§12.Інтервальні оцінки. Надійна ймовірність. Надійні інтервали.
В попередній лекції ми розглядали методи побудови і властивості точкових оцінок, тобто оцінок, які визначаються одним числом. Звичайно, при користуванні такими оцінками ми не можемо вказати їх точність, тобто наскільки вони відхиляються від істинних значень параметрів. Зрозуміло, що точкові оцінки залежать від обсягу вибірки. Зокрема, якщо обсяг вибірки малий, то точкова оцінка може суттєво відрізнятися від оцінюваного параметра. Тому зручніше користуватися інтервальними оцінками, тобто такими оцінками, які визначаються двома числами - кінцями інтервалу.
Нехай за даними вибірки ми знайшли точкову оцінку параметра . Зрозуміло, що буде тим точніше визначати параметр , чим меншою є величина . Тобто, для малого маємо
. (1)
Оцінка буде тим точнішою,чим менше . Число характеризує точність оцінки. Проте на основі даних вибірки ми не можемо стверджувати однозначно, що оцінка задовольняє нерівність (1). Ми можемо лише говорити про те, що нерівність (1) здійснюється з деякою ймовірністю .
Надійністю (або надійною ймовірністю) оцінки за називається ймовірність ,
з якою здійснюється нерівність (1): . (2)
Замінивши нерівність (1) тотожною подвійною нерівністю

, отримаємо
, (3)
тобто ймовірність того, що інтервал (4)
заключає в собі невідомий параметр , дорівнює .
Такий інтервал називають надійним інтервалом (інтервалом довіри).
На практиці надійність оцінки звичайно задається наперед. Найчастіше задають
. Тобто, якщо ми наперед вирішуємо нехтувати можливістю появи події з ймовірністю 0,01, то виберемо надійність ; тощо.
Кінці надійного інтервалу (4) є випадковими величинами, вони залежать від обсягу вибірки. Оскільки оцінюваний параметр не є випадковою величиною, то правильним є твердження, що надійний інтервал заключає в собі параметр з ймовірністю .
Метод надійних інтервалів в статистиці започаткований Р.Фішером і Ю.Нейманом.
Розглянемо деякі задачі на побудову надійних інтервалів.
Надійні інтервали для оцінки математичного сподівання
нормального розподілу при відомому .
Нехай відомо, що випадкова величина Х розподілена нормально і - її середнє квадратичне відхилення. Потрібно побудувати інтервальну оцінку для невідомого математичного сподівання . Точковою оцінкою для математичного сподівання є вибіркове середнє . (5)
Середнє вибіркове є різним для окремо взятих вибірок з генеральної сукупності, отже його можна розглядати як випадкову величину , а значення як однаково розподілені незалежні випадкові величини (). Оскільки значення незалежні, то
, ,
Вважаємо, що - відома величина.
Нерівність (6)
повинна виконуватись із заданою ймовірністю
або, замінивши нерівність (6) еквівалентною нерівністю, отримаємо
, (7)
Пригадаємо, що для нормально розподіленої випадкової величини Х з параметрами а і ймовірність попадання в інтервал визначається формулою

де - функція Лапласа (табульована).
Тоді співвідношення (7) можна переписати так
.
Позначивши , маємо рівняння ; (8)
Таким чином, остаточно отримаємо
Тобто побудований надійний інтервал (9)
заключає в собі невідомий параметр а (математичне сподівання) з ймовірністю . Число при заданому значенні знаходимо із таблиці значень функції Лапласа.
Висновки:
1) при збільшенні обсягу вибірки число зменшується, тобто точність оцінки
збільшується;
2) зростання надійності веде до збільшення , отже, до зростання , або до зменшення точності.
Приклад 1. Нехай .
Знайти надійний інтервал для а , якщо .
Для знаходження використаємо рівняння . Із таблиці значень функції Лапласа знаходимо .
Отже, і отримаємо інтервал або .
Цей результат треба трактувати так: якщо зроблена достатньо велика кількість вибірок, то в 95% випадків значення а лежить в знайденому інтервалі, а в 5% це значення а може вийти за межі інтервалу.
Надійні інтервали для оцінки математичного сподівання
нормального розподілу при невідомому .
В цьому випадку для малих обсягів вибірки використовують розподіл Стьюдента. Середнє вибіркове і виправлене середнє квадратичне відхилення є різними для окремо взятих вибірок з генеральної сукупності, отже їх можна розглядати як випадкові величини і . За даними вибірки обсягу можна побудувати випадкову величину
(10)
(її можливі значення позначимо через ), яка має розподіл Стьюдента з степенем вільності. Перевагою цього розподілу є те, що він визначається одним параметром -обсягом вибірки і не залежить від невідомих параметрів і . Щільність розподілу Стьюдента має вигляд

, (11)
де - гама-функція.
Оскільки парна функція від , то ймовірність виконання нерівності (12) визначається так
. (13)
Замінивши нерівність (12) рівносильною їй подвійною нерівністю, отримаємо
, (14)
Для конкретної вибірки обсягу випадкові величини і замінимо невипадковими і . Отже, використовуючи розподіл Стьюдента, знайдемо надійний інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому
, (15)
який покриває невідомий параметр з надійністю .
- табульоване значення випадкової величини, розподіленої за законом Стьюдента, , яке визначається з рівняння (13) .
Із граничних співвідношень ;