§2. Основні теореми теорії ймовірностей.
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома.
2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Якщо події А і В несумісні (АВ= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей
. (1)
Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, - число елементарних подій, сприятливих події А, - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події сприяють + елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності
.
Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою . (2)
Дійсно, оскільки , то . З іншого боку, . Отже, , звідки .
Наслідок 2. , (3)
де () – попарно несумісні події.
Наслідок 3. Якщо події () утворюють повну групу попарно несумісних подій, то
. (4)
Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо
, але . Отже, за наслідком 2 маємо формулу (4).
Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.
Розв’язання. Нехай подія : виявиться точно одна стандартна; подія: виявиться дві стандартні; подія: виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.
Нехай подія: серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, і за формулою (3) маємо
.
Обчислимо ймовірності подій ,,:
; ; .
Отже, .
Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія : не виявиться жодної стандартної деталі, то є протилежною до події , і події , ,, утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)
.
Обчисливши ймовірність , отримаємо .
2.2. Умовна ймовірність.
Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події відбувається за умови, що відбулась інша подія , причому , то ймовірність появи події називають умовною і обчислюють за формулою
, (). (5)
Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності .
Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія (випала парна кількість очок), подія (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія наступила, то події сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.
Отже, .
Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.
Дві події і називаються
залежними, якщо , (6)
і незалежними, якщо . (7)
2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Розглянемо дві залежні події і , причому відомі ймовірності і . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:
Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася
(8)
або .
Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо
.
Оскільки , то .
Наслідок. Якщо події (), залежні , то
, (9)
тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.
Зокрема, для трьох залежних подій А, В, С маємо
.
2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо . (10)
Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.
Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.
Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.
Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С,
А і ВС, В і С, і . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.
Відповідно для незалежних в сукупності подій () теорема множення ймовірностей записується . (11)
Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій і задані і . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.
Розв’язання. Введемо позначення , , , .
Нехай подія : поява тільки події ;
подія : поява тільки події .
Події і несумісні, отже .
Події і незалежні, отже незалежні і події , , тому
,