах, якщо ймовірність появи події в кожній спробі Розв’язання. Тут Обчислимо та : ==8. За таблицею значень функції знаходимо Отже, Підрахунок за формулою Бернуллі дає 3.4. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо ймовірність появи події в кожній спробі стала і така, що , то ймовірність того, що подія з’явиться в спробах від до разів, обчислюється за формулою , (9) або , (10) де , ; - функція Лапласа, вона непарна : , протабульована і для значень приймають 0,5. Дійсно, розглянемо нерівність , або після очевидних перетворень . Звідки =()==. Зауважимо, що формули (8)-(10) можна застосовувати , якщо Приклад 4. На підприємстві ймовірність випуску бракованих виробів дорівнює Перевіряють 500 виробів. Яка ймовірність того, що серед них бракованих буде від 10 до 20? Розв’язання. Тут Обчислимо = Отже, за формулою (10) маємо 3.5. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності. Нехай провели незалежних спроб, в результаті яких подія наступила рівно разів, тобто відносна частота появ події . В кожній із спроб подія наступає із сталою ймовірністю (). Потрібно обчислити ймовірність того, що відхилення відносної частоти появ події від ймовірності не перевищить деякого заданого числа , тобто ймовірність виконання нерівності . (11) Позначимо шукану ймовірність . Перепишемо нерівність (11) або . Домножимо кожну з частин останньої нерівності на : . Тоді за формулою (9) = =. Отже, . (12) 3.6. Теорема Пуассона. Точність формул (8)-(10) знижується, коли , тому для оцінки ймовірностей масових, але рідкісних () подій використовують теорему Пуассона. Якщо в серії незалежних спроб , , але так, що добуток залишається сталим, то ймовірність обчислюється за формулою . (13) Формула (13) називається формулою Пуассона.
Дійсно, з формули Бернуллі (1) маємо = == = Перейшовши до границі, коли , отримаємо
=. Отже, . Для функції існують таблиці значень. Якщо необхідно за умов теореми Пуассона обчислити ймовірність , то використовують другу формулу Пуассона =. (14) Приклад 5. Верстат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь бракована, дорівнює 0,01. Яка ймовірність того, що серед 200 деталей виявиться 4 бракованих? Розв’язання. Тут За формулою (13) отримаємо Приклад 6. На телефонну станцію протягом однієї години поступає в середньому 30 викликів. Яка ймовірність того, що протягом хвилини поступить не більше двох викликів? Розв’язання. Враховуючи, що 1 год=60 хв, . Шукана ймовірність ++=++=0,98.
