§9.Числові характеристики функції випадкових величин
1. Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини.
В задачах, пов’язаних з оцінкою точності роботи автоматичних систем, тощо, доводиться розглядати функції однієї або декількох випадкових величин. В найпростішому випадку задача ставиться таким чином: на вхід деякого технічного пристрою поступає випадковий сигнал , і технічний пристрій, виконуючи над деяке функціональне перетворення , дає на виході випадкову величину , яка є функцією від
(1)
Розглянемо таку задачу: за відомим законом розподілу випадкового аргумента знайти числові характеристики функції , не знаходячи закону розподілу .
Нехай дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу

X


…


P


…


де , (); , тоді і функція теж дискретна випадкова величина.
Складемо таблицю значень величини і ймовірностей цих значень


Y


…


P


…



Ця таблиця не є рядом розподілу , оскільки деякі значення можуть повторюватися. Проте
математичне сподівання можна визначати за формулою
(2)
Дійсно, величина (2) не може змінитися від того. що під знаком суми деякі члени будуть наперед об’єднані , а порядок членів змінений.
Міркуючи аналогічно, отримаємо формулу для обчислення дисперсії


або робочу формулу (3)
Якщо аргумент - неперервна випадкова величина, то і функція теж неперервна випадкова величина, математичне сподівання якої визначається за формулою

(4)
якщо інтеграл (4) збігається,
а дисперсія
або
- (5)
де початковий момент другого порядку
.
Таким чином, для знаходження числових характеристик функції досить знати закон розподілу її аргумента.
Зауваження. Надалі будемо записувати тільки вираз для початкового моменту другого порядку, оскільки дисперсія обчислюється за робочою формулою
-
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу
X
-2
-1
0
1
2

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18

Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу.
Розв’язання. Можливі значення функції , , , , .
Складаємо таблицю можливих значень функції та ймовірностей цих значень


4
1
0
1
4

P
0,15
0,15
0,4
0,12
0,18


Отже,



4,95-.
Приклад 2. Задана щільність розподілу аргументу .
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції , не знаходячи її закону розподілу .
Розв’язання. . Отже,
=.
==. =
В деяких випадках для знаходження числових характеристик функції не потрібно навіть знати закону розподілу аргумента, а тільки його числові характеристики.
1.1. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції.
Нехай випадкові величини та зв'язані між собою лінійно:
, (6)
де – невипадкові величини, причому відомі і .
Враховуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо

, (7)
тобто математичне сподівання лінійної функції є лінійною функцією математичного сподівання її аргументу, а дисперсія
= (8)
1.2. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох величин:
випадкової і невипадкової .
Випадкова величина як мінімальна із двох величин зв'язана з залежністю
==. (9)
Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію.
Нехай - неперервна випадкова величина, щільність розподілу якої .
За формулою (4) знайдемо математичне сподівання

=+=+ (10)
де - функція розподілу випадкової величини .
Початковий момент другого порядку

=+=+ (11)
Нехай - дискретна випадкова величина, яка приймає значення , з відповідними ймовірностями .
За формулою (2) знайдемо математичне сподівання

+ (12)
де - номер максимального з можливих значень випадкової величини , яке не більше :
.
Початковий момент другого порядку

+ (13)
Приклад 1. Напруга , яка подається на вхід обмежувача, розподілена за нормальним законом з параметрами і . Обмежувач працює за принципом =. Знайти математичне сподівання і дисперсію напруги на виході обмежувача.
Ввести змінну
Приклад 2. В обчислювальний центр за зміну надходить випадкове число інформаційних документів, яке розподілене за законом Пуассона з параметром . Число інформаційних
документів, що обробляються в ОЦ за зміну, не може перевищувати (ціле число): =. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини .
(Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука.- 1988.-480 с.)
1.3. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох величин:
випадкової і невипадкової